數(shù)形結(jié)合百般好 論文

數(shù)形結(jié)合百般摘要：數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)與形結(jié)合起來解決問題，可使復(fù)雜的問題變得更簡單，使抽象的問題變得更直觀。有的時候，是圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的問題。有的時候，是利用圖形來直觀地解釋一些比較抽象的數(shù)學(xué)原理與事實，讓人一目了然。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合，抽象，直觀引言：“數(shù)形結(jié)合”是經(jīng)典數(shù)學(xué)思想方法之一，在整個數(shù)學(xué)思想體系中占有重要地位。從兒童思維特點來看，小學(xué)生的思維是從具體形象思維為主要形式逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維是初步的，且在很大程度上仍具有具體形象性。因此，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力，既是兒童本身的需要，又是他們學(xué)習(xí)抽象數(shù)學(xué)思維的需要。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系、量的變化等都是以符號加以表示的。小學(xué)生身心發(fā)展的特點和數(shù)學(xué)的抽象性特征共同決定了“數(shù)形結(jié)合”在教學(xué)中的地位。“數(shù)形結(jié)合”是小學(xué)教育中運用得最多，也是最有效的一種數(shù)學(xué)思想。一、領(lǐng)會編者意圖，準確定位數(shù)形結(jié)合思想可以說涉及數(shù)學(xué)學(xué)科的各個領(lǐng)域，本課內(nèi)容主要是通過發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題幫學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思索，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過“以”或“以數(shù)解形”，使得復(fù)雜問題簡單化抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。學(xué)生進入中高年級，他們的邏輯思維能力已有一定程度的發(fā)展，但是整個小學(xué)階段學(xué)生的思維總是更多的帶有形象思維的成分，為了使學(xué)生更直觀地理解知識，同時又滿足學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展，因此在本節(jié)課的設(shè)計上我沒有按照教材上的從“形”到“數(shù)”的思路，而是采用了先“數(shù)”后“形”的編排順序，把形象真正放在“支撐”地位，從而為培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力而服務(wù)。在學(xué)法方面，我先引導(dǎo)學(xué)生對探究問題進行理解，之后把時間還給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生當(dāng)面對較復(fù)雜問題時自覺利用直觀的畫圖的方法幫助自己解決問題的意識和能力。通過具體形象的支撐幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。同時我還利用小組合作學(xué)習(xí)交流的形式，鼓勵學(xué)生在面對問題或者疑惑時，僅依靠自己的力量無法進行解決，可以自主尋求小組同學(xué)的幫助。把自己的想法和困惑在小組內(nèi)交流，共享思維，互相啟發(fā)。二、課堂呈（一）巧設(shè)情境，以舊引新1.課件出示下圖，并提問看到這幅圖你想到了什么。2.出示算式3×3=9cm，問學(xué)生能聯(lián)想到什么圖形。（以上兩個例子一個是從圖形的角度出發(fā)，讓學(xué)生意識到用圖形可以表示數(shù)或者數(shù)的運算，第二個例子是讓學(xué)生感受到數(shù)的背后也隱藏著圖形的知識。這樣自然而然地引出本節(jié)課的課題——數(shù)與形。）（二）化數(shù)為形，以形助數(shù)1.提出問題（1）從1開始的3個連續(xù)奇數(shù)的和是多少？（2）從1開始的5個連續(xù)奇數(shù)的和是多少？（學(xué)生快速作答。（3）從1開始的30個連續(xù)奇數(shù)的和是多少？（教師課件出示算式，算式很長，大部分學(xué)生不知如何計算，陷入沉思。過一會，有個別學(xué)生舉手生：我的方法是首尾相加，因為我發(fā)現(xiàn)首尾兩個數(shù)的和正好是整十?dāng)?shù)。師：真棒！這確實是一種很好的計算方法，但是老師有更好的方法，比你算得還同學(xué)們想知道嗎？（首先通過簡單的問題讓學(xué)生明確題意，接著出示復(fù)雜的情況，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能很快得出結(jié)果，以此激發(fā)學(xué)生的探究欲望。2.化繁為簡，探尋規(guī)律（1）學(xué)生計算：1=1+3=1+3+5=1+3+5+7=1+3+5+7+9=師：你發(fā)現(xiàn)了什么？跟同學(xué)說說你的發(fā)現(xiàn)，并舉例驗證。生1：我發(fā)現(xiàn)得數(shù)等于中間數(shù)的平方。生2：我覺得他說得不準確，奇數(shù)個這樣的數(shù)相加時沒有中間數(shù)。（2）學(xué)生各抒己見，接著我引導(dǎo)學(xué)生觀察這些得數(shù)可以寫成，算式中加數(shù)的個數(shù)聯(lián)系起來，找到規(guī)律并驗證。（3）總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論結(jié)論：從1開始的n（n表示大于0的整數(shù)）個連續(xù)奇數(shù)的和為n。（此處體現(xiàn)化繁為簡的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生從簡單的情況探究，通過一定的例子嘗試著找出規(guī)律，然后自己舉例驗證，最終得出結(jié)論。這一過程主要讓學(xué)生自主探究，教師在關(guān)鍵時刻進行引導(dǎo)，從而一3.化數(shù)為形，以形助數(shù)（1）化數(shù)為形師：我們試試用圖形來表示這些算式，看看能否找到規(guī)律。老師演示：我用1個正方形來表示1。（在黑板上貼一個黃色的小正方形，并在小2正方形下面1=1×1。）（2）分組操作，解釋原因師：那1+3呢？你能用在紙上畫一畫，用小正方形拼出“1+3”來嗎？小組合作進行討論。學(xué)生利用老師的學(xué)具，在黑板上展示出他們的拼法。師：那如何拼出1+3+5呢？邀請學(xué)生上黑板展示他們的拼法，并一步步進行改善，最終得出了大家一致認為最合適的拼法。師：以此類推，如果從1開始有n個連續(xù)的奇數(shù)相加，就可以拼成一個n行，n列22。這樣的數(shù)叫做“平方數(shù)”，也的大正方形，小正方形的總數(shù)為叫“正方形數(shù)”，最早是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯提出的此環(huán)節(jié)是通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生探索從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和與“正方形數(shù)”之n，則這些數(shù)的和為n（間的關(guān)系。我是從數(shù)引入，讓學(xué)生先計算，發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律，然后引導(dǎo)學(xué)生用正方形來表示這些算式，使學(xué)生通過數(shù)與形的對照，發(fā)現(xiàn)圖中隱藏著數(shù)的規(guī)律，進而理”和“正方形數(shù)”（三）化形為數(shù)，用數(shù)解形”數(shù)”的規(guī)律可以借助圖形來思考，“形”1.提出問題師：下面每個圖中各有多少個紅色小正方形和多少個藍色小正方形？2.分析問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律師：紅色小正方形和藍色小正方形的個數(shù)有什么規(guī)律呢？生1：紅色正方形的個數(shù)是1，2，3，4，……這樣變化的，也就是第幾個圖，就有幾個紅色正方形。生2：藍色正方形的個數(shù)是8，10，12，14，……我發(fā)現(xiàn)后一個圖中藍色正方形個數(shù)都比前一個圖中正方形個數(shù)多2。師：那第n個圖形中，藍色正方形有多少個呢？生1：我覺得是2（n+3）個，我是觀察藍色正方形數(shù)與紅色正方形數(shù)之間的關(guān)系得出結(jié)論的。生2：我認為可以表示成2（n+2）+2，n+2可以表示圖中上面一行的個數(shù)，上下兩行一樣多，所以是2（n+2），后面加的2表示中間一行的兩個藍色正方形。師：大家把掌聲送給這位同學(xué)，他說的太棒了！他知道從圖形中去觀察，尋找數(shù)的規(guī)律。仔細看圖，還有其它想法嗎？生3：我是用6+2n來表示的，因為我發(fā)現(xiàn)每個圖中都有6個正方形是不變的，就是左右兩列的6個正方形。中間每增加一個紅色正方形，就會增加兩個藍色正方形，所以中間部分可以用2n來表示。教室里頓時發(fā)出熱烈的掌聲，同學(xué)們都非常贊同這位同學(xué)的說法。（這個例題，主要是把數(shù)與形進行對照，讓學(xué)生通過探索圖形的變化規(guī)律，尋找數(shù)的變化背后的原因，從而（四）回顧反思，體會“數(shù)形結(jié)合”小結(jié)環(huán)節(jié)課件出示華羅庚先生所說的“數(shù)無形時少直覺，形無數(shù)時難入微”。并讓學(xué)生舉例說一說我們學(xué)過的知識中哪里運用了數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生深刻體會到“數(shù)形結(jié)合百般好”。三、深刻反思，吸取通過第一次磨課，我發(fā)現(xiàn)了一些問題。1.導(dǎo)入過程中第一個問題不夠明確，學(xué)生很難回答到點上，導(dǎo)致花的時間比較長。2.“化數(shù)為形，以形助數(shù)”環(huán)節(jié)”，讓學(xué)生利用直觀助學(xué)生解決數(shù)的問題，但是在上課的過程中卻花了大量時間來探討算式和得數(shù)中的規(guī)律，導(dǎo)致重心偏移，沒有充分的發(fā)揮形的“支撐”作用。3.在學(xué)生自主探究規(guī)律時，只是讓學(xué)生在紙上畫一畫，沒有為學(xué)生準備學(xué)具，不夠形象直觀。應(yīng)該給學(xué)生提供一些形象直觀的學(xué)具——彩色正方形紙片。基于以上分析，我在第二次課上進行了改進。片段1：改變導(dǎo)入的提問方式師：同學(xué)們，這幅圖眼熟嗎？在哪見過呢？看到這幅圖你想到了什么樣的乘法算式呢？（通過改變提問的方式，使得問題更具有針對性，學(xué)生很快就能回答到點上，為后面的探究活動節(jié)省了不片段2：以形助數(shù)，充分發(fā)揮形的“支撐”地位1.提出問題環(huán)節(jié)只提兩個問題：（1）從1開始的3個連續(xù)奇數(shù)的和是多少？（2）從1開始的30個連續(xù)奇數(shù)的和是多少？（兩2.化繁為簡，探尋規(guī)律（1）學(xué)生計算：1=1+3=1+3+5=1+3+5+7=1+3+5+7+9=師：你們是否能夠從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？如果不能的話我們可以從圖形的角度出發(fā)，利用直觀的圖形來幫助我們解決數(shù)的問題。接下來還是教師先展示1個黃色正方形代表1，正方形的總數(shù)可以表示為1×1=1。師：請同學(xué)以小組為單位，利用手中的正方形紙片拼一拼，表示出算式1+3。同學(xué)們有兩種拼法。師：引導(dǎo)學(xué)生對比兩種拼法，你們覺得哪種拼法更合適呢？生：第二種拼法更好，因為從圖中既可以看出算式1+3，又可以直觀看出結(jié)果是2。師：我也覺得第二種拼法更合適，同學(xué)們可以在圖中找出1和3嗎？是則么看出來的？生1：1在左下角，“┓”形中的小正方形數(shù)就表3。生2：由這些小正方形拼成的大正方形是兩行兩列，總數(shù)就是2×2=師：那1+3+5呢？你能用小正方形拼出1+3+5嗎？這里也有兩種典型的拼法。生1：因為1+3+5=9，9是3的平方，所以我拼成3行3列的大正方形。生2：你的圖形中雖然體現(xiàn)出了3，但是并沒有直觀地體現(xiàn)出加數(shù)1，3，5，而我的拼法可以看出在1+3的圖形的基礎(chǔ)上，外面再擺一個“┓”形就代表加5，而且也能看出結(jié)果是3。師：同學(xué)們，你們現(xiàn)在能不能得出規(guī)律呢？生：我發(fā)現(xiàn)，從1開始的連續(xù)幾個奇數(shù)相加的算式，可以用小正方形來表示，它們可以拼成一個大正方形，總數(shù)就是邊長的平方。師：真厲害！那你們能再舉一個例子來驗證你的結(jié)論嗎？請在方格紙上畫圖表示。3.總結(jié)規(guī)律最后學(xué)生自己總結(jié)出規(guī)律：從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)的和為（這樣改變之后，在計算時沒有急著讓學(xué)生從算式和得數(shù)中去尋找規(guī)律，而是讓學(xué)生充分利用手中的學(xué)具擺一擺、拼一拼，從圖形的角度去思考，形象直觀地利用圖形的知識幫助他們解決數(shù)的問題，對數(shù)的規(guī)律形成更直觀的認識。這樣的改變使得規(guī)律的得出水到渠成，也讓同學(xué)們在探究的過程中四、實施效果巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計算和推理，可起到事半功倍的效果，在解決問題過程中更顯優(yōu)越，所以本節(jié)課上要幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的思想啟蒙，進而在今后的學(xué)習(xí)中進行其他數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。對比第一堂課上讓學(xué)生對著幾個算式找規(guī)律時的沉悶、無趣，改變后的課堂顯得更有探究意義，更順暢。在這樣的課堂里，學(xué)生的思維更容易被卷入，教師不需想方設(shè)法調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，動手操作足以有效調(diào)動學(xué)生參與的積極性；這樣的課堂，學(xué)生通過自身活動所獲