【2023小升初】最佳對策問題（思維提高）-小升初數(shù)學(xué)思維拓展卷（通用版）

最佳對策問題

—.填空題（共30小題）

1.有老兩口帶著兒子、女兒和一條狗出外旅行，途中要過一條河，渡口有一只空船，最多

能載50千克。而老兩口各重50千克，兒子和女兒各重25千克，狗重10千克，他們要

安全過河，至少需要過河次。（一去一回算兩次）

2.有一個兩人游戲：他們輪流說1~6中的某個自然數(shù)，然后把說出的數(shù)依次相加，誰說的

數(shù)加起來后得到的和是100,誰就獲勝。如果春春先報數(shù)，那么為了保證獲勝，春春第一

次說的數(shù)必須是。

3.61根小棒，兩人輪流拿，規(guī)定每人每次至少拿1根，最多拿3根，直到拿完為止，誰拿

到最后一根，誰就獲勝.如果甲先拿，甲第一次要拿根小棒，才能保證獲勝.

4.在放置有若干小球的一排木格中，甲乙兩人輪流移動小球，移動的規(guī)則為：每人每次可

以選擇某一木格中的任意數(shù)目（至少1個）的小球，并將其移動到該木格右邊緊鄰的那

一木格中；當所有小球全部移動到最右端的木格中時，游戲結(jié)束，移動最后一個小球的

一方獲勝.

面對如圖所示的局面（格中的數(shù)字代表小球的數(shù)目，木格下方的數(shù)字表示木格編號），

先手有必勝策略，那么，為確保獲勝，先手第一步應(yīng)該移動號木格中的個

小球.

—

265

32IO

5.甲、乙兩人輪流在黑板上寫不超過10的自然數(shù)，規(guī)定每人每次只能寫一個數(shù)，并禁止寫

黑板上數(shù)的約數(shù)，最后不能寫者敗.若甲先寫，并欲勝，則甲的寫法是.

6.藍貓和淘氣玩玻璃球游戲，有50個小格排成1排，把玻璃球放在左邊第一個小格中，藍

貓和淘氣輪流移動玻璃球，每次移動，可以將玻璃球向右移動1個小格或者2個小格，

將玻璃球恰好移到最右邊的第50個小格的獲勝.如果藍貓先移動，有必勝策略.

7.在一個擺滿棋子的長方形棋盤中，甲、乙兩人輪流拿取棋子，規(guī)則為：在某行或某列中，

取走任意連續(xù)放置的棋子（即不能跨空格拿?。?，不允許不取，也不能在多行（多列）中

拿取.當棋盤中所有棋子被取盡時游戲結(jié)束.取走最后一顆棋子的一方獲勝.面對如圖

所示的棋盤，先手有必勝策略.先手第一步應(yīng)該取走（寫出所有的正確方案），

才能確保獲勝.

???7

￥￥

8.甲、乙兩人玩井字棋游戲，輪流在一個3X3的方格棋盤內(nèi)畫符號，甲畫“O”先走，乙

畫“X”后走，誰能將棋盤的一整行，一整列或一整條對角線的3個格都畫上自己的符

號，誰就贏.如果前4步甲乙所下位置如圖1所示，那么甲下一步應(yīng)該下在號位

9.在放置有若干小球的一排木格中，甲乙兩人輪流移動小球，移動的規(guī)則為：每人每次可

以選擇某一木格中的任意數(shù)目的小球，并將其移動到該木格右邊緊鄰的那一木格中；當

所有小球全部移動到最右端的木格中時，游戲結(jié)束，移動最后一個小球的一方獲勝.面

對如圖所示的局面（每個木格中的數(shù)字代表小球的數(shù)目，木格下方的數(shù)字表示木格編號）,

先手必勝策略，那么，為確保獲勝，先手第一步應(yīng)該移動號木格中的個

小球.

∣s∣7'lI

32∣<*

10.在一個擺滿棋子的正方形棋盤中，甲、乙兩人輪流拿取棋子，規(guī)則為：在某行或某列中，

取走任意連續(xù)放置的棋子（即不能跨空格拿?。?，不允許不取，也不能在多行（多列）中

拿取，當棋盤中所有棋子被取盡時游戲結(jié)束.取走最后一棵棋子的一方獲勝.

面對如圖所示的棋盤，先手有必勝策略，先手第一步應(yīng)該取走（寫出所有的正確

方案），才能確保獲勝.

11.甲、乙兩人輪流從1~17這17個整數(shù)中選數(shù)，規(guī)定：不能選雙方已選過的數(shù)，不能選

已選數(shù)的2倍，不能選己選數(shù)的12,誰沒有數(shù)可選誰就輸，現(xiàn)在甲已選8,乙要保證自

己必勝，乙接著應(yīng)該選的數(shù)是.

12.如圖是一個棋盤，開始時，警察在位置A,小偷在位置B.雙方交替走棋，警察先走,

每次必須沿著線走一步.那么警察至少需要走步才能保證抓住小偷.

H

13.這是一種兩人玩的游戲.兩位選手輪流在一條20X1的矩形長帶上移動籌碼.每一輪都

可將四個籌碼的任意一個向右移動任意方格.但不能放在其他籌碼上面或超過其他籌

碼.開始時如圖中看到的各籌碼位置，贏家是最后移動籌碼者.（他移動后，四個籌碼恰

好占據(jù)了長帶右端的四個放個，不可能在移動了）.先移動者應(yīng)將向右移動

格，才能保證獲勝.

IAllllIBllIIlllCIIlDIll

14.甲和乙在一張20X15的棋盤上玩游戲，開始時把一個皇后放在棋盤除了右上角外的某

格內(nèi)；從甲開始，兩個人輪流挪動皇后，每次可以按直線或斜線走若干格，但只能往右、

上或右上走；誰把皇后挪到了右上角的格子，誰就獲勝.那么這個棋盤上，有個

起始格是讓甲有必勝策略的.

15.有100個棋子，兩人輪流取棋子，每次允許取其中1個或2個，誰最后把棋子取完就算

獲勝。如果你先取，那么第一次你取個，才能保證獲勝。

16.有一個兩人游戲,游戲道具為一支筆和一張白紙,游戲過程為兩人輪流在白紙上寫數(shù)字、

用抓閹或者猜叮殼等方式確定誰先寫.把先寫的一方稱為先手方，后寫的一方稱為后手

方，游戲規(guī)則如下：先手方首先選擇在白紙上寫下1或2,先手方完成之后，后手方在先

手方寫下的數(shù)字上選擇加1或者加2,將選擇后計算的結(jié)果寫在白紙上，雙方依照這個規(guī)

則輪流一次寫下自己的數(shù)字，先寫到22的人獲勝.這個游戲先手方是有必勝策略的，如

果要取勝，先手方從第一輪開始到取勝分別寫下的數(shù)字為.

17.有一個兩人游戲，兩堆黑（5顆）白（8顆）圍棋子是游戲道具，用抓閹或猜叮殼等方

式確定誰先走，把先走的一方稱為先手方，后走的一方稱為后手方，游戲規(guī)則如下：先

手方必須在兩堆棋子中選定一堆，至少選擇一顆取走，也可以選擇將這一堆全部棋子取

走；先手方完成之后，后手方開始按照同樣的規(guī)則取圍棋子；雙方輪流抓取，直到取完

所有棋子.取走最后一顆圍棋子的人獲勝.這個游戲先手方是有必勝策略的，如果要取

勝，先手方在一開始應(yīng)該取走.

18.有一個兩人游戲，22顆圍棋子是游戲道具，用抓閹等方式確定誰先走，把先走的一方

稱為先手方，后走的一方稱為后手方，游戲規(guī)則如下：先走方必須選擇拿走1顆或2顆

圍棋子；先手完成后，后手方開始按照同樣的規(guī)則取圍棋子：雙方輪流抓取，直到取完

所有的棋子.取走最后一顆圍棋子的人獲勝.這個游戲先手方是有必勝策略的，如果要

取勝，先手方應(yīng)該留給對手的圍棋子數(shù)目從第一輪開始到取勝依次為.

19.有IOO個棋子，兩人輪流取棋子，每次允許取其中1個、2個或5個，誰最后把棋子取

完就算獲勝。如果你先取，那么第一次你取個，才能保證獲勝。

20.甲、乙兩人輪流往立方體的任意一個頂點填入1~20中的一個數(shù)（不能重復(fù)），要求每

次填的數(shù)一定比3個相鄰位置中已有的數(shù)大，誰無法填出誰負.甲先填，第一次填了17

則如下：從一堆中可以取任意個石子；從兩堆中必須取相同個數(shù)的石子，不能不取.誰

先取到最后一顆誰獲勝，現(xiàn)在，甲先取，那么當甲第一次取成時，甲必勝.

22.有一個兩人游戲，兩堆黑（10顆）白（21顆）棋子是游戲道具，用抓閹或猜叮殼等方

式確定誰先走，把先走的一方稱為先手方，后走的一方稱為后手方，游戲規(guī)則如下：先

手方必須在兩堆棋子中選定一堆，至少選擇一顆取走，也可以選擇將這一堆全部棋子取

走；先手方完成之后，后手方開始按照同樣的規(guī)則取圍棋子；雙方輪流抓取，直到取完

所有棋子.取走最后一顆圍棋子的人獲勝.這個游戲先手方是有必勝策略的，如果要取

勝，先手方在一開始應(yīng)該取走.

23.有一個兩人游戲，13顆圍棋子是游戲道具，用抓闡等方式確定誰先走，把先走的一方

稱為先手方，后走的一方稱為后手方，游戲規(guī)則如下：先走方必須選擇拿走1顆或2顆

圍棋子；先手完成后，后手方開始按照同樣的規(guī)則取圍棋子：雙方輪流抓取，直到取完

所有的棋子.取走最后一顆圍棋子的人獲勝.這個游戲先手方是有必勝策略的，如果要

取勝，先手方應(yīng)該留給對手的圍棋子數(shù)目從第一輪開始到取勝依次為.

24.如圖，用小正方形拼成“M”的形狀，甲、乙兩人輪流從中任選一個1X2的小長方形

涂黑（方格不能重復(fù)涂黑），輪到誰無法按要求涂黑時，就算誰輸。如果甲上來就涂黑了

1、2兩格，乙應(yīng)該先涂黑標有和的長方形才能保證獲勝。

25.有6張牌，每張牌上寫有I個數(shù)字，分別寫著數(shù)字1~6.佳佳和俊俊兩人輪流抓牌,

從佳佳開始，每人每次抓1張，把牌抓完.在抓牌的整個過程中，佳佳手中牌的數(shù)字之

和一直比俊俊的大，但俊俊抓完最后一張牌后，手中牌的數(shù)字之和反而比佳佳的大L那

么，兩人的抓牌順序共有種不同的可能.

26.豬豬俠和蜘蛛俠兩個人從1開始，依次輪流報數(shù)，每人每次只能報1個數(shù)或者2個數(shù),

誰先報到30這個數(shù)誰獲勝.報數(shù)的人有必勝的方法.（橫線上填“先”或者“后”）

27.一個箱子裝著蘋果、一個箱子裝著梨、一個箱子裝著蘋果和梨.但粗心的人把三個標簽

全貼錯了.現(xiàn)在要求只能從一個箱子中取出一只水果（看不到箱子里面的水果），就能把

標簽全部改正，應(yīng)從貼著標簽的箱子中取出水果.

28.由單位正方形組成的mX〃的矩形棋盤（其中〃1,〃為不超過10的正整數(shù)），在棋盤的

左下角單位正方形里放有一枚棋子，甲乙兩人輪流行棋.規(guī)則是：或者向上走任意多格，

或者向右走任意多格，但是不能走出棋盤或者不走.若規(guī)定不能再走者為負（即最先將

棋子移至右上角者獲勝）.那么能使先行棋的甲有必勝策略的正整數(shù)對（，〃，〃）共有

個.

29.兩人做一種游戲：輪流報數(shù)，報出的數(shù)不能超過8（也不能是0）,把兩個人報出的數(shù)連

加起來，誰報數(shù)后，加起來的數(shù)是88（或88以上的數(shù)），誰就獲勝.如果讓你先報，就

一定會贏，那么你第一個數(shù)應(yīng)該報.

30.甲、乙兩人玩游戲，他們輪流從一堆有1999個硬幣中取硬幣中取硬幣，規(guī)定每次只能

取1個或2個或3個，取到最后一個硬幣者算輸.現(xiàn)在甲先取先取硬幣.試問：甲第一

次必須取個硬幣，才能保證他一定會贏.

二.解答題（共30小題）

31.在下面棋盤起點處放上一顆棋子，甲、乙兩人輪流移動棋子，每次棋子只能向上或向右

至少移動一格，最終將棋子移到終點的人獲勝。

第一問：甲要想獲勝，到達終點前的上一步他一定要占領(lǐng)幾號格子；

第二問：依此類推，甲為了必勝，從1號到12號格子中，有幾個格子一定不能被乙占領(lǐng)。

第三問：甲為了必勝，他應(yīng)該（填“先”或“后”）移動棋子。

32.和B帥正在玩一種有向圖游戲：給定一個有向無環(huán)圖，以1號點為起點放置一枚

棋子。A〃ce和8帥兩人交替行動，每次行動都會把這枚棋子沿著有向邊進行移動，每次

只能移到一步。如果棋子己經(jīng)無法繼續(xù)移動，則當前行動的人將會被判負。AAce總是先

行動，Bob總是后行動。一個游戲過程如下：Alice把棋子從1移動2,&仍把棋子從2

移到4,無法繼續(xù)移動，所以B帥獲勝。

(1)兩人都采取最優(yōu)策略的情況下，是必勝的。

(2)可以使用GS值判斷這類游戲是先手必勝還是后手必勝，GS值的定義如下：

k是有向無環(huán)圖中的一個結(jié)點，GS(A)代表k號結(jié)點對應(yīng)的GS值，那么：

如果及無后繼結(jié)點，即經(jīng)過一條有向邊可以直接到達的點，那么GS(%)=0；

如果k有后繼結(jié)點，且所有后繼結(jié)點的GS值全為1,那么GS*)=0,否則GS(8=

Io

(i)對于題目所給的有向無環(huán)圖，GS(3)=,GS(1)=。

(ii)如果〃(n>l)個點的有向無環(huán)圖滿足：對于所有的l≤α<b≤"Ca,〃為整數(shù))，

都有一條從α到6的有向邊，GS(I)=。

(iii)對于任意的有向圖游戲，若起點為s,求證：當GS(S)=0時，&仍必勝；當GS

(S)=1時，A〃ce必勝。

33.閱讀材料：一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫作質(zhì)數(shù)，如2,3,5,7,11等

等；一個數(shù)除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，這個數(shù)叫作合數(shù)，如4,6,8,9,10等

等；1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

◎2I3卜20182019

如圖，將2019個方格排成一行，在最左邊的一個方格中放有一枚棋子。甲、乙兩人交替

移動這枚棋子，甲先乙后，每人每次可將棋子向右移動若干格，但移動的格數(shù)不能是合

數(shù)，那么，將棋子移到最右邊的格子的人獲勝；如果甲第一次走了2格，對于乙的各種

走法，甲應(yīng)分別采取怎樣的對策才能保證自己一定獲勝？并簡單說明，采取這樣的對策，

為什么甲一定獲勝？

34.兩人做一種游戲：輪流報數(shù)，報出的數(shù)只能是1,2,3,4,5,6,7,8.把兩人報出

的數(shù)連加起來，誰報數(shù)后，加起來的數(shù)是123,誰就獲勝，讓你先報，就一定會贏，那么

你第一個數(shù)報幾？

35.桌上有一堆糖果共13顆，小明和小剛輪流取糖果，小明先取，每次取的糖果數(shù)不超過

3顆，不能不取，取完為止，當糖果被取完時，取得糖果總數(shù)為偶數(shù)的人獲勝，問：誰有

必勝策略？請說明理由.

36.黑板上寫著一排相連的自然數(shù)1,2,3,51.甲、乙兩人輪流劃掉連續(xù)的3個數(shù).規(guī)

定在誰劃過之后另一人再也劃不成了，誰就算取勝.問：甲有必勝的策略嗎？

37.甲、乙兩人輪流往一張圓桌面上放同樣大小的棋子，規(guī)定每人每次只能放一枚，棋子平

放且不能有重部分，放好的棋子不再移動。誰放了最后一枚，使得對方再也找不到地方

放下一枚棋子的時候就贏了。要想獲勝，先放還是后放？怎么放？

38.有分別裝了88,99個玻璃球的兩個箱子，兩人輪流在任意的箱子中取任意的球數(shù)，規(guī)

定是一次只能在一個箱子中取球，不能一個不取，取到最后球的人為輸，你能給出方案

嗎？

39.有兩堆相等的棋子，甲、乙兩人輪流再其中任意一堆里取，數(shù)量不限制，但是不能不取，

誰取到最后一枚棋子為勝?如果甲先取，他一定能獲勝嗎？

40.如圖，將一個大三角形紙板剪成四個小三角形紙板（第一次操作），再將每個小三角形

紙板剪成四個更小的三角形紙板（第二次操作）.這樣繼續(xù)操作下去，完成第5次操作后

得到若干個小三角形紙板.甲和乙在這些小三角形紙板上涂色，每人每次可以在1至10

個小三角形紙板上涂色，誰最后涂完誰贏.在甲先涂的情況下，請設(shè)置一個方案使得甲

41.桌子上有2014枚棋子，甲乙兩人輪流取走棋子.規(guī)則是：每人每次取的個數(shù)是1枚至

5枚，誰最后取光桌上的棋子誰就獲勝.如果甲先取，那么甲先取枚棋子，才能

保證自己必勝.

42.梅川分校四（2）班舉行取桔子游戲，兩位同學(xué)輪流把100只桔子從筐內(nèi)取出.規(guī)定每

人每次至少取走1只，最多取走5只，直至把筐內(nèi)的桔子取完，誰取到筐內(nèi)剩下的最后

一只桔子誰獲勝.請你寫出取桔子獲勝的方法（步驟）.

43.現(xiàn)有棋子100顆，甲先乙后輪流取走棋子，每次可以取1顆或5顆或6顆，誰無法按規(guī)

定取走棋子誰就敗。甲要保證必勝，第一次該取走顆棋子。

44.兩個人共同寫一個由1、2、3、4、5組成的2010位數(shù)，先由甲寫第一個數(shù)字，然后兩

人輪流寫數(shù)字.

（1）乙是否可以保證最終得到的數(shù)是9的倍數(shù)？若能，如何做到？若不能請說明理由.

（2）如果兩人共同寫一個這樣的2012位數(shù)，乙是否可以保證最終得到的數(shù)是9的倍數(shù)？

若能，如何做到？若不能，請說明甲的策略.

45.某商店出售啤酒，規(guī)定每4個空瓶可以換一瓶啤酒，小明家買了24瓶啤酒，他一家前

后最多能喝到瓶啤酒.

46.有夫婦帶著兒子和女兒，一條狗外出旅行，途中要過一條河，渡口有一只空船，最多能

載50千克，而夫婦二人各重50千克，兒子與女兒各重25千克，狗重10千克.請問：

他們應(yīng)該如何過河？

47.有40根火柴，歐歐和小泉兩人輪流取，規(guī)定歐歐先取，每人至少取1根，最多取3根.

（1）如果誰取走最后一根火柴誰扁，誰有必勝的策略？必勝的策略是什么？

（2）如果誰取走最后一根火柴誰輸，誰有必勝的策略？必勝的策略是什么？

48.一堆計數(shù)卡片分別寫著2,3,4,5,…，2012.甲先從中抽走1張，然后乙再從中抽

走I張，如此輪流下去.如果最后的2張上的數(shù)是互質(zhì)數(shù)時，甲勝；如果最后剩下的2

個數(shù)不是互質(zhì)數(shù)時，乙勝.甲想要獲勝有幾種抽取方法？各應(yīng)該怎樣抽取卡片？

49.9張撲克牌分別寫著I、2、3、4、5、6、7、8、9.歐歐和奧斑馬兩人輪流取一張.誰

手上有3張紙牌的數(shù)加起來等于15,誰就獲勝.如果歐歐先拿，那么保證不敗的策略是

什么？

50.甲、乙二人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù).規(guī)定禁止在黑板上寫己寫過的數(shù)的

約數(shù).最后不能寫的人為失敗者.如果甲第一個寫數(shù)，試問誰一定獲勝？給出一種獲勝

的方法.

51.如圖，兩只蜘蛛同處在一個正方體的頂點A,而一只爬蟲處在A的體對頂點G,假設(shè)蜘

蛛和爬蟲均以同樣的速度沿正方體的棱移動，任何時候它們都知道彼此的位置，蜘蛛能

預(yù)判爬蟲的爬行方向，試給出一個兩只蜘蛛必定捉住爬蟲的方案.

52.有100名少先隊員在岸邊準備坐船去湖中離岸邊600米的甲島，等最后一人到達甲島

15分鐘后，再去離甲島900米的乙島，現(xiàn)有機船和木船各1條，機船和木船每分鐘各行

300米和150米，而機船和木船可各坐10人和25人，問最后一批少先隊員到達乙島，最

短需要多長時間？（按小時計算）

53.有9顆鋼珠，其中8顆一樣重，另有一顆比這8顆略輕，用一架天平最少稱幾次，可以

找到那顆較輕的鋼珠？

54.桌上有21根火柴，小剛和小亮兩人輪流取，每人每次取1根或2根.誰取到最后一根

誰就獲勝.小亮該怎樣取才能保證獲勝？

55.有9張卡片，上面分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6、7,8、9.淘氣與藍貓兩位小朋友

輪流從中取卡片，每次取一張，誰取的卡片中有3張卡片上所標的數(shù)字和為15,誰就是

勝者.如果淘氣首先取得了標有5的卡片，那么要使藍貓不敗，藍貓應(yīng)該取數(shù)字是幾的

卡片？并說明理由.

56.如圖，五行五列共亮著的25個燈，共有5個行開關(guān)和5個列開關(guān)，每個開關(guān)只同時控

制一行或一列的5個燈泡，規(guī)定每次操作都要從中選一列改變狀態(tài)，再從中選一行改變

狀態(tài).問能否通過有限次操作使得25盞燈都熄滅？

OOOOO

OOOOO

OOOOO

OOOOO

OOOOO

57.有一堆棋子共53枚，甲，乙兩人輪流從中拿走1枚或2枚棋子.規(guī)定誰拿走最后一枚

棋子，誰獲勝.如果甲先拿，乙后拿，誰有必勝的策略？必勝策略是什么？

58.桌上放著63根火柴，甲、乙兩人輪流每次取走1根至3根.

（1）規(guī)定誰取走最后一根誰就獲勝.如果甲先取，是否有必勝的方法？如有，請寫出簡

要的方法；如沒有，請說出理由.

（2）規(guī)定誰取走最后一根火柴誰就算輸，還是甲先取，是否有必勝的方法？如有，請寫

出簡要的方法；如沒有，請說明理由.

59.如圖，將2008個方格排成一行，在最左邊的方格中放有一枚棋子，甲、乙二人交替地

移動這枚棋子，甲先乙后，每人每次可將棋子向右移動若干格，但移動的格數(shù)不能是合

數(shù)，將棋子移到最右邊格子的人獲

勝.

23456200?2008

（1）按每人每次移動的格子數(shù)分類，有哪4類走法？

（2）如果甲第1次走了3格，對于乙的四類走法，甲應(yīng)分別采取怎樣的對策才能保證自

己（甲）一定獲勝？并簡單說明，為什么采取這樣的對策，甲一定獲勝？

60.在3X3的棋盤上共有24條長為1的小線段，甲、乙二人輪流將小線段標數(shù)，每次標一

條，甲標0,乙標1甲的目的是可以沿標0的線段從南到北，乙的目的是可以沿標1的線

段從東到西，誰先實現(xiàn)目的為勝，現(xiàn)已有6條線段標好，甲下一條怎樣標就可必勝（在

圖上標出）.

最佳對策問題

參考答案與試題解析

一.填空題（共30小題）

1.有老兩口帶著兒子、女兒和一條狗出外旅行，途中要過一條河，渡口有一只空船，最多

能載50千克。而老兩口各重50千克，兒子和女兒各重25千克，狗重10千克，他們要

安全過河，至少需要過河11次。（一去一回算兩次）

【分析】老兩口的體重剛好是50千克，所以之前一定已經(jīng)送了兒子或女兒在對面，否則

船無法開回，據(jù)此設(shè)計方案即可。

【解答】解：先讓女兒和兒子一起過河（25+25）,留下其中一人，另一個人開船返回，

然后老兩口其中一人過河，讓上次留下的人開回，然后兒子和女兒再次一起過河，留下

其中一人，再讓老兩口另一人過河，留下的一人返回，再帶狗過河，再返回接剩下的一

人，

每次質(zhì)量數(shù)如下：25+25、25、50、25、25+25、25、50、25、25+10>25、25+25,

共計11次。

答：他們要安全過河，至少需要過河II次。

故答案為：II。

【點評】本題主要考查了最佳方案問題，注意老兩口過河時，對面一定需要有人。

2.有一個兩人游戲：他們輪流說1~6中的某個自然數(shù)，然后把說出的數(shù)依次相加，誰說的

數(shù)加起來后得到的和是100,誰就獲勝。如果春春先報數(shù)，那么為了保證獲勝，春春第一

次說的數(shù)必須是2O

【分析】對方最小報1,最大報6,對方最后一次報數(shù)時，當兩人報出的數(shù)依次加起來比

IOO小7或7的倍數(shù)時，你就能獲勝，據(jù)此解答即可。

【解答】解：100÷（1+6）=14……2

所以春春第一次說的數(shù)必須是2,以后對方報幾，春春就報7與這個數(shù)的差，即可確保獲

勝。

答：春春第一次說的數(shù)必須是2。

故答案為：2。

【點評】此題中由于限制了要報1到6的自然數(shù)，所以當對方最小報1,最大報6,他報

數(shù)后，你能保證每次加上他的數(shù)為7的倍數(shù)即可。

3.61根小棒，兩人輪流拿，規(guī)定每人每次至少拿1根，最多拿3根，直到拿完為止，誰拿

到最后一根，誰就獲勝.如果甲先拿，甲第一次要拿1根小棒,才能保證獲勝.

【分析】6l÷（1+3）=15-1,先取者可獲勝，如果甲先取1根，每次兩人取的數(shù)量和

為4,然后結(jié)合余數(shù)制定策略即可.

【解答】解：先取者可獲勝，如果甲先取，

甲獲勝的策略：61÷(1+3)=15???I,

甲先取1根，則余下的根數(shù)為4的倍數(shù)，如果乙取小根則甲取(4-m)根，

甲乙共取了4根，余下的根數(shù)仍為4的倍數(shù).

如此反復(fù)，直至余下的根數(shù)為4根后，乙再取了若干根后，甲就可全部取光，甲就可獲

勝.

答：甲第一次要拿1根小棒，才能保證獲勝.

故答案為：L

【點評】本題屬于典型的不會輸?shù)挠螒?，即如果所給的數(shù)除以4,有余數(shù)，先拿余數(shù)，再

與對方拿的個數(shù)和是4,即可獲勝，如果沒有余數(shù)，就讓對方先拿，自己再拿時與對方拿

的個數(shù)和是4,自己一定獲勝.

4.在放置有若干小球的一排木格中，甲乙兩人輪流移動小球，移動的規(guī)則為：每人每次可

以選擇某一木格中的任意數(shù)目(至少1個)的小球，并將其移動到該木格右邊緊鄰的那

一木格中；當所有小球全部移動到最右端的木格中時，游戲結(jié)束，移動最后一個小球的

一方獲勝.

面對如圖所示的局面(格中的數(shù)字代表小球的數(shù)目，木格下方的數(shù)字表示木格編號)，

先手有必勝策略，那么，為確保獲勝，先手第一步應(yīng)該移動號1木格中的3個小

球.

265

32Io

【分析】第一次從1號格中移3個球到0號格.這樣就變成了(2)(6)(2)(),以

后無論后手方怎么移，先手都必勝.

【解答】解：第一次從1號格中移3個球到0號格.這樣就變成了(2)(6)(2)(),

以后無論后手方怎么移，先手都必勝.

這時后手有三種移動情況：

［情況1和情況2］如果后手方從3號格(1號格)移幾個球，那么先手方都從1號格(3

號格)移相同數(shù)目的球；

［情況3］如果后手方移2號格中的球，無論后手移動幾個球，先手就從1號格中移動相同

數(shù)目的球；一直這樣移下去，只要后手方有球可移，先手方就一定有球可移，這樣先手

方必勝.

【點評】本題給出實際問題，考查最佳對策問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于

中檔題.

5.甲、乙兩人輪流在黑板上寫不超過10的自然數(shù)，規(guī)定每人每次只能寫一個數(shù)，并禁止寫

黑板上數(shù)的約數(shù)，最后不能寫者敗.若甲先寫，并欲勝，則甲的寫法是甲先把(4,5),

(7,9),(8,10)分組，先寫出6,則乙只能寫4,5,7,8,9,K)中一個，乙寫任何

組中一個，甲則寫另一個.

【分析】甲先寫6,由于6的約數(shù)有1,2,3,6.接下來乙可以寫的數(shù)只有4、5、7、8、

9、10.把這6個數(shù)分成三組：(4,7)、(5,8)、(9,10),當然也可(4,5)、(8,10)、

(7,9)或(4,9)、(5,7)、(8,10)等等，只要組內(nèi)兩數(shù)大數(shù)不是小數(shù)的倍數(shù)即可，

由此即可找到最佳對策.

【解答】解：甲先寫6,由于6的約數(shù)有1,2,3,6,

接下來乙可以寫的數(shù)只有4、5、7、8、9、10,

把這6個數(shù)分成三組：(4,7)、(5,8)、(9,10),

當然也可(4,5)、(8,10)、(7,9)或(4,9)、(5,7)、(8,10)等等，

只要組內(nèi)兩數(shù)大數(shù)不是小數(shù)的倍數(shù)即可，

這樣，乙寫某組數(shù)中的某個數(shù)時，甲就寫同組中的另一數(shù)，從而甲一定寫最后一個，甲

必獲勝，

答：甲先把(4,5),(7,9),(8,10)分組，先寫出6,則乙只能寫4,5,7,8,9,

10中一個，乙寫任何組中一個，甲則寫另一個.

故答案為：甲先把(4,5),(7,9),(8,10)分組，先寫出6,則乙只能寫4,5,7,8,

9,10中一個，乙寫任何組中一個，甲則寫另一個.

【點評】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)數(shù)的特點，以及題目的要求，只要找到先寫的數(shù)，然

后再將有關(guān)數(shù)進行合理分組，即可找到最佳對策.

6.藍貓和淘氣玩玻璃球游戲，有50個小格排成1排，把玻璃球放在左邊第一個小格中，藍

貓和淘氣輪流移動玻璃球，每次移動，可以將玻璃球向右移動1個小格或者2個小格，

將玻璃球恰好移到最右邊的第50個小格的獲勝.如果藍貓先移動,工^有必勝策略.

【分析】共50個小格，說明只能移動49格，藍貓先移動1格后，剩下的格子數(shù)為48,

接下來若淘氣移動1格藍貓就移動2格，淘氣移動2格藍貓就移動1個，最后剩3格，

即可取勝.

【解答】解：藍貓先移動1格后，剩下的格子數(shù)為48,接下來若淘氣移動1格藍貓就移

動2格，淘氣移動2格藍貓就移動1個，最后剩3格，無論淘氣怎么移動，藍貓都能把

玻璃球移到最右邊的第50個小格.

故填：藍貓.

【點評】藍貓只要保證自己取后剩下的格子數(shù)是3的倍數(shù)即可.

7.在一個擺滿棋子的長方形棋盤中，甲、乙兩人輪流拿取棋子，規(guī)則為：在某行或某列中，

取走任意連續(xù)放置的棋子(即不能跨空格拿取)，不允許不取，也不能在多行(多列)中

拿取.當棋盤中所有棋子被取盡時游戲結(jié)束.取走最后一顆棋子的一方獲勝.面對如圖

所示的棋盤，先手有必勝策略.先手第一步應(yīng)該取走4(寫出所有的正確方案)，才

能確保獲勝.

您

￥6?

【分析】這種策略型的游戲，通常是使剩下的部分呈對稱性，以保證先手獲勝.順著這

個思路去思考，就能得到取勝的策略.

【解答】解：

（1）假設(shè)先手取1,則后手取27,剩下正方形，先手此時已經(jīng)無法取勝；

如果先手再取34,后手取56勝；反之亦然.

如果先手再取3,后手就取5,后手勝；反之亦然.

（2）假設(shè)先手取2,則后手取5,剩下13476,先手此時無論是取1個還是取2個，后手

總能取勝；

（3）假設(shè)先手取3,則后手還是取5,剩下12476,先手此時無論是取1個還是取2個,

后手總能取勝：

（4）假設(shè)先手取4,則后手如果取1或5,先手就取5或1就變成正方形，先手勝；

后手如果取12或56,先手就取56或12,先手勝;

后手如果取123,先手去567獲勝；

后手如果取23或76,先手取76或23獲勝；

后手如果取27或36,先手取36或27獲勝.

（5）假設(shè)先手取5,則后手取3,就變成（3）,后手勝.

（6）假設(shè)先手取6,后手取1234,后手勝.

（7）假設(shè)先手取7,后手取12,變成（1）

（8）先手除上述取法外，無論咋取，后手均可獲勝.

故此題填4

【點評】此題要分析每種可能，根據(jù)先手的取法確定接下去的取法.在游戲時，要注意

幾種固定的模式，如呈正方形，此時誰先取誰就輸.

8.甲、乙兩人玩井字棋游戲，輪流在一個3X3的方格棋盤內(nèi)畫符號，甲畫“O”先走，乙

畫“X”后走，誰能將棋盤的一整行，一整列或一整條對角線的3個格都畫上自己的符

號，誰就贏.如果前4步甲乙所下位置如圖1所示，那么甲下一步應(yīng)該下在1號位置

（位置編號如圖2所示），才能保證必勝.

【分析】因為左上角己經(jīng)有兩個“X”，所以甲下一步應(yīng)該下在1號位置，否則要被乙殺

死，只要甲下在1號位置，不論乙下一步下在何處，甲都可以下在3或4的位置雙殺，

乙都擋不住.

【解答】解：根據(jù)分析可得，

因為左上角已經(jīng)有兩個“X”，甲不得不走1,此時3或4的位置甲可以雙殺，乙都擋不

住.

答：甲下一步應(yīng)該下在1號位置，才能保證必勝.

故答案為：L

【點評】本題考查了最佳對策問題，關(guān)鍵是確定甲下在1號位置，然后怎樣保證下一步

能獲勝.

9.在放置有若干小球的一排木格中，甲乙兩人輪流移動小球，移動的規(guī)則為：每人每次可

以選擇某一木格中的任意數(shù)目的小球，并將其移動到該木格右邊緊鄰的那一木格中；當

所有小球全部移動到最右端的木格中時;游戲結(jié)束，移動最后一個小球的一方獲勝.面

對如圖所示的局面（每個木格中的數(shù)字代表小球的數(shù)目，木格下方的數(shù)字表示木格編號）,

先手必勝策略，那么，為確保獲勝，先手第一步應(yīng)該移動1號木格中的2個小球.

567

J2IO

【分析】由題意可知，這個游戲的題的策略是奇數(shù)性的利用，由圖可知，3號格和1號格

里的球數(shù)不相同，要確保獲勝，先手必須先要取成3號格和1號格里的球數(shù)相同，所以

先手必須將1號格中的2個小球移入O號格，后手無論怎么移，都會導(dǎo)致這兩格球數(shù)不

一樣，先手只須保持兩格一樣即可最后獲勝；據(jù)此解答即可.

【解答】解：由圖可知，3號格和1號格里的球數(shù)不相同，要確保獲勝，先手必須先要取

成3號格和1號格里的球數(shù)相同，所以先手必須將1號格中的2個小球移入O號格，后

手無論怎么移，都會導(dǎo)致這兩格球數(shù)不一樣，先手只須保持兩格一樣即可最后獲勝.所

以為確保獲勝，先手第一步應(yīng)該移動1號木格中的2個小球.

故答案為：1,2.

【點評】解答此題要明確：先手必須先要取成3號格和1號格里的球數(shù)相同才能獲勝.

10.在一個擺滿棋子的正方形棋盤中，甲、乙兩人輪流拿取棋子，規(guī)則為：在某行或某列中，

取走任意連續(xù)放置的棋子（即不能跨空格拿?。?，不允許不取，也不能在多行（多列）中

拿取，當棋盤中所有棋子被取盡時游戲結(jié)束.取走最后一棵棋子的一方獲勝.

面對如圖所示的棋盤，先手有必勝策略，先手第一步應(yīng)該取走1、3、5、7、9、258、

456（寫出所有的正確方案），才能確保獲勝.

0??

ΘΘ?

Θ?Θ

［分析】這個游戲的策略主要是利用圖形有對稱性

（1）先手取5號以及258、456號后，圖形完全對稱，顯然是先手可以取勝.

（2）先手取1號，

①后手取2、3、4、7中的一個或兩個，先手都可以取成正方形獲勝；

如果后手取3,那先手就取7,后手再取4,那先手就取2,這樣就剩下5689這個正方形，

在這種情況下，誰先取誰就輸.

如果后手取23,那先手就取47,剩下5689正方形.

②后手取59中的一個，先手可以取另一個形成對稱圖形而獲勝.

③后手取3678中的一個或兩個，先手一定可以獲勝.

如果后手取36,先手就可以取8,這時剩下47259,此時后手無論怎樣取，先手都可以獲

勝.

如果后手取8,先手就取36,情況同上.

如果后手取78,那先手就取6,這時剩下23459,此時后手無論怎樣取，先手都可以獲勝.7

如果后手取6,那先手就取78,情況同上.

如果后手取3或7,先手可以參照①的情況獲勝.

（3）同理，先手取3、7、9也可以確保獲勝.

（4）除上述情況外，取任意其他一個或相鄰兩個、三個，后手都可以取成對稱圖形導(dǎo)致

先手失敗.

（對稱圖形不包括2X3這樣的6個）

【解答】解：先手確保獲勝只能取

1、3、5、7、9、258、456

這七種.

【點評】這題題目是利用圖形的對稱知識獲勝的，只有在形成對稱圖形之后才能保證自

己獲得最后一個棋子.

II.甲、乙兩人輪流從1~17這17個整數(shù)中選數(shù)，規(guī)定：不能選雙方已選過的數(shù)，不能選

已選數(shù)的2倍，不能選己選數(shù)的12,誰沒有數(shù)可選誰就輸，現(xiàn)在甲己選8,乙要保證自

己必勝，乙接著應(yīng)該選的數(shù)是6.

【分析】根據(jù)題意，可以將數(shù)按下面這樣去分配：

4、8、16

5、10

3、6、12

7、14

1、2

9

11

13

15

17

這樣一共十組，這后面九組中只有3、6、12很特殊，如果選3或12,那就變成了兩組,

就多出了一組，乙要想贏就要保證3、6、12一次選好后，對方不能再選中里面的數(shù).

【解答】解：

根據(jù)上面的分析，乙只有選6,那甲就不能再選3或12了.接下去這六組就隨便選了.

5、10

7、14

1、2

9

11

13

15

17

故此題應(yīng)填6.

【點評】這題的采取的策略的分組，分析每組中的情況，抓住特殊情況進行分析.

12.如圖是一個棋盤，開始時，警察在位置A,小偷在位置B.雙方交替走棋，警察先走,

每次必須沿著線走一步.那么警察至少需要走上步才能保證抓住小偷.

【分析】如圖，把六個位置編號如下：第一步警察由尸走到C,小偷只能由8走到人

第二步警察由。走到。，小偷只能由A走到&第三步警察由。走到凡小偷只能由8

到A或者3到C；第四步小偷無論往哪個方向走都會被警察抓住.

【解答】解：如圖，把六個位置編號如下:

第一步警察由F走到C,小偷只能由8走到A；

第二步警察由C走到￡>,小偷只能由A走到B-.

第三步警察由D走到F,小偷只能由B到A或者8到C

第四步小偷無論往哪個方向走都會被警察抓住.

答：警察最少需要4步才能抓住小偷.

故答案為：4.

【點評】本題考查最大與最小、邏輯推理、最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，

認真觀察.

13.這是一種兩人玩的游戲.兩位選手輪流在一條20X1的矩形長帶上移動籌碼.每一輪都

可將四個籌碼的任意一個向右移動任意方格.但不能放在其他籌碼上面或超過其他籌

碼.開始時如圖中看到的各籌碼位置，贏家是最后移動籌碼者.（他移動后，四個籌碼恰

好占據(jù)了長帶右端的四個放個，不可能在移動了）.先移動者應(yīng)將A向右移動2格,

才能保證獲勝.

IIAlllIlBlllllllClllDlIll

【分析】先手要想獲勝，必須在后手移動后有對應(yīng)的移動，即后手移動一個籌碼一格，

先手也要能移動一個籌碼一格.所以此題只要從對應(yīng)籌碼出發(fā)，就能得到取勝的策略.

【解答】解：

這里有ABCZ）四個籌碼，可以將A和C對應(yīng)起來,8和。對應(yīng)起來.A和B之間有4格，

C和D之間只有2格，所以只要將A和B之間變成2格或C和力之間變成4格，此時就

能保證先手獲勝了.

方法1：將A向右移動2格

方法2：將。向右移動2格

在這種情況下，不管后手如何移動，先手只要保證4和B之間的間隔，與C與。之間的

間隔相同即可.

【點評】這題主要考查學(xué)生對一一對應(yīng)思想的理解和運用，在這題移動的過程中是不是

有點亦步亦趨的意思.

14.甲和乙在一張20X15的棋盤上玩游戲，開始時把一個皇后放在棋盤除了右上角外的某

格內(nèi)；從甲開始，兩個人輪流挪動皇后，每次可以按直線或斜線走若干格，但只能往右、

上或右上走；誰把皇后挪到了右上角的格子，誰就獲勝.那么這個棋盤上，有287個

起始格是讓甲有必勝策略的.

【分析】因為甲先走，甲可以直接走到右上角的格子，也可以經(jīng)過若干步后走到右上角

的格子.但是在不能保證一步走到右上角的情況時，走完一步也要保證下一步乙走一步

也不能直接走到右上角的格子.當乙走完后一步后，甲就能走到右上角的格子.

【解答】解：

上面陰影的格子一共13個.

棋盤上一共有20X15=300個格子，

300-13=287

故此題填287.

【點評】此題采用是排除法，圖中陰影部分的點誰從這些點出發(fā)都是不能直達右上角的.

15.有100個棋子，兩人輪流取棋子，每次允許取其中1個或2個，誰最后把棋子取完就算

獲勝。如果你先取，那么第一次你取1個,才能保證獲勝。

【分析】因為每人每次至少取一個，最多取2個，所以一定能保證兩人所拿的和是2+1

=3個，只要最后留1個給自己，那么我就能獲勝，然后制定策略即可。

【解答】解：100÷（1+2）=33....1

余數(shù)是1,所以我先取走1個，如果對手取走〃個，那么我就取走（3-”）枚，那么我就

能獲勝。

答：第一次你取1個，才能保證獲勝。

故答案為：1。

【點評】如何制定最佳策略，要根據(jù)具體的“對策現(xiàn)象”來分析。一般來說，要結(jié)合余

數(shù)問題來選擇制勝策略。

16.有一個兩人游戲,游戲道具為一支筆和一張白紙,游戲過程為兩人輪流在白紙上寫數(shù)字、

用抓閹或者猜叮殼等方式確定誰先寫.把先寫的一方稱為先手方，后寫的一方稱為后手

方，游戲規(guī)則如下：先手方首先選擇在白紙上寫下1或2,先手方完成之后，后手方在先

手方寫下的數(shù)字上選擇加1或者加2,將選擇后計算的結(jié)果寫在白紙上，雙方依照這個規(guī)

則輪流一次寫下自己的數(shù)字，先寫到22的人獲勝.這個游戲先手方是有必勝策略的，如

果要取勝，先手方從第一輪開始到取勝分別寫下的數(shù)字為2,5,8,II,14,17,2（）,

22.

【分析】先手方從第一輪開始到取勝，寫數(shù)字2,對方如果加1,那么自己在此基礎(chǔ)上加

2,對方如果加2,那么自己在此基礎(chǔ)上加1,始終保持把前面的數(shù)字加3,由此方法先手

方一定在最后寫到22獲勝.

【解答】解：先手方從第一輪開始到取勝，寫數(shù)字2,對方如果加1,那么自己在此基礎(chǔ)

上加2,（對方如果加2,那么自己在此基礎(chǔ)上加1）寫出的數(shù)字為：2,5,8,11,14,

17,20,22.

故答案為：2,5,8,11,14,17,20,22.

【點評】解決此題的關(guān)鍵要保證每次在自己寫的數(shù)字上加的和是3即可.

17.有一個兩人游戲，兩堆黑（5顆）白（8顆）圍棋子是游戲道具，用抓閹或猜叮殼等方

式確定誰先走，把先走的一方稱為先手方，后走的一方稱為后手方，游戲規(guī)則如下：先

手方必須在兩堆棋子中選定一堆，至少選擇一顆取走，也可以選擇將這一堆全部棋子取

走；先手方完成之后，后手方開始按照同樣的規(guī)則取圍棋子；雙方輪流抓取，直到取完

所有棋子.取走最后一顆圍棋子的人獲勝.這個游戲先手方是有必勝策略的，如果要取

勝，先手方在一開始應(yīng)該取走3顆白棋子.

【分析】這題先手取完棋子之后要保證在后手取棋子的情況下自己有棋子可取.

【解答】解：

先手先取3顆白棋子，這樣白色子數(shù)量與黑色子保持一致，在此之后，如對方取黑色堆

取“顆，則在白色堆取相同數(shù)量，反之亦然，先手必可取走最后一顆棋子.

【點評】此題的策略是使白棋子和黑棋子的數(shù)量保持一致，這樣就保證了對方無論咋取，

自己都有對應(yīng)的取法.

18.有一個兩人游戲，22顆圍棋子是游戲道具，用抓閹等方式確定誰先走，把先走的一方

稱為先手方，后走的一方稱為后手方，游戲規(guī)則如下：先走方必須選擇拿走1顆或2顆

圍棋子；先手完成后，后手方開始按照同樣的規(guī)則取圍棋子：雙方輪流抓取，直到取完

所有的棋子.取走最后一顆圍棋子的人獲勝.這個游戲先手方是有必勝策略的，如果要

取勝，先手方應(yīng)該留給對手的圍棋子數(shù)目從第一輪開始到取勝依次為21,18,15,12,

9,6,3.

【分析】欲取走最后一顆，需給對方剩下3顆；需給對方剩下3顆，需達到給對方剩下6

顆的情況；需給對方剩下6顆，需達到給對方剩下9顆的情況；需給對方剩下9顆，需

達到給對方剩下12顆的情況，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：欲取走最后一顆，需給對方剩下3顆；需給對方剩下3顆，需達到給對方

剩下6顆的情況；需給對方剩下6顆，需達到給對方剩下9顆的情況；需給對方剩下9

顆，需達到給對方剩下12顆的情況，…，

由此如果要取勝,先手方應(yīng)該留給對手的圍棋子數(shù)目從第一輪開始到取勝依次為21,18,

15,12,9,6,3.

故答案為21,18,15,12,9,6,3.

【點評】本題考查最佳對策問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，欲取走最后一顆，需

給對方剩下3顆，逐步分析是關(guān)鍵.

19.有IOO個棋子，兩人輪流取棋子，每次允許取其中1個、2個或5個，誰最后把棋子取

完就算獲勝。如果你先取，那么第一次你取1個,才能保證獲勝。

【分析】因為1+2=3,1+5=6,都是3的倍數(shù)，1