高考數(shù)學（文）精準備考一輪全國通用版講義選修4-4坐標系與參數(shù)方程

選修I坐標系與參數(shù)方程

□課前?回扣教材

［過雙基］

1.平面直角坐標系中的坐標伸縮變換

設(shè)點P（X,y）是平面直角坐標系中的任意一點，在變換

［χ'=x?x7>.>0?,

φ:,C、二的作用下，點P（x,y）對應(yīng)到點P'（x'，y'）,稱夕為平面直角坐標系中的

U，=w?y?//>0?

坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.

2.極坐標系的概念

（1）極坐標系

M(PiO)

如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點；自極點。引一條射線Ox,叫做極軸；再選定一個長

度單位、一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標系.

（2）極坐標

①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點。與點M的距離I。MI叫做點M的極徑，記為p?

②極角：以極軸OX為始邊，射線。M為終邊的角XoM叫做點M的極角，記為〃.

③極坐標：有序數(shù)對S，0）叫做點M的極坐標，記作M（0，θ）.

3.極坐標與直角坐標的互化

設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是（x,y）,極坐標是（p,〃），則它們之間的關(guān)系為：

X=PCOSF=疝，

v=psinθ?1tan"=px≠O?.

4.常見曲線的極坐標方程

圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標方程一_________4=r(0≤火2冗)__________

圓心為（r,9,半徑為r的圓的極坐標方程

p=2rsin^(0≤^<π)

過極點，傾斜角為”的直線的極坐標方程一8="S∈R)或4=ττ+r(p∈R)

pcos〃=〃(一］V0考

過點（4,0）,與極軸垂直的直線的極坐標方程

過點M，D，與極軸平行的直線的極坐標方程

〃Sinθ=a(Q<θ<π)

［小題速通］

1.點P的直角坐標為（I,一√5）,則點尸的極坐標為.

解析：因為點P（l,一5）在第四象限，與原點的距離為2,且。尸與X軸所成的角為一去所以點尸

π

的極坐標為（一-

2,3

π

答案：（2,_3

2.在極坐標系中，圓∕）=2cos”的垂直于極軸的兩條切線方程分別為.

解析：把圓p=2cosθ的方程化為（X—lp+y2=ι知，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為χ=（）和

X=I,從而得這兩條切線的極坐標方程為〃=WSeR）和PCOS〃=2.

1u

答案：6=/SWR)和PCOS6=2

3.(2017?北京高考)在極坐標系中，點A在圓p2-20cos，-4psin8+4=0上，點尸的坐標為(1,0),則

IAPl的最小值為.

解析：將圓的極坐標方程化為直角坐標方程為/+V-2χ-4y+4=0,即(X-1)2+(J-2)2=1,圓心為

(1,2),半徑r=LEI為點P(l,0)到圓心的距離為=，?1-1?2+?0—2?2=2>1,所以點尸在圓外，所以IAPI的

最小值為d-r=2~?=?.

答案：1

4.(2017?天漳而者)在極坐標系中，直線4pcos0-g+l=O與圓p=2sinθ的公共點的個數(shù)為

解析：依題意，得4°G^cos，+TSina+1=0,

即2［5pcosa+2∕>sin0+1=0,

所以直線的直角坐標方程為2√5x+2y+l=0.

由p=2sinθ,得p2=2ρsmθ,

所以圓的直角坐標方程為x2+y2=2y,

即x2+(y-l)2=l,

其圓心(0,1)到直線2√lr+2y+l=0的距離

d=J2XJ+1∣則直線與圓相交，

√72√372+224

故直線與圓的公共點的個數(shù)是2.

答案：2

5.在極坐標系中，過點A(L—今引圓〃=8sin”的一條切線，則切線長為.

解析：點A(l,一學的極坐標化為直角坐標為A(0,-1),

圓〃=8Sin，的直角坐標方程為x2+j2-8j=0,

圓的標準方程為χ2+(j-4)2=16,

點A與圓心C(0,4)的距離為IACl=5,

所以切線長為NiACJ-r2=3.

答案：3

［清易錯］

1.極坐標方程與直角坐標方程的互化易錯用互化公式.在解決此類問題時考生要注意兩個方面：一

是準確應(yīng)用公式，二是注意方程中的限制條件.

2.在極坐標系下，點的極坐標不唯一性易忽視.

注意極坐標S，60S，，+2Aτr)(A∈Z),(-p,π+"+2Aπ)(A∈Z)表示同一點的坐標.

1.若圓C的極坐標方程為獷-Wcos(O-W)-I=O,若以極點為原點，以極軸為X軸的正半軸建立相

應(yīng)的平面直角坐標系xθy,則在直角坐標系中，圓心C的直角坐標是________.

解析：因為p2—4〃cos(，一；)-1=0,所以〃2—2pcos25PSin，一1=0,？px2+y2-2x~2-?∣3y-l

=0,因此圓心坐標為(1,√3).

答案：(1,√3)

2.圓p=5cos5√3sinθ的圓心的極坐標為.

解析：將方程"=5cos〃一55SiIl〃兩邊都乘以〃得：

"2=5PCOS。-5小PSilIO9

化成直角坐標方程為x2÷j2-5x÷5^∕3j=0.

圓心的坐標為修，一唱)，

化成極坐標為(5,爭).

答案：6,竽)(答案不唯一)

□課堂?研究高考

平面直角坐標系下圖形的伸縮變換

x'=3x,/1、

［典例］(1)在同一平面直角坐標系中，已知伸縮變換伊by，=y求點AG，-2)經(jīng)過夕變換所得

的點A'的坐標.

x'=3x,

(2)求直線/：y=6x經(jīng)過伊、，變換后所得到的直線/'的方程.

I2y=y,

X’≡3χ

［解］⑴設(shè)A'(x',y'),由伸縮變換夕：,'

⑵=y,

X1=3x,

得到由于點4的坐標為弓，-2

于是x'=3×j=l,y,=∣×(-2)=-1,

ΛA,(1,一1)為所求.

⑵設(shè)直線〃上任意一點P'(/,y,),

X==X'，

由上述可知，將,3代入y=6χ得

y=2y'

2y'=6×=x,,即J=X為所求.

［方法技巧］

伸縮變換的解題方法

X

X=—

?x'=ΛX72>0?,

平面上的曲線y=∕(x)在變換φ:l的作用下得到的方程的求法是將《代入

Ly=MJ7M>0?y

JJV=—

y=Λχ),整理之后得到y(tǒng)'=h(x'),即為所求變換之后的方程.

［即時演練］

1.求橢圓Y+y2=l,經(jīng)過伸縮變換?X-2*’后的曲線方程.

j，=y

?'=lx,［x=2x',

2得，①

，=yy?

將①代入t點+y2=l,得—+y'2=1,即x'2+y，2=ι.

22

因此橢圓f+y=1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x+y=l.

,

x=2x,的作用下得到曲線的方程為V=3Sin(X+3,

2.若函數(shù)y=∕(x)的圖象在伸縮變換伊

y,=3/

求函數(shù)y=√(x)的最小正周期.

解：由題意，把變換公式代入曲線

y,=3Sin+§得3y=3sin

整理得y=sin(2x+］,故｛X)=SilI(2x+］.

所以y=∕U)的最小正周期為學=兀.

I極坐標與直角坐標的互化

［典例］在平面直角坐標系xθy中，以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系.直線/的

極坐標方程為OSilIq—〃)=乎，直線與曲線C：必in2θ=8cos〃相交于不同的兩點A,B,求IABI的值.

［解］Z:PSiIl停一。)=乎?COS〃一嘩psin〃=#?%—y—1=0,C的直角坐標方程是y2=8χ.

X6T/乙乙乙乙

∫j2=8x,

由

1Ix-J-I=O,

可得χ2-10χ+l=0,

設(shè)A(X1,Jl),8(X2,J2),則Xl+*2=10,XlX2=1,

所以A3的長為?√1+1?√1伊-4=8√1

［方法技巧］

1.極坐標與直角坐標互化公式的3個前提條件

(1)取直角坐標系的原點為極點.

(2)以X軸的非負半軸為極軸.

(3)兩種坐標系規(guī)定相同的長度單位.

2.直角坐標化為極坐標的注意點

(1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角。的表示方法具有周期性，故點M的極坐標S,0)的形式不唯一，

即一個點的極坐標有無窮多個.

當限定p20,0∈［0,2π)時，除極點外，點M的極坐標是唯一的.

(2)當把點的直角坐標化為極坐標時，求極角，應(yīng)注意判斷點M所在的象限(即角，的終邊的位置)，

以便正確地求出角6>∈［0,2ττ)的值.

呷時演練］

在直角坐標系XOy中，以O(shè)為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C的極坐標方程為

PCoS(〃-W)=I(O≤"<2τt),M,N分別為C與X軸，y軸的交點.

(1)寫出C的直角坐標方程，并求M,N的極坐標；

(2)設(shè)MN的中點為P,求直線。尸的極坐標方程.

解：(1)由PCOS(O—W)=l,得OGCoS〃+坐sin")=1.

1?/?

從而C的直角坐標方程為尹+學y=l,

即x+y∣3y-，2=0.

當〃=0時，p=2,所以M(2,0).

當〃=押，P=乎，所以Nθ乎，。

(2)"點的直角坐標為Q,0).

N點的直角坐標為(θ,斗

所以尸點的直角坐標為(1,唱,

則P點的極坐標為C坐，力.

所以直線。尸的極坐標方程為〃弋(p∈R).

極坐標方程的應(yīng)用

LLfx=?6cosφ,

［典例］已知曲線G：x+√3y=√5和C2：Tr"為參數(shù)).以原點。為極點，X軸的正半

j=?2sinφ

軸為極軸建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.

(1)把曲線G和C2的方程化為極坐標方程；

(2)設(shè)G與X,y軸交于M,N兩點，且線段MN的中點為P.若射線。尸與G,G交于尸，。兩點，

求P,Q兩點間的距離.

［解］⑴G：PSin(O+§=乎，Cu

(2)?.?Λf(√3,0),MO,1),

，港,9.

二0P的極坐標方程為0=~,

把'=黑入PSin(O+§=乎得pι=l,《1,.

把，=熱入〃=4右而得p2=2,42,5

???∣PQI=∕2—PlI=1,即P,。兩點間的距離為1.

［方法技巧］

曲線的極坐標方程的求解策略

在已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，或用極坐

標解決較麻煩，可將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程解決.

-［即時演練］

在直角坐標系Xoy中，圓C的普通方程為(X-1)2+V=1.以0為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極

坐標系.

(1)求圓C的極坐標方程；

(2)直線/的極坐標方程是"(sin"+√5cosO)=3√5,射線。M：O=W與圓C的交點為。，P,與直線/

的交點為Q,求線段尸。的長.

解：(1)因為圓C的普通方程為(X—1)2+V=1,

又X=PCoSΘ,j=psinθ9

所以圓。的極坐標方程是〃=2CoS0.

(2)設(shè)Si,a)為點尸的極坐標，

pι=2cosθι9/PI=1,

Cπ解得Lπ

{仇=?［仇=亍

設(shè)。2,〃2)為點。的極坐標，

］〃2?Sin&+小COS，2?=35,〃2=3,

則有《π解得Lπ

由于仇=。2,所以∣PQ∣=∕I-P2∣=2,即線段PQ的長為2.

課堂真題集中演練

把脈命題規(guī)律和趨勢

1.(2017?全國裳U)在直角坐標系XOy中，以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲

線G的極坐標方程為PCoS9=4.

(I)M為曲線G上的動點，點P在線段OM上，且滿足IoMHoPI=16,求點P的軌跡。2的直角坐標

方程；

(2)設(shè)點A的極坐標為(2,學，點8在曲線C2上，求aOAB面積的最大值.

解：(1)設(shè)P的極坐標為(〃，O)S>0),M的極坐標為Si,O)Sl>0).

由題設(shè)知IoPl=P,∣0MI=PI=

由|。MHoPl=16,得C2的極坐標方程'=4cos"S>0).

因此。2的直角坐標方程為(X-2)2+V=4(X≠0).

(2)設(shè)點B的極坐標為S",α)S">O),

由題設(shè)知∣QA∣=2,pβ=4cosa9于是aOAS的面積

1(πλ

S=習OAMirSinNAo5=4COSα?sinla-?I

=2卜加(2a一［_乎|≤2+√3.

當〃=一強時，S取得最大值2+小.

JL4

所以AOAB面積的最大值為2+√l

2.(2015?全國卷I)在直角坐標系Xoy中，直線G：x=-2,圓C2：(*—1)2+。-2)2=1,以坐標原

點為極點，工軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求Cl,C2的極坐標方程；

(2)若直線C3的極坐標方程為，=f(0GR),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求AC2AZN的面積.

解：(1)因為X=PCos仇y=psin劣

所以Ci的極坐標方程為"cosθ=-2,

Ci的極坐標方程為P2—2PCCS，一4"Sin〃+4=0.

⑵將代入p2-2pcos，-4"Sill"+4=(),得

P2-3√2p+4=0,解得p］=2√i,p2=6.

故Pi-P2=√i,即“v∣=√i

由于C2的半徑為1,所以ACzMN的面積為提

3.(2016?北京高考改編)在極坐標系中，直線〃cos〃一［5psin，-1=0與圓0=2cos，交于A,8兩點，

求∣A5∣.

解：?'x=ρcosθ,j=psinθ,

直線的直角坐標方程為χ-√3j-l=0.

,.,ρ=2cosθ,

：.p2(sin2<7+cos2<7)=2pcos0,

Λx2+j2=2x.

.?.圓的直角坐標方程為(χ-l)2+y2=ι.

V圓心(1,0)在直線χ-√3j-l=0上，

.?.45為圓的直徑，Λ∣AB∣=2.

Tr

4.(2015?安徽高考改編)在極坐標系中，求圓p=8sin。上的點到直線〃=jS∈R)距離的最大值.

解：圓p=8sinθ即"2=8PSinΘ,

化為直角坐標方程為x2+(y-4)2=16,

直線〃=1即1an0=y∣39

化為直角坐標方程為巾χ-y=O,

圓心(0,4)到直線的距離為,=2,

所以圓上的點到直線距離的最大值為2+4=6.

5.(2015?北京高考改編)在極坐標系中，求點(2,T)到直線P(COsa+√5sinθ)=6的距離.

解：點(2,§的直角坐標為(1,√3),

直線P(COSθ+yβsin。)=6的直角坐標方程為x+√3j-6=0.

∣1+*X√5二6|_2

所以點(1,√5)到直線的距離d=

√l2+7√3?2寸

□高考達標檢測

1.在極坐標系中，直線P(Sin〃一COSo)=α與曲線〃=2cos。-4sin〃相交于4,〃兩點，若|/13=25,

求實數(shù)α的值.

解：直線的極坐標方程化為直角坐標方程為χ-y+α=0,

曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為(X-1)2+(J+2)2=5,

所以圓心C的坐標為(1,-2),半徑r=√?,

所以圓心C到直線的距離為

煤=爐嚼i,

解得〃=—5或Q=—1.

故實數(shù)a的值為一5或一L

2.在極坐標系中，求直線"cos(e+g=l與圓p=4sin6的交點的極坐標.

解：〃COS(O+§=1化為直角坐標方程為5x—y=2,

即y=√5χ-2.

p=4sin夕可化為X2+J2=4J,

22

把y=yβχ-2代入x+y=4y9

得4χ2-8√lr+12=0,

即x2-2√3x+3=0,

所以X=6，j=l.

所以直線與圓的交點坐標為(√5,1),

化為極坐標為(2,

3.(2018?長春模擬)已知圓O]和圓。2的極坐標方程分別為〃=2,"2-2@cos(6—J)=2.

⑴把圓。和圓。2的極坐標方程化為直角坐標方程;

⑵求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程.

解：(1)由〃=2知/)2=4,所以χ2+y2=4;

因為p2—2y∣2pcos[θ-^=2,

所以P2—(COS^cos^+sinOsin^=2,

所以x2+y2-2x~2y-2=0.

(2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x+y=l.

化為極坐標方程為PCOSθ+ρsin。=1,

即PSin(O+3=乎.

x=2+λ∕5cosa

4.已知曲線C的參數(shù)方程為1廠9(α為參數(shù))，以原點O為極點，X軸正半軸為極軸建

j=l+?5sina

立極坐標系.

(1)求曲線C的極坐標方程；

TrTr

(2)設(shè)/1：θ--2,laθ=%,若八，七與曲線C相交于異于原點的兩點A,B,求AAOB的面積.

O?

x=2+?5cosa

解：⑴?.?曲線C的參數(shù)方程為，9(ɑ為參數(shù))，

j=l+?5sina

.?.曲線C的普通方程為(X-2)2+U-1)2=5,

fx=PCOSθ9

將彳代入并化簡得〃=4COS〃+2SilIO9

Ly=ρsinθ,

即曲線C的極坐標方程為〃=4COStf+2sin0.

(2)在極坐標系中，C:p=4cos夕+2SinΘ,

L=匹

二由j6，得∣O4∣=2√5+l,

(p=4cos〃+2Sin/

同理：∣OB∣=2+√3.

又：NAOB=*,

18+5√3

?'?S?AθB=^?OA???OB?sinNAoB=—v?-,

即aAO5的面積為8十：小.

5.在坐標系中，曲線C：p=2"cos"(α>0),直線/：PCoSO—：=,,C與/有且只有一個公共點.

⑴求”的值；

(2)若原點。為極點，A,B為曲線C上兩點，且NA08=W，求∣04∣+∣08∣的最大值.

解：(1)由已知在直角坐標系中，

C:x2+j2-2αx=07(x~0)2+j2=α2(α>0);

/:X+Λ∕5J-3=0.

因為C與/只有一個公共點，所以，與C相切,

(2)設(shè)A3,0),則心，〃+§,

.?.∣O4∣+∣O8∣=pι+p2=2cos〃+2cos(〃+§=3CoSθ~?∣3sin。=2巾COSG+,

所以，當，=一耕，(∣Q4∣+∣OB∣)max=2√5.

6.在平面直角坐標系Xoy中，直線G：Λ∫3X+J-4=0,曲線C2：x2+(j-1)2=1,以原點。為極點,

X軸正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求G,C2的極坐標方程；

(2)若曲線G的極坐標方程為，=α[>0,0<a<3,且曲線C3分別交G,。2于點4,B,求掰的最

大值.

解：(l)?.?χ=pcos仇j=psinθf

Ci:√5pcos6+psin6-4=0,C2：p=2sinθ.

(2)曲線。3為e=α1>O,0<α<^),

4

設(shè)AS1,?),B(p2,a),PI=F-,"2=2SinQ,

?3cos<z+sιna

則代/=/=：X2SiIIa(y∣3cosα+sina)

=^2sin2α-τ+l,

.?.當〃=g時，(S‰4?

7.平面直角坐標系Xoy中，曲線G的方程為9+J2=1,以坐標原點。為極點，X軸正半軸為極軸建

立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為夕=4Sin(，+§,射線OM的極坐標方程為0=αo(p≥O).

⑴寫出曲線Cl的極坐標方程和曲線。2的直角坐標方程；

⑵若射線OM平分曲線C2,且與曲線G交于點A,曲線G上的點滿足NAoB=1,求H8∣.

3

解：(1)曲線G的極坐標方程為p2=］+2sin27

曲線C2的直角坐標方程為(X—巾產(chǎn)+3—1尸=4.

(2)曲線C2是圓心為(√5,1),半徑為2的圓，

二射線OM的極坐標方程為。=卻20),

3

代入心訐高兩可得忌=2.

又NAo8=看.*.pB=∣,

ΛHsl=FlOAl2+108F=Wa+z?=^.

8.已知在一個極坐標系中點C的極坐標為

(1)求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標方程(寫出解題過程)并畫出圖形；

(2)在直角坐標系中，以圓C所在極坐標系的極點為原點，極軸為X軸的正半軸建立直角坐標系，點P

是圓C上任意一點，05,-√3),M是線段P。的中點，當點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通

方程.

解：(1)作出圖形如圖所示，設(shè)圓C上任意一點A(p,θ),則NA。C=6一鼻或鼻一仇

由余弦定理得，

4+p2-4/CoS〃一/=4,

：.圓C的極坐標方程為p

(2)在直角坐標系中，點C的坐標為(1,√3),可設(shè)圓C上任意一點P(l+2cosɑ,?/?

+2sina),

設(shè)M(x,j),由。(5,-√3),M是線段P。的中點,

6+2crsC

X=2x=3÷cos?,

得點M的軌跡的參數(shù)方程為4(α為參數(shù)),即,(α為參數(shù)),

2sinaj=sina

U=T-

：,點M的軌跡的普通方程為(x—3)2+y2=ι.

第2課參數(shù)方程

□課前?回扣教材

［過雙基］

1.參數(shù)方程的概念

t

X=flt)9

一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線C上任意一點P的坐標x,y是某個變數(shù)t的函數(shù):''

□=g?f?，

x=/?￡?,%=/?￡?,

并且對于，的每一個允許值，由函數(shù)式fo'所確定的點P(x,y)都在曲線C上，那么方程'"

叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)f叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)一相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)

系的方程叫做普通方程.

2.直線、圓、球圓的參數(shù)方程

x=xo÷Zcosα,

⑴過點Mao,yo）,傾斜角為α的直線/的參數(shù)方程為,.（￡為參數(shù)）.

J=yo十fsma

x=xo+rcosΘ,

⑵圓心在點Mo（Xo,泗），半徑為，的圓的參數(shù)方程為彳,.C（，為參數(shù)）.

J=Jo^rrs∣nO

22X=αcosg

（3）橢圓ar+Sυ=ιm>b>o）的參數(shù)方程為，.W為參數(shù)）.

a°Ij=PSinφ

[小題速通]

x=2-6

1.參數(shù)方程。為參數(shù)）與極坐標方程〃=Sh1”所表示的圖形分別是?

解析：將參數(shù)方程消去參數(shù)。得2χ-y—5=0,對應(yīng)圖形為直線.

ly=-l-2/

222

由P=Sinθ9得p=psin仇即x+y=y9

即X2+Q—§2=；,對應(yīng)圖形為圓.

答案：直線、圓

x=sinθ,

2.曲線,2八（6為參數(shù)）與直線y=x+2的交點坐標為______.

J=Sm汨

2

解析：曲線的直角坐標方程為y=Λ2?將其與直線方程聯(lián)立得《.?.χ2-%-2=0,.?.x=-1或

[y=x+29

φ

X=2.由X=Sill，知，X=2不合題意...x=-1,y=l9，交點坐標為（一1,1）.

答案：（一1,1）

[x=2+3cosθ,

3.設(shè)曲線C的參數(shù)方程為八（。為參數(shù)），直線/的方程為χ-3y+2=0,則曲線C上

Ly=-l+3sιnΘ

到直線/距離為嚼的點的個數(shù)為.

x=2+3cosθ,

解析：?.?曲線C的參數(shù)方程為,（。為參數(shù)）,

?=-1+3Sinθ

Λ(χ-2)2+(y+l)2=9,

圓心(2,—1)到直線/的距離

∣2+3+2∣77√10

√l+9-√10^1。'

又?.?今俱<3,噌%3,有2個點.

答案：2

(_2t2

“-1+產(chǎn)

4.參數(shù)方程〈/M(，為參數(shù))化為普通方程為________

4—2〃

解析：X=]+,2,

4—2Z24?1+尸？一6∕22t2

T=RH=一宙—=4-3X布=4-3x.

2產(chǎn)271+∕27-2

又X=R7=-TnL=2用G[0,2),

Λx∈[0,2),

二所求的普通方程為3x+j-4=0(x∈∣0,2)).

答案：3x+j-4=0(x∈[0,2))

［清易錯］

1.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使X,y的取值范圍保持一致，否則不等價.

2.直線的參數(shù)方程中，參數(shù)f的系數(shù)的平方和為1時，f才有幾何意義且其幾何意義為：Vl是直線上

任一點M(x,y)到MO(X°,泗)的距離，即IMoM=I力.

X=-2÷cosO9

1.直線y=χ-l上的點到曲線上的點的最近距離是.

J=I+sinθ

X=-2+cosO9cosθ=x+2f

解析：由,得,

j=l+sinθsinθ=y-l9

Λ(x+2)2+(y-l)2=l,，圓心坐標為(一2,1),

4L

故圓心到直線x—y—1=0的距離d=^τ^=2y∣2f

.?.直線上的點到圓上的點的最近距離是d-r=2√i-l.

答案：2√i-l

θ,

x=4+at9x=2+V3cos

2.直線(，為參數(shù))與圓1r(，為參數(shù))相切，則切線的傾斜角為

y=btg小Sinθ

解析：直線的普通方程為ay—46=0,圓的普通方程為(x—2>+y2=3,因為直線與圓相切，則圓

|28一。0—4例

心(2,0)到直線的距離為√5,從而有√3=,即3。2+3於=4",所以b=±?Ra,而直線的傾斜

yja2+b2

角α的正切值tana=?,所以tana=±√5,因此切線的傾斜角三或4.

答案：自喏

□課堂?研究高考

i?a參數(shù)方程與普通方程的互化

X=13+小￡,

［典例］已知橢圓C：?+￥=

1,直線〈?為參數(shù)).

j=2√3+/,

⑴寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線I的普通方程；

⑵設(shè)A(IQ),若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線)的距離相等，求點P的坐標.

x=2cosθ,

S為參數(shù))，直線/:χ-√3j+9=0.

j=√3sin0

(2)設(shè)P(2cos仇,sin"),

則IApl=√72cos6(-172+7√3sin^2=2-cos0,

點尸到直線/的距離

∣2CoS。-3siι?夕+9∣2cos3sin。+9

22

由IAPl=d,得3sin，-4cosθ=5,

34

又Sin2j+cos2j=l,得Sine='cosθ=—?.

故

［方法技巧］

將參數(shù)方程化為普通方程的方法

(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當?shù)南麉⒎椒?常見的消參方法

有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式

消參，如sin20+Cos2O=1等.

(2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解.

［即時演練］

將下列參數(shù)方程化為普通方程.

，3k

x~l+k2f

Q2(A為參數(shù));

6k'

y=T+^

x=l-sin28,

(2)'尸迪葉2(0為參數(shù)).

解：(1)兩式相除，得k=士

3

將其代入X=奇，得X=?

1+

化簡得所求的普通方程是4X2+J2-6J=0(J≠6).

(2)由(Sin，+cos0)2=l+sin2，=2—(I-Sin2(9),

得ν=2—*.又*=1一$必26?∈[0,2],

故所求的普通方程為y2=2-x,x∈[0,2].

參數(shù)方程

［典例］在平面直角坐標系中，以原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系取相

x=-2+γ∣2t,

同的單位長度.已知曲線C：〃sin20=2acos"(α>O),過點尸(-2,-4)的直線，的參數(shù)方程為?

y=~4+y∣2t

U為參數(shù))，直線/與曲線C分別交于Λ1,N,若IPMl,IMNI，IPNl成等比數(shù)列，求實數(shù)”的值.

［解］曲線C的直角坐標方程為y2=2αχ(α>()),

將直線，的參數(shù)方程化為《(t'為參數(shù)),

代入曲線C的方程得：

-t,2-(4√2+√2α)√+16+4α=0,

則J>0,即a>()或av—4.

,

設(shè)交點M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為3,t2,

則+t2'=2(4√2+√2α),h't2'=2(16+4a),

若IpM,∣∕WN∣,IpNI成等比數(shù)列，

則Vι'f'F=∣fι't2'|,

解得a=1或a=-4(舍去)，

所以滿足條件的?=1.

［方法技巧］

⑴解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時，一般是先化為普通方程，再泉據(jù)直線與面的住豆關(guān)系來茄

決問題.

x=x↑)+at9

(2)對于形如,(，為參數(shù)).

ly=ya+bt

當M+∕≠ι時，應(yīng)先化為標準形式后才能利用土的幾何意義解題.

［即時演練］

已知直線/：x+y—1=0與拋物線y=χ2相交于A,B兩點,求線段A8的長度和點M(—1,2)到A,B

兩點的距離之積.

解：因為直線/過定點M,且/的傾斜角為苧，

■I3π

X=-I+Zcos彳，

所以它的參數(shù)方程為V3π。為參數(shù)）,

y=2+fsin芋

?為參數(shù)),

把它代入拋物線的方程，得P+也f-2=0,

由根與系數(shù)的關(guān)系得力+打=一心，有也=—2,

由參數(shù)t的幾何意義可知IAbl=Ifl—M=√Iδ,

?MA???MB?=|￡次|=2.

極坐標、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用

x=2+t9

［典例］(2017?全國卷In)在直角坐標系xθy中，直線/1的參數(shù)方程為，(t為參數(shù))，直線I

y=kt2

X=-2+6，

的參數(shù)方程為《m(膽為參數(shù)).設(shè)/1與b的交點為尸，當A變化時，尸的軌跡為曲線C.

(y=τ

(1)寫出C的普通方程；

⑵以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)，3：P(CoS"+sin〃)一也=0,M為∣3與C

的交點，求M的極徑.

［解］⑴消去參數(shù)f得A的普通方程Qj=Λ(x-2);

消去參數(shù)機得/2的普通方程,2：y=%+2).

K

p=Λ7χ-2?,

設(shè)尸(x,J),由題設(shè)得《I

U=NX+2?.

消去北得X2—J2=4(J≠0).

所以C的普通方程為N—y2=4(j≠0).

(2)C的極坐標方程為p2(cos2<?-sin2<?)=4(0<0<lπ,0≠π).

p27cos2<7-sin26>?=4,

聯(lián)立<,r

0?COSe+sin0?一也=。

得cos0-sin夕=2(COS9+sinθ).

191

故tanΘ=-y從而cos2e=γjj,sin2^=γ^.

代入"2(CoS2j-sin2e)=4得/2=5,

所以交點M的極徑為3.

［方法技巧］

處理極