2021新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)學(xué)案5-3-1空間中的平行垂直與空間角

5.3立體幾何大題5.3.1空間中的平行、垂直與空間角必備知識(shí)精要梳理1.證明線(xiàn)線(xiàn)平行和線(xiàn)線(xiàn)垂直的常用方法(1)證明線(xiàn)線(xiàn)平行:①利用平行公理;②利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換;③利用三角形的中位線(xiàn)定理;④利用線(xiàn)面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直:①利用等腰三角形底邊上的中線(xiàn)即高線(xiàn)的性質(zhì);②利用勾股定理;③利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理.2.證明線(xiàn)面平行和線(xiàn)面垂直的常用方法(1)證明線(xiàn)面平行:①利用線(xiàn)面平行的判定定理;②利用面面平行的性質(zhì)定理.(2)證明線(xiàn)面垂直:①利用線(xiàn)面垂直的判定定理;②利用面面垂直的性質(zhì)定理.3.證明面面平行和面面垂直的常用方法是判定定理.4.利用空間向量證明平行與垂直設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分別為μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),則:(1)線(xiàn)面平行:l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)線(xiàn)面垂直:l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k≠0).(3)面面平行:α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ≠0).(4)面面垂直:α⊥β?μ⊥v?μ·v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0.5.利用空間向量求空間角(1)線(xiàn)線(xiàn)夾角的計(jì)算:設(shè)直線(xiàn)l,m的方向向量分別為a,b,且它們的夾角為θ0≤θ≤π2,則cos(2)線(xiàn)面夾角的計(jì)算:設(shè)平面α的法向量為n,直線(xiàn)AB與平面α所成的角為θ,如下圖,則sinθ=|cos<AB,n>|=|AB(3)面面夾角的計(jì)算:設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,α與β的夾角為θ,如下圖,則|cosθ|=|cos<n1,n2>|=|n(4)易錯(cuò)點(diǎn)提醒①求線(xiàn)面角時(shí),得到的是直線(xiàn)方向向量和平面法向量的夾角的余弦,容易誤以為是線(xiàn)面角的余弦.②求二面角時(shí),兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角,要注意從圖中分析.關(guān)鍵能力學(xué)案突破熱點(diǎn)一空間平行、垂直關(guān)系的證明1.幾何法證明空間平行、垂直關(guān)系【例1】(2020江蘇南通高三模擬,16)在多面體ABCDEF中,BC∥EF,BF=6,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,四邊形ACDF是菱形,∠FAC=60°,M,N分別是AB,DF的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面AEF;(2)求證:平面ABC⊥平面ACDF.解題心得用幾何法證明空間中的平行與垂直關(guān)系,關(guān)鍵是靈活運(yùn)用各種平行(垂直)關(guān)系的轉(zhuǎn)化:【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(2020吉林長(zhǎng)春三模,19)在四棱錐PABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,PA=CD=2,PA⊥平面ABCD,E在棱PB上.(1)求證:AC⊥PD;(2)若VPACE=29,求證:PD∥平面AEC2.向量法證明空間平行、垂直關(guān)系【例2】如圖,在直三棱柱ADEBCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直,M為AB的中點(diǎn),O為DF的中點(diǎn).證明:(1)OM∥平面BCF;(2)平面MDF⊥平面EFCD.解題心得向量法證明空間平行與垂直關(guān)系時(shí),是以計(jì)算為手段,尋求直線(xiàn)上的線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量和平面的基向量、法向量的關(guān)系,關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系(或找空間一組基底)及尋找平面的法向量.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(2019福建廈門(mén)二模)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E為棱PC的中點(diǎn).證明:(1)BE⊥DC;(2)BE∥平面PAD;(3)平面PCD⊥平面PAD.熱點(diǎn)二空間位置關(guān)系的證明與求線(xiàn)面角【例3】(2020北京海淀二模,17)在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠ADC=π2,BC=CD=12AD=1,E為線(xiàn)段AD的中點(diǎn),PE⊥底面ABCD,F是棱PC的中點(diǎn),平面BEF與棱PD相交于點(diǎn)(1)求證:BE∥FG;(2)若PC與AB所成的角為π4,求直線(xiàn)PB與平面BEF所成角的正弦值解題心得利用向量法求直線(xiàn)與平面所成角時(shí),易混淆直線(xiàn)與平面所成角和直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量夾角的關(guān)系,一定要注意線(xiàn)面角θ與直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量的夾角α的關(guān)系為sinθ=|cosα|.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(2020山東,20)如圖,四棱錐PABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.熱點(diǎn)三空間位置關(guān)系的證明與求二面角【例4】(2020全國(guó)Ⅰ,理18)如圖,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點(diǎn),PO=66DO(1)證明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角BPCE的余弦值.解題心得利用空間向量求二面角的解題模型【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(2020山東泰安三模,19)在四棱錐PABCD中,△PAB為等邊三角形,四邊形ABCD為矩形,E為PB的中點(diǎn),DE⊥PB.(1)證明:平面ABCD⊥平面PAB;(2)設(shè)二面角APCB的大小為α,求α的取值范圍.5.3立體幾何大題5.3.1空間中的平行、垂直與空間角關(guān)鍵能力·學(xué)案突破【例1】證明(1)取AC的中點(diǎn)O,連接OM,ON.因?yàn)镸,N分別是AB,DF的中點(diǎn),所以在菱形ACDF中,ON∥AF.在△ABC中,OM∥BC.又因?yàn)锽C∥EF,所以O(shè)M∥EF,OM∩ON=O,所以平面OMN∥平面AEF.MN?平面OMN,所以MN∥平面AEF.(2)連接OF,OB.因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以BO⊥AC,BO=3.因?yàn)樗倪呅蜛CDF是菱形,所以AF=2.因?yàn)椤螰AC=60°,所以△ACF為等邊三角形,所以O(shè)F⊥AC,OF=3.因?yàn)锽F=6,所以BO2+OF2=BF2.所以BO⊥OF.因?yàn)镕O∩AC=O,所以BO⊥平面ACDF.又因?yàn)锽O?平面ABC,所以平面ABC⊥平面對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1證明(1)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DC于點(diǎn)F.∵AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1.∴四邊形ABCF為正方形,則CF=DF=AF=1,∴∠DAC=90°,得AC⊥DA.又PA⊥底面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥PA.又PA,AD?平面PAD,PA∩AD=A,∴AC⊥平面PAD.又PD?平面PAD,∴AC⊥PD.(2)設(shè)點(diǎn)E到平面ABCD的距離為h,則VPACE=VPABCVEABC=13×12×1×1×(2h)=又PA=2,則PB∶EB=PA∶h=3∶1.連接DB交AC于點(diǎn)O,連接OE,∵△AOB∽△COD,∴DO∶OB=2∶1,得DB∶OB=3∶1,∴PB∶EB=DB∶OB,則PD∥OE.又OE?平面AEC,PD?平面AEC,∴PD∥平面AEC.【例2】證明(1)由題意,得AB,AD,AE兩兩垂直,以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),F(1,0,1),M12,0,0,O12,12,12.OM=0,12,12,BA=(1,0,0),∴OM·BA=0,∴OM⊥BA.∵三棱柱ADEBCF是直三棱柱,∴AB⊥平面BCF∴OM∥平面BCF.(2)設(shè)平面MDF與平面EFCD的法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).∵DF=(1,1,1),DM=12,-1由n令x1=1,則平面MDF的一個(gè)法向量n1=1,12,-12.同理可得平面∵n1·n2=0,∴平面MDF⊥平面EFCD.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2證明依題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E為棱PC的中點(diǎn),得E(1,1,1).(1)向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),故BE·DC=0,所以BE⊥(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以AB⊥PA.又因?yàn)锳B⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以向量AB=(1,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量,而B(niǎo)E·AB=(0,1,1)·(1,0,0)=0,又BE?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一個(gè)法向量AB=(1,0,0),向量PD=(0,2,2),DC=(2,0,0),設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n不妨令y=1,可得n=(0,1,1)為平面PCD的一個(gè)法向量.則n·AB=(0,1,1)·(1,0,0)=0,所以n所以平面PAD⊥平面PCD.【例3】(1)證明因?yàn)镋為AD中點(diǎn),且BC=12AD,所以DE=BC.又因?yàn)锳D∥BC,所以DE∥BC.所以四邊形BCDE為平行四邊形,所以BE∥CD.因?yàn)锽E?平面PDC,CD?平面PDC,所以BE∥平面PDC.因?yàn)锽E?平面BEGF,平面BEGF∩平面PDC=FG,所以BE∥FG(2)解由(1)可得BE∥CD,因?yàn)椤螦DC=π2,所以∠AEB=π2,且PE⊥平面ABCD,所以以E為原點(diǎn),EA為x軸,EB為y軸,EP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(設(shè)P(0,0,p),可得A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),PC=(1,1,p),AB=(1,1,0).因?yàn)镻C與AB所成角為π4,所以|cos<PC,AB>|=PC·AB|PC||AB|=22(p>0),解得p=2.所以P(0,0,2),F12,1設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z),EB可得y=0,-12x+12y+22z=0.不妨令x=2,可得n=(2,0,1)為平面BEF的一個(gè)法向量.設(shè)直線(xiàn)PB對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)證明因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,所以AD⊥DC.所以AD⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC,AD不在平面PBC中,所以AD∥平面PBC,又因?yàn)锳D?平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.所以l⊥平面PDC.(2)解以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DP的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向,由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),則DC=(0,1,0),PB=(1,1,1).由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則DQ=(a,0,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,則n可取n=(1,0,a).所以cos<n,PB>=n·設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,則sinθ=3因?yàn)?31+2aa2+1≤63,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)【例4】(1)證明設(shè)DO=a,由題設(shè)可得PO=66a,AO=33a,AB=a,PA=PB=PC=22a.因此PA2+PB2=AB2,從而PA⊥PB.又PA2+PC2=AC2,故PA所以PA⊥平面PBC.(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OE的方向?yàn)閥軸正方向,|OE|為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題設(shè)可得E(0,1,0),A(0,1,0),C-32,12,0所以EC=-32,-12,0,EP=0,-則m可取m=-33,1,2.由(1)知AP=0,1,22是平面PCB的一個(gè)法向量,記n=AP,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)證明連接AE,因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形,E為PB的中點(diǎn),所以AE⊥PB.又因?yàn)镈E⊥PB,AE∩DE=E,所以PB⊥平面ADE,PB⊥AD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以AD⊥AB,AB∩BP=B,所以AD⊥平面PAB.因?yàn)锳D?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAB.(2)解以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)PB=AB=PA=1,C(0,1,n),