導數(shù)及其應(yīng)用-五年（2018-2022）高考數(shù)學真題匯編

五年2018-2022高考數(shù)學真題按知識點分類匯編5-導數(shù)及其

應(yīng)用（含解析）

一、單選題

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）當x=l時，函數(shù)f（X）=?nx+2取得最大值_2,則∕,（2）=

X

（）

A.—IB.――C.?D.1

2.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)/（x）=COSX+（x+l）SinX+1在區(qū)間［0,2π］的最小值、

最大值分別為（）

ππ3ππCπ兀CC3ππc

A.——，一B.-----‘，一C.——,-+2D.——，一+2

22222222

,上泊=CoSLC=4si∕,

3?（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）己知C則（）

3244

A.ob>aB.b>c7>CC.a>b>cD.a>c>b

4.（2022,全國?統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上

若該球的體積為36］，且3≤∕≤3√L則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A.18,—B.—C.—D.[18,27]

_4JL44_L43J

5.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)α=0.1e'"∕=t

，c=-In0.9,則()

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<b

?+!，g(x)=sinx,則圖象為如圖的函

6.(2021?浙江?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(X)=入

4

數(shù)可能是()

_7LoI7Lx

a?y=f(χ)+g*Tb?y=/*)—g(x)一；

v=l∞

C.y=f(χ)g(χ)D.

?(?)

7.(2021.全國.統(tǒng)考高考真題)設(shè)4#0,若x="為函數(shù)f(x)=α(x-ap(x-∕>)的極大

值點，則（）

A.a<hB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

8.（2021.全國.統(tǒng)考高考真題）若過點（。,力）可以作曲線y=e'的兩條切線，則（）

A.eb<aB.ea<b

C.O<a<ehD.O<?<efl

9.（202。全國?統(tǒng)考高考真題）若直線/與曲線廣五和]2+y2=（都相切，則/的方程為

（）

A.y=2x+?B.y=2x+yC.y=^-χ+?D.y=+g

10.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)/（幻=--2丁的圖像在點（1,/⑴）處的切線方程為

（）

A.y=-2x-↑B.y=-2x+↑

C.y=2x-3D.y=2x+l

11.（2019?天津?高考真題）已知αeR,設(shè)函數(shù)/（X）=卜~2ax+2a'&]，若關(guān)于X的

x-a?nx9x>?,

不等式/（X）??O在R上恒成立，則”的取值范圍為

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[?,e]

12.（2019?全國?高考真題）曲線y=2Sinx+COSΛ在點（n,T）處的切線方程為

A.X-y-π-?=0B.2x-γ-2π-l=0

C.2x+γ-2π+l=0D.x÷y-π+l=0

13.（2019?全國?統(tǒng)考高考真題）已知曲線y=ge'+xlnx在點（1,。G）處的切線方程為

y=2x+bf貝IJ

i

A.a=e,h=-lB.a=e9h=iC.a=e?b-1D.a=e~,b=-?

14.（2018?浙江?高考真題）已知%成等比數(shù)列，且

a}+02+03+α4=ln（α1+a2+a3）.若α∣>l,則

A.q<%,%v%B.aλ>a3,a2<a4C.ax<a3,a2>a4D.aλ>a3,a2>a4

15.（2018?全國?高考真題）設(shè)函數(shù)/（H=/+.-1）/+,—若〃χ）為奇函數(shù)，則曲線

y=∕（χ）在點（0,0）處的切線方程為（）

A.y=-2xB.y=rC.y=2xD.V=X

16.（2018?全國?高考真題）函數(shù)'=-/+/+2的圖像大致為

二、多選題

17.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)F(X)=Sin(2x+防(0<∕<π)的圖像關(guān)于點

(年，。)中心對稱，則()

A./(x)在區(qū)間(0,U單調(diào)遞減

B./(x)在區(qū)間午)有兩個極值點

C.直線X=?是曲線y=f(χ)的對稱軸

O

D.直線y=E-x是曲線y=∕(x)的切線

18.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)f(x)=V-x+l,則()

A.AX)有兩個極值點B.F(X)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=F(X)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=∕(x)的切線

19.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)及其導函數(shù)f(X)的定義域均為R,記

g(x)=f'(x),若/(∣-2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(-[=°C./(-1)=/(4)D.g(T)=g(2)

三、填空題

20.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知x=x∣和X=X2分另IJ是函數(shù)/O)=2α'-ex?(。>0且

a≠↑）的極小值點和極大值點.若王＜々，則α的取值范圍是.

21.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）若曲線y=（x+α）e＞有兩條過坐標原點的切線，則α的

取值范圍是.

22.（2021.全國.統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（幻=卜-“,再＜0,%＞。，函數(shù)Ax）的圖象

在點AaJ（XJ）和點B（X2,∕（9））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點，

則提取值范圍是______-

IHNI

23.（2021.全國.統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)

/（X）：----------------

①/（?M?）=rα）/（W）；②當xe（0,+oo）時，∕,（x）＞0;③/'（X）是奇函數(shù).

24.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）己知函數(shù)/（χ）=∣IgXl-H-2,給出下列四個結(jié)論:

①若&=O，/O）恰有2個零點；

②存在負數(shù)晨使得/（x）恰有1個零點；

③存在負數(shù)3使得/O）恰有3個零點；

④存在正數(shù)3使得/（x）恰有3個零點.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

?V—1

25.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）曲線丫=三一在點（T-3）處的切線方程為.

26.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)/（x）=∣2x-1|-2InX的最小值為.

27.（2020?江蘇?統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標系Xo），中，已知喈,0）,A,8是圓C：

x2+（y-g）2=36上的兩個動點，滿足P4=P3,則△用B面積的最大值是.

28.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)/（X）=工.若/⑴=；,則“=.

29.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的

方程為.

30.（2019?天津?高考真題）曲線y=cosx-?∣在點（0,1）處的切線方程為.

31.（2019?全國?高考真題）曲線y=3（∕+χ）e?'在點（0,0）處的切線方程為.

32.（2019?江蘇?高考真題）在平面直角坐標系XOy中，點A在曲線y=hιr上，且該曲線

在點A處的切線經(jīng)過點（-e,-l）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是一.

4

33.（2019?江蘇?高考真題）在平面直角坐標系XOy中，P是曲線y=x+-（x＞0）上的一

個動點，則點P到直線χ+y=O的距離的最小值是.

34.(2018?全國?高考真題)曲線》=(以+l)e'在點(0,1)處的切線的斜率為-2,則

a=.

35.(2018?全國?高考真題)曲線y=21nx在點(1,0)處的切線方程為.

36.(2018?江蘇高考真題)若函數(shù)/(x)=2χ3一加+l(αeH)在(0,e)內(nèi)有且只有一個

零點，則f(x)在［-15上的最大值與最小值的和為.

37.(2018?全國高考真題)已知函數(shù)"x)=2SinX+sin2x,則/(x)的最小值是

38.(2018?全國?高考真題)曲線y=2M(x+l)在點(0,0)處的切線方程為.

39?(2018?天津?高考真題)已知函數(shù)/)=ex∕,m尸⑴為段)的導函數(shù)，則廣⑴的值為

四、解答題

40.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)已知”,b∈R,函數(shù)/(x)=∕-asinx,g(x)=∕√7

(1)求函數(shù)y=∕(x)在(OJ(O))處的切線方程;

⑵若y=/(χ)和y=g(χ)有公共點,

(i)當α=0時，求匕的取值范圍;

(ii)求證:a2+b2>e.

41.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e'ln(l+x).

(1)求曲線)，=/(X)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=rCr),討論函數(shù)g(x)在［0,+∞)上的單調(diào)性；

(3)證明：對任意的s"e(O,+∞),有/(s+f)>/(S)+/⑺.

42.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=F?+lnx(x>0).

Ix

⑴求/*)的單調(diào)區(qū)間：

⑵已知α,heR,曲線y=/(X)上不同的三點(XJa)),仁J(X2))，(wJ(X3))處的切線

都經(jīng)過點(“∕)?證明:

(i)若α>e,則0<8-∕(α)<

2Q-a112e-a

(ii)右0<α<e,XQ2<x3,則二百<三+工<廠京?

(注：e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))

43.(2022.全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(X)=Xe"-e"

(1)當“=1時，討論F*)的單調(diào)性；

(2)當x>0時，/(X)<-1,求。的取值范圍;

111,,,、

(3)設(shè)“eN",證明：,+/、，c++/，>ln("+l).

√12+1√2-+2√w2+n

44.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=Or-L-(α+l)lnx.

X

(1)當α=0時，求/(X)的最大值；

(2)若/(x)恰有一個零點，求。的取值范圍.

45.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)Ax)=/—χ,g(χ)=d+a,曲線y=∕(x)在點

(再"(%))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

⑴若再=-1,求。；

(2)求α的取值范圍.

46.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃X)=￡-lnx+x-“.

⑴若/(x)20,求〃的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個零點芭,占，貝也占<1.

47.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=In(I+x)+0xe-'

(1)當α=l時，求曲線y=∕(x)在點(OJ(O))處的切線方程；

(2)若〃x)在區(qū)間(-1,0),(0,E)各恰有一個零點，求”的取值范圍.

48.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)F(X)=必和g(x)=or-InX有相同的最小

值.

⑴求a?,

(2)證明：存在直線y=6,其與兩條曲線y=f(χ)和y=g(χ)共有三個不同的交點，并且

從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

49.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)已知4>0,函數(shù)f(x)=Or-Xe'.

(I)求曲線y=∕(x)在點(OJ(O))處的切線方程：

(II)證明fO)存在唯一的極值點

(III)若存在“，使得/(x)V"+b對任意XWR成立，求實數(shù)方的取值范圍.

50?(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一

個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，

該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁

殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=p,(i=(U,2,3).

(1)已知Pi)=O.4,Pl=O.3,p?=0.2,P3=0.1,求E(X)；

(2)設(shè)夕表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于X的方程：

P°+Pd+P2∕+P3χ3=x的一個最小正實根，求證:當E(X)≤1時，P=I,當E(X)>1

時，P<l;

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.

51.(2021.全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=(X-I)e'-0√+6.

(1)討論F(X)的單調(diào)性;

(2)從下面兩個條件中選一個，證明：/(x)只有一個零點

1?2

@—<a≤—,b>2a;

22

(2)0<a<-,b≤2a.

2

3-2r

52.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=jW?

(1)若4=0,求曲線y=∕(χ)在點(1,/。))處的切線方程；

(2)若/(χ)在A-I處取得極值，求”χ)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

53.(2021?浙江?統(tǒng)考高考真題)設(shè)m6為實數(shù)，且α>l,函數(shù)〃X)=優(yōu)-版+e2(x∈R)

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對任意b>2∕,函數(shù)/(%)有兩個不同的零點，求”的取值范圍；

()當“時，證明：對任意函數(shù))有兩個不同的零點滿

3=eb>e',“X％,Λ2,(Λ?>XI),

口b?nbe2

足>刀丁工1÷^Γ?

2eb

(注：e=Z71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

54.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知拋物線C:V=2刀(p>0)的焦點為尸，且尸與圓

M:x'+(y+4y=1上點的距離的最小值為4.

(1)求

(2)若點尸在M上，PA依是C的兩條切線，A,B是切點，求z√?B面積的最大值.

55.(2021.全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(α-x),已知x=()是函數(shù)y=0?(x)的

極值點.

(1)求4;

Y4-f(

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=證明：g(x)<L

Λ7^(X)

56.(2021?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=α*+αr-3inx+l,其中α>0.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若y=y(x)的圖象與X軸沒有公共點，求α的取值范圍.

57.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知α>0且函數(shù)/(x)=^(x>0).

ax

(1)當α=2時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=∕(χ)與直線y=l有且僅有兩個交點，求。的取值范圍.

58.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=χ3-χ2+αx+ι.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=f(x)過坐標原點的切線與曲線y=/(x)的公共點的坐標.

59.(2021.全國.統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=MITnX).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)α,b為兩個不相等的正數(shù)，且“nα-αln8=a-6,證明：2<1+:<e.

ab

60.(2020?天津?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù).F(X)=XlAlnx(ZeR),/'(X)為/(X)的導函

數(shù).

(I)當《=6時，

(i)求曲線y=∕(χ)在點(1,7(1))處的切線方程；

9

(ii)求函數(shù)g(χ)=∕(χ)-∕(χ)+-的單調(diào)區(qū)間和極值；

X

(II)當k..-3時，求證：對任意的為,/e[l,+00),且外>%，有

/'(3)+/'(々))/(3)-/(々)

2x1-X2

61.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=12--.

(I)求曲線y=/(χ)的斜率等于-2的切線方程;

(II)設(shè)曲線y=f(χ)在點(rj(f))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為S(r),求

S(r)的最小值.

62.(2020?浙江?統(tǒng)考高考真題)已知l<αV2,函數(shù)/(x)=e'-x-α,其中e=2.71828...

為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)證明：函數(shù)y=∕(χ)在(0，+8)上有唯一零點;

(II)記初為函數(shù)y=∕(χ)在(0，+8)上的零點，證明：

(i)?∣a-1≤x0≤J2(α-1)；

(ii)??∕(e頻)N(e-l)(α-l)α.

63.(2020?海南?高考真題)已知函數(shù)/(x)="ei-lnx+ln”.

(1)當α=e時，求曲線y=f(x)在點(1J(I))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面

積；

(2)若不等式/(x)≥l恒成立，求α的取值范圍.

64.(2020?江蘇?統(tǒng)考高考真題)某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖

如圖所示：谷底。在水平線MN上，橋AB與MV平行，。。'為鉛垂線(O'在AB上).

經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的距離用(米)與D到OO'的距離。(米)之間滿

足關(guān)系式4=如;右側(cè)曲線B。上任一點F到MN的距離與(米)與F到。。'的距離伙米)

之間滿足關(guān)系式魚=-工尸+6b.己知點B到OO'的距離為40米.

(1)求橋AB的長度；

(2)計劃在谷底兩側(cè)建造平行于。0'的橋墩CQ和EF,且CE為80米，其中C,E在

3

AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價六(萬元)(Q0).問O'E

為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？

65.(2020江蘇?統(tǒng)考高考真題)已知關(guān)于X的函數(shù)y=∕(x),y=g(x)與

∕7(x)=kx+b(k,人∈R)在區(qū)間。上恒有/(x)>h(x)Ng(x).

(1)若/(x)=χ2+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-∞,+∞),求/G)的表達式；

(2)若/(x)=XZi-X+1,g(x)=&lnx,h(x)=kx-k,D=)(0?+∞),求)的取值范圍;

(3)若

4232

f(x)=x-2x,g(x)=4f_8,∕z(χ)=4(Z-∕)X-3√+2Z(0<∣∕∣≤√2),

Q=1?V∑,?^],求證：n-m≤s∕l.

66.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=χ3+zw+c,曲線y=∕(x)在點弓，人表)

處的切線與y軸垂直.

(1)求4

(2)若/(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：/(x)所有零點的絕對值都不大于1.

67.(2020.全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=χ3-h+/.

(1)討論/O)的單調(diào)性；

(2)若/(χ)有三個零點，求左的取值范圍.

68.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e*-α(x+2).

(1)當“=1時，討論/3的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個零點，求〃的取值范圍.

69.(2020.全國.統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e'+αχ2-χ.

(1)當α=l時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當x≥0時，f(x)≥y√+I,求α的取值范圍.

70.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)J'(x)=21IU+1.

(1)若/(x)<2x+c,求C的取值范圍；

(2)設(shè)時，討論函數(shù)g(%)=AX)二7?的單調(diào)性.

x-a

71.(2020.全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)於)=si∏2χsin2r.

(1)討論7U)在區(qū)間(0,Tr)的單調(diào)性;

(2)證明：∣f(χ)∣≤延;

8

γ

(3)設(shè)〃WN*,證明：sin?sin22xsin24x...sin22∏jc<—.

~4n

72.(2019?天津?高考真題)設(shè)函數(shù)F(X)=e*cosx,g(x)為f(x)的導函數(shù).

(I)求/(χ)的單調(diào)區(qū)間;

(II)當Xe?,?時，證明f(%)+g(x)(IT)??0；

(III)設(shè)X”為函數(shù)"(x)=∕(x)T在區(qū)間［2"萬+了2"萬+萬)內(nèi)的零點，其中"∈N,證

e^2"π

明2nπ+^-xn<

sinx0-CoSa)

73.(2019?全國?高考真題)己知函數(shù)/(X)=(X-I)InX-X-I.證明：

(1)/(x)存在唯一的極值點；

(2)/(尤)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).

v?-l-1

74.(2019?全國?高考真題)已知函數(shù)9(%)=InA工

(1)討論y(x)的單調(diào)性，并證明火χ)有且僅有兩個零點；

(2)設(shè)起是HX)的一個零點，證明曲線尸InX在點A(X°,InXO)處的切線也是曲線y=e*

的切線.

75.(2019?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=SinX-In(I+x),/'(幻為/(χ)的導數(shù).證明:

(1)/(χ)在區(qū)間(-1,5)存在唯一極大值點；

(2)〃x)有且僅有2個零點.

76.(2019?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)9(x)=2χ3-o?+6

(1)討論F*)的單調(diào)性；

(2)是否存在。力，使得F(X)在區(qū)間［0,1］的最小值為T且最大值為1?若存在，求出

的所有值；若不存在，說明理由.

77.(2019?浙江?高考真題)已知實數(shù)4wθ,設(shè)函數(shù)/(x)="lnx+√77T,x>0.

3

(1)當。=-二時，求函數(shù)/O)的單調(diào)區(qū)間；

4

(2)對任意工€」,+0))均有了(初4正，求。的取值范圍.

e-2a

注：e=2?71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

78.(2019?江蘇?高考真題)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為數(shù)列”.

(1)已知等比數(shù)列｛〃〃｝滿足：?tz4=α5,a3-4a2+4a1=0,求證:數(shù)列｛〃〃｝為數(shù)列”;

122

(2)已知數(shù)列｛加｝滿足:=---—，其中S〃為數(shù)列｛加｝的前〃項和.

①求數(shù)列｛6〃｝的通項公式；

②設(shè)，〃為正整數(shù)，若存在“M—數(shù)列,對任意正整數(shù)鼠當上加時，都有Q≤4≤∕M

成立，求機的最大值?

79.(2019?江蘇?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=(x-α)(X-AXX-C)M也c∈R,尸⑺為/(x)

的導函數(shù).

(1)若a=b=c,f(4)=8,求〃的值；

(2)若a≠b,b=c,且f(x)和廣⑴的零點均在集合｛-3,1,3｝中，求/(χ)的極小值；

4

(3)若a=0,0<b,,l,c=l,且Fa)的極大值為M,求證:MW藥.

80.(2019?北京?高考真題)已知函數(shù)Ax)=:/-/+*

(I)求曲線y=/(X)的斜率為1的切線方程；

(II)當X€［-2,4］時，求證：x-6<f(x)<X;

(IH)設(shè)尸(x)>∕(X)-(X+α)∣3wR),記F(X)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M當

M(α)最小時，求”的值.

81.(2019?全國?高考真題)已知函數(shù)Ax)=2/-。/+2.

(1)討論/O)的單調(diào)性；

(2)當0<”3時，記/(x)在區(qū)間［0』的最大值為M,最小值為"?，求M-機的取值

范圍.

82.(2019?天津?高考真題)設(shè)函數(shù)F(X)=Inx-α(x-l)e",其中α∈R.

(1)若α≤0,討論/(x)的單調(diào)性；

(II)若0<α<L

e

(i)證明/(x)恰有兩個零點

(ii)設(shè)與為/(x)的極值點，陽為/(x)的零點，且%>??,證明3xl)-x∣>2.

83.(2019?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=2siιu~XCOSX-JC,f(X)為/(x)的導數(shù).

(1)證明：/(x)在區(qū)間(0,兀)存在唯一零點；

(2)若χG［0,π］時，/(x)>ax,求α的取值范圍.

84.(2018?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=［αri-(4α+l)x+44+3］e'.

(1)若曲線y=∕(x)在點(1,/(?))處的切線與X軸平行，求。；

(2)若/(x)在x=2處取得極小值，求。的取值范圍.

85.(2018?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=[αχ2一(3α+i)χ+3α+2]e*.

(I)若曲線y=∕(x)在點(2J(2))處的切線斜率為O,求田

(II)若，J)在χ=l處取得極小值，求。的取值范圍.

86.(2018.全國.高考真題)己知函數(shù)/(x)=(2+x+0γ2)ln(l+x)-2x.

(1)若a=0,證明：當一l<x<0時，/(x)<05當x>0時，/(x)>0i

(2)若X=O是/(x)的極大值點，求α.

87.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)f(χ)=竺詈二L

(1)求曲線y寸(X)在點(0，-1)處的切線方程；

(2)證明：當α≥l時，/(x)+e≥0.

88.(2018?浙江?高考真題)已知函數(shù)/(X)=6-InX.

(1)若Ax)在X=%I,Λ2(X產(chǎn)&)處導數(shù)相等，證明：/(x1)+∕(?)>8-81n2i

(2)若α≤3-41n2,證明：對于任意火>0,直線y=丘+”與曲線y=/(x)有唯一公共

點.

89.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=%3-α(χ2+χ+ι).

(1)若。=3,求"x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明："x)只有一個零點.

90.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)f(x)="e*-∕nr-l.

(1)設(shè)下2是〃力的極值點.求。，并求“x)的單調(diào)區(qū)間：

(2)證明：當"≥,時,/(x)≥0.

e

91.(2018?江蘇?高考真題)記r(x),g'(x)分別為函數(shù)"x),g(x)的導函數(shù).若存在

XOeR,滿足/(xo)=g(%)且r(xo)=g'(??),則稱與為函數(shù)/(x)與g(x)的一個“S點”.

(1)證明：函數(shù)f(x)=X與8(6=幺+2工一2不存在“S點”；

(2)若函數(shù)/(X)=加-1與g(x)=l∏x存在“S點”，求實數(shù)〃的值；

(3)已知函數(shù)/a)=-—+。，g(x)=q.對任意4>0,判斷是否存在〃>0,使函

數(shù)“χ)與g(χ)在區(qū)間(o,y)內(nèi)存在“S點”，并說明理由.

92.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)f(x)=e、一加.

(1)若a=l,證明：當x≥0時，/(x)≥l；

(2)若/(x)在(0,+8)只有一個零點，求“的值.

93.(2018?天津?高考真題)已知函數(shù)/(x)=α",g(x)=lognx,其中α>l.

(I)求函數(shù)MX)=/(X)-Hna的單調(diào)區(qū)間;

(II)若曲線在點(χj(AI))處的切線與曲線y=g(χ)在點α,g(w))處的切

線平行，證明：x∣+g(x,)=-孚吧；

Ina

(In)證明：當時，存在直線/，使/是曲線y=∕(χ)的切線，也是曲線y=g(χ)

的切線.

94.(2018?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=L-X+αlnx.

X

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若存在兩個極值點％,與，證明："6"A2L-2.

不一吃

95.(2018?天津?高考真題)設(shè)函數(shù)"x)=(XTI)(XT2)(XT3)，其中：出，，3大R,且%冉，與

是公差為d的等差數(shù)列.

(I)若"O,d=ι,求曲線y=/(無)在點(Oj(O))處的切線方程;

(II)若d=3,求〃x)的極值；

(IlD若曲線y="χ)與直線y=-(χf)-6G有三個互異的公共點，求d的取值范圍.

五、雙空題

96.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)曲線y=InI刈過坐標原點的兩條切線的方程為

，?

97.(2019?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)/I)=ex+aeh為常數(shù)).若/G)為奇函數(shù)，則

α=;若/(x)是R上的增函數(shù)，則α的取值范圍是.

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)題意可知/(I)=2/'⑴=O即可解得。也再根據(jù)廣(力即可解出.

【詳解】因為函數(shù)〃力定義域為(0,+⑹，所以依題可知，/(l)=-2,Γ(l)=0,而

r(χ)=｝［,所以。=-2,T=O,即“=-2/=-2,所以r(x)=-∣+*因此函數(shù)“X)

在((U)上遞增，在(1,R)上遞減，x=l時取最大值，滿足題意，即有r(2)=-l+g=-；.

故選：B.

2.D

【分析】利用導數(shù)求得Fa)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出了(X)在區(qū)間［0,2可上的最小值和最大

值.

【詳解】∕,(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosΛ=(x+l)cosx,

所以“X)在區(qū)間畫)和仔,2,上用x)>0,即/(x)單調(diào)遞增；

在區(qū)間6考)上了'(x)<0,即F(X)單調(diào)遞減,

又〃0)=〃2兀)=2,圖=-怎+】卜=卡，

所以/(x)在區(qū)間［0,2π］上的最小值為-3，最大值為5+2.

故選：D

3.A

【分析】由：C=4tanI4結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c〉A(chǔ);構(gòu)造函數(shù)

b4

/(X)=COsX+g--1,XW(O,+8),利用導數(shù)可得》,即可得解.

【詳解】［方法一］：構(gòu)造函數(shù)

因為當XWW

,X<tanX

C1c

故廠4ta∕>l,故小，所以c>R

12

設(shè)/(犬)=CoSX+萬龍?一l,x∈(0,+∞),

ft{x}=-sinx+x>O,所以f(x)在(O,÷oo)單調(diào)遞增,

故H(O)=0,所以CoSLT>0,

432

所以b>",所以<?>〃>〃，故選A

［方法二］：不等式放縮

因為當x∈(θ,］}sinx<X,

取X=:得：cos?=1-2sin2?>1=—,故

848(8J32

4si∏!+cos!=Vr7sin［?+^I,其中Q∈∕θ,工］,且SinG=-^=,cos夕==

、t,,.11∕ΓZ7?,1兀F711

當4sin—+cos-=√17時，一+夕=一,及φ=-------

一444224

,.14I1

此時sin-=cos￠7=-=,cos—=Slne=-=

4√1j74√1f7

“114.1.1,,

故cos：=—<-j==sin—<4sin—,故人<。

4√17√1744

所以b>",所以故選A

［方法三］：泰勒展開

,居nocmil311θ?252,I0.2520.254

漫x=0.25,貝I」。=—=1---------,?=cos-≈11----------+-------,

322424!

.1

sin4

/.140.25?0.25工留,日z―小A

c=4sm-=-?-≈11----—÷-??-,計算得c>Z?>a,故選A.

4

［方法四］：構(gòu)造函數(shù)

因為g二4lanJ,因為當x∈(θ,g］,sinx<x<tanx,所以tan,>',即￡>1,所以c>b;設(shè)

b4k2J446

f?x)=cos?+?%2-1,?∈(O,+∞),/,(x)=-sinx÷x>0,所以/(χ)在(0,+8)單調(diào)遞增，則

d1)>F(O)=O,所以cos1-m>0,所以，>“,所以c>b>α,

<4；432

故選：A.

［方法五］：【最優(yōu)解】不等式放縮

因為f=4ta∕,因為當XjO,m),sinx<x<tanx,所以tan!」,即：>1,所以c>∕>;因

為當Xe(OSinX<X,取X=［得COSL=ι_2sin21>1-2(=—,故人”,所以c>b>α.

12；848⑶32

故選：A.

【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù),

屬于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式Xe(O,］J,sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關(guān)系，屬

于最優(yōu)解.

4.C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為6,由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系,

由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】：球的體積為36萬，所以球的半徑A=3,

［方法一］:導數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2〃，高為人

則產(chǎn)=卻+*,3?=2/+(3-/O?,

所以6∕z=∕2,2a2=Z2-A2

112∕4I2?(le\

所以正四棱錐的體積

33336O3oJ

所以VWgJ畀，?

當3≤∕≤2幾時，V>>0,當2m<”36時，V,<0,

所以當/=2"時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為日，

又/=3時，丫==，∕=3√3?,V=*,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為子，

所以該正四棱錐體積的取值范圍是卜日,片.

故選：C.

［方法二］：基本不等式法

由方法一故所以V=gα2∕z=∣(6∕L∕l2)∕j=g(12-2∕0∕lx∕?,；X(12-2?+/?+〃=.(當且

僅當〃=4取到)，

當力=|時，得〃=倍，則曦I=那T察)晨|=日；

—7Q

當/=3百時，球心在正四棱錐高線上，此時//+3=；,

鼻J="na=單，正四棱錐體積ν=卜”=:(莖)Y=?<￡故該正四棱錐體積的取

22√233√2243

值范圍是尋,爭.

5.C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=In(I+x)-x,導數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定α,b,c的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

1Y

設(shè)/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因為∕'(X)=------1=-,

1+x1+x

當xw(-l,O)時，f'(x)>O,當Xe(O,+∞)時/(x)<O,

所以函數(shù)/(x)=In(I+x)-X在(0,+∞)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(3<f(0)=0,所以In與一3<0,故］>lnE=-lnO.9,即b>c,

所以/(-歷)<∕(0)=0,所以1啥+歷<0,故言-。，所以土。

故α<b,

設(shè)g(x)=xe"+ln(l-x)(O<x<l),則g，(X)=(X+ι)e*+-Lj?=+1,

令MX)=e*(f-l)+l,h'M=ex(x2+2x-?),

當O<x<√∑-1時，I(X)<0,函數(shù)以幻=e%f-i)+ι單調(diào)遞減,

當α-l<x<l時，h?x)>O,函數(shù)〃(X)=e*,-l)+l單調(diào)遞增,

又〃(O)=O,

所以當OCX<0-1時，4(x)<0,

所以當O<x<0-1時，g'(x)>O,函數(shù)g(x)=xe'+ln(l-x)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即(Me(U>Tn0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

,

解：α=0.1Z,?=7?-,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①Ina-In人=0.1+In(I-OJ),

令?(?)=%+ln(l—?),?∈(0,0.1],

貝IJ∕,u)=ι--!-=?≡^<o,

I-X1-x

故/(?)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina-In(VO,所以a<b；

(2)a-c=0.1e°1÷ln(l-0.1),

令g(x)=xex+ln(l-x),x∈(0,0.1],

則g1力=XeX+/--L=0三IQ二),二1,

v71-x1-x

令MX)=(I+x)(l-x)e*-l,所以/(x)=(l-χ2-2x)e”>0,

所以k(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得A(X)>A(O)>O,即g'(x)>O,

所以g(x)在(0,0-11上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

6.D

【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B,結(jié)合導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,即可得解.

【詳解】對于A,y=∕(x)+g(x)-；=d+sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不

符，排除A；

對于B,y=∕(x)-g(x)-l=x2-sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；

，1I-X1+?∣cosx

對于C,y="χ)g(χ)=x~+—Sinx,貝IJy'=2xsinx+

44J

當X=E時，y=gχ*J)X號>0,與圖象不符，排除C.

422164J2

故選：D.

7.D

【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，

對“進行分類討論，畫出∕?(Λ)圖象，即可得到。力所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.

【詳解】若q=b,則/(x)=α(x-α)3為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故標b.

.?.∕(x)有％=。和X=〃兩個不同零點，且在x=4左右附近是不變號，在