廣東省佛山市南海區(qū)2020-2021學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷

佛山市南海區(qū)20202021學年第二學期期末考試高一數(shù)學試題2021年7月本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生要務(wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項目．2．選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答案代號填在答題卷對應(yīng)的空格內(nèi)．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．請考生保持答題卷的整潔．考試結(jié)束后，將答題卷交回．第1卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z＝2i（1﹣i）的虛部是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣22．要得到函數(shù)y＝cos（2x+3）的圖象，只要將函數(shù)y＝cos2x的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移3個單位C．向左平移3個單位 D．向右平移個單位3．棉花的纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標，在一批棉花中隨機抽到了60根棉花的纖維長度（單位：mm），按從小到大排序結(jié)果如下：252833505258596061628286113115140143146170175195202206233236238255260263264265293293294296301302303305305306321323325326328340343346348350352355357357358360370380383385．請你估算這批棉花的第75百分位數(shù)是（）A．334 B．327 C．328 D．3294．在四邊形中，若．則（）A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形5若函數(shù)的最大值為1．則實數(shù)（）A．1 B． C．3 D．6．，為平面向量，，，則，夾角的余法值等于（）A． B． C． D．7．中，，，則（）A． B． C． D．或8．設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，。則的最小正周期為（）A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分）．9．某城市為促進家庭節(jié)約用電，計劃制定階梯電價，階梯電價按年月均用電量從低到高分為一、二、三、四檔，屬于第一檔電價的家庭約占10%，屬于第二檔電價的家庭約占40%．屬于第三檔電價的家庭約占30%，屬于第四檔電價的家庭約占20%．為確定各檔之間的界限，從該市的家庭中抽查了部分家庭，調(diào)查了他們上一年度的年月均用電量（單位：千瓦時），由調(diào)查結(jié)果得下面的直方圖．由此直方圖可以做出的合理判斷是（）A．年月均用電量不超過80千瓦時的家庭屬于第一檔 B．年均用電量低于200千瓦時，且超過80千瓦時的家庭屬于第二檔 C．年月均用電量超過240千瓦時的家庭屬于第四檔 D．該市家庭的年月均用電量的平均數(shù)大于年月均用電量的中位數(shù)10．已知m，n是互不重合的直線，α，β是互不重合的平面，下列四個命題中正確的是（）A．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n C．若m⊥α，m⊥n，α∥β，則n∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β11．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命題正確的是（）A．AB與B1D所成的角為30° B．BA1與B1D1所成的角為60° C．A1B與平面A1DC所成的角為30° D．平面A1BD與平面ACC1A1所成的二面角是直二面角12．設(shè)有下面4個命題，正確的是（）A．若復數(shù)滿足，則；B．若復數(shù)滿足，則；C．若復數(shù)，滿足，則；D．若復數(shù)滿足，則．三、填空題（本題共4小題，征小題5分，共20分）13．一個正方體的頂點都在半徑為R的球面上，則該正方體的體積為．14．農(nóng)場種植的甲，乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量如表：品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲/kg800820800750810820乙/kg790860850750760790那種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定的是（填甲或乙）．15．寫出一個最小正周期為π的奇函數(shù)f（x）＝．（寫一個即可）16．如圖，菱形的邊長為1，，是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點．則______，的余弦值為______．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本題滿分10分）在條件：①，②③，．且，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中：中，內(nèi)角，，所對邊長分別是，，．若，，______。求的面積．（選擇多個條件時，按你第一個選擇結(jié)果給分）18．（本題滿分12分）一木塊如圖所示，點在平面內(nèi)，過點將木塊鋸開：（I）使直線和平行于截面，在木塊表面應(yīng)該怎樣畫線（保留作圖痕跡，簡要說明）．（II）若是的重心，在條件（I）下求鋸開的兩個多面體的體積之比，19．（本題滿分12分）在一個文藝比賽中，10名專業(yè)評委和10名觀眾代表各組成一個評委小組。給參賽選手甲，乙打分如下：（用小組，小組代表兩個打分組）小組：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5小組：甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.9（Ⅰ）選擇一個可以度量打分相似性的量，并對每組評委的打分計算度量值，根據(jù)這個值判斷小組與小組那個更專業(yè)？（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果，計算專業(yè)評委打分的參賽選手甲、乙的平均分；（Ⅲ）若用專業(yè)評委打分的數(shù)據(jù)．選手的最終得分為去掉一個最低分和一個最高分之后．剩下8個評委評分的平均分．那么，這兩位選手的最后得分是多少？若直接用10位評委評分的平均數(shù)作為選手的得分，兩位選手的排名有變化嗎？你認為哪種評分辦法更好？（只判斷不說明）．（以上計算結(jié)果保留兩位小數(shù)）20．（本題滿分12分）如圖，在邊長為2的正方形中（圖1）．點是中點，點是中點，將，，分別沿，，折起．使，，三點重合于點（圖2）（Ⅰ）求證：（Ⅱ）設(shè)是的中點，求直線與平面所成角的正弦值．21．（本題滿分12分）如圖，已知直線．垂直于直線，，．點是的中點，是上一動點，作，且使與直線交于，設(shè)．（Ⅰ）寫出的周長關(guān)于角的函數(shù)解析式；（Ⅱ）求的最小值．22．（本題滿分12分）如圖，要測量河對岸的塔高．請設(shè)計一個方案，包括：（Ⅰ）指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）：（Ⅱ）用文字和公式寫出計算的長的步驟．參考答案一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z＝2i（1﹣i）的虛部是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2解：z＝2i（1﹣i）＝2+2i，其虛部為2，故選：B．2．要得到函數(shù)y＝cos（2x+3）的圖象，只要將函數(shù)y＝cos2x的圖象（）A．向左平移個單位 B．向左平移3個單位 C．向右平移3個單位 D．向右平移個單位解：將函數(shù)y＝cos2x的圖象象左平移個單位，可得函數(shù)y＝cos（2x+3）的圖象，故選：A．3．棉花的纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標，在一批棉花中隨機抽到了60根棉花的纖維長度（單位：mm），按從小到大排序結(jié)果如下：252833505258596061628286113115140143146170175195202206233236238255260263264265293293294296301302303305305306321323325326328340343346348350352355357357358360370380383385．請你估算這批棉花的第75百分位數(shù)是（）A．334 B．327 C．328 D．329解：因為60×0.75＝45，且第45個數(shù)據(jù)為328，第46個數(shù)據(jù)為340，所以第75百分位數(shù)為．故選：A．4．在四邊形ABCD中，若，則（）A．四邊形ABCD是矩形 B．四邊形ABCD是菱形 C．四邊形ABCD是正方形 D．四邊形ABCD是平行四邊形解：∵，＝+，∴＝，∴ABDC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．故選：D．5．若函數(shù)的最大值為1，則實數(shù)m＝（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3解：＝＝＝+m，當（k∈Z），函數(shù)的最大值為2+m＝1，解得m＝﹣1．故選：B．6．平面向量，已知＝（4，3），＝（3，18），則夾角的余弦值等于（）A． B． C． D．解：設(shè)＝（x，y），∵a＝（4，3），2a+b＝（3，18），∴∴cosθ＝＝，故選：C．7．△ABC中，，，則cosA＝（）A． B． C． D．﹣或解：∵，又∵C∈（0，π），∴＝，∵sinC＞sinB，∴B必為銳角，即，∴＝，∴cosA＝cos[π﹣（B+C）]＝﹣cos（B+C）＝﹣cosBcosC+sinBsinC＝．故選：A．8．設(shè)函數(shù)f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的圖象大致如圖，則f（x）的最小正周期為（）A． B． C． D．解：由圖象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）＝，排除A，D；由圖象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，即為﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）若選B，即有ω＝＝，由﹣×+＝2kπ+，可得k不為整數(shù)，排除B；若選C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．故選：C．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分）．9．某城市為促進家庭節(jié)約用電，計劃制定階梯電價，階梯電價按年月均用電量從低到高分為一、二、三、四檔，屬于第一檔電價的家庭約占10%，屬于第二檔電價的家庭約占40%．屬于第三檔電價的家庭約占30%，屬于第四檔電價的家庭約占20%．為確定各檔之間的界限，從該市的家庭中抽查了部分家庭，調(diào)查了他們上一年度的年月均用電量（單位：千瓦時），由調(diào)查結(jié)果得下面的直方圖．由此直方圖可以做出的合理判斷是（）A．年月均用電量不超過80千瓦時的家庭屬于第一檔 B．年均用電量低于200千瓦時，且超過80千瓦時的家庭屬于第二檔 C．年月均用電量超過240千瓦時的家庭屬于第四檔 D．該市家庭的年月均用電量的平均數(shù)大于年月均用電量的中位數(shù)解：對于A，年月均用電量不超過80千瓦時的家庭的頻率為0.0025×40＝0.1，屬于第一檔，故選項A正確；對于B，年均用電量低于200千瓦時，且超過80千瓦時的家庭的頻率為0.0040×40+0.0060×40+0.0045×40＝0.58＞0.50，不屬于第二檔，故選項B錯誤；對于C，年月均用電量超過240千瓦時的家庭的頻率為0.0020×40+0.0010×40×3＝0.20，屬于第四檔，故選項C正確；對于D，由頻率分布直方圖可知，該組數(shù)據(jù)多集中在200以前的小數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)應(yīng)該較小，平均數(shù)因受極大值的影響，平均數(shù)應(yīng)該大于中位數(shù)，故選項D正確．故選：ACD．10．已知m，n是互不重合的直線，α，β是互不重合的平面，下列四個命題中正確的是（）A．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n C．若m⊥α，m⊥n，α∥β，則n∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β解：對于A，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α與β相交或平行，故A錯誤；對于B，若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則由線面平行的性質(zhì)得m∥n，故B正確；對于C，若m⊥α，m⊥n，α∥β，則n∥β或n?β，故C正確；對于D，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正確．故選：BD．11．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命題正確的是（）A．AB與B1D所成的角為30° B．BA1與B1D1所成的角為60° C．A1B與平面A1DC所成的角為30° D．平面A1BD與平面ACC1A1所成的二面角是直二面角解：不妨設(shè)，正方體的邊長為1，對于A，因為AB∥A1B1，所以AB與B1D所成的角，即A1B1與B1D所成的角，即∠A1B1D，又，故A錯誤；對于B，因為BD∥B1D1，所以BA1與B1D1所成的角，即BA1與BD所成的角，即∠DBA1，又△BDA1是等邊三角形，所以∠DBA1＝60°，故B正確；對于C，因為A1D∥B1C，所以A1，D，B1，C四點共面，連接BC1交CB1于點M，所以BC1⊥CB1，因為A1B1⊥平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，又A1B1，CB1?平面BCC1B1且A1B1∩CB1＝B1，所以BC1⊥平面A1DCB1，即BM⊥平面A1DCB1，所以直線BA1與平面A1DC所成的角，即∠BA1M，又A1M?平面BCC1B1，所以BM⊥A1M，因為，又∠BA1M為銳角，所以∠BA1M＝30°，故C正確．對于D，因為AA1⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，又BD⊥AC，且AA1，AC?平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面ACC1A1，又BD?平面A1BD，根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面A1BD⊥平面ACC1A1，故D正確．故選：BCD．12．設(shè)有下面4個命題，正確的是（）A．若復數(shù)z滿足，則z∈R B．若復數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R C．若復數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝ D．若復數(shù)z滿足z∈R，則∈R解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，設(shè)z＝a+bi，則＝＝（a﹣bi），若，必有b＝0，則z∈R，A正確；對于B，若z＝i，則z2＝i2＝﹣1∈R，B錯誤；對于C，若z1＝i，z2＝﹣2i，則z1z2＝2∈R，C錯誤；對于D，設(shè)z＝a+bi，若復數(shù)z滿足z∈R，則b＝0，則＝a，必有∈R，D正確；故選：AD．三、填空題（本題共4小題，征小題5分，共20分）13．一個正方體的頂點都在半徑為R的球面上，則該正方體的體積為．解：設(shè)正方體的棱長為a，所以a2+a2+a2＝（2R）2，則，所以，所以．故答案為：．14．農(nóng)場種植的甲，乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量如表：品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲/kg800820800750810820乙/kg790860850750760790那種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定的是甲（填甲或乙）．解：由表中的數(shù)據(jù)，可得甲的平均產(chǎn)量＝，甲的方差???+（820﹣800）2]≈566.67，乙的平均產(chǎn)量，乙的方差+????+（790﹣800）2≈1733.33，甲乙的平均產(chǎn)量相等，甲的方差比乙的小，根據(jù)方差的定義，甲的產(chǎn)量波動小，甲穩(wěn)定．故答案為：甲．15．寫出一個最小正周期為π的奇函數(shù)f（x）＝sin2x．（寫一個即可）解：寫出一個最小正周期為π的奇函數(shù)為f（x）＝sin2x，故答案為：sin2x．16．如圖，菱形ABCD的邊長為1，∠BAD＝60°，E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M，則＝，∠EMF的余弦值為﹣．解：根據(jù)題意，菱形ABCD的邊長為1，∠BAD＝60°，則∠ABC＝120°，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，則＝，則＝+＝+，則||2＝2+?+2＝，故||＝，設(shè)∠EMF＝θ，即和的夾角為θ，即和的夾角為θ，E是AB的中點，則＝，＝﹣＝﹣，則||2＝|﹣|2＝2﹣?+2＝，則||＝；?＝（﹣）?（+）＝（﹣）?（+）＝×2﹣×2﹣?＝﹣，則cosθ＝＝＝﹣，即∠EMF的余弦值為﹣；故答案為：，﹣．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．在條件：①acosC+asinC﹣b﹣c＝0，②（c﹣b）2＝a2﹣bc，③＝（a，b），＝（cosA，sinB），且∥；這三個條件中任選一個，補充在下面問題中：△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，若b＝2，c＝，____．求△ABC的面積．解：選擇條件①：由正弦定理知，，∵acosC+asinC﹣b﹣c＝0，∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinC＝sinAcosC+cosAsinC，化簡得，sinAsinC﹣sinC＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴sinA﹣1＝cosA，即2sin（A﹣）＝1，∵A∈（0，π），∴A﹣＝，即A＝，∴sinA＝，∴△ABC的面積S＝bcsinA＝×2××＝．選擇條件②：∵（c﹣b）2＝a2﹣bc，∴b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理知，cosA＝＝＝，∵A∈（0，π），∴sinA＝，∴△ABC的面積S＝bcsinA＝×2××＝．選擇條件③：∵∥，∴asinB＝bcosA，由正弦定理知，＝，∴sinAsinB＝sinBcosA，∵sinB≠0，∴sinA＝cosA，即tanA＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝，sinA＝，∴△ABC的面積S＝bcsinA＝×2××＝．18．一木塊如圖所示，點P在平面VAC內(nèi)，過點P將木塊鋸開．（Ⅰ）使直線VB和VC平行于截面，在木塊表面應(yīng)該怎樣畫線（保留作圖痕跡，簡要說明）．（Ⅱ）若P是△VAC的重心，在條件（Ⅰ）下求鋸開的兩個多面體的體積之比，解：（Ⅰ）過平面VAC內(nèi)一點P作直線DE∥VC，交VA于D，交AC于E；過平面VBA內(nèi)一點D作直線DF∥VB，交AB于F，則DE，DF所確定的截面DEF為所求，如圖所示：（Ⅱ）若P是△VAC的重心，則△DEF與△VCB的相似比為，所以三棱錐A﹣DEF與三棱錐A﹣VCB的體積比為＝，所以鋸開的兩個多面體的體積之比：（1﹣）＝8：19．19．在一個文藝比賽中，10名專業(yè)評委和10名觀眾代表各組成一個評委小組．給參賽選手甲，乙打分如下：（用小組A，小組B代表兩個打分組）小組A：甲：7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.5乙：7.07.87.87.88.08.08.38.38.58.5小組B：甲：7.47.57.57.68.08.08.28.99.09.0乙：6.97.57.67.87.88.08.08.59.09.9（Ⅰ）選擇一個可以度量打分相似性的量，并對每組評委的打分計算度量值，根據(jù)這個值判斷小組A與小組B那個更專業(yè)？（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果，計算專業(yè)評委打分的參賽選手甲、乙的平均分；（Ⅲ）若用專業(yè)評委打分的數(shù)據(jù)．選手的最終得分為去掉一個最低分和一個最高分之后．剩下8個評委評分的平均分．那么，這兩位選手的最后得分是多少？若直接用10位評委評分的平均數(shù)作為選手的得分，兩位選手的排名有變化嗎？你認為哪種評分辦法更好？（只判斷不說明）．（以上計算結(jié)果保留兩位小數(shù)）解：（Ⅰ）對于小組A，＝（7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.5）＝8.1，＝[（7.5﹣8.1）2+（7.5﹣8.1）2+（7.8﹣8.1）2+（7.8﹣8.1）2+（8.0﹣8.1）2+（8.0﹣8.1）2+（8.2﹣8.1）2+（8.3﹣8.1）2+（8.4﹣8.1）2+（9.5﹣8.1）2]＝＝0.302．小組B：＝（7.4+7.5+7.5+7.6+8.0+8.0+8.2+8.9+9.0+9.9）＝8.2，＝[（7.4﹣8.2）2+（7.5﹣8.2）2+（7.5﹣8.2）2+（7.6﹣8.2）2+（8.0﹣8.2）2+（8.0﹣8.2）2+（8.2﹣8.2）2+（8.9﹣8.2）2+（9.0﹣8.2）2+（9.9﹣8.2）2]＝，∵0.302＜0.608，∴小組A是專業(yè)評委．（Ⅱ）＝（7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.5）＝8.1，＝（7.0+