時角平分線的性質(zhì)完整版

12.3角的平分線的性質(zhì)(xìngzhì)第十二章全等三角形導入新課講授(jiǎngshòu)新課當堂(dānɡtánɡ)練習課堂小結第1課時角平分線的性質(zhì)

八年級數(shù)學上（RJ）

第一頁，共二十六頁。學習目標1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.（難點）2.能運用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題(wèntí).

（重點）第二頁，共二十六頁。挑戰(zhàn)(tiǎozhàn)第一關情境引入問題1：在紙上畫一個角，你能得到(dédào)這個角的平分

線嗎？

導入新課用量角器度量(dùliàng)，也可用折紙的方法．問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？第三頁，共二十六頁。提煉(tíliàn)圖形第四頁，共二十六頁。

問題3：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條(yītiáo)射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全(liǎnɡquán)等三角形的對應角相等.第五頁，共二十六頁。挑戰(zhàn)第二(dìèr)關探索新知問題：如果沒有(méiyǒu)此儀器，我們用數(shù)學作圖工具，能實現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO尺規(guī)作角平分線一做一做：請大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法(fāngfǎ)，并說明作圖方法(fāngfǎ)與儀器的關系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？第六頁，共二十六頁。ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細觀察步驟(bùzhòu)

作角平分線是最基本(jīběn)的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點MN為圓心，大于

MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交(xiāngjiāo)于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.第七頁，共二十六頁。已知：平角(píngjiǎo)∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結論(jiélùn)：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.ABOC第八頁，共二十六頁。1.操作測量(cèliáng)：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結果，猜想線段(xiànduàn)PD與PE的大小關系，寫出結：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實驗(shíyàn)：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的

任意一點猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)二第九頁，共二十六頁。驗證(yànzhèng)猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別(fēnbié)為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明(zhèngmíng)：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等第十頁，共二十六頁。

一般情況下，我們要證明一個幾何命題(mìngtí)時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑(tújìng)，寫出證明過程.方法(fāngfǎ)歸納第十一頁，共二十六頁。

性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離(jùlí)相等.應用所具備(jùbèi)的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理(dìnglǐ)的作用：

證明線段相等.應用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.知識要點PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC第十二頁，共二十六頁。判一判：（1）∵如下(rúxià)左圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離(jùlí)相等BDCD×BADC(2)∵

如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離(jùlí)相等BDCD×BADC第十三頁，共二十六頁。例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別(fēnbié)為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明(zhèngmíng)：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析第十四頁，共二十六頁。例2:如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足(chuízú)分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨(wēnxīn)提示：存在兩條垂線段———直接應用典例精析第十五頁，共二十六頁。ABCP變式：如

圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分(píngfēn)∠BAC交BC于點P，若PC＝4,AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.D4溫馨提示：存在一條垂線(chuíxiàn)段———構造應用第十六頁，共二十六頁。ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分(píngfēn)∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長(zhōuchánɡ).·AB·PD=28.由垂直平分線的性質(zhì)(xìngzhì)，可知，PD=PC=4，=第十七頁，共二十六頁。1.應用(yìngyòng)角平分線性質(zhì)：存在(cúnzài)角平分線涉及(shèjí)距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關系進行轉(zhuǎn)化求解第十八頁，共二十六頁。當堂(dānɡtánɡ)練習2.△ABC中,∠C=90°,AD平分(píngfēn)∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足(chuízú)分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG第十九頁，共二十六頁。3.用尺規(guī)作圖作一個(yīɡè)已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA第二十頁，共二十六頁。4.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足(chuízú)為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEAD解析(jiěxī)：過點D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，解得AC＝3.F方法總結：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構造(gòuzào)三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．第二十一頁，共二十六頁。EDCBA68105.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段(xiànduàn)與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點到角兩邊的距離相等(xiāngděng).（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴AE＝AB-BE=2.∴△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.第二十二頁，共二十六頁。6.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點(jiāodiǎn)，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離(jùlí).∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.第二十三頁，共二十六頁。

7.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點(yīdiǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.證明(zhèngmíng)：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.第二十四頁，共二十六頁。課堂(kètáng)小結角平分線尺規(guī)作圖屬于(shǔyú)基本作圖，必須熟練掌握性質(zhì)(xìngzhì)定理一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角