專題11點線面的位置關(guān)系（知識梳理精講）原卷版

專題11點線面的位置關(guān)系知識點一四個公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．例1．（1）、（2024上·江西宜春·高二?？计谀┠艽_定一個平面的條件是（

）A．空間的三點 B．一個點和一條直線C．兩條相交直線 D．無數(shù)點（2）、（2020上·云南曲靖·高二宣威市第五中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示的點，線，面的位置關(guān)系，用符號語言表示正確的是（

）A．B．C．D．1．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．空間中三點確定一個平面B．空間中兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面C．一條直線和一個點能確定一個平面D．四邊形一定是平面圖形2．（2023上·廣東深圳·高二?？奸_學(xué)考試）（多選題）下列說法中正確的是（

）A．三點確定一個平面B．三角形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．不重合的平面和平面有不同在一條直線上的三個交點知識點二直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號a∥b公共點個數(shù)100特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何一個平面內(nèi)例2．（1）、（2023上·上?！じ叨谀┤绻本€a和b沒有公共點，那么a與b（）A．共面 B．平行C．可能平行，也可能是異面直線 D．是異面直線（2）、（2023下·陜西西安·高一期末）（多選題）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中正確的序號是（

）A．直線與直線相交；B．直線與直線平行；C．直線BM與直線是異面直線；D．直線與直線成角.（3）、（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，點為上靠近點的三等分點，點為上靠近點A的四等分點，則異面直線與所成角的余弦值為．1．（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若是異面直線，直線，則c與b的位置關(guān)系是.2．（2023上·上海崇明·高二上海市崇明中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方體中，異面直線與所成的角為．3．（2019·廣東江門·統(tǒng)考一模）正方體的平面展開圖如圖，、、、四條對角線兩兩一對得到6對對角線，在正方體中，這6對對角線所在直線成角的有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對例2．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）如圖，在長方體中，，分別是，的中點，，且.(1)求并求直線與所成角的余弦值；(2)求點到平面的距離.1．（2023上·上海浦東新·高二?？计谥校┰诶忾L為2的正方體中，點是的中點，點是的中點.(1)求異面直線與所成角的大??；(2)求點到平面的距離.知識點三直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號∥公共點個數(shù)無數(shù)個10例4．（1）、（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）已知直線l、平面，“l(fā)與相交”是“l(fā)與至多有一個公共點”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件（2）、（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）若直線在平面外，則（

）A． B．與至多有一個公共點C． D．與至少有一個公共點（3）、（2023下·陜西寶雞·高一?？计谥校ǘ噙x題）下列是基本事實的是（

）A．過三個點有且只有一個平面B．平行于同一條直線的兩條直線平行C．如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線1．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高級中學(xué)?？计谀┤粢恢本€上有兩點到一個平面的距離都等于1，則該直線與這個平面的位置關(guān)系是（

）．A．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交或平行C．直線與平面相交 D．直線平行平面2．（2022下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）給出下列判斷，其中正確的是（

）A．若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則B．空間三點可以確定一個平面C．如果兩個平面相交，則它們有有限個公共點D．如果直線與平面平行，則與平面內(nèi)任意一條直線都沒有公共點3．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)?？计谥校ǘ噙x題）下列說法中正確的是（

）A．若直線與平面不平行，則l與相交B．直線在平面外，則直線上不可能有兩個點在平面內(nèi)C．如果直線上有兩個點到平面的距離相等，則直線與平面平行D．如果是異面直線，，，則，是異面直線知識點四平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號∥，公共點個數(shù)0無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上無數(shù)個公共點且都在唯一的一條直線上例5．（1）、（2023上·廣東惠州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選題）設(shè)P表示一個點，a，b表示兩條不同直線，，表示兩個不同平面，下列說法不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則（2）、（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a，b是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則（3）、（2024上·上海浦東新·高二校考期末）設(shè)m、n是不同的直線，、是不同的平面，其中真命題有（

）個．（1）若，，，則；（2）若，，，則；（3）若，，，則；（4）若，，，，則；A．0 B．1 C．2 D．31．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）（多選題）已知，為空間中不同的兩條直線，，為空間中不同的兩個平面，下列命題錯誤的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則和為異面直線D．若，，且，則2．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選題）已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則m與n相交或異面B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則m與n平行或相交或異面3．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選題）設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則知識點五截面問題例6．（1）、（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知棱長為4的正四面體，用所有與點A，B，C，D距離均相等的平面截該四面體，則所有截面的面積和為（

）A． B．C． D．（2）、（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為4，，，分別是棱，，的中點，平面截正方體的截面面積為.1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）A． B．9 C． D．2．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，過點，E，F(xiàn)的平面記為，則下列說法中正確的序號是.①平面截直四棱柱所得截面的形狀為四邊形②平面截直四棱柱所得截面的面積為③二面角的正切值為④點B到平面的距離與點D到平面的距離之比為1∶3知識點六綜合問題例7．（1）、（2023上·山西大同·高三大同一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體的棱長為3，點分別在棱上，且滿足為底面的中心，過作截面，則所得截面的面積為.1．（2023上·四川成都·高二樹德中學(xué)?？计谥校┰诶忾L為2的正方體中，分別是棱上的動點，且，當(dāng)三棱錐的體積最大時，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．例8．（2023上·寧夏銀川·