河南省安陽市滑縣2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前滑縣2022－2023學(xué)年下學(xué)期期未測評試卷高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．考生作答時，請將答案填寫在答題卡上，在本試卷上答題無效.回答選擇題時，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選澤其他答案標(biāo)號.一，選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由題意，，所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選:D.2.某學(xué)校有教師200人，男學(xué)生1600人，女學(xué)生1200人．現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從全體師生中抽取一個容量為n的樣本，若女學(xué)生一共抽取了60人，則n的值為（）A.150 B.160 C.180 D.200【答案】A【解析】【分析】利用分層抽樣等比例的性質(zhì)列式即可得解.【詳解】依題意，得，解得，故n的值為.故選：A.3.如果復(fù)數(shù)z滿足：，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長、復(fù)數(shù)相等即可求得復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得解得即．故選：B.4.在中，邊BC上的中線與邊AC上的中線的交點(diǎn)為E，若，則（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的基本定理結(jié)合條件即得．【詳解】由題可知為三角形的重心，則，，，．故選：A．5.生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測量過某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則至少有2只測量過該指標(biāo)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先將這5只兔子編號，通過列舉樣本點(diǎn)的方法，結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)5只兔子中測量過該指標(biāo)的3只為，，，未測量過該指標(biāo)的2只為，，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為，，，，，，，，，共10種可能．其中至少有2只測量過該指標(biāo)的情況為，，，，，，，共7種可能．所以至少有2只測量過該指標(biāo)的概率為．故選：C6.為了了解某校高三學(xué)生視力情況，隨機(jī)抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖所示，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組的頻數(shù)和為64，最大頻率為，設(shè)視力在到之間的學(xué)生人數(shù)為a，則a的值為（）A.27 B.48 C.54 D.64【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，對應(yīng)求得頻率與頻數(shù)，可得答案.【詳解】前兩組的頻數(shù)為，因?yàn)楹笪褰M的頻數(shù)和為64，所以前三組的頻數(shù)和為36，所以第三組的頻數(shù)為，又最大頻率為0.34，故第四組的頻數(shù)為，所以．故選：C.7.已知滿足，則夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，整理化簡等式，建立方程，解得平方和，結(jié)合完全平方和公式，解得模長乘積，利用夾角公式，可得答案.【詳解】由題意，向量，滿足，，可得，所以，又由，所以，設(shè)向量與的夾角為，則．故選：D.8.如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到，得到特殊圖形，根據(jù)棱臺和棱柱的體積公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)槿庵?，所以，面面，又因?yàn)槊婷妫婷?，所以，顯然為三棱臺，設(shè)，（），三棱柱的高為，則，所以三棱柱體積為，三棱臺的體積為，.①三棱臺的體積占，則，得，得或，均不符合題意；②三棱臺的體積占，則，得，得或，因?yàn)?，所?故選：C二，選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9.設(shè)、、為不重合的平面，m，n為不重合的直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)平行的傳遞性、面面垂直判定定理、面面平行判定定理，可得答案.【詳解】若，，根據(jù)平行的傳遞性，則，故A正確；直線，而，即，，所以，，故B正確；和兩條平行直線分別平行的兩個平面可以平行也可以相交，故C錯誤；兩個平面垂直于第三個平面，這兩個平面可以平行也可以相交，故D錯誤．故選：AB.10.隨著生活節(jié)奏的加快，人們越來越注意養(yǎng)生和鍛煉身體，其中走路是一種簡單的鍛煉方式，它不僅可以減肥，還可以增強(qiáng)心肺功能等.甲，乙兩人通過某軟件記錄了各自在同一周內(nèi)的日步數(shù)(單位：千步)，統(tǒng)計(jì)如下表所示：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日甲179.514.55.217.812.114.9乙15139.9147.412.612.1根據(jù)上述表格，在這一周內(nèi)，下列說法正確的是（）A.甲的日步數(shù)的中位數(shù)大于乙的日步數(shù)的中位數(shù)B.甲的日步數(shù)的平均數(shù)小于乙的日步數(shù)的平均數(shù)C.甲的日步數(shù)的極差大于乙的日步數(shù)的極差D.甲的日步數(shù)沒有乙的日步數(shù)穩(wěn)定【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、極差、方差等概念逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】甲的日步數(shù)的中位數(shù)為14.5，乙的日步數(shù)的中位數(shù)12.6，甲的日步數(shù)的中位數(shù)大于乙的旦步數(shù)的中位數(shù)，選項(xiàng)正確；甲的日步數(shù)的平均數(shù)為，乙的日步數(shù)的平均數(shù)為，甲的日步數(shù)的平均數(shù)大于乙的日步數(shù)的平均數(shù)，B選項(xiàng)錯誤；甲的日步數(shù)的極差為12.6，乙的日步數(shù)的極差為7.6，甲的日步數(shù)的極差大于乙的日步數(shù)的極差，C選項(xiàng)正確；甲的日步數(shù)兩極分化嚴(yán)重，極差大，在平均數(shù)附近的數(shù)據(jù)少，所以甲的日步數(shù)的方差比乙的日步數(shù)的方差大，因此乙的日步數(shù)比甲的日步數(shù)穩(wěn)定，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD.11.在中，內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，則下到說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則是等腰三角形 D.【答案】ACD【解析】【分析】對A：根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性分析判斷；對B：根據(jù)正弦定理分析證明；對C：利用正、余弦定理分析判斷；對D：根據(jù)兩角和差公式分析判斷.【詳解】若，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，故A正確；由正弦定理得，解得，又因?yàn)?，且，所以或，故B錯誤；因?yàn)?，根?jù)正弦定理可得，由余弦定理可得，則，即，是等腰三角形，故C正確；因?yàn)?，在中，，則，所以，故D正確．故選：ACD.12.如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)M是側(cè)面上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積與點(diǎn)M的位置有關(guān)B.若．則點(diǎn)M在側(cè)面上運(yùn)動路徑的長度為C.若，則的最大值為D.若，則的最小值為【答案】BC【解析】【分析】對A：根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合錐體的體積公式分析判斷；對B：根據(jù)題意分析可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓弧，進(jìn)而可得結(jié)果；對C、D：根據(jù)題意分析可得點(diǎn)的軌跡是線段，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)A：如圖1，三棱錐的體積，因?yàn)辄c(diǎn)P為的中點(diǎn)，所以的面積是定值，又因?yàn)辄c(diǎn)M到面的距離是正方體的棱長，所以三棱錐的體積是定值，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：如圖2，過點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)Q，連接，則由正方體的性質(zhì)得平面，平面，所以，又因?yàn)?，正方體的棱長為1，所以，可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓弧，所以點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動路徑的長度為，故正確；對于選項(xiàng)C，D：如圖3，過點(diǎn)作，垂足點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接QC，取BC的中點(diǎn)，連接，，，則，，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，所以點(diǎn)的軌跡是線段，在中，，，可得，所以的最大值為，故C正確；在中，，可知為銳角，則，所以點(diǎn)到的距離為，所以的最小值為，故D錯誤．故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對B：分析可得，可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓??；對C、D：分析可得，所以點(diǎn)的軌跡是線段.三，填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)從小到大排列，甲：27，28，39，，49，50；乙：24，27，，43，48，52．若這兩組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)、第50百分位數(shù)分別相等，則______【答案】【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義求解．【詳解】因?yàn)?，，所以?0百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，則，所以．故答案為：.14.已知A(－2,1)，B(1,2)，C(0,－2)，D(－3,1)，則向量在向量上的投影向量為______(用坐標(biāo)表示)【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的概念與平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以向量在向量上的投影向量為．故答案為?15.某同學(xué)為了測量學(xué)校天文臺的高度，選擇學(xué)校宿舍樓三樓一陽臺，到地面的距離為，在它們之間的地面上的點(diǎn)(、、三點(diǎn)共線)處測得陽臺，天文臺頂?shù)难鼋欠謩e是和，在用臺處測得天文臺頂?shù)难鼋菫?，假設(shè)、和點(diǎn)在同一平面內(nèi)，則學(xué)校天文臺的高度為______.【答案】【解析】【分析】由已知可得，求出、的大小，利用正弦定理求出，然后在可求出的長.【詳解】在中，，在中，，，，由正弦定理得，故，在中，，故學(xué)校天文臺的高度為.故答案：.16.在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】通過題意畫出圖像，通過三棱錐圖像性質(zhì)以及三棱錐外接球的相關(guān)性質(zhì)確定圓心位置，最后根據(jù)各邊所滿足的幾何關(guān)系列出算式，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，作中點(diǎn)，連接、，在上作的中心，過點(diǎn)作平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)，使得，因?yàn)槿忮F底面是等邊三角形，是的中心，所以三棱錐外接球球心在過點(diǎn)的平面垂線上，又因，則即為球心，因?yàn)槠矫嫫矫?，，，平面平面，，所以平面，，，，，設(shè)球的半徑為，則，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】三棱錐外接球表面積的問題，從以下幾個角度考慮：（1）三棱錐的性質(zhì)的應(yīng)用；（2）通過三棱錐的幾何特征確定外接球的球心和半徑；（3）推理能力的應(yīng)用；（4）數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.四、解答題：本題共6小題，共70分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，．（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，求實(shí)數(shù)t的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.（2）求出向量、的坐標(biāo)，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，．因?yàn)?，所以，解得．【小?詳解】，因?yàn)?，所以，解得?8.某學(xué)校高一年級共1120人，在一次數(shù)學(xué)考試中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生成績，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)都在內(nèi)，統(tǒng)計(jì)得到的頻率分布直方圖如圖所示（1）求圖中a的值；（2）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)中位數(shù)(結(jié)果按四舍五入取整數(shù))：（3）現(xiàn)在按分層隨機(jī)抽樣的方法在和兩組中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人參加這次數(shù)學(xué)考試的總結(jié)會，求兩組中各有一人被抽取的概率【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖的頻率之和為，得到關(guān)于的方程，解之即可得解；（2）利用頻率分布直方圖平均數(shù)與中位數(shù)的解法求解即可；（3）利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)轭l率分布直方圖的頻率之和為，所以，則．【小問2詳解】由頻率分布直方圖可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)為，因?yàn)椋?，所以中位?shù)位于，不妨設(shè)為，則，解得，所以中位數(shù)為．小問3詳解】在和兩組中的人數(shù)分別為，，故在分組中抽取的人數(shù)為，分別記作，在分組中抽取的人數(shù)為，分別記作，則從這5人中隨機(jī)抽取2人的所有抽取方法為，，，，，，，，，，共有10種，其中兩組中各有一人被抽取的方法有，，，，，，共6種，所以兩組中各有一人被抽取的概率為．19.如圖所示，菱形的對角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，將沿折起到的位置.（1）證明：：（2）若，，，求二面角的大小【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的幾何性質(zhì)、中位線定理以及等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，結(jié)合線面垂直判定定理與性質(zhì)定理，可得答案；（2）根據(jù)二面角的平面角定義，作圖，根據(jù)圖中的幾何性質(zhì)，結(jié)合線面垂直定理定理，利用銳角三角函數(shù)，可得答案.【小問1詳解】在菱形ABCD中，，，又點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，所以，則，易知，所以．因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】由，得，因?yàn)?，所以，所以，于是，所以．由?）知平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，因?yàn)椋远娼堑拇笮?20.與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會的關(guān)注和重視，為了普及學(xué)生安全教育，某社區(qū)舉辦學(xué)生安全知識競賽活動，某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關(guān)學(xué)生安全知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是．乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是，各家庭是否回答正確互不影響，（1）求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率：（2）求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；（2）利用獨(dú)立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【小問1詳解】記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，則，，，即，，所以，，所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率分別為，．【小問2詳解】有3個家庭回答正確的概率為，有2個家庭回答正確的概率為，所以不少于2個家庭回答正確這道題的概率．21.在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，