第11講 離散型隨機(jī)變量及其分布列（十七大題型）（解析版）

第11講離散型隨機(jī)變量及其分布列【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一．離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為…………則稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．知識(shí)點(diǎn)二．兩點(diǎn)分布的期望一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么；知識(shí)點(diǎn)三．離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)設(shè)X的分布列為．一般地，下面的結(jié)論成立：．知識(shí)點(diǎn)四．離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差正確求解隨機(jī)變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………考慮所有可能取值與的偏差的平方，因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來(lái)度量隨機(jī)變量X取值與其均值的偏離程度，我們稱為隨機(jī)變量的方差，有時(shí)也記為，并稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記為．知識(shí)點(diǎn)五．幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論（1）．（2）若服從兩點(diǎn)分布，則．知識(shí)點(diǎn)六．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1、定義一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．2、特點(diǎn)（1）每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；（2）每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．知識(shí)點(diǎn)七．二項(xiàng)分布1、定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3、二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．知識(shí)點(diǎn)八．超幾何分布1、定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．【方法技巧與總結(jié)】超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項(xiàng)分布是“有放回”抽?。í?dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．【典型例題】題型一：隨機(jī)變量的概念【例1】（2024·河南周口·高二統(tǒng)考期末）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)；②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對(duì)于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來(lái)，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③．故選：B．【變式1-1】（2024·河南駐馬店·高二?？茧A段練習(xí)）拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為，那么表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（

）A．2枚都是4點(diǎn)B．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)C．2枚都是2點(diǎn)D．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn)【答案】D【解析】A表示的是隨機(jī)試驗(yàn)中的其中一個(gè)結(jié)果，B，C中表示的是隨機(jī)試驗(yàn)中的部分結(jié)果，而D是代表隨機(jī)試驗(yàn)中的所有試驗(yàn)結(jié)果.故選：D.【變式1-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）某袋中裝有大小相同的10個(gè)紅球，5個(gè)黑球．每次隨機(jī)抽取1個(gè)球，若取到黑球，則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?，若抽取的次?shù)為X，則表示“放回5個(gè)球”的事件為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】第一次取到黑球，則放回1個(gè)球；第二次取到黑球，則放回2個(gè)球……共放了五回，第六次取到了紅球，試驗(yàn)終止，故.故選：C題型二：離散型隨機(jī)變量的判斷【例2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有個(gè)黑球個(gè)紅球，任取個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性【答案】C【解析】對(duì)于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結(jié)果，則擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和為，是常量，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，等出租車的事件是隨機(jī)變量，但無(wú)法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)是有限個(gè)或可列舉的無(wú)限多個(gè)，是離散型隨機(jī)變量，C正確；對(duì)于D，事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量，D錯(cuò)誤.故選：C.【變式2-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在下列表述中不是離散型隨機(jī)變量的是（

）①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量；

②某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；③某籃球下降過(guò)程中離地面的距離；

④某立交橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)X．A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的【答案】C【解析】①②④中的隨機(jī)變量可能取的值，我們都可以按一定的次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機(jī)變量；③中的可以取一區(qū)間內(nèi)的一切值，無(wú)法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量.故選：C【變式2-2】（2024·北京·高二期末）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（

）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)；②一個(gè)沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)；④某電子元件的壽命；A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】對(duì)于①，半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，故①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，故②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，故③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來(lái)，故④不是離散型隨機(jī)變量；故選：C.題型三：用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果【例3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任取1個(gè)球，取后不放回，直到取出的球是白球?yàn)橹?，所需要的取球次?shù)；(2)從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的4張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．【解析】（1）設(shè)所需的取球次數(shù)為X，則X＝1，2，3，4，…，10，11，表示前次取到的均是紅球，第i次取到白球，這里i＝1，2，3，4，…，11；（2）設(shè)所取卡片上的數(shù)字之和為X，則X＝3，4，5，6，7.表示“取出標(biāo)有1，2的兩張卡片”；表示“取出標(biāo)有1，3的兩張卡片”；表示“取出標(biāo)有2，3或1，4的兩張卡片”；表示“取出標(biāo)有2，4的兩張卡片”；表示“取出標(biāo)有3，4的兩張卡片”．【變式3-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中目標(biāo)為止，所需要的射擊次數(shù)為，寫出所表示的試驗(yàn)結(jié)果．【解析】因?yàn)楸硎局钡矫心繕?biāo)為止，所需要的射擊次數(shù)，所以表示的試驗(yàn)結(jié)果是“射擊了6次，前5次都未擊中目標(biāo)，第6次擊中目標(biāo)”【變式3-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)一個(gè)袋中裝有2個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)；(2)一袋中裝有5只同樣大小的球，編號(hào)為1，2，3，4，5現(xiàn)從該袋中隨機(jī)取出3只球，被取出的最大號(hào)碼數(shù)．【解析】（1）可取0，1，2，，表示取出的3個(gè)球中有0個(gè)白球，個(gè)黑球，，表示取出的3個(gè)球中有1個(gè)白球，個(gè)黑球，，表示取出的3個(gè)球中有2個(gè)白球，個(gè)黑球．（2）可取3，4，5，，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，3；，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，4或1，3，4或2，3，4；，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．題型四：分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用【例4】（2024·吉林·高二校聯(lián)考期末）隨機(jī)變量的分布列如下表所示：12340.10.3則.【答案】0.7/【解析】由分布列的性質(zhì)可得，，可得，所以．故答案為：0.7【變式4-1】（2024·河南·高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則常數(shù).【答案】【解析】，解得，故答案為：.【變式4-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：X123Pm則，．【答案】//【解析】由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以.故答案為：；題型五：兩點(diǎn)分布【例5】（2024·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期末）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，由，所以.故選：D【變式5-1】（2024·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機(jī)變量的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈姆植剂蟹膬牲c(diǎn)分布，所以，又，所以，所以，所以.故選：A.【變式5-2】（2024·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谀╇S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，令，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，所以，由，所以.故選：D題型六：利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值【例6】（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谀┮阎x散型隨機(jī)變量的概率分布如下表，則其數(shù)學(xué)期望；P【答案】【解析】由分布列的性質(zhì)可得，解得，因此，.故答案為：.【變式6-1】（2024·山東濟(jì)寧·高二嘉祥縣第一中學(xué)?？计谀┮阎渲醒b有個(gè)不同的小球，其中個(gè)紅球，個(gè)黑球，從該箱中有放回地依次取出個(gè)小球，設(shè)變量為取出個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望.【答案】【解析】每次摸到紅球的概率為，因?yàn)槭怯蟹呕氐厝?次球，所以，所以.故答案為：.題型七：離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【例7】（2024·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考階段練習(xí)）設(shè)的分布列如圖，又，則.1234Pa【答案】【解析】由分布列的性質(zhì)得，得，從而，而，所以.故答案為：.【變式7-1】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為：X1234Pmn已知，則.【答案】/0.5【解析】依題意有，解得，則.故答案為：.【變式7-2】（2024·全國(guó)·高二競(jìng)賽）甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第奇數(shù)局，甲贏的概率為；第偶數(shù)局，乙贏的概率為．每一局沒(méi)有平局．規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多兩次時(shí)游戲結(jié)束．則游戲結(jié)束時(shí)，甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為．【答案】/【解析】設(shè)甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)為，其數(shù)學(xué)期望為，由題設(shè)，游戲至少進(jìn)行兩局，若，則比分為，且，否則前兩局的比分為，從此刻開(kāi)始知道游戲結(jié)束，進(jìn)行的局?jǐn)?shù)的期望跟比分為時(shí)相同，總局?jǐn)?shù)的期望為，故，故，故答案為：.題型八：離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用【例8】（2024·廣東梅州·高二?？茧A段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的概率分布列如下表：則數(shù)學(xué)期望等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】結(jié)合表格可知，即，解得：，所以.故選:D.【變式8-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三校聯(lián)考期末）已知某單位招聘程序分兩步：第一步是筆試，筆試合格才能進(jìn)入第二步面試；面試合格才算通過(guò)該單位的招聘.現(xiàn)有，，三位畢業(yè)生應(yīng)聘該單位，假設(shè)，，三位畢業(yè)生筆試合格的概率分別是，，；面試合格的概率分別是，，.(1)求，兩位畢業(yè)生中有且只有一位通過(guò)招聘的概率；(2)記隨機(jī)變量為，，三位畢業(yè)生中通過(guò)招聘的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）記“，兩位畢業(yè)生中有且只有一位通過(guò)招聘”為事件.通過(guò)招聘的概率為，通過(guò)招聘的概率為，∴.即，兩位畢業(yè)生有且只有一位通過(guò)招聘的概率為.（2）隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2，3.通過(guò)招聘的概率為，由（1）得，兩位畢業(yè)生通過(guò)招聘的概率均為.∴，，三位畢業(yè)生通過(guò)招聘的人數(shù).則，，，，隨機(jī)變量的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.題型九：求離散型隨機(jī)變量的方差【例9】（2024·福建福州·高二校聯(lián)考期末）隨機(jī)變量的概率分布列如下：－101其中，，成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量的期望，則其方差＝．【答案】【解析】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，則，又由分布列的性質(zhì)，則，所以得，又因?yàn)殡S機(jī)變量的均值且,故解得，，所以.故答案為：.【變式9-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投籃．已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為ξ，則ξ的方差為．【答案】【解析】由題意可知：乙投籃的次數(shù)ξ的取值為0，1，2.則，，.故的分布列為012P則，所以.故答案為：【變式9-2】（2024·新疆克孜勒蘇·高二校考期末）若離散型隨機(jī)變量的分布列為01則的方差.【答案】【解析】由，解得或（舍去）.的分布列為，則.故答案為：題型十：方差的性質(zhì)的應(yīng)用【例10】（2024·上?！じ叨？计谀┤?，且，則.【答案】【解析】由，得，而，所以.故答案為：【變式10-1】（2024·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量的方差，則的值為.【答案】12【解析】故答案為：12【變式10-2】（2024·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下：236若隨機(jī)變量滿足，則．【答案】【解析】由分布列的性質(zhì)可知，所以，所以，故，因?yàn)?，所以，故答案為?2題型十一：均值與方差的綜合應(yīng)用【例11】（2024·吉林·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)在6名男志愿者和4名女志愿者，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率；(2)用表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望、方差.【解析】（1）記“接受甲種心理暗示的志愿者包含但不包含”為事件，則.（2）由題意知的所有可能取值為，則；；；；.所以隨機(jī)變量的分布列為：因此，，.【變式11-1】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如圖是2023年11月1日到11月20日，某地區(qū)甲流疫情新增數(shù)據(jù)的走勢(shì)圖．(1)從這20天中任選1天，求新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過(guò)100的概率；(2)從新增確診的人數(shù)超過(guò)100的日期末任選兩天，用表示新增確診的人數(shù)超過(guò)140的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記每天新增確診的人數(shù)為，每天新增疑似的人數(shù)，根據(jù)這20天統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試判斷與的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）．【解析】（1）由圖知，在統(tǒng)計(jì)出的20天中，新增確診和新增疑似人數(shù)超過(guò)100人的有3天，設(shè)事件為“從這20天中任取1天，新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過(guò)100”，則.（2）由圖知，新增確診的日期末人數(shù)超過(guò)100的有6天，其中有2天人數(shù)超過(guò)140，所以X的所有可能值為0，1，2.所以，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）根據(jù)這20天的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以看到新增確診人數(shù)的波動(dòng)情況相對(duì)新增疑似人數(shù)的波動(dòng)情況更為平穩(wěn)，所以新增確診人數(shù)的方差要小于新增疑似人數(shù)的方差，即.【變式11-2】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）袋中有形狀、大小完全相同的3個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3.用表示取出的2個(gè)球中的最大號(hào)碼，有放回地從袋中取兩次，每次取1個(gè)球(1)寫出的分布列；(2)求的均值與方差.【解析】（1）題意知的可能取值為1，2，3，當(dāng)時(shí)，有一種情況；當(dāng)時(shí)，有，，三種情況；當(dāng)時(shí)，有，，，，五種情況；則，，，所以的分布列：123（2）的均值為：，方差為.題型十二：n重伯努利試驗(yàn)的判斷【例12】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的；④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【解析】只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn)，故重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的；故選：C【變式12-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列事件：①運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒(méi)射中目標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次5次擊中目標(biāo).其中是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨(dú)立事件；④是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；所以只有④符合題意，故選：D.【變式12-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列試驗(yàn)不是重伯努利試驗(yàn)的是（

）．A．依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了次C．口袋中裝有個(gè)白球，個(gè)紅球，個(gè)黑球，依次從中抽取個(gè)球D．小明做道難度不同的數(shù)學(xué)單選題【答案】ACD【解析】A．由于試驗(yàn)的條件不同（硬幣質(zhì)地不同），因此不是重伯努利試驗(yàn)．B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，因此是重伯努利試驗(yàn)．C．每次抽取，每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是重伯努利試驗(yàn)．D．道題難度不同，每道題做對(duì)的概率也不同，因此不是重伯努利試驗(yàn)．故選：ACD．題型十三：n重伯努利試驗(yàn)概率的求法【例13】（2024·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)按下述規(guī)則移動(dòng)：每次只能向下或向左移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向左移動(dòng)的概率為.那么移動(dòng)5次后位于點(diǎn)的概率是.【答案】【解析】因?yàn)橄蜃笠苿?dòng)的概率為，所以向下移動(dòng)的概率為，由題意得必須向左移動(dòng)4次，向下移動(dòng)1次，所以所求的概率為.故答案為：【變式13-1】（2024·吉林長(zhǎng)春·高二東北師大附中校考期末）某人忘記了他在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的賬戶密碼，而平臺(tái)只允許試錯(cuò)三次，如果三次都試錯(cuò)，則賬戶就會(huì)鎖定，無(wú)法繼續(xù)試驗(yàn)．假設(shè)該用戶每次能試中的概率為0.1，記試驗(yàn)的次數(shù)為X，則．【答案】0.81/【解析】試驗(yàn)的次數(shù)為，表示該用戶前兩次均試錯(cuò)，所以.故答案為：.【變式13-2】（2024·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)九江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行自由式輪滑速度障礙賽決賽，采取五場(chǎng)三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)比賽時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束），根據(jù)以往比賽成績(jī)可知；甲隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝的概率為．比賽結(jié)果沒(méi)有平局，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)獲勝的概率為．【答案】【解析】設(shè)事件A為“甲隊(duì)最終獲得勝利”，①比賽進(jìn)行三場(chǎng)，甲隊(duì)均勝，；②比賽進(jìn)行四場(chǎng)，甲隊(duì)前三場(chǎng)恰好勝二場(chǎng)，輸一場(chǎng)，第四場(chǎng)勝，；③比賽進(jìn)行五場(chǎng)，甲隊(duì)第五場(chǎng)勝，前四場(chǎng)恰好勝二場(chǎng)，輸二場(chǎng)，，則．故答案為：題型十四：二項(xiàng)分布的均值與方差【例14】（2024·吉林·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)在6名男志愿者和4名女志愿者，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率；(2)用表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望、方差.【解析】（1）記“接受甲種心理暗示的志愿者包含但不包含”為事件，則.（2）由題意知的所有可能取值為，則；；；；.所以隨機(jī)變量的分布列為：因此，，.【變式14-1】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如圖是2023年11月1日到11月20日，某地區(qū)甲流疫情新增數(shù)據(jù)的走勢(shì)圖．(1)從這20天中任選1天，求新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過(guò)100的概率；(2)從新增確診的人數(shù)超過(guò)100的日期末任選兩天，用表示新增確診的人數(shù)超過(guò)140的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記每天新增確診的人數(shù)為，每天新增疑似的人數(shù)，根據(jù)這20天統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試判斷與的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）．【解析】（1）由圖知，在統(tǒng)計(jì)出的20天中，新增確診和新增疑似人數(shù)超過(guò)100人的有3天，設(shè)事件為“從這20天中任取1天，新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過(guò)100”，則.（2）由圖知，新增確診的日期末人數(shù)超過(guò)100的有6天，其中有2天人數(shù)超過(guò)140，所以X的所有可能值為0，1，2.所以，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）根據(jù)這20天的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可以看到新增確診人數(shù)的波動(dòng)情況相對(duì)新增疑似人數(shù)的波動(dòng)情況更為平穩(wěn)，所以新增確診人數(shù)的方差要小于新增疑似人數(shù)的方差，即.【變式14-2】（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）袋中有形狀、大小完全相同的3個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3.用表示取出的2個(gè)球中的最大號(hào)碼，有放回地從袋中取兩次，每次取1個(gè)球(1)寫出的分布列；(2)求的均值與方差.【解析】（1）題意知的可能取值為1，2，3，當(dāng)時(shí)，有一種情況；當(dāng)時(shí)，有，，三種情況；當(dāng)時(shí)，有，，，，五種情況；則，，，所以的分布列：123（2）的均值為：，方差為.題型十五：利用超幾何分布的公式求概率【例15】（2024·上?！じ呷虾Ｊ写笸袑W(xué)校考期末）在高考志愿模擬填報(bào)實(shí)驗(yàn)中，共有9個(gè)專業(yè)可供學(xué)生甲填報(bào)，其中學(xué)生甲感興趣的專業(yè)有3個(gè)．若在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生甲隨機(jī)選擇3個(gè)專業(yè)進(jìn)行填報(bào)，則填報(bào)的專業(yè)中至少有1個(gè)是學(xué)生甲感興趣的概率為．【答案】【解析】隨機(jī)選擇3個(gè)專業(yè)，基本事件總數(shù)為，填報(bào)的專業(yè)中沒(méi)有感興趣的專業(yè)包含的基本事件數(shù)為，由題可知，填報(bào)的專業(yè)中至少有1個(gè)是學(xué)生甲感興趣的概率為．故答案為：.【變式15-1】（2024·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某無(wú)人機(jī)小組有3名男生，2名女生，從中任選2名同學(xué)參加科技節(jié)無(wú)人機(jī)表演，若X表示選出女生的人數(shù)，則.【答案】/【解析】由題意，從3名男生，2名女生中任選2名同學(xué)參加科技節(jié)無(wú)人機(jī)表演，則選出女生的人數(shù)為1的概率.故答案為：.【變式15-2】（2024·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）某企業(yè)生產(chǎn)的個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)一等品、個(gè)二等品，現(xiàn)從這些產(chǎn)品中任意抽取個(gè)，則其中恰好有個(gè)二等品的概率為.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，任意抽取個(gè)共有種抽法，則其中恰好有個(gè)二等品的抽法共有種，因此任意抽取個(gè)，則其中恰好有個(gè)二等品的概率為.故答案為：題型十六：超幾何分布的分布列【例16】（2024·全國(guó)·高考真題）從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有個(gè)紅球，則隨機(jī)變量的概率分布為：．012【答案】見(jiàn)解析【解析】根據(jù)題意由等可能事件的概率計(jì)算公式可知：，故答案為：012【變式16-1】（2024·湖北·高二應(yīng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知某批產(chǎn)品共20件，其中二等品有8件.從中任意抽取2件，表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，試填寫下列關(guān)于的分布列.012【答案】【解析】由題意可得，，故答案為：；.題型十七：超幾何分布的綜合應(yīng)用【例17】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）球車中裝有12個(gè)排球，其中9個(gè)是新的，3個(gè)是舊的．從球車中任取3個(gè)來(lái)用，用完后裝回球車中（新球用完后變?yōu)榕f球），此時(shí)球車中舊球的個(gè)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，求的分布列．【解析】的所有可能取值為，，，【變式17-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）從6名男生和4名女生中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試．(1)求選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率；(2)設(shè)表示選出的3名同學(xué)中男生的人數(shù)，求的分布列．【解析】（1）由題意可知，選出的3名同學(xué)全是男生的概率為，所以選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率；（2）根據(jù)題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：【變式17-2】（2024·河南南陽(yáng)·高三南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）假設(shè)某市大約有800萬(wàn)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者，某電子商務(wù)公司對(duì)該地區(qū)n名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者某年度上半年前6個(gè)月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個(gè)小矩形依次對(duì)應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．(1)求a，b，c，d的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物愛(ài)好調(diào)查，①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；②在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來(lái)自第一組的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為，又因?yàn)榈谖逍〗M的頻數(shù)為2400，所以樣本容量．因?yàn)榈诹〗M的頻率為，所以第六小組的頻數(shù)是．由頻率之和為1，得，所以．因?yàn)轭l率分布直方圖中的滿足，所以．所以代入中，得，得，解得．所以．（2）①因?yàn)榍?組的頻率之比為，且現(xiàn)從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物愛(ài)好調(diào)查，所以在應(yīng)該抽取的人數(shù)分別是．②由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值是．則故隨機(jī)變量的分布列為0123故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量，則（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】C【解析】由題意得，故.故選：C.2．（2024·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，X的取值可能為，，，因?yàn)?，，，所以，故．故選：B.3．（2024·江西上饒·高二校考階段練習(xí)）口袋里放有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，每個(gè)球被摸到的機(jī)會(huì)均等.定義數(shù)列：.如果為數(shù)列的前項(xiàng)和，那么的概率是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，每次摸到白球的概率為，每次摸到紅球的概率為，表示摸次球，其中次摸到紅球，次摸到白球，則的概率是.故選：A.4．（2024·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行圍棋比賽，約定五局三勝制（無(wú)平局），已知甲每局獲勝的概率都為，則最后甲獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，甲獲勝包括三種情況，即.若甲獲勝，則概率為；若甲獲勝，則概率為；若甲獲勝，則概率為；所以甲勝的概率為.故選：D5．（2024·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）有兩個(gè)隨機(jī)變量和，它們的分布列分別如下表：123450.030.30.50.160.01123450.10.20.30.20.2則關(guān)于它們的期望，和它們的方差和，下列關(guān)系正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】A【解析】,,所以且，故選：A6．（2024·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，則（

）XPA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】由解得，則，.故選：A.7．（2024·陜西渭南·高二合陽(yáng)縣合陽(yáng)中學(xué)?？计谀┮阎S機(jī)變量的分布列如下，則（

）A．3 B．9 C．27 D．11【答案】B【解析】由題意可得，此時(shí)，所以．故選：B．8．（2024·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期末）已知的分布列為則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由分布列的性質(zhì)可得，可得，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：C.9．（2024·山東濟(jì)寧·高二嘉祥縣第一中學(xué)?？计谀┤綦S機(jī)變量的分布列為且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)所給的分布列，可得，由，可得，解得.故選:A.10．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）某黨支部有10名黨員，7男3女，從中選取2人做匯報(bào)演出，若X表示選中的女黨員數(shù)，則（

）A． B．C． D．1【答案】C【解析】由題意知X服從超幾何分布，X的可能取值為0，1，2，故，，于是.故選：C.11．（2024·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量X的分布列如下所示，則（

）X024PmA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由題意得，解得，所以，故選：B12．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：若，則的最小值等于（

）A．0 B．2C．1 D．【答案】A【解析】由題意得，所以，即.又，所以當(dāng)時(shí)，取最小值為0.故選:A.13．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量ξ的分布列如下：其中，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，且，解得，.故選：D.二、多選題14．（2024·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為9B．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，設(shè)，則的方差C．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為20D．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是【答案】AD【解析】對(duì)于A，由于，所以第60百分位數(shù)為第5位置上的數(shù)9，A正確，對(duì)于B，由于，所以，,故，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的平均數(shù)為8，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是，D正確，故選：AD15．（2024·河北石家莊·高二河北師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為其中．則下列說(shuō)法正確的是（

）012A． B．C．隨著的從小到大變化，先增大后減小 D．有最小值【答案】AC【解析】，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，又，是關(guān)于b的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，所以，當(dāng)b從小到大變化的時(shí)候，是先增后減，當(dāng)時(shí)取得最大值，沒(méi)有最小值，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.16．（2024·河南周口·高二校聯(lián)考期末）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為12460.20.1則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確；對(duì)于B中，若，可得，則，故B正確；對(duì)于C中，由概率的定義知，所以C不正確；對(duì)于D中，由，，則，所以D正確．故選：ABD.17．（2024·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期末）若袋子中有個(gè)白球，個(gè)黑球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球次，每次取一個(gè)球，取到白球記分，取到黑球記分，記次取球的總分?jǐn)?shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，每次摸到白球的概率為，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).故選：BC.三、填空題18．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局.已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為；3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為.【答案】【解析】∵一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為，次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為．故答案為：，．19．（2024·福建漳州·高二漳州三中?？茧A段練習(xí)）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗(yàn)．現(xiàn)進(jìn)行四次試驗(yàn)，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為．【答案】【解析】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4的情況有3種，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的情況有4種，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為6的情況有5種，在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)成功試驗(yàn)的概率，設(shè)出現(xiàn)成功試驗(yàn)的次數(shù)為，則，所以重復(fù)做這樣的試驗(yàn)4次，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為，故答案為：．四、解答題20．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？家荒＃┠呈幸?guī)定，高中學(xué)生三年在校期間參加不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格.教育部門在全市隨機(jī)抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段，（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，并估計(jì)從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率；(2)從全市高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任意選取3位學(xué)生，記為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù).試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望和方差.【解析】（1）根據(jù)題意，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在時(shí)間段，小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為（人，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在時(shí)間段，小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為（人.所以抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為80人.所以從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率為.（2）由（1）可知，從全市高中生中任意選取1人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率為.由已知得，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，且所以，，.隨機(jī)變量的分布列為0123因?yàn)?，所以?21．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)?？家荒＃}水選種是古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測(cè)種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良．現(xiàn)對(duì)一批某品種種子的密度（單位：）進(jìn)行測(cè)定，測(cè)定結(jié)果整理成頻率分布直方圖如圖所示，認(rèn)為密度不小于的種子為優(yōu)種，小于的為良種．自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為和．(1)估計(jì)這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)用頻率估計(jì)概率，從這批種子（總數(shù)遠(yuǎn)大于）中選取粒在自然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（各種子的萌發(fā)相互獨(dú)立）．【解析】（1）估計(jì)種子密度的平均值為；（2）由頻率分布直方圖知優(yōu)種占比為，任選一粒種子萌發(fā)的概率．因?yàn)檫@批種子總數(shù)遠(yuǎn)大于2，所以萌發(fā)的種子數(shù)符合二項(xiàng)分布，所以可取的值為，，，所以，，，所以的分布列為：012所以期望，故期望值為.22．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）課堂上，老師為了講解“利用組合數(shù)計(jì)算古典概型的問(wèn)題”，準(zhǔn)備了x（）個(gè)不同的盒子，上面標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，每個(gè)盒子準(zhǔn)備裝x張形狀相同的卡片，其中一部分卡片寫有“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”的字樣，另一部分卡片寫有“謝謝惠顧”的字樣．第1個(gè)盒子放有1張“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”，張“謝謝惠顧”，第2個(gè)盒子放有2張“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”，張“謝謝惠顧”，…，以此類推．游戲時(shí)，老師在所有盒子中隨機(jī)選取1個(gè)盒子后，再讓一個(gè)同學(xué)上臺(tái)每次從中隨機(jī)抽取1張卡片，抽取的卡片不再放回，連續(xù)抽取3次．(1)若老師選擇了第3個(gè)盒子，，記摸到“謝謝惠顧”卡片的張數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；(2)若，求該同學(xué)第3次抽到“謝謝惠顧”的概率．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，老師選擇第3個(gè)盒子，則有3張“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”的卡片和4張“謝謝惠顧”的卡片，則X的所有可能取值為，則，，，．X的分布列為X0123P數(shù)學(xué)期望．（2）當(dāng)時(shí)，記從第k個(gè)盒子中第3次抽到“謝謝惠顧”為事件．，，，，．故該同學(xué)第3次抽到“謝謝惠顧”的概率．23．（2024·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）某校高一年級(jí)舉行數(shù)學(xué)史知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)同學(xué)從10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對(duì)，3道不能答對(duì)；小王每道答對(duì)的概率均為，且每道題答對(duì)與否互不影響.(1)分別求小張，小王答對(duì)題目數(shù)的分布列；(2)若預(yù)測(cè)小張答對(duì)題目數(shù)多于小王答對(duì)題目數(shù)，求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)小張答對(duì)的題目數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從超幾何分布，的取值分別為1，2，3，4.有，，，，故小張答對(duì)的題目數(shù)的分布列為X1234P設(shè)小王答對(duì)的題目數(shù)為，可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，的取值分別為0，1，2，3，4，有，，，，.故小王答對(duì)的題目數(shù)的分布列為Y01234P（2）由（1）可知，而，所以，若預(yù)測(cè)小張答對(duì)的題目數(shù)多于小王答對(duì)的題目數(shù)，則，即，可得.24．（2024·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）某學(xué)校高一，高二，高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，該校用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生來(lái)了解學(xué)生的睡眠情況.(1)應(yīng)從高一?高二?高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足①若從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體健康檢查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列：②將這7名學(xué)生中“睡眠不足”的頻率視為該學(xué)校學(xué)生中“睡眠不足”的概率，若從該學(xué)校全體學(xué)生（人數(shù)較多）中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體健康檢查.記Y表示抽到“睡眠不足”學(xué)生的人數(shù)，求Y的期望和方差：【解析】（1）由已知選取的三個(gè)年級(jí)的人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從高一?高二?高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取3人，2人，2人.（2）①隨機(jī)變量X符合超幾何分布，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3.則所以，隨機(jī)變量的分布列為0123②取一個(gè)學(xué)生就是一次試驗(yàn)，有“睡眠不足”和“睡眠充足”兩個(gè)結(jié)果，抽3個(gè)學(xué)生相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)抽一個(gè)學(xué)生的試驗(yàn)，于是符合二項(xiàng)分布，所以25．（2024·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了解顧客對(duì)五種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度，廠家隨機(jī)選取了2000名顧客進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如表：運(yùn)動(dòng)鞋款式ABCDE回訪顧客（人數(shù)）700350300250400滿意度注：26．滿意度是指：某款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值；27．對(duì)于每位回訪顧客，只調(diào)研一種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度．假設(shè)顧客對(duì)各款式運(yùn)動(dòng)鞋是否滿意相互獨(dú)立，用顧客對(duì)某款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿意度估計(jì)對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿意的概率．(1)從所有的回訪顧客中隨機(jī)抽取1人，求此人是C款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客且對(duì)該款鞋滿意的概率；(2)從A、E兩種款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)其中滿意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用“”和“”分別表示對(duì)A款運(yùn)動(dòng)鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對(duì)B款運(yùn)動(dòng)滿意和不滿意，試比較方差與的大小．（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）由題意知，是款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客且對(duì)該款鞋滿意的人數(shù)為，故從所有的回訪顧客中隨機(jī)抽取1人，此人是C款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客且對(duì)該款鞋滿意的概率是．（2）的取值為0，1，2．設(shè)事件為“從款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中隨機(jī)抽取的1人對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿意”，事件為“從款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪顧客中隨機(jī)抽取的1人對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿意”，且事件與相互獨(dú)立．根據(jù)題意，，．則，，，所以的分布列為：0120.240.520.24的期望是：．（3）都服從兩點(diǎn)分布，，，，，所以.28．（2024·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）為更好利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)開(kāi)展學(xué)習(xí)，推動(dòng)學(xué)習(xí)型單位建設(shè)，某單位組織開(kāi)展“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽．競(jìng)賽設(shè)置6個(gè)不同的題目，參賽人員從中隨機(jī)抽取3個(gè)題目進(jìn)行作答，若所抽取的3個(gè)題目全部作答正確，則進(jìn)入下一輪比賽，否則退出比賽．對(duì)這6個(gè)題目，某科室的甲能正確作答其中的4個(gè)題目，乙能正確作答每個(gè)題目的概率均為，且甲乙對(duì)每個(gè)題目的作答都是相互獨(dú)立的．(1)已知甲乙兩人總共正確作答3個(gè)題目，求甲答對(duì)1道乙答對(duì)2道的概率；(2)如果該科室要在甲乙兩人中選擇一人去參加競(jìng)賽，你認(rèn)為派誰(shuí)去較為合適？說(shuō)明理由．【解析】（1）甲乙兩人總共正確作答3個(gè)題目，包括：甲答對(duì)3道乙答對(duì)0道、甲答對(duì)2道乙答對(duì)1道、甲答對(duì)1道乙答對(duì)2道．甲乙兩人總共正確作答3個(gè)題目的概率為．甲答對(duì)1道題目乙答對(duì)2道題的概率為．所以甲乙兩人總共正確作答3個(gè)題目，甲答對(duì)1道乙答對(duì)2道的概率為；（2）設(shè)甲正確作答題目個(gè)數(shù)為，則可以取值為1，2，3．則，，，的分布列為123，．設(shè)乙正確作答題數(shù)為，則，，．因?yàn)?，所以甲乙兩人?shí)力相當(dāng)，而，甲比乙更穩(wěn)定，因此派甲去較為合適．29．（2024·上?！じ叨？计谀樯钊雽W(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動(dòng)全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)，激發(fā)干事創(chuàng)業(yè)熱情.某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定至少要答對(duì)其中2道才能通過(guò)初試.已知小明只能答對(duì)其中的6道，試求：(1)抽到他能答對(duì)題目數(shù)X的分布及期望；(2)他能通過(guò)初試的概率.【解析】（1）由題意可知，則，，，，所以的分布列如下：.（2）由題意可知當(dāng)與時(shí)，能通過(guò)初試，則30．（2024·江西上饒·高二婺源縣天佑中學(xué)?？计谀┠趁姘暧涗浟俗罱恢蹵口味的面包的銷售情況，如下表所示：A口味星期一二三四五六日銷量/個(gè)16121410181913(1)求最近一周A口味的面包日銷量的中位數(shù)．(2)該面包店店主將在下一周每天都制作n個(gè)A口味的面包，假設(shè)下一周A口味的面包日銷量和被記錄的這一周的日銷量保持一致，每個(gè)面包當(dāng)天賣出可獲利6元，當(dāng)天未售出則將損失5元，從中選一個(gè)，你應(yīng)該選擇哪一個(gè)？說(shuō)明你的理由．【解析】（1）最近一周A口味的面包日銷量按照從小到大的順序排列為10，12，13，14，16，18，19．所以A口味的面包日銷量的中位數(shù)為14．（2）當(dāng)時(shí)，下一周A口味的面包可獲利元．當(dāng)時(shí)，下一周A口味的面包可獲利元．因?yàn)?，所以?yīng)該選.31．（2024·廣東肇慶·高二?？计谀┱憬∈堑谝慌赂呖几母锸》?，取消文理分科，變成必考科目和選考科目．其中必考科目是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，選考科目由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7個(gè)科目中自主選擇其中3個(gè)科目參加等級(jí)性考試．為了調(diào)查學(xué)生對(duì)物理、化學(xué)、生物的選考情況，從鎮(zhèn)海中學(xué)高三在物理、化學(xué)、生物三個(gè)科目中至少選考一科的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)123人數(shù)204040(1)從這100