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實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程探究2兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步,現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元,哪種藥品成本的年平均下降率較大?
分析:甲種藥品成本的年平均下降額為
(5000-3000)÷2=1000(元)
乙種藥品成本的年平均下降額為
(6000-3600)÷2=1200(元)乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是,年平均下降額(元)不等同于年平均下降率(百分?jǐn)?shù))解:設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元,兩年后甲種藥品成本為5000(1-x)2
元,依題意得解方程,得答:甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.算一算:乙種藥品成本的年平均下降率是多少?比較:兩種藥品成本的年平均下降率22.5%(相同)經(jīng)過(guò)計(jì)算,你能得出什么結(jié)論?成本下降額較大的藥品,它的成本下降率一定也較大嗎?應(yīng)怎樣全面地比較對(duì)象的變化狀況?
經(jīng)過(guò)計(jì)算,成本下降額較大的藥品,它的成本下降率不一定較大,應(yīng)比較降前及降后的價(jià)格.小結(jié)
類似地這種增長(zhǎng)率的問(wèn)題在實(shí)際生活普遍存在,有一定的模式若平均增長(zhǎng)(或降低)百分率為x,增長(zhǎng)(或降低)前的是a,增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為其中增長(zhǎng)取+,降低?。?(2003年,廣州市)2003年2月27日《廣州日?qǐng)?bào)》報(bào)道:2002年底廣州市自然保護(hù)區(qū)覆蓋率(即自然保護(hù)區(qū)面積占全市面積的百分比)為4.65%,尚未達(dá)到國(guó)家A級(jí)標(biāo)準(zhǔn).因此,市政府決定加快綠化建設(shè),力爭(zhēng)到2004年底自然保護(hù)區(qū)覆蓋率達(dá)到8%以上.若要達(dá)到最低目標(biāo)8%,則廣州市自然保護(hù)區(qū)面積的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)是多少?(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)解:設(shè)廣州市總面積為1,廣州市自然保護(hù)區(qū)面積年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意,得1×4.65%(1+x)2=1×8%.
(1+x)2≈1.720.∴1+x≈±1.312.x1≈0.312=31.2%,x2≈-2.312(不合題意,舍去)答:要達(dá)到最低目標(biāo),自然保護(hù)區(qū)面積的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為31.2%.練習(xí):1.某廠今年一月的總產(chǎn)量為500噸,三月的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長(zhǎng)率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=5002.某校去年對(duì)實(shí)驗(yàn)器材的投資為2萬(wàn)元,預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為8萬(wàn)元,若設(shè)該校今明兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長(zhǎng)率是x,則可列方程為
.B練習(xí):3.美化城市,改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設(shè)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。某城市近幾年來(lái)通過(guò)拆遷舊房,植草,栽樹(shù),修公園等措施,使城區(qū)綠地面積不斷增加(如圖所示)。(1)根據(jù)圖中所提供的信息回答下列問(wèn)題:2001年底的綠地面積為
公頃,比2000年底增加了
公頃;在1999年,2000年,2001年這三年中,綠地面積增加最多的是
____________年;(2)為滿足城市發(fā)展的需要,計(jì)劃到2003年底使城區(qū)綠地面積達(dá)到72.6公頃,試求2002年,2003年兩年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率。20001999199820016042000解:設(shè)2002年,2003年兩年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意,得60(1+x)2=72.6.
(1+x)2=1.21.∴1+x=±1.1.∴
x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合題意,舍去)答:2002年,2003年兩年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為10%.練習(xí):4.某同學(xué)進(jìn)行社會(huì)調(diào)查,隨機(jī)抽查了某個(gè)地區(qū)的20個(gè)家庭的收入情況,并繪制了統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖給出的信息回答:(1)填寫(xiě)完成下表:這20個(gè)家庭的年平均收入為_(kāi)_____萬(wàn)元;(2)樣本中的中位數(shù)是______萬(wàn)元,眾數(shù)是______萬(wàn)元;(3)在平均數(shù)、中位數(shù)兩數(shù)中,______更能反映這個(gè)地區(qū)家庭的年收入水平.(4)要想這20個(gè)家庭的年平均收入在2年后達(dá)到2.5萬(wàn)元,則每年的平均增長(zhǎng)率是多少?年收入/萬(wàn)元0.60.91.01.11.21.31.49.7家庭戶數(shù)/戶0.60.91.01.11.21.31.49.7252015105年收入/萬(wàn)元所占戶數(shù)比/%112345311.61.21.3中位數(shù)解:設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意,得1.6(1+x)2=2.5.
(1+x)2=.∴1+x=±1.25.
∴
x1=0.25=25%,x2=-2.25(不合題意,舍去)答:每年的年平均增長(zhǎng)率為25%.練習(xí):5、某農(nóng)戶1997年承包荒山若干畝,投資7800元改造后種果樹(shù)2000棵,其成活率為90%。在今年(注:今年指2000年)夏季全部結(jié)果時(shí),隨意摘下10棵果樹(shù)的水果,稱得重量如下:(單位:千克)8,9,12,13,8,9,11,10,12,8⑴根據(jù)樣本平均數(shù)估計(jì)該農(nóng)戶今年水果的總產(chǎn)量是多少?⑵此水果在市場(chǎng)每千克售1.3元,在水果園每千克售1.1元,該農(nóng)戶用農(nóng)用車將水果拉到市場(chǎng)出售,平均每天出售1000千克,需8人幫助,每人每天付工資25元.若兩種出售方式都在相同的時(shí)間內(nèi)售完全部水果,選擇哪種出售方式合理?為什么?⑶該農(nóng)戶加強(qiáng)果園管理,力爭(zhēng)到2002年三年合計(jì)純收入達(dá)到57000元,求2001年、2002年平均每年的增長(zhǎng)率是多少?(純收入=總收入-總支出)解:(1)樣本平均數(shù)為∴總產(chǎn)量=2000×90%×10=18000(千克)(2)在果園出售的利潤(rùn)是1.1×18000-7800=12000(元)在市場(chǎng)出售的利潤(rùn)是1.3×18000-7800-(18000÷1000)×8×25=12000(元)所以兩種出售方式相同,選擇哪一種都可以;(3)設(shè)2001年、2002年平均每年的增長(zhǎng)率是x,得∴x1=0.50=50%,x2=-3.5(不合題意,舍去)答:2001年、2002年平均每年的增長(zhǎng)率是50%.小結(jié)1、平均增長(zhǎng)(降低)率公式2、注意:(1)1與x的位置不要調(diào)換(2)解這類問(wèn)題列出的方程一般用直接開(kāi)平方法學(xué)無(wú)止境迎難而上1.(P53-7)青山村種的水稻2001年平均每公頃產(chǎn)7200kg,2003年平均每公頃產(chǎn)8450kg,求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率.2.(P58-8)某銀行經(jīng)過(guò)最近的兩次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%,平均每次降息的百分率是多少(精確到0.01%)?課后作業(yè)實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(二)面積問(wèn)題有關(guān)面積問(wèn)題:常見(jiàn)的圖形有下列幾種:例1、用22cm長(zhǎng)的鐵絲,折成一個(gè)面積為30cm2的矩形。求這個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬.整理后,得x2-11x+30=0解這個(gè)方程,得x1=5,x2=6(與題設(shè)不符,舍去)答:這個(gè)矩形的長(zhǎng)是6cm,寬是5cm。由x1=5得由x2=6,得解:設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為xcm,則寬為(cm).根據(jù)題意,得例2、在寬為20米、長(zhǎng)為32米的矩形地面上,修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路,余下部分作為耕地,要使耕地面積為540米2,道路的寬應(yīng)為多少?32m20m則橫向的路面面積為
,32m20mx米分析:此題的相等關(guān)系是矩形面積減去道路面積等于540米2。解法一、如圖,設(shè)道路的寬為x米,32x米2縱向的路面面積為
。20x米2注意:這兩個(gè)面積的重疊部分是x2
米2所列的方程是不是?圖中的道路面積不是米2,而是從其中減去重疊部分,即應(yīng)是米2所以正確的方程是:化簡(jiǎn)得,其中的x=50超出了原矩形的長(zhǎng)和寬,應(yīng)舍去.取x=2時(shí),道路總面積為:=100(米2)耕地面積==540(米2)答:所求道路的寬為2米。解法二:我們利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng),它的面積大小不會(huì)改變”的道理,把縱、橫兩條路移動(dòng)一下,使列方程容易些(目的是求出路面的寬,至于實(shí)際施工,仍可按原圖的位置修路)橫向路面為
,32m20mxmxm如圖,設(shè)路寬為x米,32x米2縱向路面面積為
。20x米2耕地矩形的長(zhǎng)(橫向)為
,耕地矩形的寬(縱向)為
。相等關(guān)系是:耕地長(zhǎng)×耕地寬=540米2(20-x)米(32-x)米即化簡(jiǎn)得:再往下的計(jì)算、格式書(shū)寫(xiě)與解法1相同。練習(xí)1:用一根長(zhǎng)22厘米的鐵絲,能否折成一個(gè)面積是30厘米的矩形?能否折成一個(gè)面積為32厘米的矩形?說(shuō)明理由。2:在一塊長(zhǎng)80米,寬60米的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)外圍修筑了一條寬度相等的跑道,這條跑道的面積是1500平方米,求這條跑道的寬度。3.如圖,在長(zhǎng)為40米,寬為22米的矩形地面上,修筑兩條同樣寬的互相垂直的道路,余下的鋪上草坪,要使草坪的面積為760平方米,道路的寬應(yīng)為多少?40米22米4、如圖,在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形耕地上,修筑同樣寬的三條道路,(兩條縱向,一條橫向,橫向與縱向相互垂直),把耕地分成大小相等的六塊試驗(yàn)地,要使試驗(yàn)地面積為570m2,問(wèn)道路的寬為多少?例3、求截去的正方形的邊長(zhǎng)用一塊長(zhǎng)28cm、寬20cm的長(zhǎng)方形紙片,要在它的四角截去四個(gè)相等的小正方形,折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子,使它的底面積為180cm2,為了有效地利用材料,求截去的小正方形的邊長(zhǎng)是多少cm?求截去的正方形的邊長(zhǎng)分析設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm之后,關(guān)鍵在于列出底面(圖中陰影部分)長(zhǎng)和寬的代數(shù)式.結(jié)合圖示和原有長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,不難得出這一代數(shù)式.20-2x28-2x28cm20cm求截去的正方形邊長(zhǎng)解:設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm,根據(jù)題意,得
(28-2x)(20-2x)=180x2-24x+95=0解這個(gè)方程,得:x1=5,x2=19經(jīng)檢驗(yàn):x2=19不合題意,舍去.所以截去的正方形邊長(zhǎng)為5cm.例4:建造一個(gè)池底為正方形,深度為2.5m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋蓄水池,建造池壁的單價(jià)是120元/m2,建造池底的單價(jià)是240元/m2,總造價(jià)是8640元,求池底的邊長(zhǎng).分析:池底的造價(jià)+池壁的造價(jià)=總造價(jià)解:設(shè)池底的邊長(zhǎng)是xm.根據(jù)題意得:解方程得:∵池底的邊長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù),∴取x=4答:池底的邊長(zhǎng)是4m.練習(xí)、建造成一個(gè)長(zhǎng)方體形的水池,原計(jì)劃水池深3米,水池周圍為1400米,經(jīng)過(guò)研討,修改原方案,要把長(zhǎng)與寬兩邊都增加原方案中的寬的2倍,于是新方案的水池容積為270萬(wàn)米3,求原來(lái)方案的水池的長(zhǎng)與寬各是多少米?700--xx3700-x+2xx+2xx原方案新方案課堂練習(xí):列方程解下列應(yīng)用題1、學(xué)生會(huì)準(zhǔn)備舉辦一次攝影展覽,在每張長(zhǎng)和寬分別為18厘米和12厘米的長(zhǎng)方形相片周圍鑲嵌上一圈等寬的彩紙。經(jīng)試驗(yàn),彩紙面積為相片面積的2/3時(shí)較美觀,求鑲上彩紙條的寬。(精確到0.1厘米)2、在寬20米,長(zhǎng)32米的矩形地面上修筑同樣寬的四條互相垂直的“井”字形道路(如圖),余下的部分做綠地,要使綠地面積為448平方米,路寬為多少?
32203、小明把一張邊長(zhǎng)為10厘米的正方形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形,再折合成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子。如果要求長(zhǎng)方體的底面面積為81平方厘米,那么剪去的正方形邊長(zhǎng)為多少?
4、學(xué)校課外生物(小組的試驗(yàn)園地是一塊長(zhǎng)35米、寬20米的矩形,為便于管理,現(xiàn)要在中間開(kāi)辟一橫兩縱三條等寬的小路(如圖),要使種植面積為600平方米,求小道的寬。(精確到0.1米)5、
在長(zhǎng)方形鋼片上沖去一個(gè)長(zhǎng)方形,制成一個(gè)四周寬相等的長(zhǎng)方形框。已知長(zhǎng)方形鋼片的長(zhǎng)為30cm,寬為20cm,要使制成的長(zhǎng)方形框的面積為400cm2,求這個(gè)長(zhǎng)方形框的框邊寬。
XX30cm20cm解:設(shè)長(zhǎng)方形框的邊寬為xcm,依題意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25+100=0得x1=20,x2=5當(dāng)=20時(shí),20-2x=-20(舍去);當(dāng)x=5時(shí),20-2x=10答:這個(gè)長(zhǎng)方形框的框邊寬為5cm列一元二次方程解應(yīng)題6、放鉛筆的V形槽如圖,每往上一層可以多放一支鉛筆.現(xiàn)有190支鉛筆,則要放幾層?解:要放x層,則每一層放(1+x)
支鉛筆.得x(1+x)=190×2
X+X-380=0解得X1=19,
X2=-20(不合題意)答:要放19層.2列一元二次方程解應(yīng)題補(bǔ)充練習(xí):(98年北京市崇文區(qū)中考題)如圖,有一面積是150平方米的長(zhǎng)方形雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻(墻長(zhǎng)18米),墻對(duì)面有一個(gè)2米寬的門(mén),另三邊(門(mén)除外)用竹籬笆圍成,籬笆總長(zhǎng)33米.求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各多少米?實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(三)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有關(guān)“動(dòng)點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題”1)關(guān)鍵——以靜代動(dòng)把動(dòng)的點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,變?yōu)榫€段的長(zhǎng)度,2)方法——
時(shí)間變路程求“動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間”可以轉(zhuǎn)化為求“動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程”,也是求線段的長(zhǎng)度;由此,學(xué)會(huì)把動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜點(diǎn)的問(wèn)題,是解這類問(wèn)題的關(guān)鍵.3)常找的數(shù)量關(guān)系——
面積,勾股定理等;例1在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始以1cm/s的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng),如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā),幾秒后⊿PBQ的面積等于8cm2?解:設(shè)x秒后⊿PBQ的面積等于8cm2根據(jù)題意,得整理,得解這個(gè)方程,得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面積等于8cm2例2:等腰直角⊿
ABC中,AB=BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿AB向B移動(dòng),通過(guò)點(diǎn)P引平行于BC,AC的直線與AC,BC分別交于R、Q.當(dāng)AP等于多少厘米時(shí),平行四邊形PQCR的面積等于16cm2?例3:⊿ABC中,AB=3,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足為D,CD=2,P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與
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