專題16組合7種常見考法歸類

專題16組合7種常見考法歸類思維導(dǎo)圖核心考點聚焦考點一、組合的概念及判斷考點二、組合數(shù)公式的應(yīng)用考點三、分組分配問題考點四、隔板法的應(yīng)用考點五、實際問題中的組合計數(shù)問題考點六、代數(shù)中的組合計數(shù)問題考點七、幾何組合計數(shù)問題一、組合1、定義：一般地，從個不同元素中取出個元素作為一組，叫做個不同元素中取出個元素的一個組合。2、兩個組合相同的條件：兩個組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的。3、對組合概念的兩點說明：（1）組合的特點：組合要求個元素是不同的，被取出的個元素也是不同的，即從個不同元素中進行次不放回地取出；（2）組合的特性：元素是無序的，即取出的個元素不講究順序，亦即元素沒有位置的要求。二、組合數(shù)與組合數(shù)公式1、組合數(shù)：從個不同元素中取出個元素所有不同組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示。2、組合數(shù)公式：（，且）注：組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）從4個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)是多少呢？．（2）推廣：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以分如下兩步：①先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)；②求每一個組合中m個元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計數(shù)原理得：＝．3、組合數(shù)的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）規(guī)定三、排列與組合的相同點與不同點1、相同點：組合與排列都是“從不同的元素中取出個元素”2、不同點：組合中要求元素“不管元素的順序合成一組”，而排雷中要求元素“按照一定的順序排成一列”，因此區(qū)分某一個問題是組合問題還是排列問題，關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，即交換某兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，若有影響，則是排雷問題，若無影響，則是組合問題。1、組合問題的2類題型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．2、分組、分配問題的求解策略（1）對不同元素的分配問題①對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．②對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．③對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．（2）對于相同元素的“分配”問題，常用方法是采用“隔板法”．考點剖析考點一、組合的概念及判斷1．（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谥校┫铝兴膫€問題屬于組合問題的是（

）A．從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從、、、這個數(shù)字中選取個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運動會開幕式D．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長【答案】C【分析】根據(jù)組合的定義逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作，將人選出后，還要安排導(dǎo)游或翻譯的工作，與順序有關(guān)，這個問題為排列問題；對于B選項，從、、、這個數(shù)字中選取個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)，選出三個數(shù)字之后，還要將這三個數(shù)安排至個位、十位、百位這三個數(shù)位，與順序有關(guān)，這個問題為排列問題；對于C選項，從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運動會開幕式，只需將三名同學(xué)選出，與順序無關(guān)，這個問題為組合問題；對于D選項，從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長，將人選出后，還要安排至班長、副班長兩個職務(wù)，與順序有關(guān)，這個問題為排列問題.故選：C.2．（2023下·山西晉中·高二?？计谥校┫铝袉栴}中不是組合問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9個不同點，它們中任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條直線C．集合的含有三個元素的子集有多少個D．從高二（6）班的50名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法【答案】D【分析】根據(jù)組合的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為兩人握手沒有順序之分，所以選項A問題是組合問題；因為兩點組成直線沒有順序之分，所以選項B問題是組合問題；因為集合元素具有無序性，所以選項C問題是組合問題；因為這2名學(xué)生參加的節(jié)目有順序之分，所以選項D問題不是組合問題，故選：D3．（2023上·高二課時練習(xí)）判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的寫錯誤）（1）兩個組合相同的充要條件是組成組合的元素完全相同．()（2）從a1，a2，a3三個不同元素中任取兩個元素組成一個組合，所有組合的個數(shù)為.()（3）從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查，求有多少種不同的選法是組合問題．()（4）把當(dāng)日動物園的4張門票分給5個人，每人至多分一張，而且必須分完，求有多少種分法是排列問題.()【答案】正確正確錯誤錯誤【分析】根據(jù)組合的含義和組合數(shù)的公式進行判斷.【詳解】（1）因為只要兩個組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合．（2）由組合數(shù)的定義可知正確．（3）因為選出2名同學(xué)還要分到不同的兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，這是排列問題．（4）由于4張票是相同的，故相當(dāng)于從5人中選4人的組合問題．故答案為：正確；正確；錯誤；錯誤.考點二、組合數(shù)公式的應(yīng)用4．（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）（

）A．120 B．119 C．110 D．109【答案】B【分析】由組合數(shù)公式不斷迭代即可得解.【詳解】因為，所以.故選：B.5．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）計算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．540【答案】A【分析】利用組合和排列數(shù)公式計算【詳解】故選：A6．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）（1）已知，計算：；（2）解方程：．【答案】（1）126；（2）．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出并計算得解.（2）利用組合計算公式、排列數(shù)公式求解即得.【詳解】（1）因為，則，解得，經(jīng)驗證符合題意，所以.（2）由，得，即，而由，知，解得，所以原方程的解為.7．（2023上·高二課時練習(xí)）解關(guān)于正整數(shù)x的方程：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】（1）（2）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)以及公式即可求解.【詳解】（1）x為正整數(shù)，由可得或，故或，解得或或或（舍去），又均為整數(shù)，且，所以或符合要求，不符合要求，故或（2）由組合數(shù)的性質(zhì)可得，所以由可得，進而可得，解得或（舍去），由于，所以，故只取，舍去，8．（2023上·高二課時練習(xí)）觀察下列等式及其所示的規(guī)律：，，，并據(jù)此化簡，其中n為正整數(shù)．【答案】【分析】利用等式規(guī)律以及組合數(shù)性質(zhì)，從前向后逐項相加即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)等式所示規(guī)律可知；由組合數(shù)性質(zhì)可得，所以可得9．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求證：．【答案】證明見詳解【分析】根據(jù)組合數(shù)公式推導(dǎo)可得.【詳解】由組合數(shù)公式可知，等式成立.10．（2023上·高二課時練習(xí)）求證：.【答案】證明見解析【分析】從個元素里面取個元素可以分為以下兩種情形來考慮：情形一：選取的個元素中包含某一確定的元素；情形二：選取的個元素中不包含某一確定的元素.由以上兩種情形并結(jié)合組合數(shù)的意義即可得證.【詳解】一方面：從個元素里面取個元素可以分為以下兩種情形：情形一：選取的個元素中包含某一確定的元素，則只需從剩下的個元素里面取個元素即可；情形二：選取的個元素中不包含某一確定的元素，則需從剩下的個元素里面取個元素.另一方面：由組合數(shù)的意義可知從個元素里面取個元素的選取法數(shù)可以用組合數(shù)來表示，同理從個元素里面取個元素以及從個元素里面取個元素的選取法數(shù)可以分別用組合數(shù)來表示.結(jié)合以上兩方面且由分類加法計數(shù)原理有.11．（2023上·高二課時練習(xí)）m是自然數(shù)，n為正整數(shù)，且，求證：．【答案】證明見解析【分析】利用組合數(shù)公式計算即可得到本題答案.【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式，可以得到．考點三、分組分配問題12．（2023上·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，要求每個社區(qū)至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社區(qū)的不同安排方法數(shù)為（

）A．24 B．36 C．60 D．96【答案】C【分析】分社區(qū)只有甲和社區(qū)還有另一個志愿者兩種類型，利用分步計數(shù)原理結(jié)合排列組合知識求不同的安排方法數(shù).【詳解】分兩種情形：①社區(qū)只有甲，則另4人在3個社區(qū)，此時有；②社區(qū)還有另一個志愿者，此時有，，甲恰好被安排在A社區(qū)有60種不同安排方法.故選：C.13．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┈F(xiàn)有10個運動員名額，作如下分配方案.(1)平均分成5個組，每組2人，有多少種分配方案？(2)分成7個組，每組最少1人，有多少種分配方案？【答案】(1)945(2)84【分析】（1）根據(jù)平均分組的分配規(guī)律，結(jié)合組合數(shù)的計算，即可得答案；（2）結(jié)合題意，利用隔板法即可求得答案.【詳解】（1）根據(jù)平均分配規(guī)律，則平均分配5個組共有種方案.（2）10名運動員排成一排，中間形成9個空隙，選6個位置插入隔板，則分成7組，故分配方案共有種.14．（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）把6個不同的小球隨機放入3個不同的盒子中，若每個盒子中至少有1個小球，則不同放法的種數(shù)為（

）A．540 B．630 C．1080 D．1260【答案】A【分析】根據(jù)排列組合中的分組分配問題求解即可.【詳解】將6個不同的小球按要求放有三種方案：4:1:1，3:2:1，2:2:2，則所有的放法有種.故選:A.15．（2023上·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年杭州亞運會已圓滿落幕，志愿者“小青荷”們讓世界看到了新時代中國青年的風(fēng)采.早在2021年5月，杭州A公司便響應(yīng)號召，在全公司范圍內(nèi)組織亞運會志愿者的報名與培訓(xùn)，經(jīng)過選拔，最終有3名黨員和3名團員共6人脫穎而出.在彩排環(huán)節(jié)，需從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個場館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有（

）A．54種 B．45種 C．36種 D．18種【答案】A【分析】根據(jù)全部情況中去掉不符合條件的情況即可結(jié)合排列組合求解.【詳解】從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館一共有種選派方法，若游泳館沒有黨員，籃球館有黨員，則有種，同理游泳館有黨員，籃球館沒有黨員，則有種，故從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個場館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有，故選：A16．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）2023年杭州亞運會吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊的機器人為了宣傳杭州亞運會，某校決定派5名志愿者將這三個吉祥物安裝在學(xué)校科技廣場，每名志愿者只安裝一個吉祥物，且每個吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．50 B．36 C．26 D．14【答案】A【分析】按照和分組討論安排.【詳解】（1）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另一個人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，（2）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另兩個人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，故共有種，故選：A.17．（2023上·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校?？计谥校┍鄙街袑W(xué)在學(xué)校“236”發(fā)展目標(biāo)的引領(lǐng)下，不斷推進教育教學(xué)工作的高質(zhì)量發(fā)展，學(xué)生社團得到迅猛發(fā)展．現(xiàn)有高一新生中的五名同學(xué)打算參加“地理行知社”“英語ABC”“籃球之家”“生物研啟社”四個社團．若每個社團至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學(xué)甲不參加“生物研啟社”，則不同的參加方法的種數(shù)為（

）A．72 B．108 C．180 D．216【答案】C【分析】根據(jù)甲參加的社團分類，分甲參加的社團只有1人和參加的社團有2人，由分步和分類計數(shù)原理可得．【詳解】根據(jù)題意分析可得，必有2人參加同一社團.首先分析甲，甲不參加“生物研啟社”，則有3種情況，再分析其他4人，若甲與另外1人參加同一個社團，則有（種）情況；若甲是單獨1個人參加一個社團，則有（種）情況．則除甲外的4人有（種）參加方法．故不同的參加方法的種數(shù)為故選：C18．（2021下·內(nèi)蒙古赤峰·高二校考期中）勞動教育是中國特色社會主義教育制度的重要內(nèi)容，某校計劃組織學(xué)生參與各項職業(yè)體驗，讓學(xué)生在勞動課程中掌握一定的勞動技能，理解勞動創(chuàng)造價值，培養(yǎng)勞動自立意識和主動服務(wù)他人，服務(wù)社會的情懷．該校派遣甲、乙、丙、丁、戊五個小組到A、B、C三個街道進行打掃活動，每個街道至少去一個小組，則不同的派遣方案有（

）A．140 B．150 C．200 D．220【答案】B【分析】分成兩種情況，分別對每種情況單獨討論即可.【詳解】當(dāng)按照進行分配時，則有種不同方案，當(dāng)按照進行分配時，則有種不同方案，故共有不同的方案，故選:B19．（2023上·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）為了全面推進鄉(xiāng)村振興，加快農(nóng)村、農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化建設(shè)，某市準(zhǔn)備派6位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員到A，B，C，3地指導(dǎo)工作；每地上午和下午各安排一位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員，且每位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員只能被安排一次，其中張指導(dǎo)員不安排到地，李指導(dǎo)員不安排在下午，則不同的安排方案共有（

）A．180種 B．240種 C．480種 D．540種【答案】B【分析】分兩種情況討論：李指導(dǎo)員安排在C地上午時和李指導(dǎo)員不安排在C地上午時，再結(jié)合排列組合定義即可解決.【詳解】李指導(dǎo)員安排在C地上午時，張指導(dǎo)員有種安排方案，其余4位指導(dǎo)員有種安排方案，則共有種安排方案；李指導(dǎo)員不安排在C地上午時，李指導(dǎo)員有種安排方案，張指導(dǎo)員有種安排方案，其余4位指導(dǎo)員有種安排方案，則共有種安排方案；綜上，共有96+144=240種安排方案.故選：B20．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）為了支援與促進邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個地方的方法種數(shù)為（

）A．18 B．150 C．36 D．54【答案】C【分析】按照兩位女教師分派到同一個地方時，男老師也分配到該地方的人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進行分類討論，進而即得．【詳解】五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況，根據(jù)題意兩位女教師分派到同一個地方，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故共有：36種分派方法，故選：．21．（2023下·高二?？紗卧獪y試）6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種方法?(1)分給甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分為三份，每份2本；(3)分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本.【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)定向分配的原理和分步乘法原理計算；（2）根據(jù)均勻分組的原理計算；（3）根據(jù)不均勻分組的原理計算；（4）在上一問的基礎(chǔ)上的結(jié)果乘以全排列即可【詳解】（1）先從本書中選本給甲，有種選法，再從其余本中選本給乙，有種選法，最后從余下的本書中選本給丙，有種選法.所以分給甲、乙、丙三人，每人本，根據(jù)分步乘法原理，共有(種)方法.（2）可以分兩步完成：第步，將本書分為三份，每份本，設(shè)有種方法；第步，將上面三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有種方法.根據(jù)（1）的結(jié)論和分步乘法計數(shù)原理得到，所以.因此分為三份，每份本，一共有種方法.（3）對于“不均勻分組”問題，類似按照（1）的方法得到一共有(種)方法；（4）在（3）的基礎(chǔ)上再進行全排列，所以一共有(種)方法.22．（2023上·高二課時練習(xí)）按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？(1)6個不同的小球放入4個不同的盒子；(2)6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；(3)6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；(4)6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒．【答案】(1)4096(2)1560(3)10(4)2160【分析】（1）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得答案；（2）先把6個小球分為4組，每組個數(shù)為或，再放入不同的4個盒子中，即可求得答案.（3）采用隔板法可求得答案.（4）將6個不同的小球分為3組，球的個數(shù)為或或，結(jié)合平均分組以及不平均分組知識，即可求得答案.【詳解】（1）由題意，6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個小球都有4種可能的放法，故有種不同的方法；（2）6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；先把6個小球分為4組，每組個數(shù)為或，再放入不同的4個盒子中，共有種不同的方法.（3）6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，即將6個相同的小球分為4份即可，可采用隔板法，即將6個小球排成一排，在中間形成的5個空中選3個插入隔板，即可將6個相同的小球分成4份，故有種方法.（4）6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒,將6個不同的小球分為3組，球的個數(shù)為或或，然后從4個不同的盒子中選3個放入這3組球，則有種不同的方法.考點四、隔板法的應(yīng)用23．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）試求不定方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)．【答案】．【分析】根據(jù)設(shè)，根據(jù)原不定方程解的組數(shù)與方程的解的組數(shù)相同設(shè)有個1，將它們排成一排，每兩個之間有1個間隙，共有個間隙，用劃豎線的方法將這個1分成m段，每段內(nèi)1的個數(shù)即為一組，，…，，它是方程的一組正整數(shù)解，據(jù)此即可求解.【詳解】由于，所以令，則，原不定方程解的組數(shù)與方程的解的組數(shù)相同，設(shè)想有個1，將它們排成一排，每兩個之間有1個間隙，共有個間隙，用劃豎線的方法將這個1分成m段，每段內(nèi)1的個數(shù)即為一組，，…，，它是方程的一組正整數(shù)解，由于劃豎線的方法數(shù)為，故原不定方程非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為．24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）求方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個安檢入口，每個入口每次只能進入1位乘客，求一個4人小組進站的不同方案種數(shù).【答案】（1）56；（2）840種【分析】（1）設(shè)（，2，3，4），問題轉(zhuǎn)化為程的正整數(shù)解的組數(shù)，利用隔板法進行求解；（2）轉(zhuǎn)化為方程的非負(fù)整數(shù)解的組，利用隔板法，結(jié)合排列知識進行求解.【詳解】（1）設(shè)（，2，3，4），則方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)等于方程的正整數(shù)解的組數(shù)，利用隔板法得方程的正整數(shù)解的組數(shù)是，∴方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)是56.（2）設(shè)4名乘客中分別有，，，個人在第1個、第2個、第3個、第4個安檢口通過，則，即問題轉(zhuǎn)化為求方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)，共有種情況，每一種進站情況的4個位置由4個人去站有種方法，由分步乘法計數(shù)原理得不同的進站方案有種，∴一個4人小組進站的不同方案種數(shù)是840種.25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將20個完全相同的球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中．(1)若要求每個盒子至少放一個球，則一共有多少種放法？(2)若每個盒子可放任意個球，則一共有多少種放法？(3)若要求每個盒子放的球的個數(shù)不小于其編號數(shù)，則一共有多少種放法？【答案】(1)3876；(2)；(3)126．【分析】（1）由隔板法知，在19個空隙中放4個板子；（2）在24個空隙中放4個板子；（3）先在1，2，3，4，5的五個盒子中依次放入0，1，2，3，4個球，再將剩余的10個球利用隔板法分為5份.【詳解】（1）把20個球擺好，在中間19個空隙中選擇放4個板子，所以一共有種；（2）由題意可知，可以出現(xiàn)空盒子，所以把20個球和5個虛擬的球擺好，在中間24個空隙中選擇放4個板子，所以一共有種；（3）先在編號為1，2，3，4，5的五個盒子中依次放入0，1，2，3，4個球，再只要保證余下的10個球每個盒子至少放一個，把10個球擺好，在中間9個空隙中選擇放4個板子，所以一共有種.考點五、實際問題中的組合計數(shù)問題26．（2024上·上?！じ叨？计谀┠嘲嗉壴谟麓夯顒又羞M行抽卡活動，不透明的卡箱中共有“?！薄坝薄按骸笨ǜ鲀蓮?，“龍”卡三張．每個學(xué)生從卡箱中隨機抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ瑒t額外獲得2分．(1)求學(xué)生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)；(2)求學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的知識求得正確答案.（2）根據(jù)分的組合情況進行分類討論，由此求得正確答案.【詳解】（1）學(xué)生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)為種.（2）學(xué)生乙最終獲得分，有兩種情況：①，抽到張“龍”卡以及其它任意張卡，方法數(shù)有種.②，抽到抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ?，方法數(shù)有種.所以學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)為種.27．（2023上·甘肅白銀·高二校考期末）課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男?女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人參加某項活動，依下列條件各有多少種選法？（用數(shù)字做答）(1)至少有一名隊長參加該活動；(2)至多有兩名女生參加該活動.【答案】(1)825；(2)966.【分析】（1）分有一名隊長和兩名隊長情況討論得解或采用排除法得解；（2）分有兩名女生?只有一名女生?沒有女生三種情況討論得解.【詳解】（1）至少有一名隊長含有兩種情況：有一名隊長和有兩名隊長.故共有825種，或采用排除法有種.（2）至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生?只有一名女生?沒有女生.故共有種.28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種?(3)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?(4)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?【答案】(1)561(2)5984(3)2555(4)6090【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的應(yīng)用從余下的34種商品中，選取2種即可由組合數(shù)得答案；（2）根據(jù)組合數(shù)的應(yīng)用從余下的34種商品中，選取3種即可由組合數(shù)得答案；（3）由題意得選取2件假貨有種，選取3件假貨有種，根據(jù)加法計數(shù)原理得結(jié)論；（4）用間接法求解選取3件的總數(shù)有，去掉選出的均為假貨的情況，即可得結(jié)論.【詳解】（1）從余下的34種商品中，選取2種有（種），某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．（2）從34種可選商品中，選取3種，有（種）．某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種．（3）選取2件假貨有種，選取3件假貨有種，共有選取方式（種）．至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種．（4）選取3件的總數(shù)有，因此共有選取方式（種）．至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．29．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將4個編號為的小球放入4個編號為的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？【答案】(1)256（種）(2)24（種）(3)12（種）【分析】（1）由分步乘法計數(shù)原理求解即可；（2）根據(jù)排列的定義求解即可；（3）（方法1）先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個結(jié)合組合知識求解；（方法2）根據(jù)隔板法求解.【詳解】（1）每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有種放法.（2）這是全排列問題，共有（種）放法.（3）（方法1）先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個.由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有（種）放法.（方法2）恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有種選法，第二步在小球之間的3個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，有種方法，由分步計數(shù)原理得，共有（種）放法.30．（2023上·高二課時練習(xí)）在100件產(chǎn)品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機抽取4件產(chǎn)品．(1)求恰好含1件二等品的概率；(2)求至少含有1件二等品的概率．（以上結(jié)果均精確到0.01）【答案】(1)(2)【分析】（1）利用古典概型即可求得恰好含1件二等品的概率；（2）利用對立事件和古典概型即可求得至少含有1件二等品的概率．【詳解】（1）從這100件產(chǎn)品中隨機抽取4件產(chǎn)品，所有的基本事件的個數(shù)為．將“恰好含1件二等品”的事件記為A．由乘法原理和加法原理，易知A所包含的基本事件有個，所以事件A的概率是．（2）將“至少含有1件二等品”的事件記為B．B的對立事件為“4件產(chǎn)品全是一等品”，而所包含的基本事件有個，所以，從而事件B的概率．考點六、代數(shù)中的組合計數(shù)問題31．（2023上·高二課時練習(xí)）用1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，從中隨機地取一個，求取到的數(shù)為奇數(shù)的概率．【答案】【分析】應(yīng)用排列、組合數(shù)求出所有三位數(shù)個數(shù)及其中奇數(shù)的個數(shù)，由古典概型的概率求法求概率.【詳解】任取三個數(shù)字組成三位數(shù)有種，其中三位數(shù)為奇數(shù)有種，所以取到的數(shù)為奇數(shù)的概率為.32．（2023上·高二單元測試）已知集合.(1)從中取出個不同的元素組成三位數(shù)，則可以組成多少個？(2)從集合中取出個元素，從集合中取出個元素，可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比大的正整數(shù)？【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得以及，然后根據(jù)排列數(shù)的知識求得正確答案.（2）根據(jù)取出的元素是否包含進行分類討論，結(jié)合排列、組合的知識求得正確答案.【詳解】（1）由，得，所以，所以，所以，從中取出個不同的元素組成三位數(shù)，可以組成個三位數(shù).（2）由（1）得，而，若從集合中取元素，則不能作千位上的數(shù)字，有個滿足題意的正整數(shù)；若不從集合中取元素，則有個滿足題意的自然數(shù).所以，滿足題意的自然數(shù)的個數(shù)共有.33．（2023下·高二單元測試）已知三個條件：①偶數(shù)；②能被5整除的數(shù)；③比7630大的數(shù)．從這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．問題：用0～9這10個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求其中____________的個數(shù)．【答案】答案見解析【分析】若選①，個位分0或其它偶數(shù)兩組情況分別求解；若選②，分個位是0或5兩種情況求解；若選③，千位分為7，8，9，再利用分步和分類原理，即可求解.【詳解】選①：若個位是0，有個．若個位是2，4，6，8，有個．共個．選②：若個位是0，有個．若個位是5，有個．共個．選③：若千位是8，9，有個．若千位是7，百位是8，9，有個．若千位是7，百位是6，有．共個．34．（2023下·廣東梅州·高二統(tǒng)考期中）從1，2，3，4，5，6中任取5個數(shù)字，隨機填入如圖所示的5個空格中.(1)若填入的5個數(shù)字中有1和2，且1和2不能相鄰，試問不同的填法有多少種？(2)若填入的5個數(shù)字中有1和3，且區(qū)域，，中有奇數(shù)，試問不同的填法有多少種？【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用分步計數(shù)，從其余4個數(shù)選3個數(shù)全排，再把1和2插入其中求結(jié)果.（2）應(yīng)用間接法，先求出有1和3且區(qū)域，，中無奇數(shù)的填法數(shù)，再求出所有可能的填法數(shù)，然后作差即可得結(jié)果.【詳解】（1）首先從其它4個數(shù)中任選3個并作全排有種，3個數(shù)中共有4個空，將1和2插入其中兩個空有種，所以共有種填法.（2）若區(qū)域，，中無奇數(shù)，則其它三個數(shù)只能為2、4、6且在區(qū)域，，上，所以，共有種，從2、4、5、6任選3個數(shù)有種，再把5個數(shù)全排有種，共有種，綜上，填入的5個數(shù)字中有1和3且區(qū)域，，中有奇數(shù)，共有種.35．（2023下·北京大興·高二?？茧A段練習(xí)）（每小問均須用數(shù)字作答）在中選出4個數(shù)字組成一個四位數(shù)(1)可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？(2)可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(3)若5和6至多出現(xiàn)1個，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分選到0和沒有選到0兩種情況，利用排列組合公式，即可求解；（2）對個位進行分類，利用排列數(shù)公式，即可求解；（3）利用間接法，結(jié)合排列組合公式，即可求解.【詳解】（1）若選到0，則0不能排在首位，有種方法，若沒有選到0，則有種方法，綜上可知，共有種方法；（2）個位是偶數(shù)的數(shù)是偶數(shù)，若個位是0，則有種方法，若個位不是0，則個位是2，4，6中的一個數(shù)字，有3種方法，千位有5種方法，中間兩位有種方法，則有種方法，綜上可知，共有種方法；（3）中選出4個數(shù)字組成一個四位數(shù)，共有個數(shù)字，其中四位數(shù)有5且有6的數(shù)字，有個四位數(shù)，則個四位數(shù)，綜上可知，若5和6至多出現(xiàn)1個，可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).考點七、幾何組合計數(shù)問題36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面內(nèi)有任意三點都不共線的四點，直線，在直線上，過以上八點中若干點可做多少幾何圖形？顯然可以從構(gòu)成直線、三角形、四面體等考慮．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)給定條件，利用組合應(yīng)用問題，結(jié)合共線、共面情況，借助排除法求解即得.【詳解】（1）過八個點中任何兩點都可作一條直線，去掉重復(fù)情況有條直線．（2）過八個點中的三個點可作一個三角形，最多能作個三角形．（3）過八個點中的三個點可作一個平面，最多能作個平面．（4）過八個點中四個點可作一個四面體，最多能作個四面體．37．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）空間12個點，其中5個點共面，此外無任何4個點共面，這12個點可確定多少個不同的平面？【答案】211【分析】分4種情況進行求解，相加得到答案.【詳解】這個問題可分四類加以考慮：①5個共面點確定1個平面；②5個共面點中任何2個點和其余7個點中任意一點確定個平面；③5個共面點中任一點和其余7個點中任意2個點確定個平面；④7個點中任何3個點確定個平面．∴總共確定平面的個數(shù)為（個）．38．（2023上·高二課時練習(xí)）如圖，在的兩邊、上分別有5個點和6個點（都不同于點O），這連同點O在內(nèi)的12個點可以確定多少個不同的三角形？【答案】【分析】根據(jù)有沒有取到點的兩種情況分別計算，而沒取到點又分兩種情況計算，最后根據(jù)分類相加即可求解.【詳解】當(dāng)取到點時，在、上各取一點（與點不同），有種；當(dāng)不取到點時，一是從上取兩點（與點不同），在上取一個點（與點不同），有種；二是從上取兩點（與點不同），在上取一個點（與點不同），有種.所以這連同點O在內(nèi)的12個點可以確定的不同的三角形共有種.39．（2023上·高二課時練習(xí)）平面上的6個點A、B、C、D、E、F中的任意3個點都不在同一條直線上，寫出所有以其中3個點為頂點的三角形．【答案】見解析【分析】根據(jù)任意不共線的三點構(gòu)成三角形，即可求解.【詳解】由于平面上的6個點A、B、C、D、E、F中的任意3個點都不在同一條直線上，所以任意三點均可構(gòu)成一個三角形，故所有的三角形有：,,40．（2023上·高二課時練習(xí)）圓上有10個不同的點，以其中任意3個點為頂點，可以組成多少個不同的三角形？【答案】120個【分析】利用組合的相關(guān)知識，結(jié)合圓上的點的性質(zhì)即可得解.【詳解】由于圓上的10個不同的點中不可能有三點共線，因此其中任意3個點都可以組成一個三角形，從而所求個數(shù)就是從10個互不相同的元素中任取3個不同元素的組合數(shù)，即．因此可以組成120個不同的三角形．過關(guān)檢測一、單選題1．（2023上·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，其中有一對教師夫婦參與支教活動．根據(jù)相關(guān)要求，每位教師只能去一所學(xué)校參與支教，并且每所學(xué)校至少有一名教師參與支教，同時要求教師夫婦必須去同一所學(xué)校支教，則不同的安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】先按要求將五個人分為三組，要求將教師夫婦放在一組，確定分組方法種數(shù)，然后將所分的三組分配給三所不同的學(xué)校，利用分步乘法原理可求得結(jié)果.【詳解】先將五個人分為三組，每組的人數(shù)分別為、、或、、，若三組的人數(shù)分別為、、，則教師夫婦必在三人的一組，則教師夫婦這組還需從剩余的三人中抽人，此時，不同的分組方法數(shù)為種；若三組人數(shù)分別為、、，則兩人一組的有一組是教師夫婦，只需將剩余三人分為兩組，且這兩組的人數(shù)分別為、，此時，不同的分組方法種數(shù)為種.接下來，將所分的三組分配給三所不同的學(xué)校，因此，不同的安排方案種數(shù)為種.故選：C.2．（2023上·甘肅白銀·高二校考期末）某科技小組有6名學(xué)生，其中男生4人，女生2人，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽，則至少有一名女生入選的不同選法種數(shù)為（

）A．12 B．16 C．18 D．24【答案】B【分析】至少有一名女生入選分為兩類情況，利用組合相關(guān)知識即可求解.【詳解】分兩類：一類是選1個女生，則有種；另一類是選2個女生，則有種.所以不同選法種數(shù)共有.故選:B.3．（2024上·北京昌平·高二統(tǒng)考期末）為了迎接在杭州舉行的第十九屆亞運會，學(xué)校開展了“爭做運動達(dá)人，喜迎杭州亞運”活動.現(xiàn)從某班的4名男生和3名女生中選出3人參加活動，則這3人中既有男生又有女生的選法種數(shù)為（

）A．20 B．30 C．35 D．60【答案】B【分析】根據(jù)題意，分為兩類：一男兩女或兩男一女，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】由題意，可分為兩類：一男兩女或兩男一女，當(dāng)一男兩女時，有種不同的選法；當(dāng)兩男一女時，有種不同的選法，由分類計數(shù)原理得，共有種不同的選法.故選：B.4．（2024上·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）我國周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13這8個數(shù)中任取3個數(shù)，這3個數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】列舉出能組成勾股定理關(guān)系組數(shù)，結(jié)合組合知識求出概率.【詳解】在這8個數(shù)中任取3個數(shù)共有種取法，能組成勾股定理關(guān)系的有，，，共3組，由古典概型，可知這3個數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為．故選：D．5．（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）有5個相同的球，其中3個白球，2個黑球，從中一次性取出2個球，則事件“2個球顏色不同”發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算出從中一次性取出2個球，共有的情況數(shù)以及2個球顏色不同的情況數(shù)，從而求出概率.【詳解】從中一次性取出2個球，共有的情況數(shù)為種，其中事件“2個球顏色不同”發(fā)生的情況有種，故事件“2個球顏色不同”發(fā)生的概率為.故選：C6．（2024上·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的傳統(tǒng)工藝品.經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型.現(xiàn)將4盞相同的宮燈、3盞不同的紗燈、2盞不同的吊燈掛成一排，要求吊燈掛兩端，同一類型的燈籠至多2盞相鄰掛，則不同掛法種數(shù)為（

）A．216 B．228 C．384 D．486【答案】A【分析】先在兩端掛2盞吊燈，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈，求出其掛法，最后將宮燈插空掛，考慮宮燈的分組情況，結(jié)合分步以及分類計數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】先掛2盞吊燈有種掛法，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈有種掛法，最后將宮燈插空掛.當(dāng)4盞宮燈分成2，2兩份插空時有種掛法；當(dāng)4盞宮燈分成1，1，2三份插空時有種掛法；當(dāng)4盞宮燈分成1，1，1，1四份插空時有1種掛法，所以共有種不同的掛法.故選：A7．（2024上·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）三名學(xué)生各自在籃球、羽毛球、乒乓球三個運動項目中任選一個參加，則三個項目都有學(xué)生參加的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求解.【詳解】三名學(xué)生各自在籃球、羽毛球、乒乓球三個運動項目中任選一個參加，共有種方法，其中三個項目都有學(xué)生參加的方法有種，故所求的概率為.故選：D8．（2024上·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)期末）在100，101，102，…，999這些數(shù)中，各位數(shù)字按嚴(yán)格遞增（如“145”）或嚴(yán)格遞減（如“321”）順序排列的數(shù)的個數(shù)是（）A．120 B．204C．168 D．216【答案】B【分析】根據(jù)三個數(shù)字中是否有“0”分兩類，利用分類加法計數(shù)原理求解.【詳解】分兩類，第一類不含數(shù)字“0”，從1到9的自然數(shù)中任意取出3個，都可以得到嚴(yán)格遞增或嚴(yán)格遞減順序排列的三位數(shù)，共有個；第二類含有數(shù)字“0”，從1到9的自然數(shù)中任意取出2個，三個數(shù)只能排出嚴(yán)格遞減順序的三位數(shù)，共有個，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，所以共有個.故選：B二、多選題9．（2024上·甘肅白銀·高二?？计谀?本不同的畫冊要分給甲?乙?丙三人，每人最少一本，則下列說法正確的為（

）A．甲分得4本，則不同的分法有30種B．甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，則不同的分法有60種C．每人2本，則不同的分法有540種D．甲至少分得3本，則不同的分法有150種【答案】ABD【分析】利用分組分配問題的解法即可得解.【詳解】對于A，不同分法有種，故A正確；對于B，不同的分法有60種，故B正確；對于C，不同的分法有種，故C錯誤；對于D，若甲分得3本，則不同的分法有種，若甲分得4本，則不同的分法有30種，故共有種，故D正確．故選：ABD.10．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中?？计谀┕褡永镉?雙不同的鞋子，從中隨機地取出2只，下列計算結(jié)果正確的是（

）A．“取出的鞋不成雙”的概率等于B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C．“取出的鞋都是一只腳的”的概率等于D．“取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙”的概率等于【答案】ABC【分析】對于A，求出取出的鞋不成雙的可能，然后利用古典概型公式判斷；對于B，求出取出的鞋都是左鞋的可能，然后利用古典概型公式判斷；對于C，由B選項結(jié)論，以及加法公式可判斷；對于D選項，求出取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙的可能，然后利用古典概型公式判斷.【詳解】對于A，可以先取兩雙鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成雙”的可能情況數(shù)，所以“取出的鞋不成雙”的概率為，故A正確；對于B，從4只左鞋里面取兩只即可得到“取出的鞋都是左鞋”的可能情況數(shù)，所以“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，故B正確；對于C，由B選項可知，“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，同理“取出的鞋都是右鞋”的概率等于，所以“取出的鞋都是一只腳的”的概率等于，故C正確；對于D，可以先取兩雙鞋，再分步取鞋使得它們一只是左腳的，一只是右腳的，滿足題意的可能情況數(shù)，所以“取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙”的概率為，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是熟練利用組合數(shù)公式的實際意義、古典概型公式還有加法、乘法計數(shù)原理等，從而即可順利得解.11．（2024上·山西·高三期末）某周周一到周六的夜間值班工作由甲、乙、丙三人負(fù)責(zé)，每人負(fù)責(zé)其中的兩天，每天只需一人值班，則下列關(guān)于安排方法數(shù)的說法正確的有（

）A．共有90種安排方法B．甲連續(xù)兩天值班的安排方法有30種C．甲連續(xù)兩天值班且乙連續(xù)兩天值班的安排方法有18種D．甲、乙、丙三人每人都連續(xù)兩天值夜班的安排方法有6種【答案】ABD【分析】利用排列組合相關(guān)知識逐項分析即可.【詳解】對于A，首先任選2天安排甲值班，共種方法，再從剩下的4天中選2天安排乙值班，共種方法，最后安排丙，種方法，共計種方法，故A正確；對于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5種方法，再從剩余4天中選2天安排乙，剩下兩天安排丙，此步驟共種，共計種方法，故B正確；對于C，首先確定甲在乙之前還是之后，有2種方法，再討論丙值的兩天班是否連續(xù)，若連續(xù)，則從“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”對應(yīng)的三個空檔中選擇一個，安排“丙丙”即可，此時有種方法，若不連續(xù)，則從“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”對應(yīng)的三個空檔中選擇兩個，各安排一個“丙”即可，此時有種；綜上，符合題意的方法數(shù)為種，故C錯誤；對于D，只需將“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共種方法，故D正確.故選：ABD.12．（2023上·山東德州·高二校考階段練習(xí)）帶有編號、、、、的五個球，則（

）A．全部投入個不同的盒子里，共有種放法B．放進不同的個盒子里，每盒至少一個，共有種放法C．將其中的個球投入個盒子里的一個另一個球不投入，共有種放法D．全部投入個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】AC【分析】利用分步計數(shù)原理直接判斷選項A，利用組合、排列的結(jié)合判斷選項BCD.【詳解】對于A：由分步計數(shù)原理，五個球全部投入個不同的盒子里共有種放法，故A正確；對于B：由排列數(shù)公式，五個不同的球放進不同的個盒子里，每盒至少一個，共有種放法，故B錯誤；對于C：將其中的個球投入一個盒子里共有種放法，故C正確；對于D：全部投入個不同的盒子里，沒有空盒，共有：種不同的放法，故D錯誤．故選：AC三、填空題13．（2024上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）無重復(fù)數(shù)字且各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)的個數(shù)為.【答案】24【分析】從不含數(shù)字和含數(shù)字兩類出發(fā)，運用排列、組合數(shù)公式計算即可；【詳解】分兩類：第一類不含數(shù)字，有以下幾種組合和，結(jié)果為；第二類含數(shù)字，有以下幾種組合、和，結(jié)果為；綜上，無重復(fù)數(shù)字且各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)的個數(shù)是.故答案是：.14．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ锌亟袑W(xué)校考期末）空間內(nèi)7個點，若其中有且只有4點共面，但無3點共線，可組成個四面體【答案】34【分析】分析題意，用組合數(shù)求解即可.【詳解】由題意得空間內(nèi)7個點，若其中有且只有4點共面，且需圍成立體圖形，故圍成四面體個數(shù)為個故答案為：3415．（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）2023年9月23日，杭州第19屆亞運會開幕，在之后舉行的射擊比賽中，6名志愿者被安排到安檢?引導(dǎo)運動員入場?賽場記錄這三項工作，若每項工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項工作，則共有種安排方案.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】本題為標(biāo)準(zhǔn)的先分組再分配問題，第一步先分組，第二步分配.【詳解】6名志愿者被安排三項工作，每項工作至少安排1人，則分組方式為或或；第一步先分組，分組方式共有種；第二步再分配，三個組三個任務(wù)，由排列的定義可知為全排列種分配方案；第三步根據(jù)分步乘法原理總計種按排方案.故答案為：.16．（2024上·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）將序號分別為1，2，3，4，5，6的六張參觀券全部分給甲、乙等5人，每人至少一張，如果分給甲的兩張參觀券是連號，則不同分法共有種．【答案】120【分析】先分給甲，再分給剩余四個人，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理得到答案.【詳解】由題意得，如果分給甲的兩張參觀券是連號，則有種分法，再將剩余的4張分給剩余4個人，有種分法，所以一共有種分法.故答案為：12017．（2024上·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）將甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三項不同的公益活動中，每人只參加一項活動，每項活動都需要有人參加，其中甲必須參加A活動，則不同的分配方法有種．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，分為三種情況：甲單獨參加，甲和其中一人和甲和其中兩人參加，結(jié)合排列組合的知識，即可求解.【詳解】由題意，可分為三種情況：當(dāng)甲單獨參加A項活動，則有種安排方法；當(dāng)甲和其中一人參加A項活動，則有種安排方法；當(dāng)甲和其中兩人參加A項活動，則有種安排方法，所以不同的分配方法有種不同的安排方法.故答案為：.18．（2024上·上?！じ叨y(tǒng)考期末）在正方體八個頂點中任取兩點，則這兩個點所確定的直線與正方體的每個面都相交的概率是.【答案】【分析】結(jié)合概率公式與組合數(shù)的計算即可得.【詳解】只有體對角線和每個面都相交，體對角線共有條，正方體八個頂點中任取兩點共有種取法，則其概率為.故答案為：.19．（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）將編號為1，2，3，4的四個小球全部放入甲、乙兩個盒子內(nèi)，若每個盒子不空，則不同的方法總數(shù)有種．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】分兩種情況討論，先分組，再分配.【詳解】若一個盒子中放個球，另一個盒子中放個球有種放法，若兩個盒子中均放個球，則有種放法，綜上可得一共有種放法.故答案為：20．（2024上·上?！じ叨？计谀┮粋€學(xué)習(xí)小組有3名同學(xué)，其中2名男生，1名女生.從這個小組中任意選出2名同學(xué)，則選出的同學(xué)中既有男生又有女生的概率為.【答案】【分析】根據(jù)古典概型概率計算公式求解即可.【詳解】一個學(xué)習(xí)小組有3名同學(xué)，其中2名男生，1名女生,從這個小組中任意選出2名同學(xué)基本事件總數(shù)為,選出的同學(xué)中既有男生又有女生包含的基本事件個數(shù)為,則所求事件的概率為，故答案為：.21．（2024上·上海·高二?？计谀?020年底以來，我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正負(fù)抵消，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個碳原子和兩個氧原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有個.【答案】18【分析】分兩種情況討論：兩個氧原子相同、兩個氧原子不同，分別計算出兩種情況下二氧化碳分子的個數(shù)，利用分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：若兩個氧原子相同，此時二氧化碳分子共有種；若兩個氧原子不同，此時二氧化碳分子共有種.由分類加法計數(shù)原理可知，由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有種.故答案為：18四、解答題22．（2024上·北京西城·高二統(tǒng)考期末）從6男4女共10名志愿者中，選出3人參加社會實踐活動.(1)共有多少種不同的選擇方法？(2)若要求選出的3名志愿者中