2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 　組合（二） 課件（40張）

核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.能應(yīng)用組合知識解決有關(guān)組合的簡單實際問題.(邏輯推理)2.能解決有限制條件的組合問題.(邏輯推理)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思編號為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈,晚上用時只亮三盞,且任意兩盞亮燈不相鄰,則不同的亮燈方案有幾種?知識點撥一、組合的有關(guān)概念一般地,從n個不同元素中任取m(m≤n,且m,n∈N+)個元素為一組,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的所有組合的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的組合數(shù),記作微思考1滿足什么條件的兩個組合是相同的組合?提示如果兩個組合中的元素完全相同,不管它們的順序如何,就是相同的組合,否則就是兩個不相同的組合(即使只有一個元素不同).微思考2組合數(shù)公式的兩種形式在應(yīng)用中如何選擇?二、組合應(yīng)用題的解法1.無限制條件的組合應(yīng)用題的解法步驟為:一、判斷;二、轉(zhuǎn)化;三、求值;四、作答.2.有限制條件的組合應(yīng)用題的解法常用解法有:直接法、間接法.可將條件視為特殊元素或特殊位置,一般地按從不同位置選取元素的順序分步,或按從同一位置選取的元素個數(shù)的多少分類.微練習(xí)正六邊形頂點和中心共7個點,可組成

個三角形.

答案

32解析

不共線的三個點可組成一個三角形,7個點中共線的是:正六邊形過中心的3條對角線,即共有3種情況,故組成三角形的個數(shù)為

-3=32.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一有限制條件的組合問題例1現(xiàn)有男運動員6名,女運動員4名,其中男、女隊長各1名,選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運動員3名,女運動員2名;(2)至少有1名女運動員;(3)既要有隊長,又要有女運動員.反思感悟

有限制條件的抽(選)取問題,主要有兩類:一是“含”與“不含”問題,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步計數(shù);二是“至多”與“至少”問題,其解法常有兩種解決思路:一是直接分類法,但要注意分類要不重不漏;二是間接法,注意找準(zhǔn)對立面,確保不重不漏.變式訓(xùn)練1(1)某組織從4名男運動員、6名女運動員中各選一名運動員作為最佳運動員,不同的選法種數(shù)為(

)A.12 B.30 C.15 D.24(2)從(1)中的4名男運動員、6名女運動員中選出3人參加某公益活動,則至多有2名男運動員的選法有

種.

答案

(1)D

(2)116探究二分組、分配問題命題角度1

不同元素分組、分配問題例2有6本不同的書,按下列方式分組或分配,則共有多少種不同的方式?(1)分成三組,每組分別有1本,2本,3本;(2)分給甲、乙、丙三人,其中一個人1本,一個人2本,一個人3本;(3)分成三組,每組都是2本;(4)分給甲、乙、丙三人,每人2本.反思感悟

分組、分配問題的求解策略(1)分組問題屬于“組合”問題,常見的分組問題有三種:①完全均勻分組,每組的元素個數(shù)均相等;②部分均勻分組,應(yīng)注意不要重復(fù),若有n組均勻,最后必須除以n!;③完全非均勻分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題.分配問題可以按要求逐個分配,也可以分組后再分配.變式訓(xùn)練2某賓館安排A,B,C,D,E五人入住3個不同的房間,每個房間至少住1人,且A,B不能住同一房間,則不同的安排方法的種數(shù)為(

)A.24 B.48 C.96 D.114答案

D根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有42+72=114(種).命題角度2

相同元素分配問題例3將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子中,分別求下列要求下的放法的種數(shù).(1)每個盒子都不空;(2)恰有一個空盒子;(3)恰有兩個空盒子.反思感悟

相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法:如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置,便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法,此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m),有

種方法.可描述為(n-1)個空中插入(m-1)塊隔板.變式訓(xùn)練3某同學(xué)有同樣的畫冊2本,同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈送方法共有(

)A.4種 B.10種 C.18種 D.20種答案

B解析

由于只剩一本書,且這些畫冊、集郵冊分別相同,可以從剩余的書的類別進行分析.又由于排列、組合針對的是不同的元素,應(yīng)從4位朋友中進行選取.第一類:當(dāng)剩余的一本是畫冊時,相當(dāng)于把3本相同的集郵冊和1本畫冊分給4位朋友,只有1位朋友得到畫冊.即把4位朋友分成人數(shù)為1,3的兩隊,有1個元素的那隊分給畫冊,另一隊分給集郵冊,有

種分法.第二類:當(dāng)剩余的一本是集郵冊時,相當(dāng)于把2本相同的畫冊和2本相同的集郵冊分給4位朋友,有2位朋友得到畫冊,即把4位朋友分成人數(shù)為2,2的兩隊,一隊分給畫冊,另一隊分給集郵冊,有

種分法.因此,滿足題意的贈送方法探究三與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題例4如圖,在以AB為直徑的半圓周上,有異于A,B的六個點C1,C2,…,C6,線段AB上有異于A,B的四個點D1,D2,D3,D4.(1)以C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1,D2,D3,D4這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形?其中含C1點的有多少個?(2)以圖中的12個點(包括點A,B)中的4個點為頂點,可作出多少個四邊形?反思感悟

1.圖形多少的問題通常是組合問題,要注意共點、共線、共面、異面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用間接法.2.把一個與幾何相關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為組合問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).變式訓(xùn)練4空間中有10個點,其中有5個點在同一個平面內(nèi),其余點無三點共線,無四點共面,則以這些點為頂點,共可構(gòu)成四面體的個數(shù)為(

)A.205 B.110 C.204 D.200答案

A素養(yǎng)形成思想方法——排列組合中隔板法的妙用隔板法是排列組合中的一種解題應(yīng)用模型,是將“實際分配問題”或較復(fù)雜的數(shù)學(xué)“球盒問題”轉(zhuǎn)化為“球板模型”的一種重要方式.其中用球代表相同元素,用板所隔出的幾個部分代表相應(yīng)的分配集合.通過隔板的不同插入方式,得到不同的分配結(jié)果.這里需注意的是,既然是插隔板,那么每個空只能插一個,即兩個隔板間至少有一個元素.(而板的插入方式則可由簡單的計數(shù)原理插空法計算得出)典例1現(xiàn)有10個完全相同的球全部放入7個不同的盒子,每個盒子至少1個,則共有

種不同的方法.

解析

該問題用分類計數(shù)法較復(fù)雜,但可以將10個球排成一行,10個球中間就出現(xiàn)9個空檔,再用6個隔板把10個球分成有序的7份,每個班級就依次按班級序號分到對應(yīng)的n個球(可能是1個、2個、3個、4個).即在9個空檔中插入6個隔板,由6個隔板把球分成7份,共有

=84種不同的方法.答案

84典例28個完全相同的球全部放入3個不同的盒子中,有

種不同的分法.

解析

典例2與典例1的區(qū)別在于典例1中每組都要求非空,而典例2允許有空盒.即8個球可能分在2個甚至1個盒中.此類題型還是可以用隔板法,只需做一些小變化,可以假想從每個盒子中借一個球,這樣共有11個球,然后用隔板法.這11個球中間10個空檔用2個隔板,故答案為

=45種不同的方法.答案

45反思感悟

1.隔板法用于解決元素分組問題,靈活運用隔板法能處理一些較復(fù)雜的排列組合問題,但使用時有三點要求:①元素相同;②每組均“非空”,即每組中至少分一個元素;③不能有剩余元素.2.典例1的解法屬于直接用隔板法;典例2中的“空組”問題可以用“先借后還”思路,即當(dāng)盒中分到一個球后還回1個球,該盒實際上是空盒;分到2個球,該盒實際上只含一個球,依此類推……,最后再用隔板法解決.變式訓(xùn)練(1)12個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中,每個盒子中至少有一個小球的不同放法有多少種?(2)12個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中,不同放法有多少種?(3)12個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中,要求每個盒子中的小球個數(shù)不小于其編號數(shù),不同的方法有多少種?當(dāng)堂檢測1.