陜西省西安市2024屆高三第一次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題（教師版）

西安市高三年級第一次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.回答非選擇題時，用簽字筆直接寫在答題卡的相應(yīng)位置，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非指定區(qū)域均無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式以及對數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義域化簡集合，即可由集合的交并補運算求解.【詳解】由得，所以或，由得，故，故選：C2.已知為虛數(shù)單位，且，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的除法運算求出，從而得到的共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷復(fù)數(shù)在復(fù)平面所對應(yīng)的點所在象限.【詳解】，則，所以對應(yīng)點的坐標為在第三象限，故選：C．3.已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】先作出可行域，即可求出最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域．由得：，平移直線，當(dāng)經(jīng)過點時，z取得最大值，即．故選：B4.若向量，則“”是“向量的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角為鈍角求出m的范圍，即可判斷“”和“向量的夾角為鈍角”之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】向量，由向量的夾角為鈍角，即有，解得且，即“”不能推出“且”即“向量的夾角為鈍角”；“向量的夾角為鈍角”即“且”能推出“”；故“”是“且”的必要不充分條件，即“”是“向量的夾角為鈍角”的必要不充分條件．故選：B．5.荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點.我們可以把看作是每天的“進步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；這樣，一年后的1“進步值”是“退步值”的倍.那么當(dāng)“進步”的值是“退步”的值的2倍，大約經(jīng)過多少天?（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.19 B.35 C.45 D.55【答案】B【解析】【分析】確定得到，計算得到答案.【詳解】設(shè)天后當(dāng)“進步”的值是“退步”的值的2倍，則，即，，.故選：B.6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體各個面中，面積最大的面的面積為（）A. B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體各個面的面積即可得出答案.【詳解】如圖，在棱長為4的正方體中，C為棱的中點，三棱錐A-BCD即為該幾何體．其中為直角三角形，，BD=4，AB⊥BD，所以其面積為；為等腰三角形，BC=CD，BD=4，點C到邊BD的距離為4，所以其面積為；為等腰三角形，，，所以點C到邊AB的距離為，所以其面積為；為等腰三角形，，，所以點C到邊AD的距離為，所以其面積為．綜上，該幾何體各個面中面積最大的面為，其面積為．故選：A．7.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用表示后，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】因為，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故的最小值為.故選：D8.若，則（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角公式先化簡已知式子，再利用兩角和差的正弦公式進行運算即可得答案.【詳解】因，所以，即，則所以則，即.故選：B.9.已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列滿足，且（其中為的前項和），則（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由是奇函數(shù)且滿足可知為周期函數(shù)，再由求出的通項公式，利用函數(shù)周期性進行求解.【詳解】∵，可得，即又∵是奇函數(shù)，∴∴即∴將代入上式，有∴是周期為3的周期函數(shù).又∵，∴，①當(dāng)時，有②①②，得，即（）∴（）∴（）∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴，，∴∵定義在R上的奇函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，∴∴.故選：A.10.在平面直角坐標系中，點，直線．設(shè)圓的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得圓的方程，再利用求得點M滿足的圓的方程，進而利用兩圓有公共點列出關(guān)于a的不等式，解之即可求得a的取值范圍.【詳解】圓心C的橫坐標為a，則圓心C的坐標為，則圓的方程，設(shè)，由，可得，整理得，則圓與圓有公共點，則，即，解之得.故選：D11.如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點，將沿直線AE翻折成與B、F不重合，連結(jié)，H為中點，連結(jié)CH，F(xiàn)H，則在翻折過程中，下列說法中不正確的是（）A.CH的長是定值B.在翻折過程中，三棱錐外接球的表面積為C.當(dāng)時，三棱錐的體積為D.點H到面的最大距離為【答案】B【解析】【分析】對于A，取的中點G，由四邊形是平行四邊形，可得，進而求出CH；對于B，取AE的中點O，由外接球的性質(zhì)可知，點O即為三棱錐外接球的球心，進而求出外接球的表面積；對于C，由即可求出結(jié)果；對于D，點D到面的距離為h，則點H到面的距離為，由得，當(dāng)平面平面ABE時，三棱錐的體積最大，進而求出結(jié)果.【詳解】取的中點G，連接GH，GE，則，且，又，且，所以，且，是平行四邊形，，而，故A正確；對于B，取AE的中點O，連接，所以，即點O為三棱錐的外接球的球心，所以三棱錐的外接球的表面積為，故B錯誤；對于C，連接，連接，，即，所以，即分別為的中點，，．又M為DE的中點，，，又平面，又，又平面CFH，，故C正確；對于D，令點D到面的距離為h，因為H為中點，所以點H到面的距離為．因為，因為三棱錐的底面積是定值，所以當(dāng)平面平面ABE時，三棱錐的體積最大，取AE的中點O，連接，則平面ABE，所以，即，解得，所以點H到面的最大距離為，故D正確．故選：B．12.關(guān)于函數(shù)，下列選項正確的是（）A.為奇函數(shù)B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.的最小值為2D.在區(qū)間上有兩個零點【答案】D【解析】【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)奇偶性的定義驗證選項A；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性判斷選項B；特殊值法檢驗選項C；分段討論去絕對值求零點判斷選項D.【詳解】由得，的定義域為，關(guān)于原點對稱，由，則為偶函數(shù)，故A不正確；當(dāng)時，，，因為，所以，，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B不正確；因為，故C不正確；當(dāng)時，，，此時無零點；當(dāng)時，函數(shù)無意義；當(dāng)時，，，此時無零點；當(dāng)時，函數(shù)無意義；當(dāng)時，，，令，得，得，得；當(dāng)時，函數(shù)無意義；當(dāng)時，，，此時無零點；當(dāng)時，函數(shù)無意義；當(dāng)時，，，令，得，得，得，綜上所述：在區(qū)間上有兩個零點和，故D正確．故選：D．【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，由函數(shù)解析式中含絕對值，根據(jù)角的正負和角所在的象限，分類討論，去掉絕對值，通過求值域最值或解方程，判斷零點是否存在.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某高三年級一共有800人，要從中隨機抽取50人參加社團比賽，按系統(tǒng)抽樣的方法進行等距抽取.將全體學(xué)生進行編號分別為，并按編號分成50組，若第3組抽取的編號為36，則第16組抽取的編號為___________.【答案】244【解析】【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣編號成等差數(shù)列求解即可【詳解】800人一共分成50組,每組16人,所以組距為16,系統(tǒng)抽樣可以看成是一個組距為16的等差數(shù)列,由第三組,得.故答案為：24414.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】討論函數(shù)的單調(diào)性，確定其極小值點與極小值，由給定條件探討極小值點位置、區(qū)間上函數(shù)值與極小值的關(guān)系即可作答.【詳解】由得：，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，于是得在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極小值，因在區(qū)間上存在最小值，而函數(shù)最值不可能在開區(qū)間端點處取得，于是得，且，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：15.若一個數(shù)列的后項與其相鄰的前項的差值構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，則稱此數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23，…，設(shè)此數(shù)列為，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和________．【答案】##【解析】【分析】累加法求出數(shù)列，再求出，然后用裂項相消法求出【詳解】由題可知，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以．所以．所以．所以．故，所以數(shù)列的前n項和．故答案為：16.已知直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，為橢圓上一個動點，則的最大值與最小值之和為______．【答案】【解析】【分析】求出圓的圓心，根據(jù)題意可得、，利用平面向量的線性運算可得，即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑，因為直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，所以，又橢圓，則，，右焦點為，所以，又，即，所以，即，所以的最大值為，最小值為.則的最大值與最小值之和為.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某公司對其產(chǎn)品研發(fā)的年投資額（單位：百萬元）與其年銷售量（單位：千件）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表：x12345y1.523.5815（1）求變量和的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷變量和的線性相關(guān)程度；（若，則線性相關(guān)性程度很強；若，則線性相關(guān)性程度一般，若，則線性相關(guān)性程度很弱．）（2）求年銷售量關(guān)于年投資額的回歸方程．并預(yù)測投資額為700萬元時的銷售量．（參考：）參考：【答案】（1），變量x和y的線性相關(guān)程度很強；（2）千件．【解析】【分析】（1）計算出相關(guān)系數(shù)所需的數(shù)據(jù)，根據(jù)公式即可求出；（2）根據(jù)公式即可求出與的值，即可得出回歸方程，令代入計算即可.【小問1詳解】由題意，，，，，，變量x和y的線性相關(guān)程度很強；【小問2詳解】，年銷售量y關(guān)于年投資額x的線性回歸方程為．當(dāng)時，，所以研發(fā)的年投資額為萬元時，產(chǎn)品的年銷售量約為千件．18.如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，，，，為棱的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，利用余弦定理結(jié)合勾股定理可證得，證明平面，可得出，再利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）分析得出三棱錐的高為，計算出、的面積，利用等體積法可求得點到平面的距離.【詳解】（1）證明：設(shè).四邊形是菱形，為棱的中點，，.在中，，由余弦定理得，解得.，，即.，，且，平面.平面，.，，且，平面.平面，平面平面；（2）由和（1）知，平面，是點到平面的距離.平面，，則是以為斜邊的直角三角形，，，點為棱的中點，，的面積，的面積.設(shè)點到平面的距離為，則.，解得.點到平面的距離為.【點睛】方法點睛：求點到平面的距離，方法如下：（1）等體積法：先計算出四面體的體積，然后計算出的面積，利用錐體的體積公式可計算出點到平面的距離；（2）空間向量法：先計算出平面的一個法向量的坐標，進而可得出點到平面的距離為.19.在①；②；③．這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足條件______（填寫所選條件的序號）．（1）求角；（2）若的面積為，為的中點，求的最小值．【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】【分析】（1）選①：利用正弦定理邊化角，化簡整理得即可求解；選②：利用正弦定理角化邊，再用余弦定理即可得解；選③：利用正弦定理邊化角，再利用差角余弦公式變形即可得解；（2）利用三角形面積定理求出ab，再用余弦定理建立關(guān)系，借助基本不等式即可求解.【詳解】選①：，，，，，；選②：，，，，，，；選③：，，，，，；（2），又，，在三角形中，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為20.已知，為雙曲線C的焦點，點在C上．（1）求C的方程；（2）點A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點，點Q在直線AB上，若＋，＝0，是否存在定點T，使得|QT|為定值？若有，請求出該定點及定值；若沒有，請說明理由.【答案】（1）（2）存在T（1，－2）使|QT|為定值【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，解之即可求解；（2）設(shè)直線AB的方程，，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理表示；由直線的點斜式方程可得PA方程，得，同理得N（0,），根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示，化簡計算可得，分類討論與的情況，即可求解.【小問1詳解】設(shè)雙曲線C的方程為，，由題意知，解得，∴雙曲線C的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線AB的方程為，，，，消去y，得，則，，，∴直線PA方程為，令，則，同理N（0,），由，可得，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即，當(dāng)時，，此時直線AB方程為，恒過定點，顯然不可能；∴，此時直線AB方程為，恒過定點，∵，∴，取PE中點T，∴，∴為定值，∴存在點使|QT|為定值.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若的最小值為1，求a．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過運算得即可得解.（2）對分類討論，首先得滿足題意，進一步分、以及分類討論即可求解.【小問1詳解】，所以曲線在點處的切線方程，即．【小問2詳解】，令，則，令，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以．所以成立，當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，因為，所以在上單調(diào)遞減，此時，舍去．當(dāng)時，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，舍去；當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，，舍去，綜上，．【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問的關(guān)鍵是找到適當(dāng)?shù)呐R界值對分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值、單調(diào)性等關(guān)系即可順利求解.（二）選考題：共10分，請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線和直線的極坐標方程；（2）若點在直線上且，射線與曲線相交于異于點的