淺談數(shù)形結(jié)合思想方法在高中函數(shù)中的應(yīng)用

前言數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間結(jié)構(gòu)的科學(xué)，也可說(shuō)是“數(shù)”與“形”的科學(xué)，它與語(yǔ)文共同構(gòu)成整個(gè)學(xué)科體系的兩大基礎(chǔ)支柱，在高中階段有著不可撼動(dòng)的地位。同樣地，數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)中也有著重要地位，特別是在函數(shù)部分，它起著不可或缺的作用。在本章節(jié)中，筆者將對(duì)該課題的研究背景和國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀進(jìn)行簡(jiǎn)述，以為后續(xù)論題的深入探究奠定理論基礎(chǔ)。1.1研究背景在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，數(shù)學(xué)被分為四個(gè)部分，分別是數(shù)與代數(shù)、空間與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合應(yīng)用。其中，幾何是對(duì)圖形進(jìn)行研究，代數(shù)則對(duì)數(shù)進(jìn)行分析，雖說(shuō)是兩個(gè)不同的類別，但它們的關(guān)系卻是聯(lián)系緊密、相輔相成的，并非相互獨(dú)立，這樣的關(guān)系在函數(shù)中體現(xiàn)的十分明顯。在高中學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，我們時(shí)常會(huì)碰到許多無(wú)法運(yùn)算或計(jì)算量較大的代數(shù)問(wèn)題，這往往使我們解題困難，甚至無(wú)從下手。這時(shí)，我們就需要利用數(shù)形結(jié)合思想方法來(lái)解題，將“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“形”的問(wèn)題，通過(guò)觀察圖形，利用圖形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解答。此外，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們還會(huì)遇到一些抽象的題或概念，讓我們難以解決或及時(shí)掌握，但如果我們將不易理解的抽象問(wèn)題具體化，將概念轉(zhuǎn)化為便于理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化，那么對(duì)于很多問(wèn)題，我們都能輕而易舉地解決了。正如美籍?dāng)?shù)學(xué)家喬治·波利亞曾說(shuō)的：“完美的思想方法猶如北極星，使人們找到正確的道路”[2]。數(shù)形結(jié)合思想方法就是函數(shù)的“北極星”，它是連接“數(shù)”與“形”之間的良好紐帶和堅(jiān)固橋梁，幫助我們準(zhǔn)確、快速地理解并解答問(wèn)題。隨著數(shù)形結(jié)合思想理論研究的逐步深入，其教學(xué)價(jià)值也被廣大教育實(shí)踐者所認(rèn)同，尤其是在教授函數(shù)這部分知識(shí)時(shí)。大家都知道，函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，很多學(xué)生都不能將其完全弄明白，大多數(shù)人都理解地似是而非。但在學(xué)習(xí)函數(shù)這部分知識(shí)時(shí)，數(shù)形結(jié)合這一思想得到了充分地體現(xiàn)，比如，當(dāng)指數(shù)的值較大時(shí)，比較兩指數(shù)函數(shù)的大小。這個(gè)時(shí)候我們是無(wú)法進(jìn)行人為計(jì)算的，但通過(guò)觀察兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖形，在確定指數(shù)的情況下，我們又能直接看出答案。由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想方法在函數(shù)中的作用是十分重要的。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀1.2.1國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀現(xiàn)目前，國(guó)內(nèi)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的研究不計(jì)其數(shù)，但研究方向還是主要集中在教育教學(xué)和解題中。1964年，我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾在《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》中提到：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休[3]?！?006年，王林全在《高中新課程必修課教與學(xué)數(shù)學(xué)》中指出：“數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題和圖像之間的相互轉(zhuǎn)化，使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化[4]?！?018年，吳金華在《數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用分析》中提到：“數(shù)學(xué)思想方法是用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種指導(dǎo)思想和普遍使用的方法，是提高個(gè)體思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力以及發(fā)展智力的關(guān)鍵[5]?！?019年，范艷曾在《數(shù)形結(jié)合的思想方法與高考數(shù)學(xué)解題技巧》中提到：“這種思想具體指的就是根據(jù)隱藏于數(shù)和形當(dāng)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，憑借數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化來(lái)妥善處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種宏觀理念[6]?！?005年，莫江文老師和肖春梅老師在《數(shù)學(xué)美在中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的應(yīng)用》中認(rèn)為數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用能夠提升數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，這一點(diǎn)是毋庸置疑的[7]。2012年，于宏坤老師在《淺談數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中的應(yīng)用》指出：“在問(wèn)題的探究中，以各種類型的例題為出發(fā)點(diǎn)，重點(diǎn)探究方程問(wèn)題，并通過(guò)求方程解的個(gè)數(shù)，比較大小以及求最值來(lái)論述數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，也突出說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，即簡(jiǎn)單、直觀、形象[8]?！?010年申光婭老師在《高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用》中提到了數(shù)形結(jié)合能夠?qū)?fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使問(wèn)題能夠明確的呈現(xiàn)出來(lái)，而且作者認(rèn)為通過(guò)圖形能夠解決用代數(shù)方法無(wú)法解決的問(wèn)題[9]。在教育教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用可將問(wèn)題分析得更為全面。一般情況下，數(shù)形結(jié)合思想方法分為三類：以“數(shù)”助“形、”以“形”助“數(shù)”和“數(shù)形”兼顧。以“數(shù)”助“形”是利用數(shù)據(jù)來(lái)解決圖形問(wèn)題，在解析幾何和空間幾何中體現(xiàn)得尤為明顯；以“形”助“數(shù)”是通過(guò)圖形來(lái)解答代數(shù)問(wèn)題；但有時(shí)學(xué)生很容易專注于“數(shù)”或?qū)Ｗ⒂凇靶巍?，從而忽略掉一些重要的突破點(diǎn)，此時(shí)我們便需要“數(shù)形”兼顧。通過(guò)這三種方式，可使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化，為學(xué)生節(jié)省作答時(shí)間，提高答題效率。此外，學(xué)生在將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)的過(guò)程中，思維也能得到一定的強(qiáng)化。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生的思維，幫助他們理解并掌握這個(gè)思想。1.2.2國(guó)外研究現(xiàn)狀與國(guó)內(nèi)相比，國(guó)外對(duì)數(shù)學(xué)思想研究的興起時(shí)間要更早一些，從古代的歐幾里得到近代的高斯、歐拉、黎曼、柯西、希爾伯特、康托等，對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行研究的學(xué)者不計(jì)其數(shù)，生成的相關(guān)理論也較豐富。因此，研究數(shù)形結(jié)合思想的文章也有不少[10]~[11]。在文章內(nèi)容上，由于數(shù)學(xué)思想方法幾乎是通用的，因此國(guó)內(nèi)與國(guó)外的文章也都大同小異；但在研究的出發(fā)點(diǎn)上，二者有所不同：國(guó)內(nèi)注重運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和解題效率，提高教學(xué)質(zhì)量；而國(guó)外的研究者除了將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于教育教學(xué)中外，他們還注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)研究者，以此來(lái)推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展,如日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏曾指出：“數(shù)學(xué)的研究精神、數(shù)學(xué)的發(fā)明發(fā)現(xiàn)的思想方法、大腦的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，對(duì)科學(xué)工作者是絕對(duì)必要的[12]?！?運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的意義數(shù)形結(jié)合既是一種數(shù)學(xué)方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，同時(shí)還是知識(shí)的載體，是解答問(wèn)題的好“工具”與思維能力。在平日的學(xué)習(xí)中，知識(shí)的全面理解與掌握對(duì)學(xué)生而言是比較困難的，但思維能力的培養(yǎng)往往比知識(shí)的掌握更困難，這要求學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容與適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想相結(jié)合，從而解決問(wèn)題，以此積累經(jīng)驗(yàn)，鍛煉思維。2.1有助于拓展學(xué)生解決問(wèn)題的途徑在以往的學(xué)習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：有些同學(xué)學(xué)習(xí)努力，上課認(rèn)真，筆記也做的有條有理、規(guī)規(guī)矩矩，也會(huì)將不懂的地方整理出來(lái)，虛心請(qǐng)教，課后作業(yè)偶爾會(huì)有些小錯(cuò)誤，但總的來(lái)說(shuō)，還是不錯(cuò)，可就在考試的時(shí)候，成績(jī)總是不盡人意；另有部分同學(xué)，上課時(shí)也認(rèn)真聽(tīng)講，但總說(shuō)作業(yè)太多，作業(yè)完成度較低，有時(shí)答題不寫過(guò)程，就只寫個(gè)答案在上面，可他們每次考試的成績(jī)都相當(dāng)不錯(cuò)。針對(duì)這一現(xiàn)象，筆者通過(guò)觀察、思考、分析以及咨詢他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象的產(chǎn)生與學(xué)生是否真正掌握數(shù)學(xué)思想方法有關(guān)。前一類學(xué)生雖然上課認(rèn)真，筆記完整，但他只是明白了老師所講的那道題，并沒(méi)有真正地掌握到那道題的思想方法，不懂得如何去分析那個(gè)題，一旦老師將題稍做變換，他便又不會(huì)作答了；后一類學(xué)生雖然平時(shí)完成作業(yè)的態(tài)度不太好，但他聽(tīng)課時(shí)確是真正地掌握到了解題方法，在遇到問(wèn)題時(shí)，他知道如何分析那道題，用什么方法，應(yīng)該從何處下手。從對(duì)以上兩類學(xué)生的分析中，我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著重要作用。作為數(shù)學(xué)思想方法的一員，數(shù)形結(jié)合的作用也是不容忽視的，它能拓展我們解決問(wèn)題的途徑，比如數(shù)學(xué)中的函數(shù)問(wèn)題。函數(shù)是在數(shù)學(xué)中最能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的板塊，好多同學(xué)一聽(tīng)到函數(shù)就頭大，一看到函數(shù)題就開始漫長(zhǎng)的思考，但又思考不出結(jié)果。在此，筆者給出一點(diǎn)小建議，以后遇到函數(shù)題，先把相關(guān)的函數(shù)圖形畫在草稿紙上，然后再將圖形和數(shù)量關(guān)系聯(lián)結(jié)起來(lái)，這樣問(wèn)題便簡(jiǎn)化了。以下題為例。例1：若0<a<b<1，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.aa<baB.aa<a分析對(duì)于這類用字母表示的問(wèn)題，我們通?？梢酝ㄟ^(guò)對(duì)a、b賦值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小，借助于函數(shù)的圖像用排除法來(lái)解題。那么，通過(guò)觀察選項(xiàng)A、B、C、D可知，這四個(gè)選項(xiàng)都可以視為指數(shù)函數(shù)大小的比較，現(xiàn)令a=13，b=12，在直角坐標(biāo)系中做出函數(shù)f圖圖2.SEQFigure\*ARABIC1從圖像中我們可以得到兩個(gè)有用信息：1)在0,1范圍內(nèi)，fx與gx單調(diào)遞減，故1313>1312，1213>1212，排除B、C；2)在0,1范圍內(nèi)通過(guò)這個(gè)例題我們可以發(fā)現(xiàn)，利用數(shù)形結(jié)合思想方法解題，可使解題思路清晰、有條理，使解題效率迅速、快捷。2.2有助于加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)概念時(shí)，如果老師只是單純的照本宣科，學(xué)生往往并不能將知識(shí)點(diǎn)完全吸收、理解。就比如在講解集合問(wèn)題時(shí)，如果題目很簡(jiǎn)單且限制條件只有1個(gè)或2個(gè)，那么，老師口頭傳授并沒(méi)有太大的問(wèn)題；但當(dāng)限制條件較多時(shí)，若仍口頭傳授、講解，即便講得十分清楚，學(xué)生也會(huì)聽(tīng)得迷迷糊糊；相反，如果老師利用數(shù)形結(jié)合思想方法，通過(guò)在直角坐標(biāo)系中作圖，學(xué)生根據(jù)老師的作圖方法、步驟，在坐標(biāo)系中畫出條件所給出的區(qū)域范圍，答案很快便浮出水面，從而完成解答，同時(shí)，在作答過(guò)程中，既增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)集合知識(shí)的應(yīng)用能力，又加深了學(xué)生對(duì)集合知識(shí)的理解和印象，讓學(xué)生的思維在原有水平上得到“升華”。又比如在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，有部分同學(xué)不太理解?x和?y的含義，此時(shí)我們便需要利用數(shù)形結(jié)合。我們先在直角坐標(biāo)系中隨意畫一條曲線，然后任意取兩個(gè)不重合的點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差和縱坐標(biāo)的差分別就是?x由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想方法除了運(yùn)用在解題上，還可以運(yùn)用在對(duì)知識(shí)的理解上，讓學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面去理解和掌握知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，使得學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)整體化、系統(tǒng)化，從而構(gòu)建出一個(gè)完整的知識(shí)體系。2.3有助于數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)高中是學(xué)生思維發(fā)展的黃金階段，因此，在這個(gè)時(shí)間段里，教師要注重對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。數(shù)形結(jié)合思想方法能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形的想象力，有益于對(duì)學(xué)生思維能力的發(fā)展。2.3.1有助于形象思維的培養(yǎng)在高中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了很多定理，比如：三點(diǎn)共線定理，證明“線面平行”、“面面平行”、“線面垂直”、“面面垂直”的定理。在學(xué)習(xí)這些定理時(shí)，老師往往會(huì)讓我們先自行思考一番，讓我們想想這些定理是否正確，隨后再開始對(duì)它進(jìn)行證明。而在思考的過(guò)程中，我們的腦海里都會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的點(diǎn)、線、面，然后通過(guò)對(duì)定理進(jìn)行書面的理解和整理，再利用數(shù)形結(jié)合思想將各個(gè)點(diǎn)、線、面進(jìn)行連接、組合，這便是形象思維。又比如我們學(xué)習(xí)過(guò)的向量的基本定理與排列組合中的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理。在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，隨著老師的引導(dǎo)與講解，我們的腦海中都會(huì)浮現(xiàn)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型?？梢?jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想有利于學(xué)生想象力的發(fā)展和形象思維的培養(yǎng)。此外，還有余弦定理和正弦定理的證明，老師在講解的過(guò)程中，首先證明了直角三角形是滿足這兩個(gè)定理的，然后改變圖形，討論銳角三角形和鈍角三角形是否也滿足，像這樣通過(guò)利用圖形的變化來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)的過(guò)程也有利于學(xué)生形象思維的培養(yǎng)。2.3.2有助于邏輯思維的培養(yǎng)在解題過(guò)程中，學(xué)生有時(shí)很容易忽略掉一些信息，導(dǎo)致最終結(jié)果不完整或是錯(cuò)誤。比如在函數(shù)大小比較的問(wèn)題上，許多同學(xué)都喜歡直接賦值計(jì)算，但因?yàn)檫@樣方便比較大小，但是又往往考慮不全面。比如：當(dāng)0<a<b時(shí)，比較指數(shù)a0.5與指數(shù)b0.52.3.3有助于發(fā)散思維的培養(yǎng) 發(fā)散思維又叫求異思維、擴(kuò)散思維，它是指在面對(duì)同一問(wèn)題時(shí)，通過(guò)不同的角度和不同的層面對(duì)它進(jìn)行思考，跳出固有的思維模式，靈活解題的思想過(guò)程。我們常說(shuō)的“觸類旁通”、“聞一知十”、“舉一反三”、“問(wèn)牛知馬”等，都是指發(fā)散思維。數(shù)形結(jié)合就是充分利用“數(shù)”和“形”，既要從“數(shù)”的特征方面去理解“形”，也要從“形”的特征方面去理解“數(shù)”，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的相互利用，相互轉(zhuǎn)換。所以，數(shù)形結(jié)合思想也有利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)。在我們學(xué)習(xí)《必修2：點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系》時(shí)，經(jīng)常有證明“面面垂直”、“線面垂直”，計(jì)算二面角的余弦值以及大小等問(wèn)題。我們除了可以利用向量知識(shí)去解答，還可以利用幾何知識(shí)，通過(guò)圖形、已知條件以及作輔助線進(jìn)行解答。由此可見(jiàn)，同一個(gè)問(wèn)題，通過(guò)不同的角度進(jìn)行思考，就會(huì)有不同的解決方式和途徑，實(shí)現(xiàn)一題多解，有利于學(xué)生開闊思路，讓思維得到有效地發(fā)展。3數(shù)形結(jié)合思想方法在高中函數(shù)中的應(yīng)用舉例函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，它貫串于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，其重要性可想而知。數(shù)形結(jié)合思想方法是解決函數(shù)問(wèn)題的重要工具，函數(shù)則是數(shù)形結(jié)合思想方法的良好載體。在本章節(jié)中，筆者將介紹數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)中的幾種常見(jiàn)應(yīng)用，并舉例說(shuō)明。3.1利用數(shù)形結(jié)合思想方法比較函數(shù)值的大小例1：已知定義在R上的函數(shù)fx滿足下列三個(gè)條件(1)對(duì)任意0≤x1<(2)對(duì)任意x∈R，都有(3)y=fx+1關(guān)于y試比較f1.2，f2.6，f分析題目告訴函數(shù)fx滿足三個(gè)條件，由(1)知函數(shù)fx在0,1上單調(diào)遞增；由(2)知函數(shù)fx是周期函數(shù)，且周期T=2；由(3)知函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱。根據(jù)由條件推得出的這三個(gè)關(guān)系，可以將函數(shù)fx的示意圖畫出，圖圖3.1從圖像中我們可以得到，f2.63.2利用數(shù)形結(jié)合思想方法求函數(shù)最值和值域例2：求函數(shù)y=x-1分析雖然函數(shù)y=x-1+6-2x含有兩個(gè)根號(hào)，但仔細(xì)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)2x-12+6-2x2=4，以及函數(shù)定義域?yàn)?,3?，F(xiàn)令u=x-1，則u∈0,2,令v=6-2x，則v∈0,2。那么2u2+v圖圖3.SEQFigure\*ARABIC2因?yàn)閡，v滿足u22+v24=1u≥0，v≥0，因此，當(dāng)直線v=-u+y與橢圓部分相切時(shí)，y最大。故，聯(lián)立方程組，再由判別式法可得y=x-1+6-2x例3：對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b，有maxa，b=a分析由題意可知，fx=maxx-1,x+2是指當(dāng)x確定時(shí)，在函數(shù)y=圖圖3.SEQFigure\*ARABIC3從圖中我們可以看出，當(dāng)x=-12時(shí)，兩個(gè)函數(shù)相交于一點(diǎn)；當(dāng)x<-12時(shí)，函數(shù)y=x+2的圖形在函數(shù)y=x-1的下方；當(dāng)x>-12時(shí)，函數(shù)y=x+2的圖形在函數(shù)y=3.3利用數(shù)形結(jié)合思想方法求有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題例4：已知函數(shù)fx=x2-2x，若函數(shù)f(x)在區(qū)間m,m+1分析由題可知，f(x)是開口朝上的二次函數(shù)，故有最小值；又由于函數(shù)fx=x2-2x=x-12-1,圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，因此f(x)在x=1處取得最小值?，F(xiàn)要求圖圖3.SEQFigure\*ARABIC4-1圖3.4-2圖3.4-3圖3.4-1：當(dāng)對(duì)稱軸在m,m+1左邊時(shí)，m+1≤1，即m≤0，此時(shí)f(x)在x=m+1處取得最小值，fm+1圖3.4-2：當(dāng)對(duì)稱軸在m,m+1內(nèi)時(shí)，m<1<m+1,即0<m<1，由以上分析知f(x)在x=1處取得最小值，f圖3.4-3：當(dāng)對(duì)稱軸在m,m+1右邊時(shí)，m≥1，此時(shí)f(x)在x=m處取得最小值，fm綜上所述，gmg例5：已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c，與x軸分別相交于Ax1,0，Bx2,0兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且C點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若函數(shù)f(x)隨x的增大而增大，x的范圍。分析（1）關(guān)于點(diǎn)C的坐標(biāo)，題目中有兩處重要信息：1)點(diǎn)C在y軸上，由此可知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0；2)點(diǎn)C與原點(diǎn)的距離為3，即OC長(zhǎng)度為3。由于題目中并未告訴a的正負(fù)，因此這里需要對(duì)a進(jìn)行討論：當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)fx的圖像開口向下，此時(shí)點(diǎn)C坐標(biāo)為當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)fx的圖像開口向上，此時(shí)點(diǎn)C坐標(biāo)為0,-3（2）在第（1）問(wèn)中，C點(diǎn)的坐標(biāo)已經(jīng)求出，但只知道C點(diǎn)坐標(biāo)并不能求出f(x)的解析式。在題目中，有已知點(diǎn)A和點(diǎn)C、點(diǎn)A和點(diǎn)B的關(guān)系，因此可以通過(guò)C點(diǎn)的坐標(biāo)將A點(diǎn)、B點(diǎn)的坐標(biāo)依次算出，從而求出函數(shù)fx的解析式，再利用函數(shù)圖像，問(wèn)題便解開了。由于在第（1）問(wèn)中，Ca)當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為0,3時(shí)，因?yàn)镃點(diǎn)在直線y=3x+t上，所以，代入C點(diǎn)坐標(biāo)可得t=3，再將t=3代入原直線方程，令y=0，解得x1=-1，故點(diǎn)A坐標(biāo)為-1,0.又根據(jù)條件x1?x2<0,x1+x2=3，可得x2圖圖3.5-1由圖可知，當(dāng)x<-12時(shí),f(x)隨著自變量xb)當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為0,-3時(shí)，將C點(diǎn)坐標(biāo)帶入y=3x+t中，得t=-3，再將t=-3代入原直線方程，令y=0，解得x1=1，故點(diǎn)A坐標(biāo)為1,0.根據(jù)條件x1?x2<0,x1+x2=3，可得x2圖圖3.5-2由圖可知，當(dāng)x>-12時(shí),fx隨著自變量3.4利用數(shù)形結(jié)合思想方法求零點(diǎn)（根）的個(gè)數(shù)例6：已知函數(shù)fx=log3x-x分析零點(diǎn)是指函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，本題涉及絕對(duì)值、對(duì)數(shù)，函數(shù)圖像不能直接畫出，但如果將函數(shù)fx分為兩部分：函數(shù)sx=log3x，函數(shù)tx=x，那么，函數(shù)fx的零點(diǎn)問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為s圖圖3.6從圖中我們可以清楚地看到，函數(shù)sx圖像與函數(shù)tx圖像僅在第三象限有一個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)只需確定該點(diǎn)是否在函數(shù)fx的定義域中，由于函數(shù)fx的定義域?yàn)槔?：對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b有ab<0，證明：fx=2a分析由題可知ab<0，說(shuō)明a,b異號(hào)，且不為0，那么fx是一個(gè)二次函數(shù)。由于a,b作為fx中的參數(shù)，但題目中并未告訴a,b的值，因此不能直接將fx的圖像畫出來(lái)，也不能分類討論。因?yàn)閒x=2ax2-bx-a+b=a2x2-1-bx-1,故令fx=0圖圖3.7由圖可知，當(dāng)x=1時(shí)，gx的圖像在hx的上方，當(dāng)x=0時(shí)，hx的圖像在gx的上方，因此，在區(qū)間0,1內(nèi)，gx與3.5利用數(shù)形結(jié)合思想方法求參數(shù)問(wèn)題例8：若關(guān)于x的方程x2-2kx+k=0的兩個(gè)解分別在-1分析令函數(shù)fx=x2-2kx+k,則x2-2kx+k=0有兩個(gè)解在-1,0和1,0之間等價(jià)于函數(shù)fx有兩個(gè)零點(diǎn)在圖圖3.8根據(jù)圖像可知，f-1>0，f0<0，f1>01+2k+k>0化簡(jiǎn)得k>-故，-1例9：已知函數(shù)fx=x-1,x≥0-x分析由于函數(shù)gx中含有參數(shù)，故不能直接將函數(shù)圖像畫出來(lái)，無(wú)法直接求解。但已知gx有三個(gè)零點(diǎn)，即是說(shuō)函數(shù)gx與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)令gx=0，得fx=t，則gx有三個(gè)零點(diǎn)便轉(zhuǎn)化為函數(shù)fx與函數(shù)h圖圖3.9從圖中我們可以看出，要想函數(shù)fx與函數(shù)hx有三個(gè)交點(diǎn)，t的范圍只能是4應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法需要注意的問(wèn)題在上一章中，筆者介紹了數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)中的一些常見(jiàn)的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的重要性，這是否意味著所有函數(shù)問(wèn)題都可以用數(shù)形結(jié)合思想方法來(lái)解答呢？在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題時(shí)，需要注意什么問(wèn)題，遵循什么原則呢？在本章節(jié)中，筆者將對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行探討。4.1應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法需注意的問(wèn)題數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用主要在于“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化，大多數(shù)時(shí)候是將“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，利用圖像輔助解題，因此，圖形的精確度往往成了解題的關(guān)鍵。在解題過(guò)程中，需要注意以下幾點(diǎn)：（1）避免因作圖不夠精確而導(dǎo)致錯(cuò)誤。比如：求函數(shù)的根的個(gè)數(shù)，這類問(wèn)題的函數(shù)圖像往往不能直接畫出來(lái)，常用的解決方法變是將它轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，但如果作圖不夠精確，很容易多出或者少數(shù)個(gè)數(shù)的情況，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。例1：判斷l(xiāng)nx+1-x=0錯(cuò)解設(shè)f(x)=lnx+1-x,令f(x)=0，則lnx+1=x圖圖4.1-1圖4.1-2根據(jù)圖像可知，函數(shù)g(x)和函數(shù)h(x)相較于兩點(diǎn)，故f(x)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。結(jié)論是否正確呢？現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證：f'(x)=1x+1-1,其中x>-1。令f'(x)=0，則x=0；令f'(x)>0,解得-1<x<0；令f'(x)<0，解得x>1。故函數(shù)f(x)在-1,0上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減；因此，函數(shù)f(x)在x=0處取得最大值，又f0=0，則在-1,+∞上，圖圖4.1-3（2）避免因圖像不完整而導(dǎo)致錯(cuò)誤。在解函數(shù)題時(shí)，有些題需要觀察整個(gè)圖像，從整個(gè)圖像上入手。但有的同學(xué)在做題時(shí)為了節(jié)省時(shí)間，只將其中一部分畫出，然后得出結(jié)論，殊不知部分圖像的性質(zhì)并不意味著是整個(gè)圖像的性質(zhì)，從而導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤，得不償失。（3）避免“數(shù)”、“形”之間不等價(jià)的轉(zhuǎn)化。如例11，由于方程中含有對(duì)數(shù)，因此在“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的過(guò)程中，必須保證定義域?yàn)?1,+∞，否則方程將無(wú)意義。又比如分母里的式子，由于分母不能為0綜上所述，雖然數(shù)形結(jié)合思想方法為函數(shù)提供了直觀的“形”，但“形”的直觀性往往也會(huì)導(dǎo)致我們解題失誤。因此，在利用數(shù)形結(jié)合思想方法解題時(shí)，必須注意圖的精確性、完整性以及等價(jià)性，不被假性的“形”所迷惑，這樣的“形”才能更好地為“數(shù)”服務(wù)。4.2利用數(shù)形結(jié)合思想方法需遵循的原則（1）等價(jià)性原則從上節(jié)內(nèi)容中我們知道，“數(shù)”與“形”在轉(zhuǎn)化過(guò)程中必須是等價(jià)的，因?yàn)橛袝r(shí)候由于圖像的局限性，代數(shù)的部分性質(zhì)不能完好地表現(xiàn)出來(lái)。例2：求函數(shù)f(x)=x錯(cuò)解令函數(shù)f(x)=0則x13=2sinx，又令g(x)=x13，h(x)=2sinx，現(xiàn)將這兩個(gè)函數(shù)的圖像作于同一直角坐標(biāo)系中，如圖4.圖圖4.2-1由圖可知，除原點(diǎn)外，g(x)圖像與h(x)圖像有3個(gè)交點(diǎn),又由于g(x)與h(x)是奇函數(shù)，故g(x)圖像與h(x)圖像共交于7個(gè)點(diǎn)。錯(cuò)誤分析：作圖不精確導(dǎo)致錯(cuò)誤。正解在0,π2上取一點(diǎn)x=18，則gx=12，hx=2sin18。由于sinx≤x，所以hx≤2×18=14<1圖圖4.2-2（2）簡(jiǎn)單性原則我們?cè)谟脭?shù)形結(jié)合思想方法解函數(shù)題時(shí)，不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，要考慮題中條件是否有利于用這類方法。此外，在用這類方法時(shí)一定要找好解題的突破口，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)、建立關(guān)系、做轉(zhuǎn)化，同時(shí)還要挖掘出題中所隱藏的條件，準(zhǔn)確確定參數(shù)的取值范圍。在轉(zhuǎn)化時(shí)，要盡可能的轉(zhuǎn)化為我們熟悉或?qū)W過(guò)的簡(jiǎn)單的函數(shù)或圖像，比如直線、二次函數(shù)等，化繁為簡(jiǎn)，避免繁瑣冗長(zhǎng)的運(yùn)算。（3）雙向性原則雙向性原則是指在利用數(shù)形結(jié)合思想方法解題時(shí)，要從“數(shù)”和“形”兩個(gè)層面進(jìn)行思考，既要對(duì)“數(shù)”進(jìn)行抽象地探究，又要對(duì)“形”進(jìn)行直觀地分析，既要通過(guò)“數(shù)”之間的關(guān)系去理解“形”，又要通過(guò)“形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去理解“數(shù)”，即“數(shù)形”兼顧。4.3數(shù)形結(jié)合思想方法的局限性用數(shù)形結(jié)合思想方法解題，能化抽象為形象，幫助我們找到解題思路；能化繁為簡(jiǎn)，幫助我們省去不必要的推理和計(jì)算。但世間萬(wàn)物都有其弊端，數(shù)形結(jié)合思想方法也有其局限性：(1)在初學(xué)數(shù)形結(jié)合思想方法時(shí)，老師常使用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)或幾何意義十分明顯的題目來(lái)講解數(shù)形結(jié)合，這使得部分同學(xué)認(rèn)為所有題都可利用數(shù)形結(jié)合思想方法求解，認(rèn)為它是萬(wàn)能的，從而產(chǎn)生思維定式，在一些題目中生搬硬套，為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合。事實(shí)上，許多函數(shù)靠我們自己手畫是不容易畫不出來(lái)的，特別是一些復(fù)合函數(shù)，比如:fx=xsinx，圖圖4.3-1圖4.3-2從圖像中我們可以看出，隨著x的取值的不同，函數(shù)值的變化是相當(dāng)大的，憑借我們現(xiàn)有的手工作圖技巧是不可能將其畫出來(lái)的，只能借助畫圖軟件作圖，像這種時(shí)候，數(shù)形結(jié)合思想方法便不再適用。（2）在利用數(shù)形結(jié)合思想方法解題時(shí)，要求圖像要足夠完整、精確，如果圖像不夠精確、完整，就很容易導(dǎo)致解答錯(cuò)誤，特別是求根的個(gè)數(shù)問(wèn)題和交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，有些圖形不易畫出來(lái)，因此在轉(zhuǎn)化圖形時(shí)，一定要保證圖形的準(zhǔn)確性，以免產(chǎn)生錯(cuò)誤?？偨Y(jié)本文是在研究了相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，再結(jié)合自己實(shí)習(xí)與從事的相關(guān)教育兼職以及前人已完成的成果而創(chuàng)作的，主要介紹了數(shù)形結(jié)合思想方法的作用意義、原則和在高中函數(shù)的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想方法是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，不僅為我們提供了便利，也有利于我們思維的成長(zhǎng)。當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想方法也不是只適用于函數(shù)內(nèi)容，它也常應(yīng)用于集合（如韋恩圖）、不等式（如線性規(guī)劃）和空間幾何（如求二面角）等方面，應(yīng)用十分廣泛。可見(jiàn)，同一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法可能適用于很多不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，但同一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)也可能包含著許多不同的思想方法，因此，數(shù)形結(jié)合思想方法與其它數(shù)學(xué)思想是緊密聯(lián)系著的，不能將其與其它數(shù)學(xué)思想分離。在本文中，筆者主要通過(guò)具體例題（如最值問(wèn)題、參數(shù)問(wèn)題、比較大小等）來(lái)介紹數(shù)形結(jié)合思想方法在高中函數(shù)中的常見(jiàn)的應(yīng)用。函數(shù)是眾多高中生的“眼中釘”、“肉中刺”，許多學(xué)生因?yàn)楹瘮?shù)問(wèn)題而失去信心，從而厭惡數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)失去興趣。而數(shù)形結(jié)合正是解決函數(shù)問(wèn)題的有效手段，熟練運(yùn)用一些常見(jiàn)的曲線特征、概念的幾何意義，靈活地轉(zhuǎn)化“數(shù)”與“形”，能提升學(xué)生的思維能力，為學(xué)生提供解決問(wèn)題的渠道，加速學(xué)生對(duì)知識(shí)的吸收與掌握，讓學(xué)生重拾對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。參考文獻(xiàn)：[1]曾