3.3 冪函數(shù)（九大題型）（原卷版）

3.3冪函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：冪函數(shù)的概念題型二：求函數(shù)解析式題型三：定義域問題題型四：值域問題題型五：冪函數(shù)的圖象題型六：定點(diǎn)問題題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題題型八：比較大小題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．知識點(diǎn)二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點(diǎn)；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．2、作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域為或，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)軸對稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對稱作出第三象限的圖象．3、冪函數(shù)解析式的確定（1）借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．（2）結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．（3）如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即．4、冪函數(shù)值大小的比較（1）比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時，可與0和1進(jìn)行比較．常稱為“搭橋”法．（2）比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大?。?）常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大??；③由單調(diào)性確定函數(shù)值的大小．【典型例題】題型一：冪函數(shù)的概念例1．（2023·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中冪函數(shù)的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2023·高一課時練習(xí)）在函數(shù)，，，中，冪函數(shù)的個數(shù)為（

）A．0 B．1C．2 D．3例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·全國·高一課堂例題）在函數(shù)，，，中，冪函數(shù)的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．題型二：求函數(shù)解析式例4．（2023·黑龍江佳木斯·高一校考期中）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則f等于（）A．4 B．2C． D．例6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．變式3．（2023·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．0變式4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）．A． B．4 C． D．8變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．C． D．變式6．（2023·河南南陽·高一鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)的定義同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，是一種形式定義，對表現(xiàn)形式要求非常嚴(yán)格．判定一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵看它是否具有冪函數(shù)的三個特征：①指數(shù)為常數(shù)，且為任意常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1．題型三：定義域問題例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，則此函數(shù)的定義域為．例8．（2023·高一課時練習(xí)）冪函數(shù)的定義域是．例9．（2023·高一課時練習(xí)）冪函數(shù)的定義域為;變式7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的定義域為，則實數(shù)．變式8．（2023·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)=xα滿足f(3)=，則該冪函數(shù)的定義域為.變式9．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是．變式10．（2023·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域為．【方法技巧與總結(jié)】使表達(dá)式有意義．題型四：值域問題例10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域為.例11．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值域是例12．（2023·高一校考課時練習(xí)）已知冪函數(shù)，其中，滿足：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對任意的，都有.求同時滿足條件①②的冪函數(shù)的解析式，并求時的值域.變式11．（2023·高一?？颊n時練習(xí)）已知冪函數(shù)，且滿足：①在區(qū)間上是增函數(shù)；②對任意的，都有.(1)求同時滿足①②的冪函數(shù)的解析式，(2)在（1）條件下，求時的值域.變式12．（2023·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間，上的值域．變式13．（2023·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)（其中，）滿足：①在區(qū)間上為減函數(shù)；②對任意的，都有.求冪函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時，的值域.【方法技巧與總結(jié)】利用單調(diào)性求解．題型五：冪函數(shù)的圖象例13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個值，相應(yīng)的曲線對應(yīng)的n依次為（

）

A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，例14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

例15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

變式14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）冪函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

變式15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

變式16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①變式17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且p與q互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（

）

A．p、q均為奇數(shù)且 B．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且C．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且 D．p為偶數(shù)，q為奇數(shù)且變式18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】先根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，確定冪指數(shù)的取值區(qū)間；再根據(jù)圖象在軸左側(cè)有無圖象確定函數(shù)的定義域，進(jìn)而確定中分母“”的奇偶性；當(dāng)圖象在軸左側(cè)有圖象時，再研究其圖象關(guān)于軸（或原點(diǎn)）的對稱性，從而確定函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而確定冪指數(shù)中分子“”的奇偶性．類似地，可作出冪函數(shù)的圖象，即先作出第一象限的圖象，再研究定義域在軸左側(cè)有無圖象，有圖象時，再利用奇偶性作出圖象即可．題型六：定點(diǎn)問題例16．（2023·廣東東莞·高一?？计谥校┖瘮?shù)的圖象過定點(diǎn)．例17．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，則函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為．例18．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)（為不等于0的常數(shù)）的圖象恒過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.變式19．（2023·全國·高一假期作業(yè)）不論實數(shù)取何值，函數(shù)恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)是．變式20．（2023·高一課時練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則．變式21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)恒過定點(diǎn)．變式22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.【方法技巧與總結(jié)】所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點(diǎn)題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題例19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若＜，則實數(shù)m的取值范圍．例20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為.例21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集為．變式23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則的取值范圍是．變式24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若冪函數(shù)過點(diǎn)，則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍是．變式25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解為.變式26．（2023·北京·高一清華附中?？计谀┮阎瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集為．變式27．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值集合為.變式28．（2023·上海靜安·高一上海市市西中學(xué)校考期中）已知冪函數(shù)，且，則的取值范圍是．變式29．（2023·上海·高一專題練習(xí)）不等式的解為．變式30．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為.變式31．（2023·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，則的取值范圍為．【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，必須對圖象的特征有深刻的認(rèn)識．可見，能很好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要途徑．題型八：比較大小例22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．例23．（2023·重慶萬州·高一?？茧A段練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．例24．（2023·高一課時練習(xí)）已知若，則下列各式中正確的是（

）A．B．C．D．變式32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．變式33．（2023·全國·高一專題練習(xí)）記，則（

）A． B．C． D．變式34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．變式35．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．變式36．（2023·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級中學(xué)校考期中）已知冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【方法技巧與總結(jié)】（1）兩個數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個冪函數(shù)的兩個不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷．（2）利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問題．當(dāng)然，若直接利用上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問題也是可以的．（3）引進(jìn)數(shù)“1”和“0”，三個數(shù)分別與“1”和“0”比較，得出結(jié)論．題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用例25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，．(1)若，求；(2)已知，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求的取值范圍．例26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．例27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求m的值；(2)求函數(shù)在上的最大值.變式37．（2023·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.變式38．（2023·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)的值域．變式39．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求m的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實數(shù)a的值．變式40．（2023·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的任意，都有成立，則稱函數(shù)是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明：若不是，請說明理由；(2)若函數(shù)是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)的最小值；(3)是否存在實數(shù)，使得是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，若存在，求實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.【方法技巧與總結(jié)】以內(nèi)函數(shù)或外函數(shù)為冪函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，來考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，是考試命題的熱點(diǎn)題型．解答這類問題的關(guān)鍵在于尋求相應(yīng)的基本冪函數(shù)，再利用其圖象與性質(zhì)解決問題．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·云南德宏·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A．-1 B．-2C．-4 D．-82．（2023·山東菏澤·高一菏澤一中?？计谥校┤魞绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．43．（2023·福建泉州·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖像過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．04．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若，，且，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷5．（2023·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù).若對于，且，均有，則（

）A． B．8 C．4 D．6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·高一?？颊n時練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖象與y軸沒有交點(diǎn)，則實數(shù)=（

）A．2或-1 B．1或0 C．4 D．2二、多選題9．（2023·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）已知是冪函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在為減函數(shù) D．函數(shù)在為增函數(shù)11．（2023·高一?？颊n時練習(xí)）(多選)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，是函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C． D．12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（m，，m，n互質(zhì)），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（

）A．m，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．時，冪函數(shù)在上是減函數(shù)三、填空題13．（2023·天津·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是．14．（2023·全國·高一課堂例題）（1）函數(shù)的定義域是