高等教育數(shù)學同濟第六版(上冊)期末復習重點

./第一章：1、極限〔夾逼準則

2、連續(xù)〔學會用定義證明一個函數(shù)連續(xù),判斷間斷點類型

第二章：1、導數(shù)〔學會用定義證明一個函數(shù)是否可導

注：連續(xù)不一定可導,可導一定連續(xù)

2、求導法則〔背

3、求導公式

也可以是微分公式

第三章：1、微分中值定理〔一定要熟悉并靈活運用--第一節(jié)

2、洛必達法則

3、泰勒公式

拉格朗日中值定理

4、曲線凹凸性、極值〔高中學過,不需要過多復習

5、曲率公式

曲率半徑

第四章、第五章：積分

不定積分：1、兩類換元法

2、分部積分法〔注意加C

定積分：1、定義

2、反常積分

第六章：

定積分的應用

主要有幾類：極坐標、求做功、求面積、求體積、求弧長

第七章：向量問題不會有很難

1、方向余弦2、向量積3、空間直線〔兩直線的夾角、線面夾角、求直線方程

3、空間平面

4、空間旋轉(zhuǎn)面〔柱面第一章

函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f<x>≥K1則函數(shù)f<x>在定義域上有下界,K1為下界；如果有f<x>≤K2,則有上界,K2稱為上界。函數(shù)f<x>在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

2、數(shù)列的極限定理<極限的唯一性>數(shù)列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。

定理<收斂數(shù)列的有界性>如果數(shù)列{xn}收斂,那么數(shù)列{xn}一定有界。

如果數(shù)列{xn}無界,那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散；但如果數(shù)列{xn}有界,卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂,例如數(shù)列1,-1,1,-1,<-1>n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散,所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理<收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關系>如果數(shù)列{xn}收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的,如數(shù)列1,-1,1,-1,<-1>n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1,{xnk}收斂于-1,{xn}卻是發(fā)散的；同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0時f<x>有沒有極限與f<x>在點x0有沒有定義無關。

定理<極限的局部保號性>如果lim<x→x0>時f<x>=A,而且A>0<或A<0>,就存在著點那么x0的某一去心鄰域,當x在該鄰域內(nèi)時就有f<x>>0<或f<x>>0>,反之也成立。

函數(shù)f<x>當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等,即f<x0-0>=f<x0+0>,若不相等則limf<x>不存在。

一般的說,如果lim<x→∞>f<x>=c,則直線y=c是函數(shù)y=f<x>的圖形水平漸近線。如果lim<x→x0>f<x>=∞,則直線x=x0是函數(shù)y=f<x>圖形的鉛直漸近線。

4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮?。挥薪绾瘮?shù)與無窮小的乘積是無窮?。怀?shù)與無窮小的乘積是無窮??；有限個無窮小的乘積也是無窮??；定理如果F1<x>≥F2<x>,而limF1<x>=a,limF2<x>=b,那么a≥b.

5、極限存在準則兩個重要極限lim<x→0><sinx/x>=1；lim<x→∞><1+1/x>x=1.夾逼準則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對于函數(shù)該準則也成立。

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設函數(shù)y=f<x>在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)f<x>當x→x0時的極限存在,且等于它在點x0處的函數(shù)值f<x0>,即lim<x→x0>f<x>=f<x0>,那么就稱函數(shù)f<x>在點x0處連續(xù)。

不連續(xù)情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim<x→x0>f<x>不存在；3、雖在x=x0有定義且lim<x→x0>f<x>存在,但lim<x→x0>f<x>≠f<x0>時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f<x>的間斷點,但左極限及右極限都存在,則稱x0為函數(shù)f<x>的第一類間斷點<左右極限相等者稱可去間斷點,不相等者稱為跳躍間斷點>。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點<無窮間斷點和震蕩間斷點>。

定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商<分母不為0>是個在該點連續(xù)的函數(shù)。

定理如果函數(shù)f<x>在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù),那么它的反函數(shù)x=f<y>在對應的區(qū)間Iy={y|y=f<x>,x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

定理<最大值最小值定理>在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點,那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理<有界性定理>在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,即m≤f<x>≤M.定理<零點定理>設函數(shù)f<x>在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f<a>與f<b>異號<即f<a>×f<b><0>,那么在開區(qū)間<a,b>內(nèi)至少有函數(shù)f<x>的一個零點,即至少有一點ξ<a<ξ<b。

推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

第二章

導數(shù)與微分

1、導數(shù)存在的充分必要條件函數(shù)f<x>在點x0處可導的充分必要條件是在點x0處的左極限lim<h→-0>[f<x0+h>-f<x0>]/h及右極限lim<h→+0>[f<x0+h>-f<x0>]/h都存在且相等,即左導數(shù)f-′<x0>右導數(shù)f+′<x0>存在相等。

2、函數(shù)f<x>在點x0處可導=>函數(shù)在該點處連續(xù)；函數(shù)f<x>在點x0處連續(xù)≠>在該點可導。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導的必要條件而不是充分條件。

3、原函數(shù)可導則反函數(shù)也可導,且反函數(shù)的導數(shù)是原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。

4、函數(shù)f<x>在點x0處可微=>函數(shù)在該點處可導；函數(shù)f<x>在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導。

第三章

中值定理與導數(shù)的應用

1、定理<羅爾定理>如果函數(shù)f<x>在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間<a,b>內(nèi)可導,且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等,即f<a>=f<b>,那么在開區(qū)間<a,b>內(nèi)至少有一點ξ<a<ξ<b,使的函數(shù)f〔x在該點的導數(shù)等于零：f’〔ξ=

0.

2、定理<拉格朗日中值定理>如果函數(shù)f<x>在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間<a,b>內(nèi)可導,那么在開區(qū)間<a,b>內(nèi)至少有一點ξ<a<ξ<b,使的等式f〔b-f〔a=

f’〔ξ〔b-a成立即f’〔ξ=

[f〔b-f〔a]/〔b-a。

3、定理<柯西中值定理>如果函數(shù)f<x>及F<x>在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間<a,b>內(nèi)可導,且F’<x>在<a,b>內(nèi)的每一點處均不為零,那么在開區(qū)間<a,b>內(nèi)至少有一點ξ,使的等式[f<b>-f<a>]/[F<b>-F<a>]=f’<ξ>/F’<ξ>成立。

4、洛必達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞

0等形式。

5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設函數(shù)f<x>在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間<a,b>內(nèi)可導,那么：<1>如果在<a,b>內(nèi)f’<x>>0,那么函數(shù)f<x>在[a,b]上單調(diào)增加；<2>如果在<a,b>內(nèi)f’<x><0,那么函數(shù)f<x>在[a,b]上單調(diào)減少。

如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個導數(shù)不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù),那么只要用方程f’<x>=0的根及f’<x>不存在的點來劃分函數(shù)f<x>的定義區(qū)間,就能保證f’<x>在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號,因而函數(shù)f<x>在每個部分區(qū)間上單調(diào)。

6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f<x>在區(qū)間<a,b>內(nèi)有定義,x0是<a,b>內(nèi)的一個點,如果存在著點x0的一個去心鄰域,對于這去心鄰域內(nèi)的任何點x,f<x>f<x0>均成立,就稱f<x0>是函數(shù)f<x>的一個極小值。

在函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的,但曲線上有水平曲線的地方,函數(shù)不一定取得極值,即可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點<導數(shù)為0的點>,但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。

定理<函數(shù)取得極值的必要條件>設函數(shù)f<x>在x0處可導,且在x0處取得極值,那么函數(shù)在x0的導數(shù)為零,即f’<x0>=0.定理<函數(shù)取得極值的第一種充分條件>設函數(shù)f<x>在x0一個鄰域內(nèi)可導,且f’<x0>=0,那么：<1>如果當x取x0左側(cè)臨近的值時,f’<x>恒為正；當x去x0右側(cè)臨近的值時,f’<x>恒為負,那么函數(shù)f<x>在x0處取得極大值；<2>如果當x取x0左側(cè)臨近的值時,f’<x>恒為負；當x去x0右側(cè)臨近的值時,f’<x>恒為正,那么函數(shù)f<x>在x0處取得極小值；<3>如果當x取x0左右兩側(cè)臨近的值時,f’<x>恒為正或恒為負,那么函數(shù)f<x>在x0處沒有極值。

定理<函數(shù)取得極值的第二種充分條件>設函數(shù)f<x>在x0處具有二階導數(shù)且f’<x0>=0,f’’<x0>≠0那么：<1>當f’’<x0><0時,函數(shù)f<x>在x0處取得極大值；<2>當f’’<x0>>0時,函數(shù)f<x>在x0處取得極小值；駐點有可能是極值點,不是駐點也有可能是極值點。

7、函數(shù)的凹凸性及其判定設f<x>在區(qū)間Ix上連續(xù),如果對任意兩點x1,x2恒有f[<x1+x2>/2]<[f<x1>+f<x1>]/2,那么稱f<x>在區(qū)間Ix上圖形是凹的；如果恒有f[<x1+x2>/2]>[f<x1>+f<x1>]/2,那么稱f<x>在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

定理設函數(shù)f<x>在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間<a,b>內(nèi)具有一階和二階導數(shù),那么<1>若在<a,b>內(nèi)f’’<x>>0,則f<x>在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凹的；<2>若在<a,b>內(nèi)f’’<x><0,則f<x>在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凸的。

判斷曲線拐點<凹凸分界點>的步驟<1>求出f’’<x>；<2>令f’’<x>=0,解出這方程在區(qū)間<a,b>內(nèi)的實根；<3>對于<2>中解出的每一個實根x0,檢查f’’<x>在x0左右兩側(cè)鄰近的符號,如果f’’<x>在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號,那么當兩側(cè)的符號相反時,點<x0,f<x0>>是拐點,當兩側(cè)的符號相同時,點<x0,f<x0>>不是拐點。

在做函數(shù)圖形的時候,如果函數(shù)有間斷點或?qū)?shù)不存在的點,這些點也要作為分點。第四章

不定積分

1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f<x>在區(qū)間I上連續(xù),那么在區(qū)間I上存在可導函數(shù)F<x>,使對任一x∈I都有F’<x>=f<x>；簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分法,并設冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u,這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,就可設對數(shù)和反三角函數(shù)為u.

2、對于初等函數(shù)來說,在其定義區(qū)間上,它的原函數(shù)一定存在,但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

第五章

定積分

1、定積分解決的典型問題<1>曲邊梯形的面積<2>變速直線運動的路程

2、函數(shù)可積的充分條件定理設f<x>在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f<x>在區(qū)間[a,b]上可積,即連續(xù)=>可積。

定理設f<x>在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個間斷點,則f<x>在區(qū)間[a,b]上可積。

3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f<x>≥0則∫abf<x>dx≥0.推論如果在區(qū)間[a,b]上f<x>≤g<x>則∫abf<x>dx≤∫abg<x>dx.推論|∫abf<x>dx|≤∫ab|f<x>|dx.性質(zhì)設M及m分別是函數(shù)f<x>在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值,則m<b-a>≤∫abf<x>dx≤M<b-a>,該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

性質(zhì)<定積分中值定理>如果函數(shù)f<x>在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點ξ,使下式成立：∫abf<x>dx=f<ξ><b-a>。

4、關于廣義積分設函數(shù)f<x>在區(qū)間[a,b]上除點c<a<c<b外連續(xù),而在點c的鄰域內(nèi)無界,如果兩個廣義積分∫acf〔xdx與∫cbf〔xdx都收斂,則定義∫abf〔xdx=∫acf〔xdx+∫cbf〔xdx,否則〔只要其中一個發(fā)散就稱廣義積分∫abf〔xdx發(fā)散。

第六章

定積分的應用

求平面圖形的面積<曲線圍成的面積>

直角坐標系下<含參數(shù)與不含參數(shù)>

極坐標系下<r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ><扇形面積公式S=R2θ/2>

旋轉(zhuǎn)體體積<由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉(zhuǎn)而成><且體積V=∫abπ[f<x>]2dx,其中f<x>指曲線的方程>

平行截面面積為已知的立體體積<V=∫abA<x>dx,其中A<x>為截面面積>

功、水壓力、引力

函數(shù)的平均值<平均值y=1/<b-a>*∫abf<x>dx>

第七章

多元函數(shù)微分法及其應用

1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P<x,y>以任何方式趨于P0<x0,y0>時,函數(shù)都無限接近于A,如果P<x,y>以某一特殊方式,例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0<x0,y0>時,即使函數(shù)無限接近某一確定值,我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來,如果當P<x,y>以不同方式趨于P0<x0,y0>時,函數(shù)趨于不同的值,那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f<x,y>={0<xy>/<x^2+y^2>x^2+y^2≠0

2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設函數(shù)f<x,y>在開區(qū)域<或閉區(qū)域>D內(nèi)有定義,P0<x0,y0>是D的內(nèi)點或邊界點且P0∈D,如果lim<x→x0,y→y0>f<x,y>=f<x0,y0>則稱f<x,y>在點P0<x0,y0>連續(xù)。

性質(zhì)<最大值和最小值定理>在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上一定有最大值和最小值。

性質(zhì)<介值定理>在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值,則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。

3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導如果一元函數(shù)在某點具有導數(shù),則它在該點必定連續(xù),但對于多元函數(shù)來說,即使各偏導數(shù)在某點都存在,也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。這是因為各偏導數(shù)存在只能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于P0時,函數(shù)值f<P>趨于f<P0>,但不能保證點P按任何方式趨于P0時,函數(shù)值f<P>都趨于f<P0>。

4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在是微分存在的充分必要條件,但多元函數(shù)各偏導數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件,即可微=>可偏導。

5、多元函數(shù)可微的充分條件定理<充分條件>如果函數(shù)z=f<x,y>的偏導數(shù)存在且在點<x,y>連續(xù),則函數(shù)在該點可微分。

6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理<必要條件>設函數(shù)z=f<x,y>在點<x0,y0>具有偏導數(shù),且在點<x0,y0>處有極值,則它在該點的偏導數(shù)必為零。

定理<充分條件>設函數(shù)z=f<x,y>在點<x0,y0>的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù),又fx<x0,y0>=0,fy<x0,y0>=0,令fxx<x0,y0>=0=A,fxy<x0,y0>=B,fyy<x0,y0>=C,則f<x,y>在點<x0,y0>處是否取得極值的條件如下：<1>AC-B2>0時具有極值,且當A<0時有極大值,當A>0時有極小值；<2>AC-B2<0時沒有極值；<3>AC-B2=0時可能有也可能沒有。

7、多元函數(shù)極值存在的解法<1>解方程組fx<x,y>=0,fy<x,y>=0求的一切實數(shù)解,即可求得一切駐點。

<2>對于每一個駐點<x0,y0>,求出二階偏導數(shù)的值A、B、C.<3>定出AC-B2的符號,按充分條件進行判定f<x0,y0>是否是極大值、極小值。

注意：在考慮函數(shù)的極值問題時,除了考慮函數(shù)的駐點外,如果有偏導數(shù)不存在的點,那么對這些點也應當考慮在內(nèi)。

第八章

二重積分

1、二重積分的一些應用曲頂柱體的體積曲面的面積<A=∫∫√[1+f2x<x,y>+f2y<x,y>]dσ>

平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標<x=1/A∫∫xdσ,y=1/A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ為閉區(qū)域D的面積。

平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量<Ix=∫∫y2ρ<x,y>dσ,Iy=∫∫x2ρ<x,y>dσ；其中ρ<x,y>為在點<x,y>處的密度。

平面薄片對質(zhì)點的引力<FxFyFz>

2、二重積分存在的條件當f<x,y>在閉區(qū)域D上連續(xù)時,極限存在,故函數(shù)f<x,y>在D上的