上海市普陀區(qū)曹楊第二中學2024屆高三上學期期末數(shù)學試題（教師版）

上海市曹楊二中第一學期高三年級期末考試數(shù)學試卷班級________姓名________學號________一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1已知，則實數(shù)________．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)求解即可.【詳解】，，解得.故答案為：.2.復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為________．【答案】【解析】【分析】設，根據(jù)復數(shù)相等可得答案.【詳解】設，因為，所以，可得，解得，則z的虛部.故答案為：.3.已知，，則在上的數(shù)量投影為________．【答案】【解析】【分析】直接利用投影公式計算即可.【詳解】，，則在上的數(shù)量投影為.故答案為：.4.設一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)方差的性質，若，，，的方差為，則，，的方差為，計算即得答案.【詳解】根據(jù)題意，一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差，則數(shù)據(jù)，，，的方差為；故答案為：.5.不等式的解集是__________.【答案】或}【解析】【分析】分式不等式變式成，等價于，求解即可【詳解】，所以，解得或，所以不等式的解集是或}.故答案為：或}6.已知（且，函數(shù)的圖象恒過定點，則點的坐標為________．【答案】【解析】分析】令即可求出定點.【詳解】令得，此時，所以函數(shù)的圖象恒過定點，即點.故答案：.7.在平面直角坐標系中，，把向量順時針旋轉定角得到，關于軸的對稱點記為，，則的坐標為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件的變化，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得答案.【詳解】把向量順時針旋轉定角得到，得，關于軸的對稱點記為，則，即把向量順時針旋轉定角得到，得，即關于軸的對稱點記為，則，以此類推可得當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，故的坐標為.故答案為：8.已知，則_______（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用賦值法分別將和代入已知式子中，得到兩個方程，由這兩個方程化簡整理，即可求出答案．【詳解】由，令得，，①令得，，②①②得，，.故答案為：.9.某公司員工小明上班選擇自駕、坐公交車、騎共享單車的概率分別為、、，而他自駕、坐公交車、騎共享單車遲到的概率分別為、、，結果今天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率為________．【答案】【解析】【分析】設小明遲到為事件，小明自駕為事件，求出，，利用條件概率公式計算即可求出結果.【詳解】設小明遲到為事件，小明自駕為事件，則，，所以在小明遲到的條件下，他自駕去上班的概率為.故答案為：.10.已知記函數(shù)的最大值為，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】同一坐標系中畫出和的圖象，然后根據(jù)圖象分，，討論求解即可.【詳解】設，則，即函數(shù)在上為奇函數(shù)，又當時，，當且僅當時等號成立，由對勾函數(shù)的單調性可得函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故設，則，令，解得同一坐標系中畫出和的圖象如下：由圖可知，當時，，當時，，當時，，綜上的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于分段函數(shù)，其中每一段對應的變量范圍在沒有確定的情況下，需要在一個坐標系中畫出每一段的完整圖象，對變量的取值變化情況分析，從而得到分類的標準進行討論.11.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與雙曲線交于A，B兩點（B在第一象限），若線段的中垂線經過點，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得，再由勾股定理列出方程即可得到關系，代入離心率計算公式，即可得到結果.【詳解】設雙曲線的半焦距為c，，，根據(jù)題意得，又，，設的中點為，在中，，，，則，，根據(jù)，可知，.故答案為：.12.已知各項均不為零的數(shù)列的前項和為，，，，且，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)遞推式先推出，然后分組求和可得，結合條件，通過基本不等式，二次函數(shù)的性質求的最大值.【詳解】因為，所以，將代入得，所以，又，所以，所以又因為，所以，又由，，得，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，，所以當時，最大，且最大為故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)條件中的遞推式求出數(shù)列中隱藏的等比數(shù)列，然后利用分組求和的方法進行求和.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別求得與的等價條件，從而利用充分必要條件的定義即可得解.【詳解】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.14.在中，，則下列說法一定正確的是（）A.若，則是銳角三角形 B.若，則是鈍角三角形C.若，則是銳角三角形 D.若，則是鈍角三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中條件利用向量的數(shù)量積運算可求得，分情況考查的正負情況，轉化為的正負情況，進一步分析即可.【詳解】因為，即,又時，三角形一定不是直角三角形，則有，，若，則，為銳角，但是不能判斷的大小，故A,B錯誤；當時，則，中必有一個鈍角，故此時是鈍角三角形，C錯誤，D正確，故選：D15.若干個能確定一個立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本量”.已知長方體，下列四組量中，不能作為該長方體的“基本量”的是（）A.的長度 B.的長度C.的長度 D.的長度【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設定義，結合長方體的體積公式、已知量判斷長方體的體積是否可以確定即可.【詳解】如下圖，根據(jù)長方體體積公式，只需確定共頂點的三條棱長即可，已知的長度，則體積可定，A滿足；由，即可求出，則體積可定，B滿足；由勾股定理及可求，由勾股定理及可求，故體積可定，C滿足；已知無法求出，體積不能確定，D不滿足.故選：D16.設集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個數(shù)，則下列結論可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對A、B：不妨設，可得，根據(jù)集合的定義可得Y中至少有以上5個元素，不妨設，則集合S中至少有7個元素，排除選項A，若，則集合Y中至多有6個元素，所以，排除選項B；對C：對，則與一定成對出現(xiàn)，根據(jù)集合的定義可判斷選項C；對D：取，則，根據(jù)集合的定義可判斷選項D.【詳解】解：不妨設，則的值為，顯然，，所以集合Y中至少有以上5個元素，不妨設，則顯然，則集合S中至少有7個元素，所以不可能，故排除A選項；其次，若，則集合Y中至多有6個元素，則，故排除B項；對于集合T，取，則，此時，，故D項正確；對于C選項而言，，則與一定成對出現(xiàn)，，所以一定是偶數(shù)，故C項錯誤.故選：D.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.已知在中，．（1）求；（2）設，求邊上的高．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【小問1詳解】，，即，又，，，，即，所以，.【小問2詳解】由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.18.垃圾分類可以提高垃圾的資源價值和經濟價值．某學校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”．為了解學生的學習成果，該校對高一、高二年級全體學生進行了相關知識測試，然后從高一、高二各隨機抽取了20名學生成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行了整理、描述和分析．下面給出了整理得相關信息：高一年級成績分布表等級EDCBA成績（分數(shù)）人數(shù)123410（1）從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于90分的概率是多少？（2）分別從高一全體學生中抽取一人，從高二全體學生中抽取2人，這三人中成績不低于90分的人數(shù)記為，用頻率估計概率，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）先分別求出高一，高二中抽取一人，成績不低于90分的概率，然后利用概率的乘法公式求解即可；（2）可取的值為，分別求出其概率即可得分布列，然后根據(jù)期望公式求期望即可.【小問1詳解】由已知得從高一的學生中抽取一人，成績不低于90分的概率是，從高二的學生中抽取一人，成績不低于90分的概率是，則從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于90分的概率是；【小問2詳解】可取的值為，則，，，，則的分布列為所以19.如圖，斜三棱柱中，底面是邊長為a的正三角形，側面為菱形，且．（1）求證：；（2）若，三棱柱的體積為24，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質，結合線面垂直的判定定理和性質進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用棱柱的體積公式，空間向量的夾角公式進行求解.【小問1詳解】取的中點，連接，由題知為正三角形，而也是正三角形，，又面，且，面，又面，；【小問2詳解】，，，又，，即，又面，且，，面，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，三棱柱的體積為，，，，設平面的法向量為，則，取得，設直線與平面所成角為，則.20.已知橢圓，過點作關于軸對稱的兩條直線，且與橢圓交于不同兩點與橢圓交于不同兩點，.（1）已知經過橢圓的左焦點，求的方程；（2）證明：直線與直線交于點;（3）求線段長的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線的截距式方程即可求得答案.（2）設直線，則，聯(lián)立直線和橢圓方程，可得根與系數(shù)關系式，化簡，可證明直線經過點，同理可證直線經過點，即可證明結論.（3）表示出線段的長，結合根與系數(shù)的關系式化簡并采用換元法，可得，利用函數(shù)的單調性，可求得答案.【小問1詳解】的左焦點為，當過左焦點時，的方程為，即.【小問2詳解】由題意知斜率存在，設直線，則，聯(lián)立，消得，需滿足，即，，又，，，，故點，，三點共線，即直線經過點，同理可證,即點，，三點共線，即直線經過點，故直線與直線交于點;【小問3詳解】由（2）可知令，則，又由得，所以，，設，時，恒成立，在上單調遞增，，，，，.【點睛】方法點睛：（1）證明直線與直線交于點時，采用證明的方法，從而證明點，，三點共線，即直線經過點，同理可證直線經過點，即可證明結論；（2）求解線段長的取值范圍時，利用兩點間距離公式可表示其長，解答時要結合換元法以及函數(shù)的單調性進行解答.21.已知為實數(shù)，．對于給定的一組有序實數(shù)，若對任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．（1）若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說明理由；（2）證明：若為的“正向數(shù)組”，則對任意，都有；（3）已知對任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．【答案】21.不是的“正向數(shù)組”；22.證明見解析；23.的取值范圍是.【解析】【分析】（1）代入有，根據(jù)函數(shù)性質得到的正負時不同取值情況即可；（2）假設存在,使得,通過正向數(shù)組定義轉化得對任意恒成立，設，再利用函數(shù)的性質即可證明假設不成立；（3）代入有恒成立或恒成立，設，求出是的最大值或最小值時的取值范圍即可.【小問1詳解】若，，對，即，而當，時，，，即，不滿足題意.所以不是的“正向數(shù)組”.【小問2詳解】反證法:假設存在,使得,為的“正向數(shù)組”，對任意,都有.對任意恒成立.令，則在上恒成立，，設，，則當時，在上為負，在上為正，所以在上單調遞減，在上單調遞增；若，當，，當，，即存在，使在上為正，在上為負，在上為正，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，又當，，當，，則的值域為；若，，在上單調遞增，又當，，當，，則的值域為.當時，，在上單調遞增，又當，，當，，必存在，使在上為負，在上為正，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又當，，當，，則的值域為.由值域可看出，與在上恒成立矛盾.對任意，都有.【小問3詳解】都是的“