人教版八年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練 專題18.9 三角形的中位線（知識講解）

專題18.9三角形的中位線（知識講解）【學習目標】理解三角形的中位線的概念，掌握三角形的中位線定理；運用三角形中位線與第三邊的位置關系、數(shù)量關系解決問題；理解并掌握三角形中位線定理的拓展結論?！疽c梳理】要點一、三角形的中位線1．定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.特別說明：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應的位置關系與數(shù)量關系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.要點二、中點三角形定義：中點三角形就是把一個三角形的三邊中點順次連接起來的一個新三角形.性質(zhì)：（1）這個新三角形的各個邊長分別是原來三角形三邊長的一半且分別平行，角的度數(shù)與原三角形分別相等，4個三角形都全等（2）中點三角形周長是原三角形的周長一半。（3）中點三角形面積是原三角形面積的四分之一。補充：中點三角形與原三角形不僅相似，而且位似。要點三、中點四邊形定義：依次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。中點四邊形的形狀與原四邊形的對角線的數(shù)量和位置關系有關。性質(zhì)（1）不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。（此內(nèi)容主要在學習特殊四邊形后運用較廣）【典型例題】類型一、三角形的中位線??定理的理解1．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的中點，若DE=4，則BC等于（

）A．2 B．4 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線定理計算即可．解：∵D、E分別是AB、AC邊上的中點，DE=4，∴BC=2DE=2×4=8，故選：C．【點撥】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，若，，則下列線段是的中位線的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線的定義分析即可．解：∵，，∴為的中點，為的中點，∴為的中位線．故選：A．【點撥】本題考查三角形中位線和中點的定義．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．熟練掌握三角形中位線的相關知識是解題的關鍵．【變式2】如圖，已知四邊形ABCD，R，P分別是DC，BC上的點，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點，當點P在BC上從點B向點C移動而點R不動時，線段EF的長（）A．逐漸增大 B．逐漸減小 C．不變 D．不能確定【答案】C【分析】因為R不動，所以AR不變．根據(jù)三角形中位線定理可得EF＝AR，因此線段EF的長不變．解：連接AR．∵E、F分別是AP、RP的中點，∴EF為△APR的中位線，∴EF＝AR，∵AR的長為定值，∴線段EF的長不改變．故選：C．【點撥】本題考查了三角形的中位線定理，正確作出輔助線，得到EF為△APR的中位線是解決問題的關鍵．類型二、三角形的中位線??求線段??求角度??證明2．如圖，在中，，，分別是，的中點，連接，過點作EFCD，交的延長線于點．求證：四邊形是平行四邊形；若四邊形的周長是，的長為，求線段、的長．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）利用三角形的中位線證明，從而可得結論；（2）利用三角形的中位線的性質(zhì)先求解EC，再利用勾股定理求解DE，可得BC，再利用勾股定理可得答案．(1)證明：，分別是，的中點，是的中位線，，又，四邊形是平行四邊形；(2)解：是的中點，，四邊形的周長是，，，，在中，由勾股定理，，，，又是的中位線，，．【點撥】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理的應用，熟練的應用平行四邊形的性質(zhì)解決問題是關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，點F是的邊AC的中點，點D在AB上，連接DF并延長至點E，使，連接CE．求證：；若，，求BC的長．【答案】(1)見詳解 (2)4【分析】（1）根據(jù)題干條件即可求證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)即可求解；解：(1)證明：∵F是的邊AC的中點∴在和中∵∴(2)∵，∴∵F是的邊AC的中點，∴【點撥】本題主要考查三角形的全等證明、平行線的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．【變式2】如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，且BD＝BA＝13．尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作∠ABC的角平分線交AD于點E；②作線段DC的垂直平分線交DC于點F．在（1）所作圖形中，連接EF，已知AC＝12，AD＝10，CD＝6，求△BEF的周長．【答案】(1)①作圖見分析；②作圖見分析； (2)34【分析】（1）①利用基本作圖作∠ABC的平分線即可；②利用基本作圖作CD的垂直平分線即可；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE=DE，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DF=CF，則可判斷EF是△ADC的中位線，最后求出△BEF的周長．(1)解：①如圖，BE為所作；②如圖，點F為所作；(2)解：∵BD=BA，BE是∠ABC的平分線，∴AE=DE=，BE⊥AD，∴，∵MF是DC垂直平分線，∴DF=CF=，∴EF是△ADC的中位線，∴EF=，∴△BEF的周長=BE+EF+BF=BE+EF+BD+DF=12+6+13+3=34．【點撥】本題考查了作圖-復雜作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)．類型三、三角形的中位線??作圖??面積??求線段（角度）3．如圖，在中，點為邊的中點，請用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】圖見分析【分析】根據(jù)題意，結合三角形的中位線的性質(zhì)，可得出點為線段的中點時，，首先以點和點為圓心，以大于的相同長為半徑，分別在線段兩側畫弧，其弧的交點分布于線段的兩側，連接兩交點，交線段于點，此點即為所求點，然后連接．解：如圖，點即為所求．【點撥】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)、尺規(guī)作圖，解本題的關鍵在理清題意，通過尺規(guī)作圖正確的出線段的中點．舉一反三：【變式1】如圖，在中，，分別為，的中點，延長至點，使，連接和．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若四邊形的面積為，求的面積．【答案】（1）見分析；（2）8【分析】（1）先說明為的中位線，可得、，又，則根據(jù)一組對邊平行且相等則為平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得的面積的面積，再說明的面積的面積，進而說明的面積的面積，最后根據(jù)圖形即可解答．解：證明：∵，分別為，的中點，∴為的中位線，∴，．∵，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形；解：∵四邊形是平行四邊形，∴的面積的面積．∵是的中點，∴的面積的面積．∵是的中點，∴的面積的面積，∴的面積．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線以及三角形的面積計算，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)成為解答本題的關鍵．【變式2】如圖，為的中線，為的中線．（1），，求的度數(shù)；（2）若的面積為40，，則到邊的距離為多少．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)解答即可；（2）過作邊的垂線即可得：到邊的距離為的長，然后過作邊的垂線，再根據(jù)三角形中位線定理求解即可．解：（1）是的外角，；（2）過作邊的垂線，為垂足，則為所求的到邊的距離，過作邊的垂線，為的中線，，，的面積為40，，即，解得，∵為的中線，∴，又∵為的中線，∴，則有：．即到邊的距離為4．【點撥】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及三角形的面積公式，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．類型四、三角形的中位線??證明??求線段（角度）4．如圖，中，M為的中點，為的平分線，于D．求證：；若，求的長．【答案】(1)證明見分析； (2)14【分析】（1）延長，交于點E，通過證明≌，得到，，進而得到為的中位線，即可得證；（2）利用勾股定理得到線段的長度，再結合（1）的結論，即可求出線段的長度．（1）解：如圖，延長，交于點E，∵平分，∴，在與中，∴≌，∴，，即點D為線段的中點，∴為的中位線，∴，∵，∴；（2）解：在中，，∴．【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的定義及性質(zhì)，根據(jù)題目的提示，正確做出輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，點D是上一點，，過點B作，分別交于點E，交于點F.求證：；如果，求證：.【答案】(1)見分析 (2)見分析【分析】（1）由，推出，，再由三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）取中點G，連接，證明即可解決問題．解：（1）證明：∵，∴，，∵，∴，∴；（2）證明：取中點G，連接，∴是的中位線，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，中位線定理，關鍵是作輔助線構造全等三角形．【變式2】按要求作圖．如圖（1），在平行四邊形中，為對角線，是的中線．①在取一點F使得；（僅使用無刻度的直尺畫圖）．②畫出的高．（僅使用無刻度的直尺畫圖）．如圖（2），四邊形是平行四邊形，在線段找一點E，使得平分．（僅使用圓規(guī)畫圖）【答案】(1)①見分析；②見分析 (2)見分析【分析】（1）①連接交AC于O點，則，則為的中位線，可得，延長交于F，則滿足條件；②設交于P點，則P點為的三條中線的交點，然后延長交于H，為邊上的中線，再由，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到；（2）以A點為圓心，為半徑畫弧交于E點，則，可得，再根據(jù)，可知，從而得到，即可．（1）解：①如圖1，連接交AC于O點，并延長交于F，F(xiàn)點即為所作；理由：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵是的中線．∴為的中位線，∴，即；②如圖1，設交于P點，延長交于H，即為所作；理由：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵是的中線．∴P點為的三條中線的交點，∴為邊上的中線，∴，即是的高；（2）解：如圖2，以A點為圓心，為半徑畫弧交于E點，則線段為所作．理由：根據(jù)作法得：，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，即平分．【點撥】本題考查了作圖——復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．類型五、三角形的中位線??實際應用??作圖??求值5．要測量B，C兩地的距離，小明想出一個方法：在池塘外取點A，得到線段，，并取，的中點D，E，連結．只要測出的長，就可以求得B，C兩地的距離．你認為這個方法正確嗎？請說明理由．【答案】這種說法正確，理由見分析【分析】連接，根據(jù)三角形的中位線定理，得出，再判斷即可．解：這種說法正確，理由如下：連接，，的中點為D，E，是的中位線，，只要測出的長，就可以求得B，C兩地的距離，所以，這個說法是正確的．【點撥】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，為邊的中點，請用尺規(guī)作圖法求作線段，使得點在上，，且．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見分析【分析】分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N兩點，作直線MN，交AC于點E，連接DE，則線段DE即為所求的線段．解：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，∴作出邊AC的中點E，連接DE，則線段DE即為所求的線段，如圖所示：【點撥】本題考查了作圖?復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式2】如圖，為等邊三角形，D為邊AB的中點，過點C的直線，作點D關于直線l的對稱點M，連接DM交AC于點E，交直線l于點F，作于點N，連接MC，MN．求證：為等邊三角形；求證：為等邊三角形；如果等邊的邊長為8，求DM的長．【答案】(1)證明見分析 (2)證明見分析 (3)12【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)可知，推出，則∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠ACB=60°，即可證明△ADE是等邊三角形；（2）如圖所示，連接DC，由題意得，由對稱的性質(zhì)可得，由（1）可知，E為AC的中點，可證EF是的中位線，F(xiàn)是CN的中點，DM是線段CN的垂直平分線，則，可知△CNM是等腰三角形，根據(jù)，結論得證；（3）由（2）可得，EF是△ANC的中位線，，則DF=DE+EF=6，DM=2DF=12；（1）解：∵D、M關于直線l對稱，∴，∵CN⊥BC，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠