2024屆廣西名校高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)檢測考試卷附答案解析

2024屆廣西名校高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)檢測考試卷（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?班級?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差為2的等差數(shù)列，若，，成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（

）A．12，13 B．13，13 C．13，12 D．12，142．如果橢圓的離心率為，則（

）A． B．或 C． D．或3．已知等差數(shù)列，若，則（

）A． B．0 C．2 D．44．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．用2個0，2個1和1個2組成一個五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（

）A．8個 B．12個 C．18個 D．24個6．已知，，．若，，則（

）A． B． C． D．7．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)性質(zhì)，也常用函數(shù)解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的大致圖象是（

）A．B．C．D．8．設(shè)雙曲線的焦距為，離心率為，且成等比數(shù)列，A是的一個頂點，是與A不在軸同側(cè)的焦點，是的虛軸的一個端點，為的任意一條不過原點且斜率為的弦，為中點，為坐標(biāo)原點，則下列判斷錯誤的是（

）A．的一條漸近線的斜率為B．C．（分別為直線的斜率）D．若，則恒成立二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點對稱D．在上單調(diào)遞增10．已知，為復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，下列說法正確的是（

）A．若，則的虛部為B．若，滿足，則的最大值為C．若，則D．若，且，則11．已知為定義在上的偶函數(shù)且不是常函數(shù)，，若是奇函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．C．是奇函數(shù) D．與關(guān)于原點對稱三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知集合，，則.13．已知的三邊長分別為3，4，5，且A，B，C均在球的球面上，球心到平面的距離為，則球的表面積等于．14．如圖，四邊形是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得．動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，．則的取值范圍為．

四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若過點作直線與函數(shù)的圖象相切，判斷切線的條數(shù).16．隨著寒冷冬季的到來，羽絨服進(jìn)入了銷售旺季，某調(diào)查機構(gòu)隨機調(diào)查了400人，詢問他們選購羽絨服時更關(guān)注保暖性能還是更關(guān)注款式設(shè)計，得到以下的列聯(lián)表：更關(guān)注保暖性能更關(guān)注款式設(shè)計合計女性16080240男性12040160合計280120400(1)是否有的把握認(rèn)為男性和女性在選購羽線服時的關(guān)注點有差異？(2)若從這400人中按男女比例用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行采訪，再從這5人中任選2人贈送羽線服，記為抽取的2人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.100.050.0102.7063.8416.63517．如圖，在矩形中，，，為的中點，將沿折起，使點到點處，平面平面.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.18．設(shè)拋物線C：（）的焦點為F，拋物線C上一點A的橫坐標(biāo)為，過點A作拋物線C的切線，與x軸交于點D，與y軸交于點E，與直線l：交于點M.當(dāng)時，.(1)求拋物線C的方程；(2)若B為y軸左側(cè)拋物線C上一點，過B作拋物線C的切線，與直線交于點P，與直線l交于點N，求面積的最小值，并求取到最小值時的值.19．已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，，(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項和，集合共有4個元素，求范圍；(3)，數(shù)列的前項和為，求證：．1．B【分析】首先根據(jù)，，成等比數(shù)列求出數(shù)列的首項，然后即可求出樣本的平均數(shù)和中位數(shù).【詳解】解：依題意，解得，故是首項，公差的等差數(shù)列，所以此樣本的平均數(shù)為，中位數(shù)為．故選：B．【點睛】本題主要考查了等比中項的性質(zhì)，中位數(shù)，平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】分焦點在x軸和在y軸兩種情況，分別得到a,b的表達(dá)式，進(jìn)而求得c的表達(dá)式，然后根據(jù)離心率得到關(guān)于k的方程，求解即可．【詳解】解：因為橢圓的離心率為，當(dāng)時，橢圓焦點在軸上，可得：，解得，當(dāng)時，橢圓焦點在軸上，可得：，解得．或.故選：B．3．B【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合已知利用公差表示即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，整理得，所以.故選：B4．D【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，若，，則或者或者相交，故A錯誤，對于B，若，，則或者或者相交，故B錯誤，對于C，若，，，則或者或者相交，故C錯誤，對于D，若，，則，又，所以，故D正確，故選：D.5．C【分析】分首位為2、1計算出每種情況的結(jié)果數(shù)，再相加即可.【詳解】當(dāng)首位為2時，這樣的五位數(shù)有個；當(dāng)首位為1時，這樣的五位數(shù)有個.綜上，這樣的五位數(shù)共有個.故選：C.6．B【分析】根據(jù)題意分析可得，利用兩角和差公式結(jié)合指數(shù)冪運算求解.【詳解】由題意可得，因為，，則，可得，即，則，令，則，整理得，解得或（舍去），即，解得．故選：B．7．B【分析】先求函數(shù)的定義域，判斷是奇函數(shù)，故排除CD；再根據(jù)的值，排除A，從而B正確.【詳解】由，得，解得，∴函數(shù)的定義域為，∵，∴函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除CD；∵，故排除A，從而B正確.故選：B.8．D【分析】A選項，由等比中項的性質(zhì)得到離心率，進(jìn)而得到，A正確；B選項，求出和的斜率，得到，得到；C選項，利用點差法得到；D選項，設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立，求出，再求出，計算出，判斷出結(jié)論.【詳解】A選項，因為成等比數(shù)列，所以，所以且，解得（負(fù)根舍），所以，所以，即的一條漸近線的斜率為，故正確；B選項，不妨設(shè)為左焦點，為虛軸的上端點，則A為右頂點，則的斜率的斜率，所以，所以，故B正確；C選項，設(shè)，則，作差后整理得，即，所以，故C正確；D選項，設(shè)直線，則直線，將代入雙曲線方程，得，則，，將換成得，則與的值有關(guān)，故D錯誤.故選：D.【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線相交涉及中點弦問題，常用點差法，該法計算量小，模式化強，易于掌握，若相交弦涉及的定比分點問題時，也可以用點差法的升級版—定比點差法，解法快捷.9．BCD【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，即可代入驗證求解對稱軸以及對稱中心，利用整體法即可判斷D，根據(jù)周期公式即可求解A.【詳解】，對于A，的最小正周期為，故A錯誤，對于B,,故的圖象關(guān)于直線對稱，B正確，對于C，，故的圖象關(guān)于點對稱，C正確，對于D，時，，故在上單調(diào)遞增，D正確，故選：BCD10．BD【分析】對A根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可判斷，對B利用復(fù)數(shù)模的幾何意義即可判斷，對C，舉反例即可，對D，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷.【詳解】對于A，的虛部為2，故A錯誤；對于B，設(shè)，，由，得，其表示為圓心為，半徑為的圓，，其表示為圓上的點到原點的距離，設(shè)圓心到原點的距離為，則，則圓上的點到原點的距離的最大值為，則的最大值為，故B正確；對于C，當(dāng)，時，，此時，故C錯誤；對于D，，則，，故D正確.故選：BD.11．ABC【分析】根據(jù)偶函數(shù)和函數(shù)對稱性的定義可判斷A選項；利用函數(shù)的周期性可判斷B選項；利用奇函數(shù)的定義可判斷C選項；利用對稱性定義可判斷D選項.【詳解】對于選項A，因為是奇函數(shù)，所以，即，整理得2，所以的圖象關(guān)于對稱，故A正確；對于選項B，因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以，故B正確；對于選項C，，故C正確；對于選項D，因為，所以與關(guān)于軸對稱，不關(guān)于原點對稱，故D錯誤.故選：ABC.12．【分析】根據(jù)描述法的集合表示可知，再由交集運算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知,所以.故答案為：13．【詳解】的三邊長分別為3，4，5，則為直角三角形，其外接圓半徑為，則球的半徑，則球的表面積.故答案為：.14．【分析】建立坐標(biāo)系，討論，，，四種情況，求出的范圍.【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，正方形的邊長為1，則，

∵．當(dāng)時，有且，∴，∴，當(dāng)時，有且，∴，當(dāng)時，有且，∴，當(dāng)時，有且，∴，綜上，，故答案為：15．(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)三條【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）設(shè)出切點，將切線方程表示為含有參數(shù)的直線方程，根據(jù)切線過點可得關(guān)于參數(shù)的方程，判斷方程根的個數(shù)即可求解.【詳解】（1）因為，所以.令，得；令，得.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），則，設(shè)切點為，則，，所以切線方程為.將點代入得，整理得.因為方程有兩個不相等正根，所以方程共有三個不相等正根.故過點可以作出三條直線與曲線相切.16．(1)沒有的把握認(rèn)為男性和女性在選購羽線服時的關(guān)注點有差異(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)參考公式，計算的值，并與附表中的數(shù)據(jù)對比，即可得出答案.（2）求出的所有可能取值及其對應(yīng)的概率，可得的分布列，由期望公式即可求出的數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）因為，因為，所以沒有的把握認(rèn)為男性和女性在選購羽線服時的關(guān)注點有差異．（2）選出的男性人數(shù)為，選出的女性人數(shù)為，由題意可得的所有可能取值為0，1，2，，故的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望．17．(1)證明見解析(2).【分析】（1）由勾股定理得，由面面垂直的性質(zhì)得，從而線面垂直判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理證明即可；（2）取中點O，連接，即可得到平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解二面角的余弦值.【詳解】（1）由，，得，得，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故，又，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）取中點O，連接，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，以O(shè)為原點，，，方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，則，即，取，則，設(shè)平面的法向量為，由，，則，即，取，則，故.故二面角的余弦值為.18．(1)(2),【分析】（1）根據(jù)題意得切線方程為：，進(jìn)而得D為AE的中點，再根據(jù)焦半徑公式得，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系得，故拋物線C的方程為；（2）結(jié)合（1）得，，，，進(jìn)而得，，再整理，利用換元法結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解最值即可.【詳解】（1）解：由題知，，所以，，切點，切線方程為：，令，，所以D為AE的中點，因為根據(jù)焦半徑公式得：，.所以，，因為，所以，即，所以拋物線C的方程為；（2）解：設(shè)，由（1）得方程：①同理方程②，聯(lián)立①②，所以，因為直線l的方程為：，所以，，所以，所以，，令，∴，令，，當(dāng)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，此時.所以面積的最小值為，此時的值為.【點睛】本題考查拋物線的切線問題，拋物線中的三角形面積最值問題.考查運算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于結(jié)合第一問設(shè)點求切線方程，進(jìn)而得，，，進(jìn)而，再利用換元法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解最值.19．(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)出公