（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 概率與統(tǒng)計考點整合 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

概率與統(tǒng)計高考定位高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)抽樣方法的選擇、與樣本容量相關(guān)的計算，尤其是分層抽樣中的相關(guān)計算，A級要求．(2)圖表中的直方圖、莖葉圖都可以作為考查點，尤其是直方圖更是考查的熱點，A級要求．(3)特征數(shù)中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差計算都是考查的熱點，B級要求．(4)隨機事件的概率計算，通常以古典概型、幾何概型的形式出現(xiàn)，B級要求．真題感悟1．(2015·江蘇卷)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．解析用a表示1只白球，b表示1只紅球，c1，c2表示2只黃球，從中一次隨機摸出2只球的所有基本事件有如下6種：(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，其中除了(c1，c2)余下的5種均表示取出的兩球顏色不同，故所求概率為eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)2．(2014·江蘇卷)從1，2，3，6這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是________．解析取兩個數(shù)的所有情況有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6種情況．乘積為6的情況有：(1，6)，(2，3)，共2種情況．所求事件的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)3．(2015·江蘇卷)已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,6)(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.答案64．(2014·江蘇卷)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm.解析由頻率分布直方圖可知，抽測的60株樹木中，底部周長小于100cm的株數(shù)為(0.015＋0.025)×10×60＝24.答案24考點整合1．概率問題(1)求某些較復(fù)雜的概率問題時，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的對立事件A的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解；(2)用列舉法把古典概型試驗的基本事件一一列出來，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事件A的概率，這是一個形象、直觀的好辦法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復(fù)，不遺漏；(3)求幾何概型的概率，最關(guān)鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)區(qū)域的測度，這里需要解析幾何的知識，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件．2．統(tǒng)計問題(1)統(tǒng)計主要是對數(shù)據(jù)的處理，為了保證統(tǒng)計的客觀和公正，抽樣是統(tǒng)計的必要和重要環(huán)節(jié)，抽樣的方法有三：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣；(2)用樣本頻率分布來估計總體分布一節(jié)的重點是：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布，難點是：頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用；(3)用莖葉圖優(yōu)點是原有信息不會抹掉，能夠展示數(shù)據(jù)分布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便了．熱點一統(tǒng)計中的命題熱點[微題型1]抽樣方法【例1－1】(1)(2015·湖南卷改編)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示13003456688891411122233445556678150122333若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139，151]上的運動員人數(shù)是________．(2)(2015·北京卷改編)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為________.類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300解析(1)由題意知，將1～35號分成7組，每組5名運動員，落在區(qū)間[139，151]的運動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名．(2)由題意抽樣比為eq\f(320,1600)＝eq\f(1,5)，∴該樣本的老年教師人數(shù)為900×eq\f(1,5)＝180(人)．答案(1)4(2)180探究提高系統(tǒng)抽樣又稱“等距”抽樣，被抽到的各個號碼間隔相同；分層抽樣滿足：各層抽取的比例都等于樣本容量在總體容量中的比例．[微題型2]用樣本估計總體【例1－2】(2015·湖北卷)某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________．解析由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)頻率為0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為：0.6×10000＝6000，故應(yīng)填3，6000.答案(1)3(2)6000探究提高頻率分布直方圖是表達和分析數(shù)據(jù)的重要工具，求解此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握數(shù)與形的相關(guān)轉(zhuǎn)換，注意頻率分布直方圖中每一個小矩形都是等寬的，且寬都等于組距，高是“eq\f(頻率,組距)”．因此，每一個小矩形的面積表示這一組的頻率，所有小矩形的面積之和等于1.【訓(xùn)練1】(1)(2013·江蘇卷)抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓(xùn)練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________．(2)(2014·山東卷改編)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗．所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組．如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為________．解析(1)對于甲，平均成績?yōu)閑q\o(x,\s\up4(－))甲＝eq\f(1,5)(87＋91＋90＋89＋93)＝90，所以方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)(32＋12＋02＋12＋32)＝4；對于乙，平均成績?yōu)閑q\o(x,\s\up4(－))乙＝eq\f(1,5)(89＋90＋91＋88＋92)＝90，所以方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)(12＋02＋12＋22＋22)＝2，由于2<4，所以乙的平均成績穩(wěn)定．(2)全體志愿者共有eq\f(20,0.24＋0.16)＝eq\f(20,0.4)＝50(人)所以第三組有志愿者0.36×1×50＝18(人)∵第三組中沒有療效的有6人，∴有療效的有18－6＝12(人)．答案(1)2(2)12熱點二概率中的命題熱點[微題型1]古典概型【例2－1】(1)(2015·廣東卷改編)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為________．(2)(2013·江蘇卷)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為________．解析(1)5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10種．恰有一件次品的結(jié)果有6種，則其概率為p＝eq\f(6,10)＝0.6.(2)基本事件總數(shù)為N＝7×9＝63，其中m，n都為奇數(shù)的事件個數(shù)為M＝4×5＝20，所以所求概率p＝eq\f(M,N)＝eq\f(20,63).答案(1)0.6(2)eq\f(20,63)探究提高求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇．[微題型2]幾何概型【例2－2】(2015·陜西卷改編)設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為________．解析由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足y≥x的部分為如圖陰影所示，由幾何概型概率公式可得所求概率為：p＝eq\f(\f(1,4)π×12－\f(1,2)×12,π×12)＝eq\f(\f(π,4)－\f(1,2),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).答案eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)探究提高幾何概型的概率求解，一般要將問題轉(zhuǎn)化為長度、面積或體積等幾何問題．在轉(zhuǎn)化中，面積問題的求解常常用到線性規(guī)劃知識，也就是用二元一次不等式(或其他簡單不等式)組表示區(qū)域．幾何概型的試驗中事件A的概率P(A)只與其所表示的區(qū)域的幾何度量(長度、面積或體積)有關(guān)，而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān)．【訓(xùn)練2】(1)(2014·新課標(biāo)全國Ⅱ卷)甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為________．(2)(2012·江蘇卷)現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，－3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是________．(3)設(shè)a，b是區(qū)間[0，3]上的兩個隨機數(shù)，則直線ax＋by＋3＝0與圓x2＋y2＝1沒有公共點的概率是________．解析(1)甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種的所有可能情況為(紅，白)，(白，紅)，(紅，藍)，(藍，紅)，(白，藍)，(藍，白)，(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共9種，他們選擇相同顏色運動服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，(藍，藍)，共3種．故所求概率為p＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).(2)滿足條件的數(shù)有1，－3，－33，－35，－37，－39；所以p＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(3)由題意知：eq\f(3,\r(a2＋b2))＞1，即a2＋b2＜9，如圖，則直線ax＋by＋3＝0與圓x2＋y2＝1沒有公共點的概率為p＝eq\f(\f(1,4)×π×9,3×3)＝eq\f(π,4).答案(1)eq\f(1,3)(2)eq\f(3,5)(3)eq\f(π,4)1．幾何概型與古典概型的異同：幾何概型與古典概型是經(jīng)常用的兩種概率模型，二者的共同點是基本事件是等可能的；不同點是幾何概型的基本事件數(shù)是無限的，古典概型的基本事件數(shù)是有限的．2．在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)的頻率，各小長方形的面積的和為1.3．眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的異同：眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量．4．當(dāng)總體的個體數(shù)較少時，可直接分析總體取值的頻率分布規(guī)律而得到總體分布；當(dāng)總體容量很大時，通常從總體中抽取一個樣本，分析它的頻率分布，以此估計總體分布．①總體期望的估計，計算樣本平均值eq\o(x,\s\up4(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi.②總體方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的估計：方差＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up4(－)))2，標(biāo)準(zhǔn)差＝eq\r(方差)，方差(標(biāo)準(zhǔn)差)較小者較穩(wěn)定.1．(2015·湖北卷改編)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為________石(取整數(shù))．解析因為樣本中米內(nèi)夾谷的比為eq\f(28,254)，所以這批米內(nèi)夾谷為1534×eq\f(28,254)≈169(石)．答案1692．(2012·江蘇卷)某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取________名學(xué)生．解析由已知，高二人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,10)，所以抽取人數(shù)為eq\f(3,10)×50＝15.答案153．(2014·浙江卷)在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是________．解析設(shè)3張獎券中一等獎、二等獎和無獎分別為a，b，c，甲、乙兩人各抽取1張的所有情況有ab，ac，ba，bc，ca，cb，共6種，其中兩人都中獎的情況有ab，ba，共2種，所以所求概率為eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)4．(2015·南通調(diào)研)某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月1日9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．已知9時至10時的銷售額為3萬元，則11時至12時的銷售額為________萬元．解析由頻率分布直方圖知，9時至10時的銷售額的頻率為0.1，故銷售總額為eq\f(3,0.1)＝30(萬元)，又11時至12時的銷售額的頻率為0.4，故銷售額為0.4×30＝12(萬元)．答案125．利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為________．解析因為0≤a≤1，由3a－1>0得eq\f(1,3)<a≤1，由幾何概型概率公式得事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為eq\f(1－\f(1,3),1)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)6．(2015·廣東卷)已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值eq\o(x,\s\up4(－))＝5，則樣本數(shù)據(jù)2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值為________．解析由x1，x2，…，xn的均值eq\o(x,\s\up4(－))＝5，得2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值為2x＋1＝2×5＋1＝11.答案117．(2015·重慶卷改編)重慶市2013年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：0891258200338312則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________．解析從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中間兩個數(shù)為20，20，故中位數(shù)為20.答案208．(2015·蘇北四市模擬)袋中裝有大小相同且形狀一樣的四個球，四個球上分別標(biāo)有“2”、“3”、“4”、“6”這四個數(shù)．現(xiàn)從中隨機選取三個球，則所選的三個球上的數(shù)恰好能構(gòu)成一個等差數(shù)列的概率是________．解析總的取法是4組，能構(gòu)成等差數(shù)列的有{2，3，4}，{2，4，6}2組；故所求概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)9．(2015·福建卷改編)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標(biāo)為(1，0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0))的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于________．解析由圖形知C(1，2)，D(－2，2)，∴S四邊形ABCD＝6，S陰＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).∴P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)10．(2015·廣州模擬)從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如圖所示．由圖中數(shù)據(jù)可知a＝________.若要從身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________．解析由所有小矩形的面積之和為1，得(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，解得a＝0.030.設(shè)身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三組中分別抽取的人數(shù)為n1，n2，n3，則n1∶n2∶n3＝0.3∶0.2∶0.1＝3∶2∶1，又n1＋n2＋n3＝18，所以n3＝18×eq\f(1,3＋2＋1)＝3.答案0.030311．(2014·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為________．解析設(shè)2本數(shù)學(xué)書分別為A、B，語文書為C，則所有的排放順序有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6種情況，其