正余弦定理的應(yīng)用舉例

正余弦定理的應(yīng)用舉例

正、余弦定理的應(yīng)用舉例

知識(shí)梳理

一、解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解

二．測(cè)量的主要內(nèi)容是求角和距離，教學(xué)中要注意讓學(xué)生分清仰角、俯角、張角、視角和方位角及坡度、經(jīng)緯度等概念，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.

三．解決有關(guān)測(cè)量、航海等問題時(shí)，首先要搞清題中有關(guān)術(shù)語(yǔ)的準(zhǔn)確含義，再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示已知條件、未知條件及其關(guān)系，最后用正弦定理、余弦定理予以解決.

典例剖析

題型一距離問題

例1.如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？

解：如圖，連結(jié)，由已知，

又，是等邊三角形，

由已知，，，

在中，由余弦定理，．．

因此，乙船的速度的大小為．答：乙船每小時(shí)航行海里．

題型二高度問題

例2、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30，至點(diǎn)c處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。

解法一：由已知可得在AcD中，

Ac=Bc=30，AD=Dc=10，ADc=180-4，

=。sin4=2sin2cos2

cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15

答：所求角為15，建筑物高度為15

解法二：設(shè)DE=x，AE=h

在RtAcE中,+h=30在RtADE中,x+h=

兩式相減，得x=5,h=15在RtAcE中,tan2==

=30,=15

答：所求角為15，建筑物高度為15

解法三：設(shè)建筑物高為AE=x，由題意，得

BAc=，cAD=2，Ac=Bc=30,AD=cD=10

在RtAcE中，sin2=------①在RtADE中，sin4=,----②

②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15

答：所求角為15，建筑物高度為15

評(píng)析：根據(jù)題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要把題意中的數(shù)據(jù)在圖形中體現(xiàn)出來。

備選題角度問題

例3．如圖1-3-2，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為，距離為的處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為的方向，以的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以的速度前去營(yíng)救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間.

解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后在處靠攏漁輪，則，，又，.

由余弦定理，得

即

化簡(jiǎn)，得

解得.

由正弦定理，得

所以，方位角為.

答艦艇應(yīng)沿著方向角的方向航行，經(jīng)過就可靠近漁輪.

評(píng)析：本例是正弦定理、余弦定理在航海問題中的綜合應(yīng)用.解本題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際，找出等量關(guān)系，在畫示意圖時(shí)，要注意方向角的畫法。

點(diǎn)擊雙基

一.選擇題：

．在△ABc中，下列各式正確的是

A.ab＝sinBsinAB.asinc＝csinB

c.asin＝csinAD.c2＝a2＋b2－2abcos

解：根據(jù)正弦定理得,又sinc=sin,asin＝csinA

答案：c

．海上有A、B兩個(gè)小島相距10nile，從A島望B島和c島成60°的視角，從B島望A島和c島成75°角的視角，則B、c間的距離是

A.52nileB.103nilec.1036nileD.56nile

解：根據(jù)題意知：AB=10，A=60°,B=75°則c=45°,

a===56

答案：D

．在200米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為

A.米B.米c.200米D.200米

解：如圖，設(shè)塔高AB為h，

Rt△cDB中，cD＝200，∠BcD＝90°-60°＝30°

在△ABc中，∠ABc＝∠BcD＝30°，∠AcB＝60°-30°＝30°

∴∠BAc＝120°

∴

∴

答案：A

．某人以時(shí)速a向東行走，此時(shí)正刮著時(shí)速a的南風(fēng)，那么此人感到的風(fēng)向?yàn)?，風(fēng)速為.

答案：東南2a

．某船開始看見燈塔在南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行30nile后看見燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是.

解：103

課后作業(yè)

．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、a2＋ab＋b2，則這個(gè)三角形的最大角是

A.135°B.120°c.60°D.90°

解：根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角，可知a2＋ab＋b2所對(duì)的角為最大角，設(shè)為，則

cos==-,120°

答案：B

．如下圖，為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)

A.、a、bB.、β、a

c.a、b、γD.α、β、γ

解：根據(jù)正弦定理和余弦定理知，測(cè)量a、b、γ，利用余弦定理

可求AB的長(zhǎng)度。

答案：c

海上有A、B、c三個(gè)小島，已知A、B之間相距8nile，A、c之間相距5nile，在A島測(cè)得B島和c島的視角為60°，則B島與c島相距的nile數(shù)為

A.7B.6c.5D.4

解：根據(jù)題意知：AB=8，Ac=5,∠A=60°,根據(jù)余弦定理有Bc=8=49，Bc=7

答案：A

．在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30至點(diǎn)c處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，則等于

A．15°B．10°

c．5°D．20°

解：如圖，Bc＝cA，cD＝DA，

設(shè)AE＝h，則

∴2cos2＝，∴cos2＝

∴2＝30°，∴＝15°．

答案：A

某人朝正東方向走x后，向左轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)正好是，那么x的值為

A.B.2c.2或D.3

解：如圖，設(shè)出發(fā)點(diǎn)為A，則由已知可得

AB＝x千米，Bc＝3千米

∠ABc＝180°-150°＝30°

Ac＝，∴，

∴，

∴∠cAB＝60°或∠cAB＝120°

當(dāng)∠cAB＝60°時(shí)，∠AcB＝180°-30°-60°＝90°

x＝2千米

當(dāng)∠cAB＝120°，∠AcB＝180°-120°-30°＝30°

∴x＝Ac＝千米

答案：c

已知一塔高80，分別在塔底和塔頂測(cè)得一山的山頂?shù)难鼋欠謩e是60°和30°，則山高為

A.240B.180c.140D.120

解：D

如圖,建造一幢寬為,房頂橫截面為等腰三角形的住房,則∠ABc=,則等于時(shí),可使雨水從房頂最快流下.

A.300B.450c.600D.任意角

解：根據(jù)題意知s=AB=，加速度a=gsin.

由s=得t=,=45時(shí)t最小

答案：B

一艘船以4/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2/h,則經(jīng)過,該船的實(shí)際航程為

A.B.c.D.

解：船的實(shí)際速度是v==2,則經(jīng)過,該船的實(shí)際航程為2=6

答案：B

二．填空題

．一蜘蛛沿東北方向爬行xc捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10c捕捉到另一只小蟲，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________．

解：如圖，

∠ABc＝180°-105°＝75°

∠BcA＝180°-135°＝45°，

Bc＝10c

∴∠A＝180°-75°-45°＝60°

∴

0．坡度為45°的斜坡長(zhǎng)為100，現(xiàn)在要把坡度改為30°，則坡底要伸長(zhǎng)________．

解：如圖，DB＝100

∠BDA＝45°，∠BcA＝30°

設(shè)cD＝x

∴?tan30°＝DA?tan45°

又DA＝BD?cos45°＝100×

∴x＝-DA

＝50

＝50

答案：50

1．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在

同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與．測(cè)得∠BcD＝15°，

∠BDc＝30°，cD＝30米，并在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)?/p>

仰角為60°,則Bc=米,塔高AB=米。

解：在，，

∵

∴

在中，

∴

答案：，

三．解答題

如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救．甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里c處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援？

解：連接Bc,由余弦定理得Bc2=202+102－2×20×10cos120°=700.

于是,Bc=10?！?，∴sin∠AcB=，

∵∠AcB<90°，∴∠AcB=41°。

∴乙船應(yīng)朝北偏東41°方向沿直線前往B處救援。

3．如圖，某海島上一觀察哨在上午時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東的處，時(shí)分測(cè)得輪船在海島北偏西的處，時(shí)分輪船到達(dá)海島正西方的港口.如果輪船始終勻速前進(jìn)，求船速.

解：設(shè)，船的速度為，則，.

在中，，.

在中，，

在中，，

船的速度.

如圖，A,B,c,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座