流體力學(xué)-10相似原理和因次分析

第十章相似原理和量綱分析§10–1力學(xué)相似原理§10–2相似準(zhǔn)則數(shù)§10–3模型規(guī)律§10–4因次分析法3/14/20241第十章相似原理和量綱分析

實(shí)驗(yàn)既是發(fā)展理論的依據(jù)又是檢驗(yàn)理論的準(zhǔn)繩，解決科技問(wèn)題往往離不開(kāi)實(shí)驗(yàn)手段的配合。

a、工程性的模型實(shí)驗(yàn)。目的在于預(yù)測(cè)即將建造的大型機(jī)械或水工結(jié)構(gòu)上的流動(dòng)情況；

b、探索性的觀察實(shí)驗(yàn)。目的在于尋找未知的流動(dòng)規(guī)律，指導(dǎo)這些實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)就是相似原理和量綱分析。工程流體力學(xué)中的實(shí)驗(yàn)主要有兩種：3/14/20242§10-1

相似原理

當(dāng)設(shè)計(jì)制造某些復(fù)雜而龐大的水力機(jī)械，建造水利工程以及研究某些復(fù)雜的水力現(xiàn)象時(shí)，往往要根據(jù)相似原理，設(shè)計(jì)制造縮小了尺寸的模型。進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)模型的流動(dòng)狀況觀測(cè)來(lái)推斷實(shí)物的流動(dòng)狀況及有關(guān)數(shù)據(jù)。分析研究模型和實(shí)物間的相似關(guān)系的基本理論稱為相似理論。實(shí)物又稱為原型。

定義：3/14/20243一、幾何相似

模型參數(shù)加腳碼m

，原型參數(shù)加腳碼n表示。線性比尺為（10—1）面積比尺為（10—2）體積比尺為（10—3）原型與模型中對(duì)應(yīng)的幾何線性尺寸成比例，對(duì)應(yīng)的幾何角度相等，稱為幾何相似。定義：3/14/20244二

、運(yùn)動(dòng)相似

時(shí)間比尺為（10—4）速度比尺為（10—5）加速度比尺為（10—6）原型與模型中相應(yīng)流線幾何相似，即對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)如速度、加速度方向一致，大小成比例，稱為運(yùn)動(dòng)相似。定義：3/14/20245

三

、動(dòng)力相似密度比尺為（10—7）質(zhì)量比尺為（10—8）力的比尺為（10—9）原型與模型中對(duì)應(yīng)點(diǎn)處受力方向相同、大小成比例，稱為動(dòng)力相似。

定義：3/14/20246單位質(zhì)量比尺為（10—10）據(jù)式（10—9）可寫(xiě)即（10—11）式中，為一個(gè)無(wú)因次量，稱為牛頓數(shù)，以表示。（10—12）

就是說(shuō)，兩個(gè)幾何相似的流動(dòng)，如果動(dòng)力相似，則牛頓數(shù)必相等；反之，牛頓數(shù)相等的兩個(gè)幾何相似的流動(dòng)，必然是動(dòng)力相似的。故幾何相似僅是相似的必要條件，而運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似才是相似的充要條件。故式（10—11）變?yōu)?/14/20247§10-2

相似準(zhǔn)則數(shù)一、雷諾數(shù)

由式（10—10）知慣性力的因次為，如用T替換F，則因，故簡(jiǎn)化上式得（10—13）

式中，稱為雷諾數(shù)數(shù)。物理意義：粘性引起的內(nèi)摩擦力為，從因次上可寫(xiě)慣性力與粘性力的比。3/14/20248二、弗諾得數(shù)用以代替式（10—10）中的F，則簡(jiǎn)化后得（10—14）式中，稱為弗勞德數(shù)。物理意義：慣性力與重力之比。在具有自由表面的液流中，起主要作用的為重力在因次上為3/14/20249三、歐拉數(shù)在因次上為將其代替式（10—10）中的F時(shí)，則即式中，稱為歐拉數(shù)。物理意義：（10—15）壓力與慣性力之比。研究淹沒(méi)在流體中的物體表面上的壓力或壓強(qiáng)分布時(shí)，起主要作用的力為壓力。3/14/202410定義：

（10—16）稱為不可壓縮流體定常流動(dòng)的力學(xué)相似準(zhǔn)則。如果兩個(gè)流動(dòng)成力學(xué)相似，則它們的弗勞德數(shù)、歐拉數(shù)、雷諾數(shù)必須各自相等。于是3/14/202411四、馬赫數(shù)當(dāng)考慮流體壓縮性時(shí)，彈性力起主要作用F=EA3/14/202412五、韋伯?dāng)?shù)六、阿基米德數(shù)3/14/2024133/14/202414§10-3模型律

兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)在同一個(gè)物理現(xiàn)象中，常不能同時(shí)滿足相似關(guān)系。例如雷諾數(shù)和弗勞德數(shù)就不易同時(shí)滿足。

這在技術(shù)上很難甚至不可能做到。實(shí)際中，常常要對(duì)所研究的流動(dòng)問(wèn)題作深入的分析找出影響流動(dòng)問(wèn)題的主要作用力，滿足一個(gè)主要力的相似而忽略其它次要力的相似。欲使雷諾數(shù)相等，將有欲使弗勞德數(shù)相等，將有3/14/202415

例：對(duì)于管中的有壓流動(dòng)及潛體繞流等，只要流動(dòng)的雷諾數(shù)不是特別大，一般其相似條件依賴于雷諾準(zhǔn)則數(shù)。而行船引起的波浪運(yùn)動(dòng)、明渠水流、繞橋墩的水流、容器壁小孔射流等主要受重力影響，相似條件要保證弗勞德數(shù)相等。3/14/202416§10-4因次分析法一、定理

假定用函數(shù)（10—18）表示一個(gè)需要研究的物理規(guī)律，在一定的單位制下，這k+1個(gè)物理量都有一定的單位和數(shù)值。一物理現(xiàn)象所包含的各物理量間的函數(shù)關(guān)系，如果選用一定單位制，則其關(guān)系的函數(shù)式就確定了，若改變單位制則函數(shù)關(guān)系可能受影響。要使它不受單位制選擇的影響，必須具有特殊的函數(shù)關(guān)系的結(jié)構(gòu)形式。定理就是化有量綱的函數(shù)關(guān)系為無(wú)量綱的函數(shù)關(guān)系式的方法。3/14/202417

取對(duì)所研究的問(wèn)題有重大影響的幾個(gè)物理量。例如取作為基本單位。其中單位制需滿足：（1）基本單位應(yīng)該是各自獨(dú)立的；（2）利用這幾個(gè)基本單位應(yīng)該能夠?qū)С銎渌枰囊磺形锢砹康膯挝弧?/p>

由于研究問(wèn)題各不相同，對(duì)每種問(wèn)題起重大影響的因素自然也不同。滿足上述兩點(diǎn)要求的基本單位可以有很多種組合形式。

例如研究水頭損失及流動(dòng)阻力等問(wèn)題，其影響因素常離不開(kāi)線性尺寸，流體運(yùn)動(dòng)速度及流體密度這三個(gè)基本物理量。這三個(gè)物理量分別具有幾何學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的特性。滿足要求（1）、（2），因而以可以組成一組特殊單位制。3/14/202418

因而式（10—18）中的物理量都可以表示成這三種基本單位的一定冪次組合與一個(gè)無(wú)量綱數(shù)的乘積，即（10—19）與式中無(wú)量綱數(shù)（10—20）與

就是物理量N與基本單位制下的數(shù)值，因而在基本單位制下，式（10—18）的規(guī)律仍然不變，只是各物理量的數(shù)值有所改變。3/14/202419

于是，式（10—18）可寫(xiě)成（10—21）從右端前三項(xiàng)不難看出，其分母上的乘冪為根據(jù)式（10—20）可得3/14/202420于是或（10—22）

這樣，運(yùn)用選擇新基本單位的辦法，可使原來(lái)k+1個(gè)有量綱的物理量之間的函數(shù)式（10—18）變成k+1-3個(gè)即k-2個(gè)無(wú)量綱數(shù)之間的函數(shù)式（10—22），這就是泊金漢定理。因?yàn)榻?jīng)常用π表示無(wú)量綱數(shù)，故又簡(jiǎn)稱π定理。

因?yàn)棣惺菬o(wú)量綱數(shù)，因而式（10-20）右端分子分母的量綱必須相同，對(duì)每個(gè)物理量πi列出其分子分母量綱的冪次方程，聯(lián)立求解，即可確定式（10—22）中的所有量綱數(shù)。3/14/202421二、量綱分析的應(yīng)用

[解]

根據(jù)題意知選擇作為基本單位，于是[例題10—1]管中流動(dòng)的沿程水頭損失。根據(jù)實(shí)際觀測(cè)知道，管中流動(dòng)由于沿程摩擦而造成的壓強(qiáng)差與下列因素有關(guān)：管路直徑d

，管中平均速度，流體動(dòng)力粘度，管路長(zhǎng)度l

，管壁的粗糙度，流