2023-2024學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 集合中的元素問題 作業(yè)

集合中的元素問題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、解答題

1.若集合&={〃,4+1,-3},3={4-3,〃+1,24-1},&8={-3},求實(shí)數(shù)

【答案】-1

【分析】

按照。一3=—3和2a—1=-3分類討論求出。，再驗(yàn)證Ac3={-3}是否滿足.

【詳解】

因?yàn)锳cB={-3},所以一3三瓦

若。-3=-3,貝。。=0,此時(shí)A={0,l,-3},B={-3,1,-1},AcB={-3,1}不符合題意;

若2a-l=-3,則。=一1,此時(shí)A={L0,-3},8={-4,2,-3},滿足Ac3={-3}.

綜上所述：a=-l.

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：求出。后要驗(yàn)證Ac8={-3}是否滿足.

2.設(shè)集合A=尤2+4x=0,xe尺｝,8=卜|無(wú)?+2(a+l)x+a。—1=0,無(wú)e7?1.

(1)若A=5,求a的值.

(2)若AB=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)?=1；(2){1}.

【分析】

(1)計(jì)算得到人={。,7}，根據(jù)到A=B,利用韋達(dá)定理得到答案.

(2)根據(jù)A8=8得到BaA,討論3=0,B={0},B={-4},3={0,-4}四種情

況分別計(jì)算得到答案.

【詳解】

(I)A={x|尤2+4x=0,無(wú)e/?}={0,-41,

由A=B,知B={x|x?+2(a+l)x+a2-l=O,xe/?!={0,-4}

根據(jù)韋達(dá)定理得到一2"[:10T解得。=i

(2)A\B=B,A

當(dāng)3=0時(shí)，△=4(a+l)2-4(a2-l)=8o+8<0,即0<-1；

當(dāng)3={0}時(shí)，利用韋達(dá)定理得到［；0解得a=-1;

當(dāng)B={T}時(shí)，利用韋達(dá)定理得到［I，：；，；；'無(wú)解；

當(dāng)3={0,T}時(shí)，由(1)知：?=1；

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：{1}

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查利用集合子集關(guān)系確定參數(shù)問題，易錯(cuò)點(diǎn)是要注意：。是任何集合

的子集，所以要分集合3=0和集合3H。兩種情況討論，考查學(xué)生的邏輯推理能力，

屬于中檔題.

3.若集合4={彳|辦2+法+1=0,k€尺}.

(1)若A={-1,1},求的值;

(2)若4={一1},求a,6的值.

【答案】(1)a=-l,b=0；(2)a=l,>=2或。=0,b=l

【分析】

(1)若4={-1/},則ar?+6無(wú)+「0的兩個(gè)根分別為-1,1,根據(jù)韋達(dá)定理求得參數(shù)值.

(2)若4={-1},分。=0和aw0兩種情況進(jìn)行討論，從而求得參數(shù)值.

【詳解】

(1)若4={-1,1},則加+法+1=0的兩個(gè)根分別為-M,

由韋達(dá)、定理可得,彳-1=a-,故。=-1/=0.

8=0

aw0

.fa=01

(2)若4={(-1,貝。，，或一=1，故0=11=2.

也=1a

一一

、a

綜上若A={-1},則a=l,Z?=2或a=O,Z?=l

4.已知集合A={x\ax2—3x+2=0}.

(1)若集合A中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)Q的值;

(2)若集合4中至少有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(3)若集合4中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(1)4=0或4=2；(2)Q

(3)色―或a—0.

8LX8

【分析】

(1)討論當(dāng)a=0時(shí)和當(dāng)存0時(shí)對(duì)于的條件，列出方程，即可得解；

(2)根據(jù)集合A中至少有一個(gè)元素，轉(zhuǎn)化為方程a?—3x+2=0至少含有一個(gè)根進(jìn)行

求解;

(3)問題分當(dāng)。=0時(shí)和當(dāng)今0時(shí)兩種情況討論，當(dāng)存0時(shí)，A<0,從而可得答案.

【詳解】

2

解：(1)當(dāng)。=0時(shí)，原方程可化為一3x+2=0,得符合題意.

9

當(dāng)啟0時(shí)，方程0%2-3了+2=0為一兀二次方程，由題意得，/=9-8a=0,得°=1.

8

9

所以當(dāng)〃=0或。=3時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素.

O

Qw0,9

(2)由題意得，當(dāng)AcQ八即〃vj且中0時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)根，

[△二9一8〃〉0,8

又由(1)知，當(dāng)。=0或。=之時(shí)方程有一個(gè)實(shí)根.所以。的取值范圍是2

8Io.

9

(3)由(1)知，當(dāng)a=0或時(shí)，集合A中只有一個(gè)兀素.

O

。w0,9

當(dāng)集合A中沒有元素，即A=0時(shí)，由題意得展9-8”。解得嗔.

9

綜上得，當(dāng)介三或〃=0時(shí)，集合A中至多有一個(gè)元素.

O

5.已知集合&=舊尤2-4x+3=。｝,2=｛尤,2-依+3=0｝.

(1)若=求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若AB=B,求實(shí)數(shù)"的取值范圍.

【答案】(1)4；(2)-2g<a<26或a=4.

【分析】

(1)化為1和3是Y-6+3=0的兩個(gè)實(shí)根可解得結(jié)果；

(2)化為BaA后，根據(jù)A的子集分四類討論可解得結(jié)果.

【詳解】

4=｛小2-4x+3=。｝=｛1,3｝

(1)因?yàn)?所以A=3,

所以1和3是ox+3=0的兩個(gè)實(shí)根，

所以l+3=a,即。=4.

(2)因?yàn)锳B=B,所以31所以8=0或8={1}或3=⑶或8={1,3},

當(dāng)3=0時(shí)，必一招+3=。無(wú)解，所以公=/一12<0,即-26<0<2白，

fl—61+3=0

當(dāng)3=但時(shí)，x2_改+3=0有且只有一個(gè)實(shí)根％=1,所以2s八無(wú)解，

[△=〃-12=0

.、19—3〃+3=0

當(dāng)3={(3}時(shí)，/一分+3=o有且只有一個(gè)實(shí)根左=3,所以20C無(wú)解，

[△=〃-12=0

當(dāng)8={1,3}時(shí)，龍2—依+3=0有2個(gè)實(shí)根尤=1和x=3,所以l+3=a,即a=4.

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍是一2石<a<2石或a=4.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系求解是解題關(guān)鍵.

6.已知集合A={x|fcr?-8x+16=0,左eR,xeR}.

(1)若A只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)4的值，并用列舉法表示集合4

(2)若A至多有兩個(gè)子集，試求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

【答案】(1)k=0,A={2}；k=l,A={4}；(2){0}[1,-KO).

【分析】

(D當(dāng)左=0時(shí)，易知符合題意，當(dāng)上片0時(shí)，利用A=0即可求出％的值；

(2)由A至多有兩個(gè)子集，可知集合A中元素個(gè)數(shù)最多1個(gè)，再分左=0和左力0兩種

情況討論，即可求出實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【詳解】

(1)①當(dāng)左=0時(shí)，方程化為：一8x+16=0,解得x=2,

此時(shí)集合人={2},滿足題意；

②當(dāng)上片0時(shí)，方程近。-8x+16=0有一個(gè)根，

J=<(-8)2-4fcxl6=0,

解得：k-1,

此時(shí)方程為尤2-8X+16=0,解得X=4,

二集合A={4},符合題意，

綜上所述，左=0時(shí)集合A={2}；%=1時(shí)集合A={4}；

(2)A至多有兩個(gè)子集，，集合A中元素個(gè)數(shù)最多1個(gè)，

①當(dāng)女中0時(shí)，一元二次方程履2_舐+16=0最多有1個(gè)實(shí)數(shù)根，

zl=(-8)2-4^xl6?0,

解得左,

②當(dāng)上=0時(shí)，由(1)可知，集合A={2}符合題意，

綜上所述，實(shí)數(shù)上的取值范圍為：{0}'[1,心).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知全集。=R,A={x\x2+(a-l)x-a<0],8={x[(x-a)(x-6)>0}(o<6).

(1)若eB=求a,b的值；

(2)若—3<。<-1,且(，-l)eeA,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)a=-l,b=3；(2)?？?-3二一6)5-也-1)

2

【分析】

(1)根據(jù)用B=[T，3],結(jié)合補(bǔ)集的定義求出集合2,根據(jù)一元二次不等式的解集性質(zhì)

進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)-3<a<-l,化簡(jiǎn)集合A的表示，再根據(jù)d-1)€即A,結(jié)合補(bǔ)集的定義進(jìn)行

求解即可.

【詳解】

(1)因?yàn)镼/=[T,3],所以3=(-CO,-1)53,+°O).

一1,3為方程|(元一a)(龍一3=。的兩個(gè)根，a<b.

a=—l,b=3.

(2)■,—3<a<—1,

A-[1,—a],

/.a2—1>—cia2—1V1,

,a〉-[+非或百或—五<〃<后,

22

■/—3<a<一1,

ae(-3,T；，)u(-72,-1).

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知一個(gè)集合的補(bǔ)集求該集合問題，考查了已知元素與集合的關(guān)系求參數(shù)問

題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

8.設(shè)非空集合S具有如下性質(zhì)：①元素都是正整數(shù)；②若xeS,則10-xeS.

（1）請(qǐng)你寫出符合條件，且分別含有一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)元素的集合S各一個(gè)；

（2）是否存在恰有6個(gè)元素的集合S?若存在，寫出所有的集合S；若不存在，請(qǐng)說

明理由；

（3）滿足條件的集合S總共有多少個(gè)？

【答案】（D答案見詳解；（2）存在，且共有4個(gè)，答案見詳解；（3）31個(gè).

【分析】

（1）當(dāng)集合S中只有一個(gè)元素，則x=10-x,得出集合S即可；有兩個(gè)元素時(shí)，只需兩

個(gè)元素之和為10即可；當(dāng)有三個(gè)元素時(shí)，只需其中兩個(gè)元素之和為10,另外一個(gè)元素

為5；

（2）只需選3對(duì)和為10的正整數(shù)即可；

（3）集合S中元素的個(gè)數(shù)可以為1,2,3,4,5,6,7,8,9個(gè)，先計(jì)算出當(dāng)集

合S的元素個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)S的個(gè)數(shù)，同理可得S中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)的個(gè)數(shù)，然后則可得

出符合條件的S的總個(gè)數(shù).

【詳解】

解：（1）若集合S中只有一個(gè)元素，則只需滿足x=10-x,故x=5,