廣東省汕頭市東安初級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省汕頭市東安初級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若（x3+）n展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（）A．210 B．120 C．461 D．416參考答案：A【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】（x3+）n展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，可得n=10．再利用通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：（x3+）n展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，∴n=10．∴的通項(xiàng)公式為：Tr+1=（x3）10﹣r=x30﹣5r，令30﹣5r=0，解得r=6．∴展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是=210．故選：A．2.計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔3年計(jì)算機(jī)價(jià)格降低，現(xiàn)在價(jià)格為8100元的計(jì)算機(jī)，9年后的價(jià)格可降為（）A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列．【分析】由題意可設(shè)經(jīng)過(guò)9年后成本價(jià)格為：8100×，可求【解答】解：由題意可得，9年后計(jì)算機(jī)的價(jià)格為：8100×=8100×=2400故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和，解題的關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用對(duì)數(shù)方程進(jìn)行求解．3.已知a＞0，函數(shù)f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由題意a＞0，函數(shù)f（x）=x3﹣ax，首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行判斷．【解答】解：由題意得f′（x）=3x2﹣a，∵函數(shù)f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立，∴a≤3，故選：D．4.雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則=(

)（A）

（B）－4

（C）4

（D）參考答案：A略5.

如圖，、分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與該雙曲線左支交于、兩點(diǎn)，若△是等邊三角形，則雙曲線的離心率為(

)A．

B．2

C．

D．參考答案：D6.已知數(shù)列與則它們所有公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（

）

參考答案：B7.給出以下命題:⑴.若,則f(x)>0；⑵.;⑶.f(x)的原函數(shù)為F(x),,且F(x)是以T為周期的函數(shù),則；其中正確命題的個(gè)數(shù)為(

)(A).1

(B).2

(C).3

(D).0參考答案：B8.某班有60名學(xué)生，其中正、副班長(zhǎng)各1人，現(xiàn)要選派5人參加一項(xiàng)社區(qū)活動(dòng)，要求正、副班長(zhǎng)至少1人參加，問(wèn)共有多少種選派方法？下面是學(xué)生提供的四個(gè)計(jì)算式，其中錯(cuò)誤的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A或，即C,D都正確，選A.考點(diǎn)：排列數(shù)組合數(shù)公式的運(yùn)用.9.若函數(shù)，若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.B.C.

D.參考答案：A10.右圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將的圖象上的所有的點(diǎn)（）．Ａ．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變Ｂ．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變Ｃ．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變Ｄ．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變參考答案：A解法1．如圖，平移需滿足，解得．因此首先將的圖象上的所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，又因?yàn)樵摵瘮?shù)的周期為，于是再需把的圖象上的所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍．故選Ａ．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓與軸的交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別是3和1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________參考答案：略12.要做一個(gè)母線長(zhǎng)為30cm的圓錐形的漏斗，要使其體積最大，則其底面半徑為

cm．參考答案：10

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】設(shè)出圓錐的高，求出底面半徑，推出體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出體積的最大值時(shí)的高即可．【解答】解：設(shè)圓錐的高為hcm，∴V圓錐=π×h，∴V′（h）=π．令V′（h）=0，得h2=300，∴h=10（cm）當(dāng)0＜h＜10時(shí)，V′＞0；當(dāng)10＜h＜30時(shí)，V′＜0，∴當(dāng)h=10，r=10cm時(shí)，V取最大值．故答案為10．13.已知，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，且，則的軌跡方程為_(kāi)_______

參考答案：14.設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，若，則

.參考答案：15.為了了解某地居民每戶月均用電的基本情況,

抽取出該地區(qū)若干戶居民的用電數(shù)據(jù),得到頻率分布直方圖如圖所示,若月均用電量在區(qū)間上共有150戶,則月均用電量在區(qū)間上的居民共有

戶.

參考答案：300略16.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為_(kāi)__________．參考答案：6a2π略17.給出以下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的對(duì)稱中心是②若不等式對(duì)任意的x∈R都成立，則；③已知點(diǎn)與點(diǎn)Q(l,0)在直線兩側(cè)，則；④若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后變?yōu)榕己瘮?shù)，則的最小值是．其中正確的結(jié)論是____________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．

參考答案：③④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn).（1）求證：PB∥平面EFG；（2）求異面直線EG與BD所成角的余弦值；（3）在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得A點(diǎn)到平面EFQ的距離為，若存在，求出CQ的值？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解法一：（1）取AB的中點(diǎn)H，連接GH，HE，∵E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)，∴GH∥AD∥EF，∴E、F、H、G四點(diǎn)共面.又H為AB的中點(diǎn)，∴EH∥PB.又EH面EFG，PB平面EFG，∴PB∥平面EFG.（4分）（2）取BC的中點(diǎn)M，連接GM、AM、EM，則GM∥BD，∴∠EGM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EG與BD所成的角.在Rt△MAE中，EM＝＝，同理EG＝，又GM＝MD＝∴在△MGE中，cos∠EGM＝＝＝，故異面直線EG與BD所成角的余弦值為.（8分）（3）假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足題設(shè)條件，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥AB于R，連接RE，則QR∥AD.∵四邊形ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，∴AD⊥AB，AD⊥PA.又AB∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB.又∵E、F分別是PA、PD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB.過(guò)A作AT⊥ER于T，則AT⊥平面EFQ，∴AT就是點(diǎn)A到平面EFQ的距離.設(shè)CQ＝x(0≤x≤2)，則BR＝CQ＝x，AR＝2－x，AE＝1，在Rt△EAR中，AT＝＝＝解得x＝.故存在點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝時(shí)，點(diǎn)A到平面EFQ的距離為（13分）

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1），G（1，2，0）.（1）∵PB＝（2，0，－2），F(xiàn)E＝（0，－1，0），F(xiàn)G＝（1，1，－1），設(shè)PB＝sFE＋tFG，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，

∴

解得s＝t＝2.

∴PB＝2FE＋2FG又∵FE與FG不共線，∴PB，F(xiàn)E與FG共面.∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG.（4分）（2）∵EG＝（1，2，－1），BD＝（－2，2，0）.∴cos＜EG，BD＞＝＝＝故異面直線EG與BD所成的角的余弦值為（8分）（3）假設(shè)線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足題設(shè)條件，令CQ＝m(0≤m≤2)，則DQ＝2－m，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2－m，2，0）∴EQ＝（2―m，2，―1）而EF＝（0，1，0），設(shè)平面EFQ的法向量為n＝(x，y，z)，則∴令x＝1，則n＝（1，0，2－m），又AE＝（0，0，1），∴點(diǎn)A到平面EFQ的距離d＝＝＝即(2－m)2＝，∴m＝或m＝，又m＝＞2不合題意，舍去.故存在點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝時(shí)，點(diǎn)A到平面EFQ的距離為.（13分）略19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5S：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】利用平方關(guān)系可得曲線C的普通方程為（x﹣1）2+y2=7，再利用互化公式可得曲線C的極坐標(biāo)方程．【解答】解：∵曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），得曲線C的普通方程為（x﹣1）2+y2=7，得曲線C的極坐標(biāo)方程為：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=7，整理得：ρ2﹣2ρcosθ﹣6=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（1）（2）沒(méi)有解：(1)由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋，代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.①直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>，即k的取值范圍為∪.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，③而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，所以＋與共線等價(jià)于x1＋x2＝－(y1＋y2)．將②③代入上式，解得k＝.由(1)知k<－或k>，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k.21.（11分）已知斜率k=且過(guò)點(diǎn)A（7，1）的直線l1與直線l2：x+2y+3=0相交于點(diǎn)M．（Ⅰ）求以點(diǎn)M為圓心且過(guò)點(diǎn)B（4，﹣2）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程C；（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)N（4，2）且與圓C相切的直線方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）利用點(diǎn)斜式，可得直線l1的方程，聯(lián)立直線l2的方程可得圓心M坐標(biāo)，由兩點(diǎn)之間距離公式，求出半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）分斜率不存在和斜率存在兩種情況兩種情況，分別求出與圓C相切的直線方程，綜合可得答案．【解答】（本小題滿分11分）解：（Ⅰ）依題意得，直線l1的方程為，即x﹣2y﹣5=0．（2分）由，解得．即點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（1，﹣2）．設(shè)圓C的半徑為r，則r2=|BM|2=（4﹣1）2+（﹣2+2）2=9．（5分）所以，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y+2）2=9．

（6分）（Ⅱ）①因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)B（4，﹣2），所以直線x=4為過(guò)點(diǎn)N（4，2）且與圓C相切的直線．（8分）②設(shè)過(guò)點(diǎn)N（4，2）且與圓C相切的直線方程的斜率為k1，則直線方程為k1x﹣y+2﹣4k1=0．（9分）由，得，即7x﹣24y+20=0是圓C的一條切線方程．（10分）綜上，過(guò)點(diǎn)N（4，2）且與圓C：（x﹣1）2+（y+2）2=9相切的直線方程為7x﹣24y+20=0和x=4．（11分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，直線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線