專(zhuān)題16組合7種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

專(zhuān)題16組合7種常見(jiàn)考法歸類(lèi)思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、組合的概念及判斷考點(diǎn)二、組合數(shù)公式的應(yīng)用考點(diǎn)三、分組分配問(wèn)題考點(diǎn)四、隔板法的應(yīng)用考點(diǎn)五、實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題考點(diǎn)六、代數(shù)中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題考點(diǎn)七、幾何組合計(jì)數(shù)問(wèn)題一、組合1、定義：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素作為一組，叫做個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合。2、兩個(gè)組合相同的條件：兩個(gè)組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的。3、對(duì)組合概念的兩點(diǎn)說(shuō)明：（1）組合的特點(diǎn)：組合要求個(gè)元素是不同的，被取出的個(gè)元素也是不同的，即從個(gè)不同元素中進(jìn)行次不放回地取出；（2）組合的特性：元素是無(wú)序的，即取出的個(gè)元素不講究順序，亦即元素沒(méi)有位置的要求。二、組合數(shù)與組合數(shù)公式1、組合數(shù)：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示。2、組合數(shù)公式：（，且）注：組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)是多少呢？．（2）推廣：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，可以分如下兩步：①先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)；②求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：＝．3、組合數(shù)的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）規(guī)定三、排列與組合的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)1、相同點(diǎn)：組合與排列都是“從不同的元素中取出個(gè)元素”2、不同點(diǎn)：組合中要求元素“不管元素的順序合成一組”，而排雷中要求元素“按照一定的順序排成一列”，因此區(qū)分某一個(gè)問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，即交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，若有影響，則是排雷問(wèn)題，若無(wú)影響，則是組合問(wèn)題。1、組合問(wèn)題的2類(lèi)題型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取．(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類(lèi)題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類(lèi)復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．2、分組、分配問(wèn)題的求解策略（1）對(duì)不同元素的分配問(wèn)題①對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．②對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．③對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．（2）對(duì)于相同元素的“分配”問(wèn)題，常用方法是采用“隔板法”．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、組合的概念及判斷1．（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谥校┫铝兴膫€(gè)問(wèn)題屬于組合問(wèn)題的是（

）A．從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從、、、這個(gè)數(shù)字中選取個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式D．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)【答案】C【分析】根據(jù)組合的定義逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作，將人選出后，還要安排導(dǎo)游或翻譯的工作，與順序有關(guān)，這個(gè)問(wèn)題為排列問(wèn)題；對(duì)于B選項(xiàng)，從、、、這個(gè)數(shù)字中選取個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，選出三個(gè)數(shù)字之后，還要將這三個(gè)數(shù)安排至個(gè)位、十位、百位這三個(gè)數(shù)位，與順序有關(guān)，這個(gè)問(wèn)題為排列問(wèn)題；對(duì)于C選項(xiàng)，從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式，只需將三名同學(xué)選出，與順序無(wú)關(guān)，這個(gè)問(wèn)題為組合問(wèn)題；對(duì)于D選項(xiàng)，從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)，將人選出后，還要安排至班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)兩個(gè)職務(wù)，與順序有關(guān)，這個(gè)問(wèn)題為排列問(wèn)題.故選：C.2．（2023下·山西晉中·高二?？计谥校┫铝袉?wèn)題中不是組合問(wèn)題的是（

）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握手多少次B．平面上有9個(gè)不同點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條直線(xiàn)C．集合的含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)D．從高二（6）班的50名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法【答案】D【分析】根據(jù)組合的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閮扇宋帐譀](méi)有順序之分，所以選項(xiàng)A問(wèn)題是組合問(wèn)題；因?yàn)閮牲c(diǎn)組成直線(xiàn)沒(méi)有順序之分，所以選項(xiàng)B問(wèn)題是組合問(wèn)題；因?yàn)榧显鼐哂袩o(wú)序性，所以選項(xiàng)C問(wèn)題是組合問(wèn)題；因?yàn)檫@2名學(xué)生參加的節(jié)目有順序之分，所以選項(xiàng)D問(wèn)題不是組合問(wèn)題，故選：D3．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（正確的寫(xiě)正確，錯(cuò)誤的寫(xiě)錯(cuò)誤）（1）兩個(gè)組合相同的充要條件是組成組合的元素完全相同．()（2）從a1，a2，a3三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素組成一個(gè)組合，所有組合的個(gè)數(shù)為.()（3）從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會(huì)調(diào)查，求有多少種不同的選法是組合問(wèn)題．()（4）把當(dāng)日動(dòng)物園的4張門(mén)票分給5個(gè)人，每人至多分一張，而且必須分完，求有多少種分法是排列問(wèn)題.()【答案】正確正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤【分析】根據(jù)組合的含義和組合數(shù)的公式進(jìn)行判斷.【詳解】（1）因?yàn)橹灰獌蓚€(gè)組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合．（2）由組合數(shù)的定義可知正確．（3）因?yàn)檫x出2名同學(xué)還要分到不同的兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，這是排列問(wèn)題．（4）由于4張票是相同的，故相當(dāng)于從5人中選4人的組合問(wèn)題．故答案為：正確；正確；錯(cuò)誤；錯(cuò)誤.考點(diǎn)二、組合數(shù)公式的應(yīng)用4．（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）（

）A．120 B．119 C．110 D．109【答案】B【分析】由組合數(shù)公式不斷迭代即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.5．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）計(jì)算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．540【答案】A【分析】利用組合和排列數(shù)公式計(jì)算【詳解】故選：A6．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）（1）已知，計(jì)算：；（2）解方程：．【答案】（1）126；（2）．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出并計(jì)算得解.（2）利用組合計(jì)算公式、排列數(shù)公式求解即得.【詳解】（1）因?yàn)?，則，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以.（2）由，得，即，而由，知，解得，所以原方程的解為.7．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）解關(guān)于正整數(shù)x的方程：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】（1）（2）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)以及公式即可求解.【詳解】（1）x為正整數(shù)，由可得或，故或，解得或或或（舍去），又均為整數(shù)，且，所以或符合要求，不符合要求，故或（2）由組合數(shù)的性質(zhì)可得，所以由可得，進(jìn)而可得，解得或（舍去），由于，所以，故只取，舍去，8．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）觀察下列等式及其所示的規(guī)律：，，，并據(jù)此化簡(jiǎn)，其中n為正整數(shù)．【答案】【分析】利用等式規(guī)律以及組合數(shù)性質(zhì)，從前向后逐項(xiàng)相加即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)等式所示規(guī)律可知；由組合數(shù)性質(zhì)可得，所以可得9．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求證：．【答案】證明見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)組合數(shù)公式推導(dǎo)可得.【詳解】由組合數(shù)公式可知，等式成立.10．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】從個(gè)元素里面取個(gè)元素可以分為以下兩種情形來(lái)考慮：情形一：選取的個(gè)元素中包含某一確定的元素；情形二：選取的個(gè)元素中不包含某一確定的元素.由以上兩種情形并結(jié)合組合數(shù)的意義即可得證.【詳解】一方面：從個(gè)元素里面取個(gè)元素可以分為以下兩種情形：情形一：選取的個(gè)元素中包含某一確定的元素，則只需從剩下的個(gè)元素里面取個(gè)元素即可；情形二：選取的個(gè)元素中不包含某一確定的元素，則需從剩下的個(gè)元素里面取個(gè)元素.另一方面：由組合數(shù)的意義可知從個(gè)元素里面取個(gè)元素的選取法數(shù)可以用組合數(shù)來(lái)表示，同理從個(gè)元素里面取個(gè)元素以及從個(gè)元素里面取個(gè)元素的選取法數(shù)可以分別用組合數(shù)來(lái)表示.結(jié)合以上兩方面且由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理有.11．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）m是自然數(shù)，n為正整數(shù)，且，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用組合數(shù)公式計(jì)算即可得到本題答案.【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式，可以得到．考點(diǎn)三、分組分配問(wèn)題12．（2023上·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社區(qū)的不同安排方法數(shù)為（

）A．24 B．36 C．60 D．96【答案】C【分析】分社區(qū)只有甲和社區(qū)還有另一個(gè)志愿者兩種類(lèi)型，利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合知識(shí)求不同的安排方法數(shù).【詳解】分兩種情形：①社區(qū)只有甲，則另4人在3個(gè)社區(qū)，此時(shí)有；②社區(qū)還有另一個(gè)志愿者，此時(shí)有，，甲恰好被安排在A社區(qū)有60種不同安排方法.故選：C.13．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┈F(xiàn)有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，作如下分配方案.(1)平均分成5個(gè)組，每組2人，有多少種分配方案？(2)分成7個(gè)組，每組最少1人，有多少種分配方案？【答案】(1)945(2)84【分析】（1）根據(jù)平均分組的分配規(guī)律，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，即可得答案；（2）結(jié)合題意，利用隔板法即可求得答案.【詳解】（1）根據(jù)平均分配規(guī)律，則平均分配5個(gè)組共有種方案.（2）10名運(yùn)動(dòng)員排成一排，中間形成9個(gè)空隙，選6個(gè)位置插入隔板，則分成7組，故分配方案共有種.14．（2024上·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）把6個(gè)不同的小球隨機(jī)放入3個(gè)不同的盒子中，若每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球，則不同放法的種數(shù)為（

）A．540 B．630 C．1080 D．1260【答案】A【分析】根據(jù)排列組合中的分組分配問(wèn)題求解即可.【詳解】將6個(gè)不同的小球按要求放有三種方案：4:1:1，3:2:1，2:2:2，則所有的放法有種.故選:A.15．（2023上·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)已圓滿(mǎn)落幕，志愿者“小青荷”們讓世界看到了新時(shí)代中國(guó)青年的風(fēng)采.早在2021年5月，杭州A公司便響應(yīng)號(hào)召，在全公司范圍內(nèi)組織亞運(yùn)會(huì)志愿者的報(bào)名與培訓(xùn)，經(jīng)過(guò)選拔，最終有3名黨員和3名團(tuán)員共6人脫穎而出.在彩排環(huán)節(jié)，需從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個(gè)場(chǎng)館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有（

）A．54種 B．45種 C．36種 D．18種【答案】A【分析】根據(jù)全部情況中去掉不符合條件的情況即可結(jié)合排列組合求解.【詳解】從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館一共有種選派方法，若游泳館沒(méi)有黨員，籃球館有黨員，則有種，同理游泳館有黨員，籃球館沒(méi)有黨員，則有種，故從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個(gè)場(chǎng)館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有，故選：A16．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個(gè)吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊(yùn)的機(jī)器人為了宣傳杭州亞運(yùn)會(huì)，某校決定派5名志愿者將這三個(gè)吉祥物安裝在學(xué)?？萍紡V場(chǎng)，每名志愿者只安裝一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．50 B．36 C．26 D．14【答案】A【分析】按照和分組討論安排.【詳解】（1）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另一個(gè)人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，（2）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另兩個(gè)人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，故共有種，故選：A.17．（2023上·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校?？计谥校┍鄙街袑W(xué)在學(xué)?！?36”發(fā)展目標(biāo)的引領(lǐng)下，不斷推進(jìn)教育教學(xué)工作的高質(zhì)量發(fā)展，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展．現(xiàn)有高一新生中的五名同學(xué)打算參加“地理行知社”“英語(yǔ)ABC”“籃球之家”“生物研啟社”四個(gè)社團(tuán)．若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加“生物研啟社”，則不同的參加方法的種數(shù)為（

）A．72 B．108 C．180 D．216【答案】C【分析】根據(jù)甲參加的社團(tuán)分類(lèi)，分甲參加的社團(tuán)只有1人和參加的社團(tuán)有2人，由分步和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得．【詳解】根據(jù)題意分析可得，必有2人參加同一社團(tuán).首先分析甲，甲不參加“生物研啟社”，則有3種情況，再分析其他4人，若甲與另外1人參加同一個(gè)社團(tuán)，則有（種）情況；若甲是單獨(dú)1個(gè)人參加一個(gè)社團(tuán)，則有（種）情況．則除甲外的4人有（種）參加方法．故不同的參加方法的種數(shù)為故選：C18．（2021下·內(nèi)蒙古赤峰·高二校考期中）勞動(dòng)教育是中國(guó)特色社會(huì)主義教育制度的重要內(nèi)容，某校計(jì)劃組織學(xué)生參與各項(xiàng)職業(yè)體驗(yàn)，讓學(xué)生在勞動(dòng)課程中掌握一定的勞動(dòng)技能，理解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值，培養(yǎng)勞動(dòng)自立意識(shí)和主動(dòng)服務(wù)他人，服務(wù)社會(huì)的情懷．該校派遣甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)小組到A、B、C三個(gè)街道進(jìn)行打掃活動(dòng)，每個(gè)街道至少去一個(gè)小組，則不同的派遣方案有（

）A．140 B．150 C．200 D．220【答案】B【分析】分成兩種情況，分別對(duì)每種情況單獨(dú)討論即可.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時(shí)，則有種不同方案，當(dāng)按照進(jìn)行分配時(shí)，則有種不同方案，故共有不同的方案，故選:B19．（2023上·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）為了全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，加快農(nóng)村、農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化建設(shè)，某市準(zhǔn)備派6位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員到A，B，C，3地指導(dǎo)工作；每地上午和下午各安排一位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員，且每位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員只能被安排一次，其中張指導(dǎo)員不安排到地，李指導(dǎo)員不安排在下午，則不同的安排方案共有（

）A．180種 B．240種 C．480種 D．540種【答案】B【分析】分兩種情況討論：李指導(dǎo)員安排在C地上午時(shí)和李指導(dǎo)員不安排在C地上午時(shí)，再結(jié)合排列組合定義即可解決.【詳解】李指導(dǎo)員安排在C地上午時(shí)，張指導(dǎo)員有種安排方案，其余4位指導(dǎo)員有種安排方案，則共有種安排方案；李指導(dǎo)員不安排在C地上午時(shí)，李指導(dǎo)員有種安排方案，張指導(dǎo)員有種安排方案，其余4位指導(dǎo)員有種安排方案，則共有種安排方案；綜上，共有96+144=240種安排方案.故選：B20．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）為了支援與促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的方法種數(shù)為（

）A．18 B．150 C．36 D．54【答案】C【分析】按照兩位女教師分派到同一個(gè)地方時(shí)，男老師也分配到該地方的人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而即得．【詳解】五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況，根據(jù)題意兩位女教師分派到同一個(gè)地方，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故共有：36種分派方法，故選：．21．（2023下·高二?？紗卧獪y(cè)試）6本不同的書(shū)，按照以下要求處理，各有幾種方法?(1)分給甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分為三份，每份2本；(3)分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本.【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)定向分配的原理和分步乘法原理計(jì)算；（2）根據(jù)均勻分組的原理計(jì)算；（3）根據(jù)不均勻分組的原理計(jì)算；（4）在上一問(wèn)的基礎(chǔ)上的結(jié)果乘以全排列即可【詳解】（1）先從本書(shū)中選本給甲，有種選法，再?gòu)钠溆啾局羞x本給乙，有種選法，最后從余下的本書(shū)中選本給丙，有種選法.所以分給甲、乙、丙三人，每人本，根據(jù)分步乘法原理，共有(種)方法.（2）可以分兩步完成：第步，將本書(shū)分為三份，每份本，設(shè)有種方法；第步，將上面三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有種方法.根據(jù)（1）的結(jié)論和分步乘法計(jì)數(shù)原理得到，所以.因此分為三份，每份本，一共有種方法.（3）對(duì)于“不均勻分組”問(wèn)題，類(lèi)似按照（1）的方法得到一共有(種)方法；（4）在（3）的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有(種)方法.22．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？(1)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子；(2)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；(3)6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；(4)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)空盒．【答案】(1)4096(2)1560(3)10(4)2160【分析】（1）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案；（2）先把6個(gè)小球分為4組，每組個(gè)數(shù)為或，再放入不同的4個(gè)盒子中，即可求得答案.（3）采用隔板法可求得答案.（4）將6個(gè)不同的小球分為3組，球的個(gè)數(shù)為或或，結(jié)合平均分組以及不平均分組知識(shí)，即可求得答案.【詳解】（1）由題意，6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)小球都有4種可能的放法，故有種不同的方法；（2）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；先把6個(gè)小球分為4組，每組個(gè)數(shù)為或，再放入不同的4個(gè)盒子中，共有種不同的方法.（3）6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，即將6個(gè)相同的小球分為4份即可，可采用隔板法，即將6個(gè)小球排成一排，在中間形成的5個(gè)空中選3個(gè)插入隔板，即可將6個(gè)相同的小球分成4份，故有種方法.（4）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)空盒,將6個(gè)不同的小球分為3組，球的個(gè)數(shù)為或或，然后從4個(gè)不同的盒子中選3個(gè)放入這3組球，則有種不同的方法.考點(diǎn)四、隔板法的應(yīng)用23．（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）試求不定方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)．【答案】．【分析】根據(jù)設(shè)，根據(jù)原不定方程解的組數(shù)與方程的解的組數(shù)相同設(shè)有個(gè)1，將它們排成一排，每?jī)蓚€(gè)之間有1個(gè)間隙，共有個(gè)間隙，用劃豎線(xiàn)的方法將這個(gè)1分成m段，每段內(nèi)1的個(gè)數(shù)即為一組，，…，，它是方程的一組正整數(shù)解，據(jù)此即可求解.【詳解】由于，所以令，則，原不定方程解的組數(shù)與方程的解的組數(shù)相同，設(shè)想有個(gè)1，將它們排成一排，每?jī)蓚€(gè)之間有1個(gè)間隙，共有個(gè)間隙，用劃豎線(xiàn)的方法將這個(gè)1分成m段，每段內(nèi)1的個(gè)數(shù)即為一組，，…，，它是方程的一組正整數(shù)解，由于劃豎線(xiàn)的方法數(shù)為，故原不定方程非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為．24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（1）求方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)；（2）某火車(chē)站共設(shè)有4個(gè)安檢入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)入1位乘客，求一個(gè)4人小組進(jìn)站的不同方案種數(shù).【答案】（1）56；（2）840種【分析】（1）設(shè)（，2，3，4），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為程的正整數(shù)解的組數(shù)，利用隔板法進(jìn)行求解；（2）轉(zhuǎn)化為方程的非負(fù)整數(shù)解的組，利用隔板法，結(jié)合排列知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】（1）設(shè)（，2，3，4），則方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)等于方程的正整數(shù)解的組數(shù)，利用隔板法得方程的正整數(shù)解的組數(shù)是，∴方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)是56.（2）設(shè)4名乘客中分別有，，，個(gè)人在第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)安檢口通過(guò)，則，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)，共有種情況，每一種進(jìn)站情況的4個(gè)位置由4個(gè)人去站有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的進(jìn)站方案有種，∴一個(gè)4人小組進(jìn)站的不同方案種數(shù)是840種.25．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將20個(gè)完全相同的球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子中．(1)若要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，則一共有多少種放法？(2)若每個(gè)盒子可放任意個(gè)球，則一共有多少種放法？(3)若要求每個(gè)盒子放的球的個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，則一共有多少種放法？【答案】(1)3876；(2)；(3)126．【分析】（1）由隔板法知，在19個(gè)空隙中放4個(gè)板子；（2）在24個(gè)空隙中放4個(gè)板子；（3）先在1，2，3，4，5的五個(gè)盒子中依次放入0，1，2，3，4個(gè)球，再將剩余的10個(gè)球利用隔板法分為5份.【詳解】（1）把20個(gè)球擺好，在中間19個(gè)空隙中選擇放4個(gè)板子，所以一共有種；（2）由題意可知，可以出現(xiàn)空盒子，所以把20個(gè)球和5個(gè)虛擬的球擺好，在中間24個(gè)空隙中選擇放4個(gè)板子，所以一共有種；（3）先在編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子中依次放入0，1，2，3，4個(gè)球，再只要保證余下的10個(gè)球每個(gè)盒子至少放一個(gè)，把10個(gè)球擺好，在中間9個(gè)空隙中選擇放4個(gè)板子，所以一共有種.考點(diǎn)五、實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題26．（2024上·上?！じ叨？计谀┠嘲嗉?jí)在迎新春活動(dòng)中進(jìn)行抽卡活動(dòng)，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各兩張，“龍”卡三張．每個(gè)學(xué)生從卡箱中隨機(jī)抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ瑒t額外獲得2分．(1)求學(xué)生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)；(2)求學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的知識(shí)求得正確答案.（2）根據(jù)分的組合情況進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得正確答案.【詳解】（1）學(xué)生甲抽到“福”“龍”“迎”“春”4張卡片的不同的抽法種數(shù)為種.（2）學(xué)生乙最終獲得分，有兩種情況：①，抽到張“龍”卡以及其它任意張卡，方法數(shù)有種.②，抽到抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ椒〝?shù)有種.所以學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)為種.27．（2023上·甘肅白銀·高二?？计谀┱n外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男?女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人參加某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？（用數(shù)字做答）(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)參加該活動(dòng)；(2)至多有兩名女生參加該活動(dòng).【答案】(1)825；(2)966.【分析】（1）分有一名隊(duì)長(zhǎng)和兩名隊(duì)長(zhǎng)情況討論得解或采用排除法得解；（2）分有兩名女生?只有一名女生?沒(méi)有女生三種情況討論得解.【詳解】（1）至少有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩種情況：有一名隊(duì)長(zhǎng)和有兩名隊(duì)長(zhǎng).故共有825種，或采用排除法有種.（2）至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生?只有一名女生?沒(méi)有女生.故共有種.28．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種?(3)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?(4)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?【答案】(1)561(2)5984(3)2555(4)6090【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的應(yīng)用從余下的34種商品中，選取2種即可由組合數(shù)得答案；（2）根據(jù)組合數(shù)的應(yīng)用從余下的34種商品中，選取3種即可由組合數(shù)得答案；（3）由題意得選取2件假貨有種，選取3件假貨有種，根據(jù)加法計(jì)數(shù)原理得結(jié)論；（4）用間接法求解選取3件的總數(shù)有，去掉選出的均為假貨的情況，即可得結(jié)論.【詳解】（1）從余下的34種商品中，選取2種有（種），某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．（2）從34種可選商品中，選取3種，有（種）．某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種．（3）選取2件假貨有種，選取3件假貨有種，共有選取方式（種）．至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種．（4）選取3件的總數(shù)有，因此共有選取方式（種）．至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．29．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）將4個(gè)編號(hào)為的小球放入4個(gè)編號(hào)為的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？【答案】(1)256（種）(2)24（種）(3)12（種）【分析】（1）由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可；（2）根據(jù)排列的定義求解即可；（3）（方法1）先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè)結(jié)合組合知識(shí)求解；（方法2）根據(jù)隔板法求解.【詳解】（1）每個(gè)小球都可能放入4個(gè)盒子中的任何一個(gè)，將小球一個(gè)一個(gè)放入盒子，共有種放法.（2）這是全排列問(wèn)題，共有（種）放法.（3）（方法1）先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè).由于球是相同的即沒(méi)有順序，所以屬于組合問(wèn)題，故共有（種）放法.（方法2）恰有一個(gè)空盒子，第一步先選出一個(gè)盒子，有種選法，第二步在小球之間的3個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有（種）放法.30．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在100件產(chǎn)品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機(jī)抽取4件產(chǎn)品．(1)求恰好含1件二等品的概率；(2)求至少含有1件二等品的概率．（以上結(jié)果均精確到0.01）【答案】(1)(2)【分析】（1）利用古典概型即可求得恰好含1件二等品的概率；（2）利用對(duì)立事件和古典概型即可求得至少含有1件二等品的概率．【詳解】（1）從這100件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件產(chǎn)品，所有的基本事件的個(gè)數(shù)為．將“恰好含1件二等品”的事件記為A．由乘法原理和加法原理，易知A所包含的基本事件有個(gè)，所以事件A的概率是．（2）將“至少含有1件二等品”的事件記為B．B的對(duì)立事件為“4件產(chǎn)品全是一等品”，而所包含的基本事件有個(gè)，所以，從而事件B的概率．考點(diǎn)六、代數(shù)中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題31．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，從中隨機(jī)地取一個(gè)，求取到的數(shù)為奇數(shù)的概率．【答案】【分析】應(yīng)用排列、組合數(shù)求出所有三位數(shù)個(gè)數(shù)及其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)，由古典概型的概率求法求概率.【詳解】任取三個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)有種，其中三位數(shù)為奇數(shù)有種，所以取到的數(shù)為奇數(shù)的概率為.32．（2023上·高二單元測(cè)試）已知集合.(1)從中取出個(gè)不同的元素組成三位數(shù)，則可以組成多少個(gè)？(2)從集合中取出個(gè)元素，從集合中取出個(gè)元素，可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比大的正整數(shù)？【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得以及，然后根據(jù)排列數(shù)的知識(shí)求得正確答案.（2）根據(jù)取出的元素是否包含進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合排列、組合的知識(shí)求得正確答案.【詳解】（1）由，得，所以，所以，所以，從中取出個(gè)不同的元素組成三位數(shù)，可以組成個(gè)三位數(shù).（2）由（1）得，而，若從集合中取元素，則不能作千位上的數(shù)字，有個(gè)滿(mǎn)足題意的正整數(shù)；若不從集合中取元素，則有個(gè)滿(mǎn)足題意的自然數(shù).所以，滿(mǎn)足題意的自然數(shù)的個(gè)數(shù)共有.33．（2023下·高二單元測(cè)試）已知三個(gè)條件：①偶數(shù)；②能被5整除的數(shù)；③比7630大的數(shù)．從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．問(wèn)題：用0～9這10個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求其中____________的個(gè)數(shù)．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】若選①，個(gè)位分0或其它偶數(shù)兩組情況分別求解；若選②，分個(gè)位是0或5兩種情況求解；若選③，千位分為7，8，9，再利用分步和分類(lèi)原理，即可求解.【詳解】選①：若個(gè)位是0，有個(gè)．若個(gè)位是2，4，6，8，有個(gè)．共個(gè)．選②：若個(gè)位是0，有個(gè)．若個(gè)位是5，有個(gè)．共個(gè)．選③：若千位是8，9，有個(gè)．若千位是7，百位是8，9，有個(gè)．若千位是7，百位是6，有．共個(gè)．34．（2023下·廣東梅州·高二統(tǒng)考期中）從1，2，3，4，5，6中任取5個(gè)數(shù)字，隨機(jī)填入如圖所示的5個(gè)空格中.(1)若填入的5個(gè)數(shù)字中有1和2，且1和2不能相鄰，試問(wèn)不同的填法有多少種？(2)若填入的5個(gè)數(shù)字中有1和3，且區(qū)域，，中有奇數(shù)，試問(wèn)不同的填法有多少種？【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用分步計(jì)數(shù)，從其余4個(gè)數(shù)選3個(gè)數(shù)全排，再把1和2插入其中求結(jié)果.（2）應(yīng)用間接法，先求出有1和3且區(qū)域，，中無(wú)奇數(shù)的填法數(shù)，再求出所有可能的填法數(shù)，然后作差即可得結(jié)果.【詳解】（1）首先從其它4個(gè)數(shù)中任選3個(gè)并作全排有種，3個(gè)數(shù)中共有4個(gè)空，將1和2插入其中兩個(gè)空有種，所以共有種填法.（2）若區(qū)域，，中無(wú)奇數(shù)，則其它三個(gè)數(shù)只能為2、4、6且在區(qū)域，，上，所以，共有種，從2、4、5、6任選3個(gè)數(shù)有種，再把5個(gè)數(shù)全排有種，共有種，綜上，填入的5個(gè)數(shù)字中有1和3且區(qū)域，，中有奇數(shù)，共有種.35．（2023下·北京大興·高二校考階段練習(xí)）（每小問(wèn)均須用數(shù)字作答）在中選出4個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)(1)可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(3)若5和6至多出現(xiàn)1個(gè)，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分選到0和沒(méi)有選到0兩種情況，利用排列組合公式，即可求解；（2）對(duì)個(gè)位進(jìn)行分類(lèi)，利用排列數(shù)公式，即可求解；（3）利用間接法，結(jié)合排列組合公式，即可求解.【詳解】（1）若選到0，則0不能排在首位，有種方法，若沒(méi)有選到0，則有種方法，綜上可知，共有種方法；（2）個(gè)位是偶數(shù)的數(shù)是偶數(shù)，若個(gè)位是0，則有種方法，若個(gè)位不是0，則個(gè)位是2，4，6中的一個(gè)數(shù)字，有3種方法，千位有5種方法，中間兩位有種方法，則有種方法，綜上可知，共有種方法；（3）中選出4個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，共有個(gè)數(shù)字，其中四位數(shù)有5且有6的數(shù)字，有個(gè)四位數(shù)，則個(gè)四位數(shù)，綜上可知，若5和6至多出現(xiàn)1個(gè)，可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).考點(diǎn)七、幾何組合計(jì)數(shù)問(wèn)題36．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知平面內(nèi)有任意三點(diǎn)都不共線(xiàn)的四點(diǎn)，直線(xiàn)，在直線(xiàn)上，過(guò)以上八點(diǎn)中若干點(diǎn)可做多少幾何圖形？顯然可以從構(gòu)成直線(xiàn)、三角形、四面體等考慮．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)給定條件，利用組合應(yīng)用問(wèn)題，結(jié)合共線(xiàn)、共面情況，借助排除法求解即得.【詳解】（1）過(guò)八個(gè)點(diǎn)中任何兩點(diǎn)都可作一條直線(xiàn)，去掉重復(fù)情況有條直線(xiàn)．（2）過(guò)八個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)可作一個(gè)三角形，最多能作個(gè)三角形．（3）過(guò)八個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)可作一個(gè)平面，最多能作個(gè)平面．（4）過(guò)八個(gè)點(diǎn)中四個(gè)點(diǎn)可作一個(gè)四面體，最多能作個(gè)四面體．37．（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）空間12個(gè)點(diǎn)，其中5個(gè)點(diǎn)共面，此外無(wú)任何4個(gè)點(diǎn)共面，這12個(gè)點(diǎn)可確定多少個(gè)不同的平面？【答案】211【分析】分4種情況進(jìn)行求解，相加得到答案.【詳解】這個(gè)問(wèn)題可分四類(lèi)加以考慮：①5個(gè)共面點(diǎn)確定1個(gè)平面；②5個(gè)共面點(diǎn)中任何2個(gè)點(diǎn)和其余7個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)確定個(gè)平面；③5個(gè)共面點(diǎn)中任一點(diǎn)和其余7個(gè)點(diǎn)中任意2個(gè)點(diǎn)確定個(gè)平面；④7個(gè)點(diǎn)中任何3個(gè)點(diǎn)確定個(gè)平面．∴總共確定平面的個(gè)數(shù)為（個(gè)）．38．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在的兩邊、上分別有5個(gè)點(diǎn)和6個(gè)點(diǎn)（都不同于點(diǎn)O），這連同點(diǎn)O在內(nèi)的12個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的三角形？【答案】【分析】根據(jù)有沒(méi)有取到點(diǎn)的兩種情況分別計(jì)算，而沒(méi)取到點(diǎn)又分兩種情況計(jì)算，最后根據(jù)分類(lèi)相加即可求解.【詳解】當(dāng)取到點(diǎn)時(shí)，在、上各取一點(diǎn)（與點(diǎn)不同），有種；當(dāng)不取到點(diǎn)時(shí)，一是從上取兩點(diǎn)（與點(diǎn)不同），在上取一個(gè)點(diǎn)（與點(diǎn)不同），有種；二是從上取兩點(diǎn)（與點(diǎn)不同），在上取一個(gè)點(diǎn)（與點(diǎn)不同），有種.所以這連同點(diǎn)O在內(nèi)的12個(gè)點(diǎn)可以確定的不同的三角形共有種.39．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）平面上的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F中的任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線(xiàn)上，寫(xiě)出所有以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)任意不共線(xiàn)的三點(diǎn)構(gòu)成三角形，即可求解.【詳解】由于平面上的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F中的任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線(xiàn)上，所以任意三點(diǎn)均可構(gòu)成一個(gè)三角形，故所有的三角形有：,,40．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）圓上有10個(gè)不同的點(diǎn)，以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以組成多少個(gè)不同的三角形？【答案】120個(gè)【分析】利用組合的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合圓上的點(diǎn)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由于圓上的10個(gè)不同的點(diǎn)中不可能有三點(diǎn)共線(xiàn)，因此其中任意3個(gè)點(diǎn)都可以組成一個(gè)三角形，從而所求個(gè)數(shù)就是從10個(gè)互不相同的元素中任取3個(gè)不同元素的組合數(shù)，即．因此可以組成120個(gè)不同的三角形．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2023上·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，其中有一對(duì)教師夫婦參與支教活動(dòng)．根據(jù)相關(guān)要求，每位教師只能去一所學(xué)校參與支教，并且每所學(xué)校至少有一名教師參與支教，同時(shí)要求教師夫婦必須去同一所學(xué)校支教，則不同的安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】先按要求將五個(gè)人分為三組，要求將教師夫婦放在一組，確定分組方法種數(shù)，然后將所分的三組分配給三所不同的學(xué)校，利用分步乘法原理可求得結(jié)果.【詳解】先將五個(gè)人分為三組，每組的人數(shù)分別為、、或、、，若三組的人數(shù)分別為、、，則教師夫婦必在三人的一組，則教師夫婦這組還需從剩余的三人中抽人，此時(shí)，不同的分組方法數(shù)為種；若三組人數(shù)分別為、、，則兩人一組的有一組是教師夫婦，只需將剩余三人分為兩組，且這兩組的人數(shù)分別為、，此時(shí)，不同的分組方法種數(shù)為種.接下來(lái)，將所分的三組分配給三所不同的學(xué)校，因此，不同的安排方案種數(shù)為種.故選：C.2．（2023上·甘肅白銀·高二校考期末）某科技小組有6名學(xué)生，其中男生4人，女生2人，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽，則至少有一名女生入選的不同選法種數(shù)為（

）A．12 B．16 C．18 D．24【答案】B【分析】至少有一名女生入選分為兩類(lèi)情況，利用組合相關(guān)知識(shí)即可求解.【詳解】分兩類(lèi)：一類(lèi)是選1個(gè)女生，則有種；另一類(lèi)是選2個(gè)女生，則有種.所以不同選法種數(shù)共有.故選:B.3．（2024上·北京昌平·高二統(tǒng)考期末）為了迎接在杭州舉行的第十九屆亞運(yùn)會(huì)，學(xué)校開(kāi)展了“爭(zhēng)做運(yùn)動(dòng)達(dá)人，喜迎杭州亞運(yùn)”活動(dòng).現(xiàn)從某班的4名男生和3名女生中選出3人參加活動(dòng)，則這3人中既有男生又有女生的選法種數(shù)為（

）A．20 B．30 C．35 D．60【答案】B【分析】根據(jù)題意，分為兩類(lèi)：一男兩女或兩男一女，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】由題意，可分為兩類(lèi)：一男兩女或兩男一女，當(dāng)一男兩女時(shí)，有種不同的選法；當(dāng)兩男一女時(shí)，有種不同的選法，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的選法.故選：B.4．（2024上·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）我國(guó)周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13這8個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，這3個(gè)數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】列舉出能組成勾股定理關(guān)系組數(shù)，結(jié)合組合知識(shí)求出概率.【詳解】在這8個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)共有種取法，能組成勾股定理關(guān)系的有，，，共3組，由古典概型，可知這3個(gè)數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為．故選：D．5．（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）有5個(gè)相同的球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次性取出2個(gè)球，則事件“2個(gè)球顏色不同”發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出從中一次性取出2個(gè)球，共有的情況數(shù)以及2個(gè)球顏色不同的情況數(shù)，從而求出概率.【詳解】從中一次性取出2個(gè)球，共有的情況數(shù)為種，其中事件“2個(gè)球顏色不同”發(fā)生的情況有種，故事件“2個(gè)球顏色不同”發(fā)生的概率為.故選：C6．（2024上·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱(chēng)為燈彩，是一種古老的傳統(tǒng)工藝品.經(jīng)過(guò)歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類(lèi)上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類(lèi)型.現(xiàn)將4盞相同的宮燈、3盞不同的紗燈、2盞不同的吊燈掛成一排，要求吊燈掛兩端，同一類(lèi)型的燈籠至多2盞相鄰掛，則不同掛法種數(shù)為（

）A．216 B．228 C．384 D．486【答案】A【分析】先在兩端掛2盞吊燈，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈，求出其掛法，最后將宮燈插空掛，考慮宮燈的分組情況，結(jié)合分步以及分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】先掛2盞吊燈有種掛法，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈有種掛法，最后將宮燈插空掛.當(dāng)4盞宮燈分成2，2兩份插空時(shí)有種掛法；當(dāng)4盞宮燈分成1，1，2三份插空時(shí)有種掛法；當(dāng)4盞宮燈分成1，1，1，1四份插空時(shí)有1種掛法，所以共有種不同的掛法.故選：A7．（2024上·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）三名學(xué)生各自在籃球、羽毛球、乒乓球三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中任選一個(gè)參加，則三個(gè)項(xiàng)目都有學(xué)生參加的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求解.【詳解】三名學(xué)生各自在籃球、羽毛球、乒乓球三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中任選一個(gè)參加，共有種方法，其中三個(gè)項(xiàng)目都有學(xué)生參加的方法有種，故所求的概率為.故選：D8．（2024上·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)期末）在100，101，102，…，999這些數(shù)中，各位數(shù)字按嚴(yán)格遞增（如“145”）或嚴(yán)格遞減（如“321”）順序排列的數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．120 B．204C．168 D．216【答案】B【分析】根據(jù)三個(gè)數(shù)字中是否有“0”分兩類(lèi)，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】分兩類(lèi)，第一類(lèi)不含數(shù)字“0”，從1到9的自然數(shù)中任意取出3個(gè)，都可以得到嚴(yán)格遞增或嚴(yán)格遞減順序排列的三位數(shù)，共有個(gè)；第二類(lèi)含有數(shù)字“0”，從1到9的自然數(shù)中任意取出2個(gè)，三個(gè)數(shù)只能排出嚴(yán)格遞減順序的三位數(shù)，共有個(gè)，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，所以共有個(gè).故選：B二、多選題9．（2024上·甘肅白銀·高二校考期末）6本不同的畫(huà)冊(cè)要分給甲?乙?丙三人，每人最少一本，則下列說(shuō)法正確的為（

）A．甲分得4本，則不同的分法有30種B．甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，則不同的分法有60種C．每人2本，則不同的分法有540種D．甲至少分得3本，則不同的分法有150種【答案】ABD【分析】利用分組分配問(wèn)題的解法即可得解.【詳解】對(duì)于A，不同分法有種，故A正確；對(duì)于B，不同的分法有60種，故B正確；對(duì)于C，不同的分法有種，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若甲分得3本，則不同的分法有種，若甲分得4本，則不同的分法有30種，故共有種，故D正確．故選：ABD.10．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）柜子里有4雙不同的鞋子，從中隨機(jī)地取出2只，下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A．“取出的鞋不成雙”的概率等于B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C．“取出的鞋都是一只腳的”的概率等于D．“取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙”的概率等于【答案】ABC【分析】對(duì)于A，求出取出的鞋不成雙的可能，然后利用古典概型公式判斷；對(duì)于B，求出取出的鞋都是左鞋的可能，然后利用古典概型公式判斷；對(duì)于C，由B選項(xiàng)結(jié)論，以及加法公式可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，求出取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙的可能，然后利用古典概型公式判斷.【詳解】對(duì)于A，可以先取兩雙鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成雙”的可能情況數(shù)，所以“取出的鞋不成雙”的概率為，故A正確；對(duì)于B，從4只左鞋里面取兩只即可得到“取出的鞋都是左鞋”的可能情況數(shù)，所以“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，故B正確；對(duì)于C，由B選項(xiàng)可知，“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，同理“取出的鞋都是右鞋”的概率等于，所以“取出的鞋都是一只腳的”的概率等于，故C正確；對(duì)于D，可以先取兩雙鞋，再分步取鞋使得它們一只是左腳的，一只是右腳的，滿(mǎn)足題意的可能情況數(shù)，所以“取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙”的概率為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是熟練利用組合數(shù)公式的實(shí)際意義、古典概型公式還有加法、乘法計(jì)數(shù)原理等，從而即可順利得解.11．（2024上·山西·高三期末）某周周一到周六的夜間值班工作由甲、乙、丙三人負(fù)責(zé)，每人負(fù)責(zé)其中的兩天，每天只需一人值班，則下列關(guān)于安排方法數(shù)的說(shuō)法正確的有（

）A．共有90種安排方法B．甲連續(xù)兩天值班的安排方法有30種C．甲連續(xù)兩天值班且乙連續(xù)兩天值班的安排方法有18種D．甲、乙、丙三人每人都連續(xù)兩天值夜班的安排方法有6種【答案】ABD【分析】利用排列組合相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A，首先任選2天安排甲值班，共種方法，再?gòu)氖Ｏ碌?天中選2天安排乙值班，共種方法，最后安排丙，種方法，共計(jì)種方法，故A正確；對(duì)于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5種方法，再?gòu)氖Ｓ?天中選2天安排乙，剩下兩天安排丙，此步驟共種，共計(jì)種方法，故B正確；對(duì)于C，首先確定甲在乙之前還是之后，有2種方法，再討論丙值的兩天班是否連續(xù)，若連續(xù)，則從“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”對(duì)應(yīng)的三個(gè)空檔中選擇一個(gè)，安排“丙丙”即可，此時(shí)有種方法，若不連續(xù)，則從“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”對(duì)應(yīng)的三個(gè)空檔中選擇兩個(gè)，各安排一個(gè)“丙”即可，此時(shí)有種；綜上，符合題意的方法數(shù)為種，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，只需將“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共種方法，故D正確.故選：ABD.12．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）帶有編號(hào)、、、、的五個(gè)球，則（

）A．全部投入個(gè)不同的盒子里，共有種放法B．放進(jìn)不同的個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法C．將其中的個(gè)球投入個(gè)盒子里的一個(gè)另一個(gè)球不投入，共有種放法D．全部投入個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，共有種不同的放法【答案】AC【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理直接判斷選項(xiàng)A，利用組合、排列的結(jié)合判斷選項(xiàng)BCD.【詳解】對(duì)于A：由分步計(jì)數(shù)原理，五個(gè)球全部投入個(gè)不同的盒子里共有種放法，故A正確；對(duì)于B：由排列數(shù)公式，五個(gè)不同的球放進(jìn)不同的個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：將其中的個(gè)球投入一個(gè)盒子里共有種放法，故C正確；對(duì)于D：全部投入個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，共有：種不同的放法，故D錯(cuò)誤．故選：AC三、填空題13．（2024上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）無(wú)重復(fù)數(shù)字且各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.【答案】24【分析】從不含數(shù)字和含數(shù)字兩類(lèi)出發(fā)，運(yùn)用排列、組合數(shù)公式計(jì)算即可；【詳解】分兩類(lèi)：第一類(lèi)不含數(shù)字，有以下幾種組合和，結(jié)果為；第二類(lèi)含數(shù)字，有以下幾種組合、和，結(jié)果為；綜上，無(wú)重復(fù)數(shù)字且各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是.故答案是：.14．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ锌亟袑W(xué)校考期末）空間內(nèi)7個(gè)點(diǎn)，若其中有且只有4點(diǎn)共面，但無(wú)3點(diǎn)共線(xiàn)，可組成個(gè)四面體【答案】34【分析】分析題意，用組合數(shù)求解即可.【詳解】由題意得空間內(nèi)7個(gè)點(diǎn)，若其中有且只有4點(diǎn)共面，且需圍成立體圖形，故圍成四面體個(gè)數(shù)為個(gè)故答案為：3415．（2024上·河北·高三雄縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）2023年9月23日，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕，在之后舉行的射擊比賽中，6名志愿者被安排到安檢?引導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)?賽場(chǎng)記錄這三項(xiàng)工作，若每項(xiàng)工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項(xiàng)工作，則共有種安排方案.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】本題為標(biāo)準(zhǔn)的先分組再分配問(wèn)題，第一步先分組，第二步分配.【詳解】6名志愿者被安排三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，則分組方式為或或；第一步先分組，分組方式共有種；第二步再分配，三個(gè)組三個(gè)任務(wù)，由排列的定義可知為全排列種分配方案；第三步根據(jù)分步乘法原理總計(jì)種按排方案.故答案為：.16．（2024上·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）將序號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的六張參觀券全部分給甲、乙等5人，每人至少一張，如果分給甲的兩張參觀券是連號(hào)，則不同分法共有種．【答案】120【分析】先分給甲，再分給剩余四個(gè)人，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理得到答案.【詳解】由題意得，如果分給甲的兩張參觀券是連號(hào)，則有種分法，再將剩余的4張分給剩余4個(gè)人，有種分法，所以一共有種分法.故答案為：12017．（2024上·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）將甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三項(xiàng)不同的公益活動(dòng)中，每人只參加一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)都需要有人參加，其中甲必須參加A活動(dòng)，則不同的分配方法有種．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，分為三種情況：甲單獨(dú)參加，甲和其中一人和甲和其中兩人參加，結(jié)合排列組合的知識(shí)，即可求解.【詳解】由題意，可分為三種情況：當(dāng)甲單獨(dú)參加A項(xiàng)活動(dòng)，則有種安排方法；當(dāng)甲和其中一人參加A項(xiàng)活動(dòng)，則有種安排方法；當(dāng)甲和其中兩人參加A項(xiàng)活動(dòng)，則有種安排方法，所以不同的分配方法有種不同的安排方法.故答案為：.18．（2024上·上?！じ叨y(tǒng)考期末）在正方體八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，則這兩個(gè)點(diǎn)所確定的直線(xiàn)與正方體的每個(gè)面都相交的概率是.【答案】【分析】結(jié)合概率公式與組合數(shù)的計(jì)算即可得.【詳解】只有體對(duì)角線(xiàn)和每個(gè)面都相交，體對(duì)角線(xiàn)共有條，正方體八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)共有種取法，則其概率為.故答案為：.19．（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球全部放入甲、乙兩個(gè)盒子內(nèi)，若每個(gè)盒子不空，則不同的方法總數(shù)有種．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】分兩種情況討論，先分組，再分配.【詳解】若一個(gè)盒子中放個(gè)球，另一個(gè)盒子中放個(gè)球有種放法，若兩個(gè)盒子中均放個(gè)球，則有種放法，綜上可得一共有種放法.故答案為：20．（2024上·上海·高二?？计谀┮粋€(gè)學(xué)習(xí)小組有3名同學(xué)，其中2名男生，1名女生.從這個(gè)小組中任意選出2名同學(xué)，則選出的同學(xué)中既有男生又有女生的概率為.【答案】【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求解即可.【詳解】一個(gè)學(xué)習(xí)小組有3名同學(xué)，其中2名男生，1名女生,從這個(gè)小組中任意選出2名同學(xué)基本事件總數(shù)為,選出的同學(xué)中既有男生又有女生包含的基本事件個(gè)數(shù)為,則所求事件的概率為，故答案為：.21．（2024上·上?！じ叨？计谀?020年底以來(lái)，我國(guó)多次在重要場(chǎng)合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正負(fù)抵消，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個(gè)碳原子和兩個(gè)氧原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有個(gè).【答案】18【分析】分兩種情況討論：兩個(gè)氧原子相同、兩個(gè)氧原子不同，分別計(jì)算出兩種情況下二氧化碳分子的個(gè)數(shù)，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：若兩個(gè)氧原子相同，此時(shí)二氧化碳分子共有種；若兩個(gè)氧原子不同，此時(shí)二氧化碳分子共有種.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有種.故答案為：18四、解答題22．（2024上·北京西城·高二統(tǒng)考期末）從6男4女共10名志愿者中，選出3人參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).(1)共有多少種不同的選擇方法？(2)若要求選出的3名志愿者中