（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列、推理與證明 第44課 推理與證明 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第44課推理與證明(本課時(shí)對應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(選修1-2P31例1改編)前提：蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的.蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動物.則結(jié)論是.【答案】所有的爬行動物都是用肺呼吸的2.(選修1-2P32例3改編)由<<<，…，猜想：若m>0，則與之間的大小關(guān)系為.【答案】>3.(選修1-2P33練習(xí)3改編)觀察下列等式：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…從中歸納出一般結(jié)論是.【答案】1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*)4.(選修1-2P47定義改編)分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，尋求使它成立的條件.【答案】充分5.(選修1-2P49例1改編)要證明“正弦函數(shù)沒有比2π小的正周期”可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是.(填序號)①反證法；②分析法；③綜合法.【答案】①1.推理一般包括合情推理和演繹推理.其中合情推理又包括歸納推理和類比推理.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提、小前提、結(jié)論.2.歸納推理是部分到整體，由特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理.3.證明分直接證明和間接證明.直接證明又有綜合法、分析法等.常用的間接證明方法是反證法.4.綜合法是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，達(dá)到待證的結(jié)論.分析法是從待證的結(jié)論出發(fā)，尋求結(jié)論成立的充分條件，達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).反證法是從假設(shè)結(jié)論不成立入手，推出與已知條件、公理、定理或顯然成立的事實(shí)等矛盾的結(jié)果，從而判定假設(shè)錯誤，結(jié)論成立.一般步驟為反設(shè)、歸謬、存真.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破合情推理例1一種十字繡作品由相同的小正方形構(gòu)成，如圖，圖①②③④分別是制作該作品前四步時(shí)對應(yīng)的圖案，按照如此規(guī)律，第n步完成時(shí)對應(yīng)圖案中所包含小正方形的個(gè)數(shù)記為f(n).①②③④(例1)(1)求出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)利用歸納推理，歸納出f(n+1)與f(n)的關(guān)系式；(3)猜想f(n)的表達(dá)式，并寫出推導(dǎo)過程.【思維引導(dǎo)】(1)先觀察圖形，得出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，從中得出f(n+1)與f(n)的關(guān)系；(2)歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，所得的推理不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也就越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法；(3)數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，再由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用方法有：一是求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納總結(jié)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；二是將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差數(shù)列或者等比數(shù)列，或用累加法，累乘法，迭代法求通項(xiàng).【解答】(1)圖①中只有一個(gè)小正方形，得f(1)=1；圖②中有3層，以第2層為對稱軸，有1+3+1=5個(gè)小正方形，得f(2)=5；圖③中有5層，以第3層為對稱軸，有1+3+5+3+1=13個(gè)小正方形，得f(3)=13；圖④中有7層，以第4層為對稱軸，有1+3+5+7+5+3+1=25個(gè)小正方形，得f(4)=25；(2)因?yàn)閒(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，所以f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2，f(4)-f(3)=12=4×3，…所以f(n)-f(n-1)=4×(n-1)=4n-4，所以f(n+1)與f(n)的關(guān)系式為f(n+1)-f(n)=4n.(3)猜想f(n)的表達(dá)式為2n2-2n+1.推導(dǎo)過程如下：由(2)可知：f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2，f(4)-f(3)=12=4×3，…f(n)-f(n-1)=4×(n-1)=4n-4，將上述n-1個(gè)子相加，得f(n)-f(1)=4[1+2+3+4+…+(n-1)]，解得f(n)=2n2-2n+1，故f(n)的表達(dá)式為f(n)=2n2-2n+1.【精要點(diǎn)評】歸納推理的主要入手點(diǎn)是條件的形式特點(diǎn)或意義特點(diǎn)，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)進(jìn)行合理的猜想，再給出證明.例2在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有等式成立.【思維引導(dǎo)】等差數(shù)列→用加減法定義→性質(zhì)用加法表述；類比地，可考慮：等比數(shù)列→用乘除法定義→性質(zhì)用乘法表述.【答案】b1b2·…·bn=b1b2·…·b17-n(n<17，n∈N*)【解析】對于等差數(shù)列{an}，若ak=0，則an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=…=ak+ak=0，所以有a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+(an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n)(n<2k-1，n∈N*)，從而對等比數(shù)列{bn}，若bk=1，則有等式b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n(n<2k-1，n∈N*)成立.另外，許多時(shí)候可以考慮如下類比：加與減，乘與除，平面與立體，二維與三維等.變式(2015·福建卷)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k=1，2，…，n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?).已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：其中運(yùn)算⊕定義為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k=.【答案】5【解析】1101101中x1=x2=x4=x5=x7=1，x3=x6=0，則x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，不滿足方程組，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，滿足方程組，所以推測x4或x5錯誤.又x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，不滿足方程組，所以x5錯誤，故k=5.綜合法與分析法證明例3在△ABC中，已知3b=2asinB，且cosA=cosC，求證：△ABC為等邊三角形.【解答】由3b=2asinB3sinB=2sinAsinBsinA=A=或.由cosA=cosCA=C，所以A=C==B，所以△ABC為等邊三角形.【精要點(diǎn)評】綜合法包括的證明方法比較多，如作差、作商法，左向右、右向左、兩邊向中間法，由恒(不)等式證明(不)恒等式法，借助幾何圖形證明法等.例4用分析法證明：若a>0，則-≥a+-2.【思維引導(dǎo)】分析法證明的思路是執(zhí)果索因，即尋找使結(jié)論成立的充分條件，通常對于分式不等式、無理不等式的證明常采用分析法，分析法要確保分析得到的最終結(jié)果必須是一個(gè)正確的結(jié)論，如題目提供的條件、某條公理、某條定理等，注意分析法證題的規(guī)范表述，防止循環(huán)論證.【解答】要證-≥a+-2，只要證+2≥a++.因?yàn)閍>0，故只要證≥（a++）2，即證a2++4+4≥a2+2++2（a+）+2，從而只要證2≥，只要證4≥2，即證a2+≥2，而該不等式顯然成立，故原不等式成立.【精要點(diǎn)評】分析法除了用來證明外，還能引導(dǎo)學(xué)生用分析法思考問題.培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力，要求學(xué)生學(xué)會用分析法逆向解決問題，用分析法寫綜合法過程.反證法證明例5若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x+y>2，求證：<2與<2中至少有一個(gè)成立.【思維引導(dǎo)】對于直接難以證明或含否定詞或含至多至少的命題的證明，通?？紤]使用反證法證明.本題中含有“至少”，所以本題的證明采用反證法證明較好.先假設(shè)原命題的結(jié)論不正確，即原命題結(jié)論的反面成立，即≥2，≥2同時(shí)成立，因?yàn)閤，y均為正實(shí)數(shù)，進(jìn)而可得1+x≥2y，1+y≥2x，再由同向不等式的可加性得到x+y≤2，這與已知矛盾，進(jìn)而可得假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論成立.【解答】假設(shè)<2與<2都不成立，則有≥2，≥2同時(shí)成立.因?yàn)閤，y均為正實(shí)數(shù)，所以1+x≥2y，1+y≥2x.兩式相加，可得2+x+y≥2x+2y，即x+y≤2，這與已知條件x+y>2矛盾.因此假設(shè)不成立，所以<2與<2中至少有一個(gè)成立.【精要點(diǎn)評】反證法其實(shí)是一個(gè)反向思維的過程，同學(xué)們可以把反向思維與逆向思維過程進(jìn)行比較，從而充分認(rèn)識如何用不同思維方式解決不同問題.同時(shí)要認(rèn)清反證法與命題部分充分性知識的聯(lián)系.變式已知a，b，c都是大于0且小于1的實(shí)數(shù)，求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一個(gè)不大于.【解答】假設(shè)(1-a)b>，(1-b)c>，(1-c)a>，則由基本不等式可得(1-a)+b≥2>2×=1，(1-b)+c≥2>2×=1，(1-c)+a≥2>2×=1，于是(1-a)+b+(1-b)+c+(1-c)+a=3>1+1+1=3，這與事實(shí)矛盾，從而假設(shè)不成立，原命題成立.所以(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一個(gè)不大于.1.觀察下列等式：(1+1)=2×1，(2+1)(2+2)=22×1×3，(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5，…照此規(guī)律，第n個(gè)等式為.【答案】(n+1)(n+2)(n+3)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)2.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù).13610(第2題)將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，可以推測：b2017是數(shù)列{an}中的第項(xiàng).【答案】5044【解析】由已知可得an+1=an+(n+1)，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+…+1=.所以三角形數(shù)依次為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，由此可得每5個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)能被5整除，把5個(gè)數(shù)分成1組，后兩個(gè)數(shù)能被5整除，b2017是數(shù)列{an}中的第1009組的第四個(gè)數(shù)，所以b2017是數(shù)列{an}中的第1008×5+4=5044項(xiàng).3.(2015·湖北卷)已知集合A={(x，y)|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈R}，定義集合A⊕B={(x1+x2，y1+y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為.【答案】45【解析】因?yàn)榧螦={(x，y)|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5個(gè)元素(即5個(gè)點(diǎn))，即圖中圓中的整點(diǎn)，集合B={(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25個(gè)元素(即25個(gè)點(diǎn))，即圖中正方形ABCD中的整點(diǎn)，集合A⊕B={(x1+x2，y1+y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整點(diǎn)(除去四個(gè)頂點(diǎn))，即7×7-4=45個(gè).(第3題)4.(2015·全國卷)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d.(1)求證：若ab>cd，則+>+；(2)求證：+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.【解答】(1)要證+>+，只需證(+)2>(+)2，即證a+b+2>c+d+2，由題設(shè)知a+b=c+d，所以只需證2>2，即證ab>cd，由題設(shè)知ab>cd成立，因此+>+得證.(2)①若|a-b|<|c-d|，則(a-b)2<(c-d)2，即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因?yàn)閍+b=c+d，所以ab>cd.由(1)得+>+.②若+>+，則(+)2>(+)2，即a+b+2>c+d+2.因?yàn)閍+b=c+d，所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2，因此|a-b|<|c-d|.綜上，+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.5.已知x∈R，a=x2+，b=2-x，c=x2-x+1，試證明a，b，c中至少有一個(gè)不小于1.【解答】假設(shè)a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，則有a+b+c<3，而a+b+c=2x2-2x++3=+3≥3，兩者矛盾，故假設(shè)不成立.所以a，b，c至少有一個(gè)不小于1.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)第87~88頁.【檢測與評估】第44課推理與證明一、填空題1.某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，○○○●●○○○●●○○○…，按這種規(guī)律往下排，那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是.2.(2015·浙江卷)設(shè)A，B是有限集，定義d(A，B)=card(A∪B)-card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素個(gè)數(shù).命題①，對任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充要條件；命題②，對任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)+d(B，C)，其中正確的是.(填序號)3.(2015·吉林模擬)如圖，第n個(gè)圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來(n=1，2，3，…)，則在第n個(gè)圖形中共有個(gè)頂點(diǎn).…②③④(第3題)4.(2015·廣東卷)若空間中n(n>2)個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值為.5.已知邊長分別為a，b，c的△ABC的面積為S，內(nèi)切圓O的半徑為r，連接OA，OB，OC，則△OAB，△OBC，△OAC的面積分別為cr，ar，br.由S=cr+ar+br，得r=.類比得：四面體的體積為V，四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，則內(nèi)切球的半徑R=.6.(2015·泉州聯(lián)考)已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，設(shè)f'(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f'(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-x2+3x-，請你根據(jù)該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，計(jì)算f+f+f+…+f=.7.(2015·陜西卷)觀察下列等式：1-=，1-+-=+，1-+-+-=++，……據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為.8.過點(diǎn)P(-1，0)作曲線C：y=ex的切線，切點(diǎn)為T1，設(shè)T1在x軸上的投影是點(diǎn)H1；過點(diǎn)H1再作曲線C的切線，切點(diǎn)為T2，設(shè)T2在x軸上的投影是點(diǎn)H2；….依次下去，得到第n+1(n∈N)個(gè)切點(diǎn)Tn+1，則點(diǎn)Tn+1的坐標(biāo)為.二、解答題9.已知sin245°+sin2105°+sin2165°=；sin210°+sin270°+sin2130°=.通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并證明你的結(jié)論.10.根據(jù)要求證明下列各題：(1)用分析法證明：->-；(2)用反證法證明：1，，3不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng).11.已知數(shù)列{an}滿足a1=0，且-=1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)三、選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.(2015·山東卷)定義運(yùn)算“”：xy=(x，y∈R，xy≠0).當(dāng)x>0，y>0時(shí)，xy+(2y)x的最小值是.13.(2015·廣東卷)若集合E={(p，q，r，s)|0≤p<s≤4，0≤q<s≤4，0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F(xiàn)={(t，u，v，w)|0≤t<u≤4，0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素個(gè)數(shù)，則card(E)+card(F)=.【檢測與評估答案】第44課推理與證明1.白色【解析】找規(guī)律：3白2黑，周期為5.2.①②【解析】命題①顯然正確；通過如圖所示的venn圖亦可知d(A，C)表示的區(qū)域不大于d(A，B)+d(B，C)的區(qū)域，故命題②也正確.(第2題)3.(n+2)(n+3)【解析】第1個(gè)圖形由三角形“擴(kuò)展”而來，共3×4=12個(gè)頂點(diǎn)；第2個(gè)圖形由正方形“擴(kuò)展”而來，共4×5=20個(gè)頂點(diǎn)；第3個(gè)圖形由正五邊形“擴(kuò)展”而來，共5×6=30個(gè)頂點(diǎn)；第4個(gè)圖形由正六邊形“擴(kuò)展”而來，共6×7=42個(gè)頂點(diǎn)；…；第n個(gè)圖形由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來，共(n+2)(n+3)個(gè)頂點(diǎn).4.3或4【解析】顯然正三角形和正四面體的頂點(diǎn)是兩兩距離相等的，即n=3或n=4時(shí)命題成立.5.【解析】設(shè)球心為O，分別連接四個(gè)頂點(diǎn)與球心O，將四面體分割成底面面積分別為S1，S2，S3，S4，高為R的三棱錐，其體積分別為S1R，S2R，S3R，S4R.由V=S1R+S2R+S3R+S4R，得R=.6.2016【解析】f'(x)=x2-x+3，由f″(x)=2x-1=0，得x=，則為y=f(x)的對稱中心，故f+f=f+f=…=2f=2，故f+f+f+…+f=2016.7.1-+-+…+-=++…+【解析】觀察等式知：第n個(gè)等式的左邊有2n個(gè)數(shù)相加減，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，且分子為1，分母是1到2n的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是++…+.故答案為1-+-+…+-=++…+.8.(n，en)【解析】設(shè)T1(x1，)，由切線方程為y-=(x-x1)，將點(diǎn)(-1，0)代入得-=(-1-x1)，即x1=0，從而x1=0，所以T1(0，e0)；設(shè)T2(x2，)，則=，解得x2=1，所以T2(1，e)；設(shè)T3(x3，)，則=，解得x3=2，所以T3(2，e2)……通過歸納可猜想：Tn+1(n，en)，n∈N.9.因?yàn)閟in245°+sin2105°+sin2165°=，sin210°+sin270°+sin2130°=，那么可以猜想一般結(jié)論為sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120