2022-2023學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市教育學(xué)院附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市教育學(xué)院附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.在△ABC中，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，則A=（）A．90° B．60° C．135° D．150°參考答案：B【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，展開(kāi)化為：b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，化為：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=60°．故選：B．3.如圖所示，OA=1，在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的半圓弧上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則△AOB的面積小于的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】利用OA=1，△AOB的面積小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB的面積小于的概率．【解答】解：∵OA=1，△AOB的面積小于，∴＜，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB的面積小于的概率為=．故選：A．4.已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A（1，1），B（1，3），頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)（x，y）在△ABC內(nèi)部，則z=﹣x+y的取值范圍是（）A．（1﹣，2） B．（0，2） C．（﹣1，2） D．（0，1+）參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】由A，B及△ABC為正三角形可得，可求C的坐標(biāo)，然后把三角形的各頂點(diǎn)代入可求z的值，進(jìn)而判斷最大與最小值，即可求解范圍【解答】解：設(shè)C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC為正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）則此時(shí)直線AB的方程x=1，AC的方程為y﹣1=（x﹣1），直線BC的方程為y﹣3=﹣（x﹣1）當(dāng)直線x﹣y+z=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）時(shí)，z=0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，3）z=2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1+，2）時(shí)，z=1﹣∴故選A【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生線性規(guī)劃的理解和認(rèn)識(shí)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想．屬于基本題型．5.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，則角A為（）A． B． C． D．或參考答案：C【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】根據(jù)余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范圍，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到A的度數(shù)．【解答】解：由a2=b2+c2+bc，則根據(jù)余弦定理得：cosA===﹣，因?yàn)锳∈（0，π），所以A=．故選C6.已知復(fù)數(shù)z滿足?z=3+4i，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）A．4+3i B．﹣4+3i C．﹣4﹣3i D．4﹣3i參考答案：A【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知的等式變形，然后直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求值．【解答】解：?z=3+4i，∴z====4﹣3i，∴=4+3i，故選：A7.如果點(diǎn)（5，b）在兩條平行線6x-8y+1=0,3x-4y+5=0之間,則b應(yīng)取的整數(shù)值為（

）

A.-4

B.4.

C.-5

D.5.參考答案：B略8.已知直線y=kx與曲線y=lnx有交點(diǎn)，則k的最大值是（）A．e B．﹣e C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】要使直線y=kx與曲線y=lnx有公共點(diǎn)，只需kx=lnx有解，再利用分離參數(shù)法通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解即可．【解答】解：由題意，令kx=lnx，則k=，記f（x）=，∴f'（x）=．f'（x）在（0，e）上為正，在（e，+∞）上為負(fù)，可以得到f（x）的取值范圍為（﹣∞，]這也就是k的取值范圍，∴k的最大值為：．故選：C．9.讀兩段程序：對(duì)甲、乙程序和輸出結(jié)果判斷正確的是（）A．程序不同，結(jié)果不同 B．程序不同，結(jié)果相同C．程序相同，結(jié)果不同 D．程序相同，結(jié)果相同參考答案：B【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計(jì)算并打印S值【解答】解：程序甲是計(jì)數(shù)變量i從1開(kāi)始逐步遞增直到i=1000時(shí)終止，累加變量從0開(kāi)始，這個(gè)程序計(jì)算的是：1+2+3+…+1000；程序乙計(jì)數(shù)變量從1000開(kāi)始逐步遞減到i=1時(shí)終止，累加變量從0開(kāi)始，這個(gè)程序計(jì)算的是1000+999+…+1．但這兩個(gè)程序是不同的．兩種程序的輸出結(jié)果都是：S=1+2+3+…+1000=500500．故選B．【點(diǎn)評(píng)】考查由框圖分析出算法結(jié)構(gòu)的能力，本題考查是循環(huán)的結(jié)果．10.已知點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

參考答案：12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.參考答案：略13.已知圓O：x2+y2=4，直線l的方程為x+y=m，若圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，則實(shí)數(shù)m=．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】根據(jù)題意可得圓心O到直線l：x+y=m的距離正好等于半徑的一半，可得=1，由此求得m的值．【解答】解：由題意可得圓心O到直線l：x+y=m的距離正好等于半徑的一半，即=1，解得m=±，故答案為±．14.三對(duì)夫妻排成一排照相，僅有一對(duì)夫妻相鄰的排法種數(shù)為

．參考答案：28815.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足，，則不等式的解集為_(kāi)_________．參考答案：(0,1)設(shè)，則.故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故的解集為，即的解集為(0,1).點(diǎn)睛：由函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性就可以得自變量的大小關(guān)系.本題中只需構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為求解即可.16.關(guān)于曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線是雙曲線；②關(guān)于軸對(duì)稱；③關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱；④與軸所圍成封閉圖形面積小于2．則其中正確結(jié)論的序號(hào)是

．（注：把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）參考答案：（2）（4）17.設(shè)A是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈[，]，則雙曲線離心率的取值范圍是．參考答案：[，+1]【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先求出e2=，再根據(jù)α∈[，]，即可求出雙曲線離心率的取值范圍．【解答】解：設(shè)左焦點(diǎn)為F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，則|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴=4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF=2S△AOF，∴r1r2═2?c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故答案為：[，+1]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比較：（）100，e的大小關(guān)系，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）問(wèn)題等價(jià)于ln（x+1）＞，令t=x+1，則x=t﹣1，由x＞0得t＞1，問(wèn)題等價(jià)于：lnt＞，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；（Ⅲ）根據(jù)＜1，令x=，得到（1+）ln（x+1）＞1，判斷大小即可．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），因?yàn)閒′（x）=，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，所以函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．（Ⅱ）證明：①因?yàn)閤＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等價(jià)于ln（x+1）＞，令t=x+1，則x=t﹣1，由x＞0得t＞1，所以不等式ln（x+1）＞（x＞0）等價(jià)于：lnt＞，即：lnt﹣＞0（t＞1），由（Ⅰ）得：函數(shù)g（t）=lnt﹣在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞；②因?yàn)閤＞0，不等式x＜（x+l）ln（x+1）等價(jià)于ln（x+1）＜x，令h（x）=ln（x+1）﹣x，則h′（x）=﹣1=，所以h'（x）＜0，所以函數(shù)h（x）=ln（x+1）﹣x在（0，+∞）上為減函數(shù)，所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．由①②得：x＞0時(shí)，x＜（x+l）ln（x+1）；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0時(shí)，＜1，所以令x=，得100×ln（+1）＜1，即ln（）100＜1，所以（）100＜e；又因?yàn)椋荆▁＞0），所以（1+）ln（x+1）＞1，令x=得：100×ln＞1，所以ln（）100＞1，從而得（）100＞e．所以（）100＜（）100．19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：++…+＜2．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式可得an+1an+2=4Sn+1﹣1，與原遞推式作差可得an+2﹣an=4，說(shuō)明{a2n﹣1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，{a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，分別求出通項(xiàng)公式后可得{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得Sn，取其倒數(shù)后利用放縮法證明++…+＜2．【解答】（I）解：由題設(shè)，anan+1=4Sn﹣1，得an+1an+2=4Sn+1﹣1．兩式相減得an+1（an+2﹣a）=4an+1．由于an+1≠0，∴an+2﹣an=4．由題設(shè)，a1=1，a1a2=4S1﹣1，可得a2=3．故可得{a2n﹣1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n﹣1=4n﹣3=2（2n﹣1）﹣1；{a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n=4n﹣1=2?2n﹣1．∴；（Ⅱ）證明：，當(dāng)n＞1時(shí)，由，得，∴．20.在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)求Sn.參考答案：（1）a1＝1；a2＝－1，a3＝－（2）an＝－（3）(1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝，即a21－1＝0，解得a1＝±1.∵a1>0，∴a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝，即＋2a2－1＝0.∵a2>0,∴a2＝－1.同理可得，a3＝－.(2)由(1)猜想an＝－.(3)Sn＝1＋(－1)＋(－)＋…＋(－)＝.21.已知四棱錐S﹣ABCD，底面為正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分別為AB、SC中點(diǎn)．（Ⅰ）求四棱錐S﹣ABCD的表面積；（Ⅱ）求證：MN∥平面SAD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】（Ⅰ）由條件可得△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，再根據(jù)S表面積=2S△SAB+2S△SBC+SABCD運(yùn)算求得結(jié)果．（Ⅱ）取SD中點(diǎn)P，利用三角形的中位線的性質(zhì)證得AMNP是平行四邊形，可得MN∥AP．再根據(jù)直線和平面平行的判定的定理證得MN∥平面SAD．【解答】解：（Ⅰ）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC．又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥S