2021新高考數(shù)學新課程一輪復習學案第十章第5講古典概型

第5講古典概型[考綱解讀]1.理解古典概型及其概率計算公式，會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．(重點、難點)2.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.[考向預測]從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點之一．預測2021年將會考查：①古典概型的基本計算；②古典概型與其他知識相結合．題型以解答題為主，也可能出選擇題、填空題，與實際背景相結合，試題難度中等.1．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件都是eq\o(□,\s\up3(01))互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成eq\o(□,\s\up3(02))基本事件的和．2．古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件eq\o(□,\s\up3(01))只有有限個．(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性eq\o(□,\s\up3(02))相等．3．如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(1,n)；如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A)＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)).1．概念辨析(1)在一次試驗中，其基本事件的發(fā)生一定是等可能的.()(2)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(3)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事件．()(4)從市場上出售的標準為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)同時拋擲兩枚骰子，則向上的點數(shù)之和是7的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案A解析記拋擲兩枚骰子向上的點數(shù)分別為a，b，則可得到數(shù)組(a，b)共有36組，其中滿足a＋b＝7的共有6組，分別為(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，因此所求的概率為P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)從1,2,3,4這四個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字構成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于30的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)答案A解析從1,2,3,4中任取兩個不同的數(shù)字構成一個兩位數(shù)，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12種等可能發(fā)生的結果，其中大于30的兩位數(shù)有31,32,34,41,42，43，共6個，所以這個兩位數(shù)大于30的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(3)從5名醫(yī)生(3男2女)中隨機等可能地選派兩名醫(yī)生，則恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)答案D解析從5名醫(yī)生中選派兩名醫(yī)生的基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的基本事件m＝Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6，所以所求事件概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選D.(4)將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案C解析所有可能的排列方法有Aeq\o\al(3,3)＝6種，2本數(shù)學書相鄰的排列方法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4種(先排列數(shù)學書，再把兩本數(shù)學書作為整體和語文書進行排列)．所以根據(jù)概率的計算公式，所求概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故選C.題型一古典概型的簡單問題1．(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，這25種基本事件發(fā)生的可能性是相等的．第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.2．將A，B，C，D這4名同學從左至右隨機地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學”的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)答案B解析A，B，C，D4名同學排成一排有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法．當A，C之間是B時，有2×2＝4種排法，當A，C之間是D時，有2種排法，所以所求概率為eq\f(4＋2,24)＝eq\f(1,4).3．(2019·全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.eq\f(5,16)B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32)D.eq\f(11,16)答案A解析在所有重卦中隨機取一重卦，其基本事件總數(shù)n＝26＝64，恰有3個陽爻的基本事件數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝20，所以在所有重卦中隨機取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故選A.1.求古典概型概率的步驟(1)判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.2.基本事件個數(shù)的確定方法方法適用條件列表法此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標法樹狀圖法樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適合于有順序的問題及較復雜問題中基本事件數(shù)的探求排列、組合法當基本事件個數(shù)符合排列、組合模型時，可以用排列、組合數(shù)公式直接計數(shù)1.(2019·湖南雅禮中學模擬)甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨機送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡都送給丁的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)答案C解析所有的情況有(甲送給丙、乙送給丁)(甲送給丁，乙送給丙)(甲、乙都送給丙)(甲、乙都送給丁)共4種，這4種情況發(fā)生的可能性是相等的．其中甲、乙將賀年卡都送給丁的情況只有一種，所以甲、乙將賀年卡都送給丁的概率是eq\f(1,4).2.(2020·南昌模擬)2021年廣東新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都準備選歷史，假若他們都對后面四科沒有偏好，則他們選課相同的概率為()A.eq\f(1,36)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)答案D解析小明與小芳選課所有可能的結果有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種，他們選課相同的結果有Ceq\o\al(2,4)種，故所求的概率P＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6).題型二古典概型的交匯問題角度1古典概型與平面向量相結合1.設連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3).(1)求使得事件“a⊥b”發(fā)生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率.解由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共有36種.(1)若a⊥b，則有m－3n＝0，即m＝3n，符合條件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2種，所以事件“a⊥b”發(fā)生的概率為eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)若|a|≤|b|，則有m2＋n2≤10，符合條件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6種，故所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).角度2古典概型與函數(shù)、方程相結合2.(2019·武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點數(shù)依次記為a和b，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率是()A.eq\f(7,36)B.eq\f(1,2)C.eq\f(19,36)D.eq\f(5,18)答案C解析投擲骰子兩次，所得的點數(shù)a和b滿足的關系為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a≤6，a∈N*，,1≤b≤6，b∈N*，))∴a和b的組合有36種，若方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解，則Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a.當b＝1時，沒有a符合條件；當b＝2時，a可取1；當b＝3時，a可取1,2；當b＝4時，a可取1,2,3,4；當b＝5時，a可取1,2,3,4,5,6；當b＝6時，a可取1,2,3,4,5,6.故滿足條件的組合有19種，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率P＝eq\f(19,36)，故選C.3.(2019·遼寧省實驗中學模擬)設a∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6}，則函數(shù)f(x)＝logeq\s\do15(eq\f(a,b))x是增函數(shù)的概率為________.答案eq\f(1,2)解析由已知條件，得eq\f(a,b)的所有取值種數(shù)為3×4＝12.當eq\f(a,b)>1時，f(x)為增函數(shù)，符合此條件的eq\f(a,b)有eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，eq\f(7,2)，eq\f(5,4)，eq\f(7,4)，eq\f(7,6)，共6種，所以函數(shù)f(x)＝logeq\s\do15(eq\f(a,b))x是增函數(shù)的概率為eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).角度3古典概型與幾何問題結合4.將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________.答案eq\f(7,12)解析依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種等可能的結果，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，則當a＝1時，b＝1,2,3,4,5,6，共6種，當a＝2時，b＝2,3,4,5,6，共5種，同理當a＝3時，有4種，當a＝4時，有3種，當a＝5時，有2種，當a＝6時，有1種，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(種)，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).角度4古典概型與統(tǒng)計相結合5.(2019·綿陽模擬)目前有聲書正受到越來越多人的喜愛．某有聲書公司為了解用戶使用情況，隨機選取了100名用戶，統(tǒng)計出年齡分布和用戶付費金額(金額為整數(shù))情況如下圖.有聲書公司將付費高于20元的用戶定義為“愛付費用戶”，將年齡在30歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”．已知抽取的樣本中有eq\f(3,8)的“年輕用戶”是“愛付費用戶”.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否有95%的把握認為用戶“愛付費”與其為“年輕用戶”有關？愛付費用戶不愛付費用戶合計年輕用戶非年輕用戶合計(2)若公司采用分層抽樣方法從“愛付費用戶”中隨機選取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行訪談，求抽取的2人恰好都是“年輕用戶”的概率.P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.解(1)根據(jù)題意可得2×2列聯(lián)表如下：愛付費用戶不愛付費用戶合計年輕用戶244064非年輕用戶63036合計3070100由表中數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×24×30－40×62,30×70×64×36)≈4.76>3.841，所以有95%的把握認為“愛付費用戶”和“年輕用戶”有關.(2)由分層抽樣可知，抽取的5人中有4人為“年輕用戶”，1人為“非年輕用戶”，則從這5人中隨機抽取2人的基本事件共有Ceq\o\al(2,5)＝10個．其中滿足抽取的2人均是“年輕用戶”的事件共有Ceq\o\al(2,4)＝6個．所以從中抽取2人恰好都是“年輕用戶”的概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).1.求解古典概型的交匯問題的步驟(1)根據(jù)相關知識構建事件滿足的條件.(2)根據(jù)條件列舉所有符合的基本事件.(3)利用古典概型的概率計算公式求概率.2.破解概率與統(tǒng)計圖表綜合問題的“三步曲”1.把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，則向量m與向量n不共線的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(11,12)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,18)答案B解析易知所有基本事件有36個，若m∥n，則eq\f(a,1)＝eq\f(b,2)，即b＝2a.所以m與n共線包含的基本事件為(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3個，所以m與n不共線的概率為1－eq\f(3,36)＝eq\f(11,12).2.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()A.eq\f(7,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9)D.eq\f(2,3)答案D解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點，則有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由題意知所有的基本事件有9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．滿足a2>b2的有6個基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).3.在集合A＝{2,3}中隨機取一個元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________.答案eq\f(1,3)解析點P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6種情況，只有(2,1)，(2,2)這2個點在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4.(2020·武漢六校聯(lián)考)某工廠有25周歲以上(含25周歲)的工人300名，25周歲以下的工人200名，為了研究工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)是否與年齡有關，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)“25周歲以上(含25周歲)組”的頻率分布直方圖，求25周歲以上(含25周歲)組工人日平均生產(chǎn)件數(shù)的中位數(shù)的估計值(四舍五入保留整數(shù))；(2)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；(3)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80的工人為生產(chǎn)能手，請你根據(jù)已知條件完成