2023-2024學(xué)年潮州市饒平二中高一數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2024學(xué)年潮州市饒平二中高一數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷卷面滿分150分，考試時間120分鐘2024.02一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合則（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是單調(diào)函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A．B．C． D．3．以下四個命題中，是假命題的是（）A．若，且為銳角，則B．“”是“”的必要不充分條件C．若命題：，，則的否定為：，D．若，則4．函數(shù)圖象的大致形狀是（

）A．

B．

C．

D．

5．已知實數(shù)，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．6．已知，則的值為（

）A． B． C． D．7．對于直角三角形的研究，中國早在商朝時期，就有商高提出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯才提出并證明了勾股定理．如果一個直角三角形的斜邊長等于5，則這個直角三角形周長的最大值等于（

）．A． B．10 C． D．8．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．最小正周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減C．最大值為2 D．圖象關(guān)于直線對稱10．對于給定的實數(shù)，關(guān)于實數(shù)的一元二次不等式的解集可能為（）A． B．C． D．11．已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：；，當時，都有；.則下列選項成立的是（

）A．B．若，則C．若，則D．，，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，并且當時，，那么.13．當（填入恰當?shù)臄?shù)）時，函數(shù)在上遞增．14．在中，已知邊上的高等于，當角時，；當角時，的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．求以下式子的值(1)；(2)16．（1）已知角終邊上有一點的坐標是，其中，求的值．（2）證明恒等式：．17．研究表明，過量的碳排放會導(dǎo)致全球氣候變暖等問題，因而減少碳排放具有深遠的意義．為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，2023年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備．通過市場分析，全年投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)（單位：百輛）新能源汽車需另投入成本（單位：萬元），且如果每輛車的售價為5萬元，且假設(shè)全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完．（注：利潤＝銷售額－成本）(1)求2023年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．18．已知函數(shù)（其中），將其圖象上所有的點向左平移個單位長度得到的新函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱．(1)求所有可能取值組成的集合；(2)若函數(shù)在單調(diào)遞減，求在的值域．19．對于定義在區(qū)間上的兩個函數(shù)和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的．(1)若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；(2)現(xiàn)在有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間．①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數(shù)與與在區(qū)間上是否“友好”．1．D【分析】根據(jù)題意，解一個一元二次不等式和一個一元一次不等式即得集合，再利用集合的交集定義即得.【詳解】由集合中不等式可解得：，即,由集合中函數(shù)有意義，可得：，，即，則.故選：D.2．A【分析】根據(jù)解析式可直接判斷出單調(diào)性和奇偶性.【詳解】對于A：為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，滿足題意；對于B：為非奇非偶函數(shù)，不合題意；對于C：為非奇非偶函數(shù)，不合題意；對于D：在整個定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，不合題意.故選：A.3．D【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系驗證選項A；根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合充分條件必要條件的定義判斷選項B；由特稱命題的否定判斷選項C；由不等式的性質(zhì)判斷選項D.【詳解】對于選項A：若，則，由為銳角，，解得，故A選項為真命題；對于選項B：因為是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件，故B選項為真命題；對于選項C：由特稱命題的否定可知：的否定為：，，故C選項為真命題；對于選項D：若，則，，故D選項為假命題.故選：D.4．A【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及特殊點即可判斷.【詳解】由題意，所以當時，單調(diào)遞增，且，當時，單調(diào)遞減，且，且當從左邊趨于0時，趨于，當從右邊趨于0時，趨于1.故選：A.5．B【分析】利用零點存在定理即可判斷出函數(shù)的零點所在的區(qū)間.【詳解】實數(shù)，在定義域上遞增，則，，，，，則，則函數(shù)在內(nèi)必有零點.故選：B6．C【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡得，再利用齊次式代入求值即可.【詳解】因為，所以得則故選：C7．C【分析】先由勾股定理得，再利用基本不等式易得，由此得到，問題得解.【詳解】不妨設(shè)該直角三角形的斜邊為，直角邊為，則，因為，所以，即，當且僅當且，即時，等號成立，因為，所以，所以該直角三角形周長，即這個直角三角形周長的最大值為.故選：C.8．D【分析】利用所給條件求出的最小正周期，再轉(zhuǎn)化到給定的函數(shù)值求范圍即可.【詳解】由，是定義在上的奇函數(shù)，可得，故的最小正周期為4，且已知，故，，，已知，則，解得.故選：D9．ABD【分析】先由，再利用函數(shù)的奇偶性定義判斷.【詳解】解：因為的定義域為，又，且，所以為偶函數(shù)，故A正確,的最大值為，故C錯誤；當時，，故的圖象關(guān)于對稱，故D正確.的最小正周期為，且當時，，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上為減函數(shù)，故B正確，故選：ABD.10．CD【分析】對進行分、和討論即可.【詳解】當時，此時解集為；當時，此時解集為；當時，此時解集為；故選：CD.11．ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性以及最值的應(yīng)用，對每個選項進行注意判斷，即可選擇.【詳解】因為函數(shù)定義在上的函數(shù)，所以由：，得函數(shù)為偶函數(shù)．又因為由知：，，當時，都有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．對：因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，即，故正確；對：因為定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減且連續(xù)，且，所以，解得或，故錯誤；對：因為，函數(shù)為偶函數(shù)，所以．因為函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，當時，令，解得；當時，令，解得，所以由，得或，故正確；對：由知：是函數(shù)的最大值，因此，，使得，故正確.故選：．12．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)的運算，以及，即可求解.【詳解】由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且時，，又由.故答案為：.13．1（答案不唯一，只需即可）【分析】由題意可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，結(jié)合單調(diào)性分析求解.【詳解】因為的單調(diào)遞增區(qū)間為，若函數(shù)在上遞增，則，可取.故答案為：1（答案不唯一，只需即可）.14．##【分析】第一空：由銳角三角函數(shù)結(jié)合兩角和的正切公式即可得解；第二空：注意到，結(jié)合基本不等式得，由此即可進一步得到，注意取等條件是否成立.【詳解】設(shè)為邊上的高，所以，如圖所示：又因為，所以，又，所以，，，所以；因為，，又，所以垂足落在線段上，故都是銳角，所以均大于0，因為，即，等號成立當且僅當，所以；所以，因為，所以，所以當且僅當時，有.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二空的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)，由此結(jié)合基本不等式以及兩角和的正切公式即可得解.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指、對數(shù)運算求解即可；（2）根據(jù)兩角和差公式運算求解即可.【詳解】（1）原式.（2）原式.16．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)角終邊上的點坐標求、，進而求即可；（2）利用二倍角正余弦公式、同角的弦切關(guān)系，即可證恒等式.【詳解】（1）當時，點到原點的距離為，由三角比的定義得：，，∴；（2）證明：．17．(1)(2)100百輛，最大利潤為1800萬元．【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)表達式結(jié)合利潤的求法即可得到函數(shù)關(guān)系；（2）分和,再分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求出其最值，再比較即可.【詳解】（1）∵∴當時，，當時，．故（2）由（1）得當時，，∴；當時，，當且僅當，即時等號成立，故．∵，故當2023年的年產(chǎn)量為100百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為1800萬元．18．(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變化得，進一步得是奇函數(shù)，由此得，結(jié)合即可得解.（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得，且，結(jié)合得，進一步得函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)有界性分析求解.【詳解】（1）由題意，將其圖象上所有的點向左平移個單位長度得到的新函數(shù)解析式為，由題意是奇函數(shù)，則，解得，且，所以所有可能取值組成的集合為.（2）由（1）可知：或，而時，有，且關(guān)于單調(diào)遞增，若函數(shù)在上關(guān)于單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知或在上單調(diào)遞減，可得，且，即，解得，又因為，則，所以，因為，則，可得，所以在的值域為．19．(1)與在區(qū)間上是“友好”的(2)①；②答案見解析【分析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設(shè)存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的