2022-2023學年高二下數學：圓錐曲線的性質（附答案解析）

2022-2023學年高二下數學：圓錐曲線的性質

一.選擇題（共12小題）

1.（2021秋?長春期末）已知雙曲線χ2-2±=I（In>0）的一個焦點為F（3,0）,則其漸

m

近線方程為（）

a?y=±亨X

B.y=±2√2XC.y=±2xd?y=±yχ

2.（2021秋?吉安期末）已知在平面內，Q,尸2是兩個定點，M是一個動點，則''∣MQ∣+M/2|

為定值"是''點M的軌跡是以尸1，尸2為焦點的橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必耍條件

22

3.（2021秋?南崗區(qū)校級期末）若方程工_=1表示橢圓C,則下面結論正確的是（)

9-k

A.?∈（1,9）

B.橢圓C的焦距為2√]

C.若橢圓C的焦點在X軸上，則長（1,5）

D.若橢圓C的焦點在X軸上，則依（5,9）

22

4.（2021秋?昌吉州期末）已知橢圓C：—+2_=1的兩焦點分別為Q,F2,P為橢圓上

126

一點，且NQPF2=60°,則A尸IP尸2的面積等于（）

A.6B.2√3C.4√3D.6√3

5.（2021秋?朝陽區(qū)校級期末）已知點尸為拋物線C：爐=4x的焦點，點尸（-1,0）,若

點尸為拋物線C上動點，當」.I取得最大值時,點尸恰好在以R尸為焦點的橢圓

IPFI

上，則該橢圓的離心率為（）

A.?B?喙C.√3-1D.√2-1

6.（2021秋?沈陽期末）已知雙曲線C：?-?=ι（a>o,b〉o）的右焦點為尸，以F

ay

為圓心，以。為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于4B兩點.若贏=2而（。為坐

標原點），則雙曲線C的離心率為（）

第1頁（共23頁）

A.√SB.√I∑C.叵D.√Σ

3333

7.（2021秋?湖北期末）己知/（3,2）,點尸為拋物線∕=2χ的焦點，點P在拋物線上移

動，為使|為|+|「日取得最小值，則點P的坐標為（）

A.（0,0）B.（2,2）C.（1,√2）D.（?,1）

2

8.（2021秋?青銅峽市校級期末）已知尸是橢圓C的一個焦點，8是短軸的一個端點，線段

8尸的延長線交橢圓C于點。，且而=2而，則橢圓C的離心率為（）

A.??B.√3C.?D.3

33

22

9.（2021秋?南湖區(qū)校級期中）已知橢圓C：號V=I（a>b>0>點48是長軸的

abz

兩個端點，若橢圓上存在點尸，使得NZP5=120°,則該橢圓的離心率的取值范圍是

()

曲，除冬

A?1)B.1)C?(0,d?(0.?]

:與一*1的左、

10.（2021秋?廬陽區(qū)校級期中）已知尸1、尸2分別為雙曲線C右焦點,

過點尸2的直線與雙曲線C的右支交于力、8兩點（J在第一象限），若4ARF2與ABFiFa

內切圓半徑之比為3：2,則雙曲線離心率的取值范圍為（）

A.（1,5）B.（1,2）C.（√2-2）D.（1,√2）

2

11.（2021秋?河南期中）已知拋物線J=2px（p>0）的焦點為凡點M（Xir班）為拋

物線上一點.以M為圓心的圓經過原點。，且與拋物線的準線相切，切點為線段HF

交拋物線于點B,則??L=（）

IBFI

A.?B.2Z?C.2V?D.√β

223

12.（2021?南昌三模）如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月

球球心F為圓心的圓形軌道I上繞月球飛行，然后在尸點處變軌進以尸為一個焦點的橢

圓軌道H繞月球飛行，最后在。點處變軌進入以尸為圓心的圓形軌道IlI繞月球飛行，設

圓形軌道I的半徑為A,圓形軌道HI的半徑為，?，則下列結論中正確的序號為（）

①軌道∏的焦距為R-r；

第2頁（共23頁）

②若R不變，r越大，軌道】I的短軸長越小;

③軌道11的長軸長為R+r：

④若r不變，R越大，軌道∏的離心率越大.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二.填空題（共6小題）

13.（2021秋?河南期末）與雙曲線/-4產=4有共同的漸近線，并且經過點（2,√5）的

雙曲線方程是.

14.（2021秋?海拉爾區(qū)校級期末）以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于8兩點，交C

的準線于。，E兩點.已知∣Z8∣=4√a∣DE∣=2√m則C的焦點到準線的距離為.

22

15.（2021秋?懷柔區(qū)期末）若點。和點尸分別為橢圓1+匚=1的中心和左焦點，點P

43

為橢圓上的任意一點，則6F?^?最大值為.

2C

16.（2021秋?臺州期中）如圖，橢圓專-+y2=ι的左、右焦點分別為B,F2,過點4（2,

0）作橢圓的切線，切點為T,若歷為X軸上的點，滿足/47〃=//為7,則點M的坐

標為.

17.（2021秋?龍巖期中）已知雙曲線C：-?i-?-=ι（a>0,b>0）的左、右焦點分別

a<V

第3頁（共23頁）

為Fi、F2,直線X-C=O與雙曲線C的一個交點為點P,與雙曲線C的一條漸近線交于

點0,。為坐標原點，若加4而;?而，則雙曲線C的離心率為,漸近線

方程為_______

22

秋?河北區(qū)校級期中）已知Q,分別為橢圓的左、右

18.（2020E2f?+X*=l（a>b>0）

焦點，尸為橢圓上任意一點，/為PW上的三等分點，且滿足IMF2∣=2PM,若。P?LWI,

則該橢圓的離心率e的取值范圍是.

第4頁（共23頁）

2022-2023學年高二下數學：圓錐曲線的性質

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

1.（2021秋?長春期末）已知雙曲線x2_X：=i（m>0）的一個焦點為尸（3,0）,則其漸

m

近線方程為（）

=

A.y=+^^-χB.yi2Λ∕2XC.y-+2xD.y=+Aχ

【考點】雙曲線的性質.

【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理.

【分析】先由雙曲線的標準方程求出『=1,必=加，再利用焦點坐標，列出關于加的方

程，求出〃?的值，從而得到b的值，求解漸近線方程即可.

【解答】解：因為雙曲線的方程為χ2-xf=ι（ιn>cι）,

m

則『=1,b2-m,

所以c2=a2+b2=?+m,

又雙曲線的一個焦點為尸（3,0）,

所以l+w=9,解得“1=8,

所以b2-S,

則雙曲線的漸近線方程為y=±電x=±

a

故選:B.

【點評】本題考查了雙曲線標準方程的應用，雙曲線幾何性質的理解與應用，考查了邏

輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎題.

2.（2021秋?吉安期末）已知在平面內，F(xiàn)i,尸2是兩個定點，〃是一個動點，則''∣MQ∣+也中2|

為定值”是“點M的軌跡是以尸1,尸2為焦點的橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】橢圓的定義；充分條件、必要條件、充要條件.

第5頁（共23頁）

【專題】對應思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

【分析】“點M的軌跡是以尸1，尸2為焦點的橢圓”=>“必尸等于常數”，反之不成

立，若常數W兩個定點的距離，其軌跡不是橢圓，即可判斷出.

【解答】解：“點M的軌跡是以B,92為焦點的橢圓”="陽/ι∣+∣MF2|等于常數”，

反之不成立，若常數〈兩個定點的距離，其軌跡不是橢圓.

因此''∣MQ∣+∣M/2|等于常數”是“點M的軌跡是以Fi,尸2為焦點的橢圓”的必要不充分

條件.

故選：B.

【點評】本題考查了橢圓的定義、簡易邏輯的判定，考查了推理能力，屬于基礎題.

22

3.（2021秋?南崗區(qū)校級期末）若方程=ι表示橢圓C,則下面結論正確的是（）

9-kk-1

A.?∈（1,9）

B.橢圓C的焦距為2√5

C.若橢圓C的焦點在X軸上，則％∈（1,5）

D.若橢圓C的焦點在X軸上，則蛇（5,9）

【考點】橢圓的性質.

【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

【分析】利用方程表示橢圓，求出發(fā)的范圍，焦距，判斷焦點所在軸，判斷選項的正誤.

【解答】解：當焦點在X軸上時，9-k>k-1>0,解得垢（1,5）；

當焦點在y軸時，可得上-1>9-上>0,解得Ae（5,9）,所以C正確，。不正確；/不

正確；

焦點坐標在X軸時，焦距為：2—ιo-2k?焦點坐標在y軸時，2.2k-10,所以8不正確；

故選：C.

【點評】本題考查桶圓的簡單性質的應用，注意分類討論思想的應用，是基礎題.

22

4.（2021秋?昌吉州期末）已知橢圓C：三_+之_=1的兩焦點分別為尸尸2，P為橢圓上

126

一點，且NaPF2=60°,則AFiPB的面積等于（）

A.6B.2√3C.4√3D.6√3

【考點】橢圓的性質.

第6頁（共23頁）

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數學

運算.

【分析】由余弦定理結合橢圓的定義，求得IPQl?∣PF2∣的值，進而求其面積.

【解答】解：在4QPF2中，由余弦定理得r∣E2F=∣PFι∣2+∣PF2∣2-2∣PB∣?∣PF2∣cos60°,

222

Λ∣PFI∣+∣PF2∣-∣PF1∣?∣PF2∣=（2C）=（2√β）2=24①

又IPQl+∣P∕切=2α=4√^,平方得IPQF+∣p∕2∣2+2∣PB∣?∣尸刑=48,②，

②-①，得3∣PB∣?IPF2尸24,即IPFlI?∣PFZ∣=8,

o

ΛAFIPF2的面積S=?Fι∣?∣PF2∣sin60=2√3?

【點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質.本題將圓錐曲線與三角問題巧妙的交匯在一

,2

起，事實上，在橢圓中S=ZAanO,同理可求得在雙曲線中S=-L^（其中6=

tanθ

/FPF

——?~?.）,屬中檔題.

2

5.（2021秋?朝陽區(qū)校級期末）已知點廠為拋物線C：爐=4x的焦點，點廣（-1,0）,若

r

點P為拋物線C上動點，當∣P'I取得最大值時,點P恰好在以尸，尸為焦點的橢圓

IPFI

上，則該橢圓的離心率為（）

A.?B.返C.√3-lD.√2-l

22

【考點】直線與圓錐曲線的綜合.

【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理.

【分析】過點尸引拋物線準線的垂線，交準線于點。，記NDPF=a,由拋物線的定義，

確定當CoSa最小值，求解此時的點P的坐標，求解即可.

【解答】解：如圖所示，點尸（-1,0）在拋物線C的準線X=-1上，

第7頁（共23頁）

作尸Z)垂直于準線，且與準線交于點Q,

記NQPF=a(o4Q<g-),則Np尸尸=α,

由拋物線的定義可知，IyI=I產，I=P,

IPFIIPDICoSa

由圖可知，當。F'I取得最大值時,COSa最小，此時直線尸產與拋物線相切,

IPFI

設切線方程為y=%(x+l),與拋物線聯(lián)立可得，k2x2+(2?2-4)x+k2=0,

所以A=(2?2-4)2-4/=0,解得％=±1,

方程為/-2x+l=0,解得x=l,代入拋物線方程可得，y=±2,所以P(l,±2),

則陽=附尸2,m=V(1+1)2+(±2)2=2^2,

所以橢圓的長軸長為2a=2&+2,解得a=&+Lc=l,

故橢圓的離心率為=√3.l?

√2+l"2

【點評】本題考查了圓錐曲線的綜合應用，直線與拋物線位置關系的應用，拋物線定義

的理解與應用，橢圓幾何性質的應用，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.

22

6.(2021秋?沈陽期末)已知雙曲線C：—=l(a>0,b>0)的右焦點為尸，以尸

為圓心，以α為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于48兩點.若"δX=2^δS(O為坐

標原點)，則雙曲線C的離心率為()

A.叵B.叵C叵D

333?V

第8頁(共23頁)

【考點】雙曲線的性質.

【專題】方程思想：綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理.

【分析】設雙曲線的一條漸近線方程為y=且X，〃為48的中點，可得尸H上4B,由

a

OA=2OB-可知”為o/的三等分點，用兩種方式表示可得關于α,b,C的方程組,

結合廬=c2-q2,即可求出雙曲線的離心率.

【解答】解：設雙曲線的一條漸近線方程為y=且X，〃為/8的中點，可得F

a

由/（c,0）到漸近線。-砂=0的距離為∕?r=d=-0°

所以8H=C，

又贏=2而，

所以OH=3BH=3廬”,

oyγ2222,

因為=>∕θF-HF=Vc-b

則3戶?=C

整理可得9/-c2=Sb2,

即9a2-C2=8C2-8a2,

2

則1702=9c?2,可得2=J=II,

a2?

故e紅

e3_

所以雙曲線C的離心率為逗.

3

故選：A.

第9頁（共23頁）

【點評】本題考查了雙曲線標準方程的理解與應用，雙曲線幾何性質的應用，點到直線

距離公式的運用，離心率定義的應用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔

題.

7.(2021秋?湖北期末)已知4(3,2),點尸為拋物線/=2X的焦點，點P在拋物線上移

動，為使Iail+1尸F(xiàn)l取得最小值，則點尸的坐標為()

A.(0,0)B.(2,2)C.(1,√2)D.(?,1)

2

【考點】拋物線的性質.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

【分析】求出焦點坐標和準線方程，把∣H∣+∣PF∣轉化為用+1PM，利用當P、4、M三點

共線時，∣R∕∣+∣P網取得最小值，把y=2代入拋物線產=級解得X值，即得尸的坐標.

【解答】解：由題意得F(Xθ),準線方程為x=-L,設點尸到準線的距離為d=/M，

22

則由拋物線的定義得為∣+∣PP=?PA?+?PM?,

故當尸、/、M三點共線時，IaII+/可取得最小值為∣∕M∣=3-(-?)=X

22

把y=2代入拋物線∕=2χ得χ=2,故點P的坐標是(2,2),

故選：B.

【點評】本題考查拋物線的定義和性質的應用，體現(xiàn)了轉化的數學思想.

8.(2021秋?青銅峽市校級期末)已知F是橢圓C的一個焦點，8是短軸的一個端點，線段

8戶的延長線交橢圓C于點。，且而=2而，則橢圓C的離心率為()

A.魚B.√3C.?D.3

33

【考點】橢圓的性質.

第10頁(共23頁)

【專題】轉化思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

22

【分析】不妨設橢圓方程為-丁_=1">b>0）,半焦距為c,且設F（-C,0）,B

2,2?

ab

3c

XO=T

(0,b),D(xo.?o),結合麗=2而,可得，,再將。（X0，?o）代入橢圓方程,

b.

yO=-2

并結合橢圓的性質，即可求解.

22

【解答】解：不妨設橢圓方程為工^=1(a>b>O),半焦距為c,

22

a

且設廠(-c,0),B(0,b),D(xo,盧),

VBF=2FD?（-α-b）=2（XO+c,泗）,

（_3c

r-c=2x∩+2cxO"-2~

.-J,解得《,

-b=2y°y0≈^-

Q2,2

VD（X0,則）在橢圓上，Λ-?≡-+-5-=1，

4a24b2

2

XVα2=?2+c2,Λ-≡-=±1,

a23

即e=g"Σ

a3

故選：A.

【點評】本題主要考查橢圓的性質，考查向量的應用，屬于中檔題.

22

9.（2021秋?南湖區(qū)校級期中）已知橢圓C：工4=l（a〉b〉0），點48是長軸的

兩個端點，若橢圓上存在點P,使得NZPB=I20°,則該橢圓的離心率的取值范圍是

（）

【考點】橢圓的性質.

【專題】轉化思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

【分析】點48是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點P,使得N∕P8=l20°,則N/P8

第11頁（共23頁）

的最大值大于等于120°即可，即當尸為短軸端點時?，NAP0》60°即可，再結合離心

率公式，即可求解.

【解答】解：點48是長軸的兩個端點，

若橢圓上存在點P,使得N4P8=120°,則N/1P8的最大值大于等于120°即可，

即當尸為短軸端點時，N/尸。260°即可，如圖所示，

又「OVeCl,

.?.該橢圓的離心率的取值范圍是［夸，1).

故選：A.

【點評】本題主要考查橢圓的性質，考查數形結合的能力，屬于中檔題.

10.(2021秋?廬陽區(qū)校級期中)已知Q、尸2分別為雙曲線c：的左、右焦點，

過點尸2的直線與雙曲線C的右支交于4、8兩點(J在第一象限)，若A4FIF2與ABFιF2

內切圓半徑之比為3：2,則雙曲線離心率的取值范圍為()

A.(1,5)B.(1,2)C.(√2>2)D.(1>√2)

【考點】雙曲線的性質.

【專題】綜合題；數形結合；數形結合法；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數

學運算.

【分析】作出圖形后，然后根據內切圓的性質求出兩內切圓的圓心/，N的橫坐標，再

結合直線Z8的傾斜角。表示出2"，根據叫=3,求出tan。的值，最后根據直線

NH2

第12頁(共23頁)

48與雙曲線交于右支的兩點，構造出漸近線斜率滿足的不等式，從而構造出關于“、C

的不等式，進一步得到離心率的取值范圍.

【解答】解：如圖，由題意設4ZFF2與48FF2內切圓圓心分別為"，N,對應的切點

分別是P,Q,S,T,H,

貝∣J∕P=∕Q,FIP=FlH=FSF2Q=F2T=F2H,BS=BT,

所以AF?-AF2=F1H-FiH=Ia,而F↑H+FiH=F?F2=2c,

故QH=α+c,所以。H=a,F2H=C-a,

設直線的傾斜角為貝從,

/8e,IJNHF2W—ZHF2N^∣~

所以A/"="atan合今），NH=HF2-tarr∣-,

兀θ

tan—歹）CaA

由題意，可得瞿=------—=W，化弦后整理得2co$2（士）=3sin2）,

NH82jus、？''2'

tanT

結合旦∈（0,：）,得taχ*-X?,所以tanθ=2√^,

2223

則要使直線48與雙曲線右支交于兩點，只需漸近線斜率滿足之<tanθ=2√6）

a

所以e={1號1+（2董）2=5，

故注（1,5）即為所求.

故選：A.

【點評】本題考查雙曲線的性質以及學生的運算能力，屬于中檔題.

11.（2021秋?河南期中）已知拋物線∕=2px（p>0）的焦點為凡點M（Xlr明）為拋

物線上一點.以"為圓心的圓經過原點0,且與拋物線的準線相切，切點為線段〃尸

第13頁（共23頁）

交拋物線于點8,則J?=（）

IBFI

A.?B.?lC.D.√6

223

【考點】拋物線的性質.

【專題】轉化思想；數形結合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

【分析】由已知列式求解P，得到拋物線方程，畫出圖形，求解三角形得答案.

【解答】解：根據題意,

又8=2∕zxo,解得XO=1，p=4.

則拋物線的方程為∕=8x.

：.M（1,2√2）＞，（-2,2√2×F（2，0），

設B（x,y）,過點8向拋物線的準線作垂線，垂足為B',

根據拋物線的定義可知，伊"∣=m,

?.?ZHBB'-ZHFO,：.=----__7

IBFl∣BB'ICOS∕HBB

1二IHFl二2泥二√ξ

COSNHFO442

【點評】本題考查拋物線的幾何性質，考查化歸與轉化、數形結合思想，考查運算求解

能力，是中檔題.

12.（2021?南昌三模）如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月

球球心尸為圓心的圓形軌道I上繞月球飛行，然后在尸點處變軌進以F為一個焦點的橢

圓軌道π繞月球飛行，最后在。點處變軌進入以尸為圓心的圓形軌道m(xù)繞月球飛行，設

第14頁（共23頁）

圓形軌道I的半徑為&,圓形軌道In的半徑為r,則下列結論中正確的序號為（）

①軌道Il的焦距為R-r：

②若R不變，r越大，軌道∏的短軸長越?。?/p>

③軌道∏的長軸長為R+r；

④若「不變，R越大，軌道II的離心率越大.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【考點】橢圓的性質.

【專題】方程思想；消元法；圓錐曲線的定義、性質與方程：邏輯推理.

【分析】根據橢圓中一個焦點與長軸兩頂點的距離分別為α+c,α-c,分別結合圓的半徑

R和廠分析選項即可求解.

【解答】解：由題意可得知，圓形軌道I的半徑為R,

22

設軌道Il的方程為J+。=1,則a+c=R,

2,2

ab

因為圓心軌道ΠI的半徑為r,貝IJa-C=r,

聯(lián)立［a+c=R,解得2c=R-r,

?a-c=r

所以軌道∏的焦距為2c=R-r,故①正確；

由于α=土三，C=E?,

22

故焦距為2c=R+r,

2b=2Ja2_c2=2-?∕Rr）

所以7?不變，r增大，人增大，軌道∏的短軸長增大，故②不正確；

長軸2α=R+r,故③正確；

第15頁（共23頁）

所以離心率e=S=l-J-,r不變，7?越大，e越大，即軌道II的離心率越大，故④

a9+1

r

正確

所以①③④正確，

故選：C.

【點評】本題考查曲線的性質，解題中理清數量關系，解題中需要一定的計算能力，屬

于中檔題.

二.填空題（共6小題）

13.（2021秋?河南期末）與雙曲線χ2-4y2=4有共同的漸近線，并且經過點（2,√甘）的

雙曲線方程是_之!:式?=1.

—4-16

【考點】雙曲線的性質.

【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】依題意，設雙曲線的方程為，-4/=入，將點（2,√5）的坐標代入可求人.

【解答】解：設與雙曲線/-4y2=4有共同的漸近線的雙曲線的方程為X2-4產=入，

：該雙曲線經過點（2,√5）,

Λ4-4×5=-16.

二所求的雙曲線方程為：X2-4/=-16,

416

故答案為：∑i-zi=∣

416

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，設出所求雙曲線的方程為f-4y2=人是關鍵，屬

于中檔題.

14.（2021秋?海拉爾區(qū)校級期末）以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于8兩點，交C

的準線于O,E兩點.已知M8∣=4√?∣Df∣=2√5,則C的焦點到準線的距離為4.

【考點】拋物線的性質.

【專題】數形結合；數形結合法；圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】畫出圖形，設出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可拋

第16頁（共23頁）

物線的方程，根據拋物線的性質，即可求得C的焦點到準線的距離.

【解答】解：設拋物線為產=2內，如圖|/8|=4&,∣∕M∣=2√5,

IOEl=2遙，?DN?=y∕s>QM=JXA==生

22pp

-?OD?=?OA?,

?*?JloNl2+IDNI2=√IOMI2+IAMI2

/.￡-+5=-^-+8,解得p=4,

42

IiP

；?拋物線的方程為爐=8x,

C的焦點到準線的距離為4.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，拋物線與圓的方程的應用，考查數形結合

思想，屬于中檔題.

22

15.（2021秋?懷柔區(qū)期末）若點。和點尸分別為橢圓—+之一=1的中心和左焦點，點P

43

為橢圓上的任意一點，則而?殖勺最大值為一人

【考點】橢圓的性質.

【專題】綜合題：圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】設尸（x，y）,由數量積運算及點尸在橢圓上可把JF而表示為X的二次函數,

根據二次函數性質可求其最大值.

第17頁（共23頁）

【解答】解：設尸(X,y),

貝IJOP?FP=(X，y)?(X+1,y)-x2+3x+y2>

22

又點尸在橢圓上，所以χ2+χ+y=χ2+χ+(3-?r)=JW2+χ+3=JL(χ+2)2+2,

444

又-20W2,

所以當x=2時，工(x+2)2+2取得最大值為6,即而?麗的最大值為6,

4

故答案為：6.

【點評】本題考查平面向量的數量積運算、橢圓的簡單性質，屬中檔題.

2C

16.(2021秋?臺州期中)如圖，橢圓*-+y2=］的左、右焦點分別為尸1,F2,過點/(2,

0)作橢圓的切線，切點為7,若〃■為X軸上的點，滿足N∕mf=NNa7,則點/的坐

【考點】橢圓的性質.

【專題】計算題；轉化思想；數形結合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

2C

【分析】橢圓*-+y2=ι的a(-L0),設切線方程為y=A(X-2),與橢圓聯(lián)立方程

組求得切點7的坐標，由Nzni∕=∕ZQ7,得tan//TM=返，smZATM=X,過7作

43

22

2?/(m-l)+(?)

X軸的垂線，記垂足為M在aNTM中，由正弦定理得-------~~-——，求

?√r3

3T

解可得M的坐標.

2C

【解答】解：橢圓號一+y2=ι的用(-1,0)

設過點/(2,0)與橢圓的相切的切線方程為y=A(X-2),

fv=k(τ-9)

由＜,消去y得(I+2?2)X2-8?2x+8?2-2,

,x2+2y=2

第18頁(共23頁)

所以A=(-8Λ2)2-(1+2A2)(8?2-2)=0,解得F=工，代入解得7(I,土返)

22

由對稱性不妨取7(1,返)，

2

返-0

tanN∕/IT=—?-------=返，又N4TM=N4FιT,

1-(-1)4

所以tan//TM=返，SinN/TM=J-,

43

設M(加，0),kAT-..........=-YΣ,

2-12

ZATM=ΔAF?T,所以tanN∕TM=tanN4QT=2Z^?,3mAATM=-,

43

過7作X軸的垂線，記垂足為M

則IAMI=2-m,IMTl=J(m-i)2+(2^)2,

在AATM中，由正弦定理得―回一=―Lnl-----

sinZATMSinZTAM

2-mJ(m-l)2+(孚)2

即呼=J---------——，解得Zn=鈾"?=工,

?√122

3T

【點評】本題考查直線與橢圓的位置關系，利用斜率關系求點的坐標，屬中檔題.

17.（2021秋?龍巖期中）已知雙曲線C：^?=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別

afc∕

為昌、F2,直線X-C=O與雙曲線C的一個交點為點P,與雙曲線C的一條漸近線交于

點。，。為坐標原點，若而電寫弓而，則雙曲線C的離心率為—盟L，漸近

線方程為一三+2逅A?

-5*