第2講 轉(zhuǎn)化與化歸思想在導(dǎo)數(shù)解答題中的應(yīng)用（原卷版）

第2講轉(zhuǎn)化與化歸思想在導(dǎo)數(shù)解答題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)解題過程中處處滲透著轉(zhuǎn)化與劃歸思想，學(xué)生解題能力高低很大程度取決于其轉(zhuǎn)化與劃歸思想能力的強(qiáng)弱。簡單點說，轉(zhuǎn)化與化為思想，就是通過觀察、分析、聯(lián)想等思維過程把學(xué)生需要解決的問題遵循熟悉化、簡單化。直觀化等原則，選擇合適的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后歸結(jié)到某些已解決或者比較容易解決問題的一種思維方法?！緫?yīng)用一】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決不等式問題在高考中導(dǎo)數(shù)作為必考解答題之一，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式的證明是考查的重點。函數(shù)的不等式問題，一直是?？紗栴}，解決不等式問題我們一般的想法是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，但有的時候，題目給出的不等式中會含有不止一個變量，無法直接利用函數(shù)的單調(diào)性，此時就需要我們對不等式進(jìn)行變形，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的構(gòu)造函數(shù)的問題【例1.1】【2021年新高考1卷】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【思維提升】轉(zhuǎn)化與化歸思想常見的由一下一些解法：方法一：利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法轉(zhuǎn)化成不等式，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.【變式1.1】（2022·山東萊西·高三期末）已知，其中，.(1)求在上為減函數(shù)的充要條件；(2)求在上的最大值；(3)解關(guān)于x的不等式：.【變式1.2】【2022年全國甲卷】已知函數(shù)fx(1)若fx≥0，求(2)證明：若fx有兩個零點x1,【變式1.3】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【變式1.4】（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，(1)函數(shù)圖像在處的切線與函數(shù)相切，求實數(shù)a的值；(2)函數(shù)與函數(shù)圖像有兩個不同交點，（i）求a的取值范圍；（ii）若，證明：．【應(yīng)用二】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決單調(diào)性等方面的恒成立問題的問題函數(shù)的單調(diào)性是作為函數(shù)的一個重要的性質(zhì)，也是高考中?？疾榈囊粋€性質(zhì)。主要是考查給定區(qū)間的單調(diào)性?！纠?.1】（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù).(1)若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；【思維提升】導(dǎo)數(shù)中考查單調(diào)性的大題，往往是考查含參的給定區(qū)間的單調(diào)性。解決此題的關(guān)鍵要注意：(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件．(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充要條件．【變式2.1】（（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知函數(shù).(1)若在單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；【變式2.2】（（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.【變式2.3】（（2022·江蘇海安·高三期末）已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a(1)若是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若，是函數(shù)的兩個不同的零點，求證：1<x1+x【應(yīng)用三】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決零點、極值點問題問題函數(shù)的極值問題，既是重點題型又是難點題型，遇到此類題，我們一般的解題思路就是轉(zhuǎn)為函數(shù)或者方程根與最值得問題?！纠?】【2021年甲卷理科】已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【思維提升】研究函數(shù)的零點與極值點問題最常用的方法就是轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的根的問題。經(jīng)常運(yùn)用以下的方法：方法一：將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.【變式3.1】（2022·廣東潮州·高三期末）已知函數(shù)f(x)=x22(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證:f(【變式3.2】（2022·廣東揭陽·高三期末）已知函數(shù)f(1)若a=e，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的最值.(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【變式3.3】【2022年新高考1卷】已知函數(shù)f(x)=ex-ax(1)求a；(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【變式3.4】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．1、（2022·廣東汕尾·高三期末）已知函數(shù)fx=lnx-ax+1，(1)求曲線在點P1,f1處的切線l的方程；并證明：函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(x≠1)的圖象在直線2、（2022·廣東東莞·高三期末）已知且a≠1，函數(shù)f(x)=loga(1)若a=e，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.3、【2020年新高考1卷（山東卷）】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．4、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的兩個不同極值