《21.3 實際問題與一元二次方程》課件

實際問題與一元二次方程探究2兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元,隨著生產(chǎn)技術的進步,現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?

分析:甲種藥品成本的年平均下降額為

(5000-3000)÷2=1000(元)

乙種藥品成本的年平均下降額為

(6000-3600)÷2=1200(元)乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是,年平均下降額(元)不等同于年平均下降率(百分數(shù))解:設甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元,兩年后甲種藥品成本為5000(1-x)2

元,依題意得解方程,得答:甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.算一算:乙種藥品成本的年平均下降率是多少?比較:兩種藥品成本的年平均下降率22.5%(相同)經(jīng)過計算,你能得出什么結論?成本下降額較大的藥品,它的成本下降率一定也較大嗎?應怎樣全面地比較對象的變化狀況?

經(jīng)過計算,成本下降額較大的藥品,它的成本下降率不一定較大,應比較降前及降后的價格.小結

類似地這種增長率的問題在實際生活普遍存在,有一定的模式若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關系可表示為其中增長取+,降低?。?(2003年,廣州市)2003年2月27日《廣州日報》報道：2002年底廣州市自然保護區(qū)覆蓋率（即自然保護區(qū)面積占全市面積的百分比）為4.65％，尚未達到國家A級標準．因此，市政府決定加快綠化建設，力爭到2004年底自然保護區(qū)覆蓋率達到8％以上．若要達到最低目標8％，則廣州市自然保護區(qū)面積的年平均增長率應是多少？（結果保留三位有效數(shù)字）解：設廣州市總面積為1，廣州市自然保護區(qū)面積年平均增長率為x，根據(jù)題意，得1×4.65%(1＋x)2＝1×8%．

(1＋x)2≈1.720．∴1＋x≈±1.312．x1≈0.312=31.2%,x2≈－2.312(不合題意,舍去)答：要達到最低目標，自然保護區(qū)面積的年平均增長率應為31.2%．練習:1.某廠今年一月的總產(chǎn)量為500噸,三月的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720

C.500(1+x2)=720

D.720(1+x)2=5002.某校去年對實驗器材的投資為2萬元,預計今明兩年的投資總額為8萬元,若設該校今明兩年在實驗器材投資上的平均增長率是x,則可列方程為

.B練習:3.美化城市，改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設的一項重要內容。某城市近幾年來通過拆遷舊房，植草，栽樹，修公園等措施，使城區(qū)綠地面積不斷增加（如圖所示）。（1）根據(jù)圖中所提供的信息回答下列問題：2001年底的綠地面積為

公頃，比2000年底增加了

公頃；在1999年，2000年，2001年這三年中，綠地面積增加最多的是

____________年；（2）為滿足城市發(fā)展的需要，計劃到2003年底使城區(qū)綠地面積達到72.6公頃，試求2002年,2003年兩年綠地面積的年平均增長率。20001999199820016042000解：設2002年,2003年兩年綠地面積的年平均增長率為x，根據(jù)題意，得60(1＋x)2＝72.6．

(1＋x)2=1.21．∴1＋x=±1.1．∴

x1=0.1=10%,x2=－2.1(不合題意,舍去)答：2002年,2003年兩年綠地面積的年平均增長率為10%．練習:4.某同學進行社會調查，隨機抽查了某個地區(qū)的20個家庭的收入情況，并繪制了統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖給出的信息回答：(1)填寫完成下表：這20個家庭的年平均收入為______萬元；(2)樣本中的中位數(shù)是______萬元，眾數(shù)是______萬元；(3)在平均數(shù)、中位數(shù)兩數(shù)中，______更能反映這個地區(qū)家庭的年收入水平.(4)要想這20個家庭的年平均收入在2年后達到2.5萬元,則每年的平均增長率是多少?年收入/萬元0.60.91.01.11.21.31.49.7家庭戶數(shù)/戶0.60.91.01.11.21.31.49.7252015105年收入/萬元所占戶數(shù)比/%112345311.61.21.3中位數(shù)解：設年平均增長率為x，根據(jù)題意，得1.6(1＋x)2＝2.5．

(1＋x)2=．∴1＋x=±1.25．

∴

x1=0.25=25%,x2=－2.25(不合題意,舍去)答：每年的年平均增長率為25%．練習:5、某農(nóng)戶1997年承包荒山若干畝，投資7800元改造后種果樹2000棵，其成活率為90%。在今年(注：今年指2000年)夏季全部結果時，隨意摘下10棵果樹的水果，稱得重量如下：(單位：千克)8，9，12，13，8，9，11，10，12，8⑴根據(jù)樣本平均數(shù)估計該農(nóng)戶今年水果的總產(chǎn)量是多少？⑵此水果在市場每千克售1.3元，在水果園每千克售1.1元，該農(nóng)戶用農(nóng)用車將水果拉到市場出售，平均每天出售1000千克，需8人幫助，每人每天付工資25元.若兩種出售方式都在相同的時間內售完全部水果，選擇哪種出售方式合理？為什么？⑶該農(nóng)戶加強果園管理，力爭到2002年三年合計純收入達到57000元，求2001年、2002年平均每年的增長率是多少？(純收入=總收入-總支出)解:(1)樣本平均數(shù)為∴總產(chǎn)量=2000×90%×10=18000(千克)(2)在果園出售的利潤是1.1×18000－7800=12000(元)在市場出售的利潤是1.3×18000－7800－(18000÷1000)×8×25=12000(元)所以兩種出售方式相同,選擇哪一種都可以;(3)設2001年、2002年平均每年的增長率是x,得∴x1=0.50=50%,x2=－3.5(不合題意,舍去)答：2001年、2002年平均每年的增長率是50%．小結1、平均增長（降低）率公式2、注意：（1）1與x的位置不要調換（2）解這類問題列出的方程一般用直接開平方法學無止境迎難而上1.(P53-7)青山村種的水稻2001年平均每公頃產(chǎn)7200kg,2003年平均每公頃產(chǎn)8450kg,求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率.2.(P58-8)某銀行經(jīng)過最近的兩次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%,平均每次降息的百分率是多少(精確到0.01%)?課后作業(yè)實際問題與一元二次方程（二）面積問題有關面積問題：常見的圖形有下列幾種：例1、用22cm長的鐵絲，折成一個面積為30cm2的矩形。求這個矩形的長與寬.整理后，得x2-11x+30=0解這個方程，得x1=5,x2=6(與題設不符，舍去)答：這個矩形的長是6cm，寬是5cm。由x1=5得由x2=6，得解：設這個矩形的長為xcm，則寬為（cm）.根據(jù)題意，得例2、在寬為20米、長為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2，道路的寬應為多少？32m20m則橫向的路面面積為

，32m20mx米分析：此題的相等關系是矩形面積減去道路面積等于540米2。解法一、如圖，設道路的寬為x米，32x米2縱向的路面面積為

。20x米2注意：這兩個面積的重疊部分是x2

米2所列的方程是不是？圖中的道路面積不是米2，而是從其中減去重疊部分，即應是米2所以正確的方程是：化簡得，其中的x=50超出了原矩形的長和寬，應舍去.取x=2時，道路總面積為：=100(米2)耕地面積==540（米2）答：所求道路的寬為2米。解法二：我們利用“圖形經(jīng)過移動，它的面積大小不會改變”的道理，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出路面的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）橫向路面為

，32m20mxmxm如圖，設路寬為x米，32x米2縱向路面面積為

。20x米2耕地矩形的長（橫向）為

，耕地矩形的寬（縱向）為

。相等關系是：耕地長×耕地寬=540米2(20-x)米（32-x)米即化簡得：再往下的計算、格式書寫與解法1相同。練習1：用一根長22厘米的鐵絲，能否折成一個面積是30厘米的矩形？能否折成一個面積為32厘米的矩形？說明理由。2：在一塊長80米，寬60米的運動場外圍修筑了一條寬度相等的跑道，這條跑道的面積是1500平方米，求這條跑道的寬度。3.如圖，在長為40米，寬為22米的矩形地面上，修筑兩條同樣寬的互相垂直的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積為760平方米，道路的寬應為多少？40米22米4、如圖，在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向相互垂直），把耕地分成大小相等的六塊試驗地，要使試驗地面積為570m2，問道路的寬為多少？例3、求截去的正方形的邊長用一塊長28cm、寬20cm的長方形紙片，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為180cm２，為了有效地利用材料，求截去的小正方形的邊長是多少cm？求截去的正方形的邊長分析設截去的正方形的邊長為xcm之后，關鍵在于列出底面（圖中陰影部分）長和寬的代數(shù)式．結合圖示和原有長方形的長和寬，不難得出這一代數(shù)式．20-2x28-2x２８cm20cm求截去的正方形邊長解：設截去的正方形的邊長為xcm，根據(jù)題意，得

(28-2x)(20-2x)=180x2-24x+95=0解這個方程，得：x1=5,x2=19經(jīng)檢驗：x2＝19不合題意，舍去．所以截去的正方形邊長為５cm.例4:建造一個池底為正方形,深度為2.5m的長方體無蓋蓄水池,建造池壁的單價是120元/m2,建造池底的單價是240元/m2,總造價是8640元,求池底的邊長.分析:池底的造價+池壁的造價=總造價解:設池底的邊長是xm.根據(jù)題意得:解方程得:∵池底的邊長不能為負數(shù),∴取x=4答:池底的邊長是4m.練習、建造成一個長方體形的水池，原計劃水池深3米，水池周圍為1400米，經(jīng)過研討，修改原方案，要把長與寬兩邊都增加原方案中的寬的2倍，于是新方案的水池容積為270萬米3，求原來方案的水池的長與寬各是多少米？700--xx3700-x+2xx+2xx原方案新方案課堂練習:列方程解下列應用題1、學生會準備舉辦一次攝影展覽，在每張長和寬分別為18厘米和12厘米的長方形相片周圍鑲嵌上一圈等寬的彩紙。經(jīng)試驗，彩紙面積為相片面積的2/3時較美觀，求鑲上彩紙條的寬。（精確到0.1厘米）2、在寬20米，長32米的矩形地面上修筑同樣寬的四條互相垂直的“井”字形道路（如圖），余下的部分做綠地，要使綠地面積為448平方米，路寬為多少？

32203、小明把一張邊長為10厘米的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子。如果要求長方體的底面面積為81平方厘米，那么剪去的正方形邊長為多少?

4、學校課外生物（小組的試驗園地是一塊長35米、寬20米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小路（如圖），要使種植面積為600平方米，求小道的寬。（精確到0.1米）5、

在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周寬相等的長方形框。已知長方形鋼片的長為30cm，寬為20cm,要使制成的長方形框的面積為400cm2，求這個長方形框的框邊寬。

XX30cm20cm解:設長方形框的邊寬為xcm,依題意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25+100=0得x1=20,x2=5當=20時,20-2x=-20(舍去);當x=5時,20-2x=10答:這個長方形框的框邊寬為5cm列一元二次方程解應題6、放鉛筆的V形槽如圖，每往上一層可以多放一支鉛筆．現(xiàn)有190支鉛筆，則要放幾層?解:要放x層,則每一層放(1+x)

支鉛筆.得x(1+x)=190×2

X＋X－380＝0解得X1＝19，

X2＝－20(不合題意)答:要放19層.2列一元二次方程解應題補充練習：（98年北京市崇文區(qū)中考題）如圖，有一面積是150平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），墻對面有一個2米寬的門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長33米．求雞場的長和寬各多少米？實際問題與一元二次方程（三）質點運動問題有關“動點”的運動問題”1)關鍵——以靜代動把動的點進行轉換,變?yōu)榫€段的長度,2)方法——

時間變路程求“動點的運動時間”可以轉化為求“動點的運動路程”，也是求線段的長度;由此,學會把動點的問題轉化為靜點的問題,是解這類問題的關鍵.3）常找的數(shù)量關系——

面積，勾股定理等；例1在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點B移動,點Q從點B開始以2cm/s的速度沿BC邊向點C移動,如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，幾秒后⊿PBQ的面積等于8cm2？解：設x秒后⊿PBQ的面積等于8cm2根據(jù)題意，得整理，得解這個方程，得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面積等于8cm2例2：等腰直角⊿

ABC中,AB=BC=8cm,動點P從A點出發(fā),沿AB向B移動,通過點P引平行于BC,AC的直線與AC,BC分別交于R、Q.當AP等于多少厘米時,平行四邊形PQCR的面積等于16cm2?例3：⊿ABC中,AB=3,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足為D,CD=2,P是AB上的一動點(不與