微積分全套課件

函數(shù)極限與連續(xù)結(jié)束當(dāng)自變量x取數(shù)值時，與對應(yīng)的因變量y的值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值,記為或.當(dāng)x取遍D內(nèi)的各個數(shù)值時,對應(yīng)的變量y取值的全體組成定義1

設(shè)x與y是兩個變量，若當(dāng)變量x在非空數(shù)集D內(nèi)任取一個數(shù)值時，變量x按照某種對應(yīng)法則f總有一個確定的數(shù)值y與之對應(yīng)，則稱變量y為變量x的函數(shù)，記作稱D為該函數(shù)的定義域.記為Df．稱x為自變量，稱y為因變量.1.1.1函數(shù)的概念數(shù)集稱做這個函數(shù)的值域.記為Zf

。

1.1函數(shù)

1.1.2函數(shù)的表示法

例1已知某商品的總成本函數(shù)為：

例2某工廠全年1—6月原材料進(jìn)貨數(shù)量如下表，這里表達(dá)的是時間和原材料進(jìn)貨數(shù)量之間的關(guān)系．

T(月)123456Q(噸)111012111212(1)公式法用數(shù)學(xué)公式表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)的公式表示法.如例1是用公式法表示函數(shù).(2)表格法自變量x與因變量y的一些對應(yīng)值用表格列出(3)圖示法用函數(shù)y=f(x)的圖形給出自變量x與因變量y

之間的關(guān)系.例3需求函數(shù)與供給函數(shù).,如圖.P表示商品價格,Q表示需求量,供給量,E點(diǎn)為需求和供給平衡點(diǎn)．

SSEQPOQ=φ(P)Q=f(P)

說明三種表示法各有所長，缺一不可，如三角函數(shù)，三角函數(shù)表，三角函數(shù)圖像，都是表示三角函數(shù)，可以相互補(bǔ)充。例4求函數(shù)的定義域(1)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是函數(shù)的兩個主要要素。

注:(2)如果兩個函數(shù)具有相同的定義域和對應(yīng)法則，則它們是相同的函數(shù)．(4)在研究由公式表達(dá)的函數(shù)時，我們約定：函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的一切實(shí)數(shù)值所組成的數(shù)集.(3)在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域是由實(shí)際意義確定的.解當(dāng)分母時,此函數(shù)式都有意義

因此函數(shù)的定義域?yàn)槔?

求函數(shù)的定義域.所以函數(shù)的定義域?yàn)榕c.解要使函數(shù)y有定義，必須使這兩個不等式的公共解為解當(dāng)時,函數(shù)值設(shè)有函數(shù),問它們是否為同一個函數(shù).例6由于與的定義域不同,所以它們不是同一個函數(shù).但是的定義域而在點(diǎn)無定義其定義域?yàn)樵趯?shí)際問題中,有時會遇到一個函數(shù)在定義域的不同范圍內(nèi)，用不同的解析式表示的情形，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)．例如符號函數(shù)

是一個分段函數(shù)，它的定義域?yàn)?/p>

分段函數(shù)是用幾個公式合起來表示一個函數(shù)，而不是表示幾個函數(shù).f(x)的定義域是[0,2]，例7當(dāng)時,當(dāng)時,定義設(shè)y是u的函數(shù)，y=f(u)，，而u是x的函數(shù)，并且的值域包含f(u)的定義域，即，則y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，稱此函數(shù)是由y=f(u)及復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作1.1.3復(fù)合函數(shù)并稱x為自變量，稱u為中間變量.例8分析函數(shù)是由哪幾個函數(shù)復(fù)合而成.解復(fù)合而成,并易知其定義域?yàn)槔?求由函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)并求其定義域.解由于的定義域?yàn)榕cu=3x–1的值域有公共部分，由于必須，從而，故復(fù)合函數(shù)的定義域是

.所以由它們可以組成復(fù)合函數(shù)例10設(shè)解(1)冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨的不同而不同.1.基本初等函數(shù)(

是常數(shù))當(dāng)為無理數(shù)時,規(guī)定的定義域?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)a>1時，它嚴(yán)格單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時，它嚴(yán)格單調(diào)減少.對于任何的a,的值域都是，函數(shù)的圖形都過(0,1)點(diǎn).對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，它的定義域?yàn)?當(dāng)a>1時，它嚴(yán)格單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時，它嚴(yán)格單調(diào)減少.對于任何限定的a，的值域都是，函數(shù)的圖形都過(1,0)點(diǎn).(2)指數(shù)函數(shù)是常數(shù)）在高等數(shù)學(xué)中，常用到以e為底的指數(shù)函數(shù)和以e為底的對數(shù)函數(shù)(記作lnx),lnx稱為自然對數(shù).這里e=2.7182818……，是一個無理數(shù).(4)三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有：正弦函數(shù)

y=sinx;余弦函數(shù)y=cosx;y=sinx與y=cosx

的定義域均為，它們都是以為周期的函數(shù)，都是有界函數(shù).數(shù)，并且在開區(qū)間內(nèi)都是無界函數(shù).正切函數(shù)y=tanx;余切函數(shù)y=cotx;tanx與cotx是以為周期的周期函數(shù)，并且在其定義域內(nèi)是無界函數(shù).sinx,tanx及cotx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù).此外還有正割函數(shù)y=secx,余割函數(shù)y=cscx,其中.它們都是以為周期的函(5)反三角函數(shù)三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx和y=cotx的反函數(shù)都是多值函數(shù)，我們按下列區(qū)間取其一個單值分支，稱為主值分支，分別記作反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)2初等函數(shù)定義由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或經(jīng)過有限次復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成，并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).初等函數(shù)都可以用一個公式表式大部分分段函數(shù)不是初等函數(shù)是非初等函數(shù)定義3設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在Df上的一個函數(shù)，其值域?yàn)閆f,對任意y∈Zf,如果有唯一確定的滿足y=f(x)的x∈Df與之對應(yīng)，則得到一個定義在Zf上以y為自變量的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作1.1.5反函數(shù)與隱函數(shù)1反函數(shù)習(xí)慣上，常用x來表示自變量，y表示因變量，所以我們可以將反函數(shù)改寫成在直角坐標(biāo)系中的圖形與y=f(x)的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的.例11設(shè)函數(shù)y=2x–3，求它的反函數(shù)并畫出圖形.解于是得反函數(shù)

變量之間的函數(shù)關(guān)系，是由某個二元方程給出的，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)．例有些隱函數(shù)可以改寫成顯函數(shù)的形式，而有些隱函數(shù)不能改寫成顯函數(shù)的形式，把隱函數(shù)改寫成顯函數(shù)叫做隱函數(shù)的顯化2隱函數(shù)1奇偶性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，即當(dāng)時，有.則稱f(x)為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱；如果對于任意的，均有則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.如果對任意的,均有1.1.6函數(shù)的基本性質(zhì)例12討論下列函數(shù)的奇偶性:解

設(shè)函數(shù)y=f(x),如果存在正常數(shù)

T,使得對于定義域內(nèi)的任何x均有f(x+T)=f(x)成立，則稱函數(shù)y=f(x)為顯然，若T是周期函數(shù)f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期(k=1,2,3)，通常我們說的周期函數(shù)的周期就是指最小正周期.2周期性

周期函數(shù)，T為f(x)的周期.例如，函數(shù)y=sinx及y=cosx都是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)y=tanx及y=cotx都是以為周期的周期函數(shù).解設(shè)所求的周期為T，由于例13求函數(shù)的周期，其中為常數(shù)并注意到的周期為,只需使上式成立的最小正數(shù)為所以函數(shù)的周期為3單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義(即Ｉ是函數(shù)y=f(x)的定義域或者是定義域的一部分).如果對于任意的，當(dāng)時，均有則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上單調(diào)增加(或單調(diào)減少).

單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的函數(shù)又稱為單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)函數(shù),統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù),使函數(shù)保持單調(diào)性的自變量的取值區(qū)間稱為該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)內(nèi)是單調(diào)減少的，在區(qū)間上是單調(diào)增加的,而在區(qū)間內(nèi)則不是單調(diào)函數(shù).單調(diào)增加的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向上升的；單調(diào)減少的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向下降的；例如，函數(shù)內(nèi)是單調(diào)增加的.4有界性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，數(shù)集,如果存在正數(shù)M，使得對于任意的,都有不等式成立，則稱f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在X上無界.如果M為f(x)的一個界，易知比M大的任何一個正數(shù)都是f(x)的界.如果f(x)在x上無界，那么對于任意一個給定的正數(shù)M，X中總有相應(yīng)的點(diǎn)，使.當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有界時，函數(shù)y=f(x)的圖形恰好位于直線y=M和y=–Ｍ之間.這里?。?1.函數(shù)y=sinx的圖形位于直線y=1與y=–1之間.例如，函數(shù)f(x)=sinx在內(nèi)是有界的.

這是因?yàn)閷τ谌我獾模加谐闪?，?yīng)該注意，函數(shù)的有界性，不僅僅要注意函數(shù)的特點(diǎn)，還要注意自變量的變化范圍Ｘ.例如，函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)是有界的.事實(shí)上，若?。?1，則對于任何

而在區(qū)間(0,1)內(nèi)是無界的.1.1.7函數(shù)關(guān)系的建立例14某運(yùn)輸公司規(guī)定貨物的噸千米運(yùn)價為：在千米以內(nèi)，每千米k元；超過千米，超過部分每千米元,求運(yùn)價P和運(yùn)送里程s之間的函數(shù)關(guān)系．解根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系如下

這里運(yùn)價P和運(yùn)送里程s之間的函數(shù)關(guān)系是用分段函數(shù)表示的．

總成本函數(shù)

平均成本函數(shù)1總成本函數(shù)

某商品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源投入(勞力、原料、設(shè)備等)的價格或費(fèi)用總額，它由固定成本與可變成本組成．

平均成本是生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的成本．在生產(chǎn)技術(shù)水平和生產(chǎn)要素的價格固定不變的條件下，產(chǎn)品的總成本與平均成本都是產(chǎn)量的函數(shù)．1.1.8常見的經(jīng)濟(jì)函數(shù)2總收益函數(shù)總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入，是銷售量的函數(shù)．設(shè)p為商品價格，為Q銷售量，為總收益，則有

總收益函數(shù)

平均收益函數(shù)

3總利潤函數(shù)

設(shè)某商品的成本函數(shù)為C，銷售收益函數(shù)R為，則銷售某商品個單位時的總利潤函數(shù)為

例15已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為求當(dāng)生產(chǎn)100個該種產(chǎn)品時的總成本和平均成本．平均成本為

4需求函數(shù)與供給函數(shù)解由題意，產(chǎn)量為100時的總成本函數(shù)為1數(shù)列的概念定義1

自變量為正整數(shù)的函數(shù)

將其函數(shù)值按自變量

n由小到大排成一列數(shù)

稱為數(shù)列，將其簡記為

稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)1.2.1數(shù)列的極限1.2極限的概念(1)(3)(4)(2)即數(shù)列數(shù)列數(shù)列2.數(shù)列的極限數(shù)列（1）當(dāng)n無限增大時,無限趨近于0，即數(shù)列（1）以0為它的變化趨向；數(shù)列（2）當(dāng)n無限增大時,un=無限趨近于常數(shù)1,

即數(shù)列（2）以1為它的變化趨向；

數(shù)列（3），當(dāng)n無限增大時，其奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為-1，隨著n的增大，它的通項(xiàng)在-1,+1之間變動，所以當(dāng)n無限增大時，沒有確定的變化趨向；數(shù)列（4）當(dāng)n無限增大時，un也無限增大．

定義2如果當(dāng)n無限地增大時，通項(xiàng)un無限地趨向于某個確定的常數(shù)a，則說當(dāng)n趨于無窮大時，un

以a為極限，記成

但是，像數(shù)列等當(dāng)n越來越大時，它們各自是否有確定的變化趨勢？如果有，極限是什么？直觀上可以看出單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.成立,則稱數(shù)列是單調(diào)減少的.若有3.單調(diào)數(shù)列與有界數(shù)列數(shù)列(2)(4)是單調(diào)增加的，數(shù)列(1)單調(diào)減少的.對于數(shù)列,若有成立,則稱數(shù)列是單調(diào)增加的;對于數(shù)列，若存在正數(shù)M，使得對于一切的n都有成立，則稱數(shù)列是有界的，否則稱是無界的.容易驗(yàn)證數(shù)列(1)(2)(3)是有界的；而數(shù)列(4)是無界的.無界數(shù)列一定是發(fā)散的.注意數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.例如，數(shù)列是有界的，而卻是發(fā)散數(shù)列.定理1單調(diào)有界數(shù)列必有極限．

1.當(dāng)x→∞時,函數(shù)f(x)的極限函數(shù)當(dāng)x→+∞時,函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)1，此時我們稱1為當(dāng)x→+∞時函數(shù)f(x)的極限.定義3如果當(dāng)自變量x無限增大時，函數(shù)f(x)無限趨近于某個確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時的極限，記為或1.2.2函數(shù)的極限-11當(dāng)x→-∞時,函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)1，此時我們稱1為當(dāng)x→-∞時函數(shù)f(x)的極限.定義4如果當(dāng)無限增大時，函數(shù)f(x)無限趨近于某個確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時的極限，記為(x→∞)或定理2的充要條件是2當(dāng)x→x0時,函數(shù)f(x)的極限當(dāng)x→1時,的值無限趨近于常數(shù)2，此時我們稱當(dāng)x趨近于1時，函數(shù)

極限為2

定義5設(shè)函數(shù)f(x)在的某鄰域內(nèi)有定義（x0可以除外）,如果當(dāng)自變量x趨近于x0時,函數(shù)f(x)的函數(shù)值無限趨近于某個確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時的極限，或21考查函數(shù)記為

2在定義5中，x是以任意方式趨近于

的，但在有些問題中，往往只需要考慮點(diǎn)x從

的一側(cè)趨近于時，函數(shù)f(x)的變化趨向．注:1.在時的極限是否存在,與在點(diǎn)處有無定義以及在點(diǎn)處的函數(shù)值無關(guān)．如果當(dāng)從的左側(cè)趨近于

(記為）時,

以A為極限，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的左極限，記為或如果當(dāng)從的右側(cè)趨近于（記為）時,

以A為極限，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的右極或()限，記為函數(shù)的極限與左、右極限有如下關(guān)系：定理3

注:

定理3常用來判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限是否存在例2判斷函數(shù)

在點(diǎn)處是否有極限.

解:因?yàn)樗远ɡ?(唯一性定理)如果函數(shù)在某一變化過程中有極限，則其極限是唯一的．2函數(shù)極限的性質(zhì)定理5(有界性定理)若函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時極限存在，則必存在x0的某一鄰域，使得函數(shù)f(x)在該鄰域內(nèi)有界．定理6(兩邊夾定理)如果對于x0的某鄰域內(nèi)的一切x(可以除外)，有

，且則1.無窮小量定義7若變量Y在某過程下以零為極限，則稱變量Y在此過程下為無窮小量，簡稱無窮小.1.2.3無窮小量與無窮大量例3例4時的無窮小量.時的無窮小量.因?yàn)樗砸驗(yàn)樗岳绾瘮?shù)時的無窮小，但當(dāng)時不是無窮小。當(dāng)時，的極限不為零，所以當(dāng)時，函數(shù)不是無窮小，而當(dāng)時是無窮小量。應(yīng)該注意無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數(shù)。因此應(yīng)明確指出其變化過程。

定理7在自變量的同一變化過程中

(1)有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.(4)

有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.(3)常量與無窮小的乘積仍為無窮小.(2)有限個無窮小的乘積仍為無窮小.2.無窮小的性質(zhì)例5解注意這個極限不能用極限的四則運(yùn)算法則求得，因?yàn)椴淮嬖?所以時的無窮小量.為有界變量,3.無窮大量定義8在自變量x的某一變化過程中,若函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱f(x)為此變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大.記作

記f(x)是無窮大，只是為了書寫的方便，同時也表明了當(dāng)時f(x)雖然無極限，但還是有明確趨向的.無窮大量是一個絕對值可無限增大的變量，不是絕對值很大很大的固定數(shù).注意：函數(shù)f(x)當(dāng)時為無窮大，則極限是不存在的.利用記號4無窮小與無窮大的關(guān)系簡言之無窮小與無窮大的關(guān)系為：在自變量的同一變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小,無窮小(不等于0)的倒數(shù)是無窮大.定理9在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無窮大,則為無窮小;反之,若f(x)為無窮小且f(x)不等于0,則為無窮大.例如：以后，遇到類似例6的題目，可直接寫出結(jié)果.例6解例7考察

當(dāng)時，為無窮大量；

當(dāng)時，為無窮小量；定理1設(shè),則1.3.1極限的運(yùn)算法則下面的定理，僅就函數(shù)極限的情形給出，所得的結(jié)論對數(shù)列極限也成立.1.3極限的運(yùn)算其中自變量x的趨勢可以是等各種情形.定理1中的(1)和(2)可以推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的極限情況.結(jié)論(2)還有如下常用的推論.推論1設(shè)limf(x)存在，則對于常數(shù)c，有推論2設(shè)limf(x)存在，則對于正整數(shù)k，有例1解一般地，設(shè)有多項(xiàng)式(有理整函數(shù))則有即例2解設(shè)有理分式函數(shù)式(1)與式(2)說明對于有理函數(shù)求關(guān)于的極限時，如果有理函數(shù)在點(diǎn)有定義，其極限值就是在點(diǎn)處的函數(shù)值，以后可以當(dāng)做公式使用.例3解例4解例5解例6

，然后再求極限，得分母同時除以分子,3x解一般地,對于有理分式有:其中n,m為正整數(shù)1.3.2兩個重要極限重要極限1其中的兩個等號只在x=0時成立.證設(shè)圓心角過點(diǎn)A作圓的切線與OB的延長線交于點(diǎn)C，又作則sinx=BD，tanx=AC，BODACx當(dāng)時首先證明不等式當(dāng)時有即當(dāng)時BODACx而當(dāng)時有,從而即當(dāng)時有這就證明了不等式.從而有由夾逼準(zhǔn)則，即得例7解1coslim0此題中用到xx=?例8解例9解這是重要極限2常用的另一種形式.重要極限2例10解令,則當(dāng)時,,因此例11解例12設(shè)有本金1000元，若用連續(xù)復(fù)利計(jì)算，年利率為8%，問5年末可得本利和為多少？解設(shè)復(fù)利一年計(jì)算一次，則一年末本利和為若復(fù)利一年計(jì)算n次，則x年末本利和為

x年末本利和為所以1.3.3無窮小的比較兩個無窮小的和、差、積都是無窮小，那么，兩個無窮小的商是否仍是無窮小呢？請看下面的例子.這些情形表明，同為無窮小，但它們趨于0的速度有快有慢，為了比較不同的無窮小趨于0的速度，我們引入無窮小量階的概念.此時也稱是比低階的無窮小.(3)如果,則稱是比階的無窮小.記作(2)如果,則稱與是等價無窮小,記作(1)如果是常數(shù)),則稱是同階無窮小.定義設(shè)時為無窮小(且).所以當(dāng)時,與x是等價無窮小,即所以當(dāng)時,是比x高階的無窮小,即例13例14因?yàn)橥砜芍?當(dāng)時,所以當(dāng)時,是同階無窮小.關(guān)于等價無窮小在求極限中的應(yīng)用，有如下定理.證定理2根據(jù)此定理，在求兩個無窮小之比的極限時，若此極限不好求，可用分子、分母各自的等價無窮小來代替，如果選擇適當(dāng)，可簡化運(yùn)算.用定理2求極限，需要預(yù)先知道一些等價無窮小.一些常用的等價無窮小如下：當(dāng)時例15解例16解例17解注意：

相乘(除)的無窮小都可用各自的等價無窮小代換，但是相加(減)的無窮小的項(xiàng)不能作等價代換，例如是完全錯誤的1.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念相應(yīng)的函數(shù)的改變量（增量）:函數(shù)的終值與初值之差稱為自變量的改變量，記為1.改變量（增量）：1.4函數(shù)的連續(xù)性0當(dāng)自變量由初值變化到終值時，終值與初值之差稱為自變量的改變量，記為

定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處有增量時，相應(yīng)的函數(shù)有增量

,如果當(dāng)自變量的增量趨于零時，函數(shù)的增量也趨于零，即則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，點(diǎn)稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)2.連續(xù)若記，則，且當(dāng)時，故定義1又可敘述為注：定義2：設(shè)函數(shù)y=

f(x)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若有,則稱函數(shù)

在點(diǎn)處連續(xù).（1）定義1與定義2是等價的,即由左右極限定義可定義左右連續(xù)定義（2）由定義2可知若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的極限一定存在，反之不一定連續(xù)（3）當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時，求時，只需求出即可定義3：若函數(shù)

滿足，則稱函數(shù)

在點(diǎn)處左連續(xù)。同理可以定義右連續(xù)3、左右連續(xù)4、區(qū)間連續(xù)定義4：若函數(shù)

在（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)

在（a,b）內(nèi)連續(xù)。由定理3可知：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù)即證明y=sinx在內(nèi)連續(xù)例1證對任意有因?yàn)樗怨试趦?nèi)連續(xù)定義5若函數(shù)y=f(x)在（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，且在左端點(diǎn)a處右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處左連續(xù)，則稱函數(shù)y

=

f(x)在[a,b]上連續(xù)。1.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類則一定滿足以下條件如果f(x)在點(diǎn)不能滿足以上任何一個條件，則點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)。1.可去間斷點(diǎn)：如果函數(shù)在點(diǎn)的極限存在，但不等于，即則稱為的可去間斷點(diǎn)。例2解所以x=1為可去間斷點(diǎn)重新定義新的函數(shù)：則x=1成為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)2.跳躍間斷點(diǎn)：例3所以x=1為跳躍間斷點(diǎn)左右極限存在不相等

當(dāng)時，函數(shù)值不斷地在兩點(diǎn)之間跳動，左右極限均不存在3.無窮間斷點(diǎn)

f(x)在點(diǎn)的左、右極限至少有一個是無窮大，則稱為f(x)的無窮間斷點(diǎn)例4x=0為無窮間斷點(diǎn)4.振蕩間斷點(diǎn)例5x=0是其振蕩間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的類型：第一類間斷點(diǎn):

我們把左右極限都存在的間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn).第二類間斷點(diǎn):

除第一類以外的間斷點(diǎn),即左右極限至少有一個不存在的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn).例6解函數(shù)在x=-1,x=0,x=1處沒有定義所以x=-1,x=0,x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)所以x=-1是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)所以x=0是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)(Ⅰ)(Ⅱ)所以x=1是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)解分界點(diǎn)為x=1,x=2（i）當(dāng)x=1時所以x=1是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)(Ⅲ)例7

（ii）討論x=2而f(2)=5所以x=2是函數(shù)的連續(xù)的點(diǎn)因此,分段函數(shù)的分界點(diǎn)是可能間斷點(diǎn)

設(shè)函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)處連續(xù),u=f(x)在點(diǎn)處連續(xù),且,則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).1.4.3初等函數(shù)的連續(xù)性

定理1

單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)在其對應(yīng)區(qū)間上也是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。設(shè)f(x),g(x)均在點(diǎn)處連續(xù),則也在處連續(xù)因此,基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).

定理2定理3即：因此,一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).1.4.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理4（最值定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。注：對于在開區(qū)間或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)的函數(shù)，結(jié)論不一定成立。定理5

（介值定理）

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且，為介于f(a)與f(b)之間的任一實(shí)數(shù),則至少存在一點(diǎn)，使得推論：如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且則至少存在一點(diǎn)，使得

導(dǎo)數(shù)與微分結(jié)束2.1.1引出導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)例例1平面曲線的切線斜率

曲線的圖像如圖所示,在曲線上任取兩點(diǎn)

和，作割線，割線的斜率為2.1導(dǎo)數(shù)的概念這里為割線MN的傾角，設(shè)是切線MT的傾角，當(dāng)時，點(diǎn)N沿曲線趨于點(diǎn)M。若上式的極限存在，記為k，則此極限值k就是所求切線MT的斜率，即當(dāng)趨向于0時，如果極限設(shè)某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量Q的函數(shù)，即C=C(Q

)，當(dāng)產(chǎn)量Q從

變到

時，總成本相應(yīng)地改變量為

當(dāng)產(chǎn)量從

變到

時，總成本的平均變化率存在，則稱此極限是產(chǎn)量為時總成本的變化率。例2產(chǎn)品總成本的變化率定義設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，屬于該鄰域，記若存在，則稱其極限值為y=f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)，記為或2.1.2導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)定義與下面的形式等價：若y=f(x)在x=x0

的導(dǎo)數(shù)存在，則稱y=f(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo)，反之稱y=f(x)在x=x0

不可導(dǎo)，此時意味著不存在.函數(shù)的可導(dǎo)性與函數(shù)的連續(xù)性的概念都是描述函數(shù)在一點(diǎn)處的性態(tài)，導(dǎo)數(shù)的大小反映了函數(shù)在一點(diǎn)處變化(增大或減小)的快慢.三、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù):

右導(dǎo)數(shù):顯然可以用下面的形式來定義左、右導(dǎo)數(shù)定理3.1y=f(x)在x=x0可導(dǎo)的充分必要條件是y=f(x)在x=x0

的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

當(dāng)自變量從變化到時，曲線y=f(x)上的點(diǎn)由變到此時為割線兩端點(diǎn)M0，M的橫坐標(biāo)之差，而則為M0，M的縱坐標(biāo)之差，所以即為過M0，M兩點(diǎn)的割線的斜率.M0M

曲線y=f(x)在點(diǎn)M0處的切線即為割線M0M當(dāng)M沿曲線y=f(x)無限接近時的極限位置M0P，因而當(dāng)時，割線斜率的極限值就是切線的斜率.即：所以，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)M0(x0,f(x0))處的切線斜率.M0M

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：而當(dāng)時,曲線在的切線方程為(即法線平行y軸).當(dāng)時,曲線在的法線方程為而當(dāng)時,曲線在的法線方程為例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取極限:同理可得:特別地,.例4求曲線在點(diǎn)處的切線與法線方程.解:因?yàn)?由導(dǎo)數(shù)幾何意義,曲線在點(diǎn)的切線與法線的斜率分別為:

于是所求的切線方程為:即法線方程為:即2.1.4可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0

處連續(xù).證

因?yàn)閒(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，故有根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系,可得:兩端乘以得:由此可見:即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處連續(xù).證畢.例5證明函數(shù)在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo).證

因?yàn)樗栽趚=0連續(xù)而即函數(shù)在x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相等,從而在x=0不可導(dǎo).由此可見，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件即可導(dǎo)定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo).

設(shè)函數(shù)u(x)與v(x)在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則:定理一2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算特別地,如果可得公式注：法則（1）（2）均可推廣到有限多個可導(dǎo)函數(shù)的情形例：設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則解：

例2設(shè)解：例1解：即

類似可得例3求y=tanx

的導(dǎo)數(shù)解：即類似可得例4求y=secx

的導(dǎo)數(shù)基本導(dǎo)數(shù)公式表2.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例5

定理二如果函數(shù)在x處可導(dǎo)，而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)的u處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)在x處可導(dǎo)，且有或?qū)τ诙啻螐?fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式類似，此法則也稱鏈導(dǎo)法注：2.2.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例7解：解：例6定理三如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有或證因?yàn)榈姆春瘮?shù)上式兩邊對x求導(dǎo)得或或2.2.4反函數(shù)的求導(dǎo)法則解：y=arcsinx是x=siny的反函數(shù)因此在對應(yīng)的區(qū)間（-1，1）內(nèi)有即同理求函數(shù)y=arcsinx的導(dǎo)數(shù)例8

1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例9求方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：方程兩端對x求導(dǎo)得2.2.5隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)即是由所確定的函數(shù)，其求導(dǎo)方法就是把y看成x的函數(shù)，方程兩端同時對x求導(dǎo)，然后解出。即例10解：兩邊對x求導(dǎo)得解一例11兩邊對x求導(dǎo)，由鏈導(dǎo)法有

解二稱為對數(shù)求導(dǎo)法，可用來求冪指函數(shù)和多個因子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導(dǎo)注：解二解：將函數(shù)取自然對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得例12且設(shè)均可導(dǎo),具有單值連續(xù)反函數(shù)，則參數(shù)方程確定的函數(shù)可看成與復(fù)合而成的函數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)法則有：求得y對x的導(dǎo)數(shù)對參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=f(x),可利用參數(shù)方程直接此即參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)公式2.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系有時是由參數(shù)方程確定的，其中t稱為參數(shù)

解：曲線上對應(yīng)t=1的點(diǎn)（x,y)為（0,0）,曲線t=1在處的切線斜率為于是所求的切線方程為y=－x求曲線在t=1處的切線方程例13即或記作或二階導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，就稱的導(dǎo)數(shù)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，n階導(dǎo)數(shù)：二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與基本公式將函數(shù)逐次求導(dǎo)2.2.6高階導(dǎo)數(shù)解：特別地例15解：……即同理例14解如圖，正方形金屬片的面積A與邊長x的函數(shù)關(guān)系為A=x2,受熱后當(dāng)邊長由x0伸長到x0+時,面積A相應(yīng)的增量為2.3.1微分的概念例1

設(shè)有一個邊長為x0的正方形金屬片，受熱后它的邊長伸長了，問其面積增加了多少？2.3微分的線性函數(shù)從上式可以看出，這表明這部分就是面積的增量的主要部分（線性主部）所以上式可寫成

可以表示為定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，處的增量在點(diǎn)如果函數(shù)于是,（2.3.1)式可寫成處的微分，可微，稱為在點(diǎn)處在點(diǎn)高階的無窮小，則稱函數(shù)時其中A是與無關(guān)的常數(shù)，是當(dāng)比記為由微分定義，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微與可導(dǎo)等價，且,因而在點(diǎn)x0處的微分可寫成于是函數(shù)通常把記為，稱自變量的微分，上式兩端同除以自變量的微分，得因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商．可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可微，則稱該函數(shù)在(a,b)內(nèi)可微。f(x)在點(diǎn)x0處的微分又可寫成dxf(x)在(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)x處的微分記為解：例2求函數(shù)y=x2

在x=1,時的改變量和微分。于是

面積的微分為

解：面積的增量面積的增量與微分．當(dāng)半徑增大例3半徑為r的圓的面積時，求在點(diǎn)處，2.3.2微分的幾何意義當(dāng)自變量x有增量時，切線MT的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量因此，微分幾何上表示當(dāng)x有增量時，曲線

在對應(yīng)點(diǎn)處的切線的縱坐標(biāo)的增量．用近似代替就是用QP近似代替QN，并且設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖形如下圖所示.過曲線y=f(x)上一點(diǎn)M(x,y)處作切線MT,設(shè)MT的傾角為2.3.3微分的運(yùn)算法則1.微分的基本公式：續(xù)前表2.微分的四則運(yùn)算法則設(shè)u=u(x)，v=v(x)均可微，則

（C

為常數(shù)）；3．復(fù)合函數(shù)的微分法則都是可導(dǎo)函數(shù)，則設(shè)函數(shù)的微分為復(fù)合函數(shù)

利用微分形式不變性，可以計(jì)算復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分.這就是一階微分形式不變性.可見，若y=f(u)可微，不論u是自變量還是中間變量，總有而解：

解：對方程兩邊求導(dǎo)，得的導(dǎo)數(shù)與微分例5求由方程所確定的隱函數(shù)即導(dǎo)數(shù)為

微分為

例4

由以上討論可以看出，微分與導(dǎo)數(shù)雖是兩個不同的概念，但卻緊密相關(guān)，求出了導(dǎo)數(shù)便立即可得微分，求出了微分亦可得導(dǎo)數(shù)，因此，通常把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算統(tǒng)稱為微分法．在高等數(shù)學(xué)中，把研究導(dǎo)數(shù)和微分的有關(guān)內(nèi)容稱為微分學(xué)．2.3.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用或?qū)懗桑?）上式中令（2），則特別地,當(dāng)x0=0，很小時,有（3）公式(1)(2)(3)可用來求函數(shù)f(x)的近似值。，且很小時，我們有近似公式在x0

點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)由微分的定義可知，當(dāng)函數(shù)注：在求的近似值時，要選擇適當(dāng)?shù)?，使，容易求得，且較?。畱?yīng)用（3）式可以推得一些常用的近似公式,當(dāng)很小時,有(1)

（ｘ用弧度作單位）(3)

(4)

(5)

(2)

(ｘ用弧度作單位）例6則解:設(shè)取，于是由（2）式得即結(jié)束

中值定理、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

定理1設(shè)函數(shù)滿足下列條件(3)(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，3.1.1羅爾定理ab使得幾何解釋如圖在直角坐標(biāo)系Oxy中曲線兩端點(diǎn)的連線平行于軸,其斜率為零故在曲線弧上定有一點(diǎn)使曲線在該點(diǎn)的切線平行于弦，即平行于軸。即則在區(qū)間內(nèi)至少存在(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；定理2設(shè)函數(shù)滿足下列條件一點(diǎn)，使得3.1.2拉格朗日中值定理曲線處處有不垂直于軸的切線如圖在直角坐標(biāo)系Oxy端點(diǎn)連線AB的斜率為所以定理實(shí)際是說存在點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線T平行于弦AB。即2.在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，1.在閉區(qū)間上連續(xù)；定理3Cauchy中值定理則在區(qū)間內(nèi)定有點(diǎn)使得3.1.3柯西中值定理設(shè)函數(shù)與滿足如下條件：Rolle定理是Lagrange定理的特例:

在Lagrange中值定理中如果

則Lagrange中值定理變成Rolle定理；Cauchy定量是Lagrange定理的推廣在Cauchy中值定理中如果，

則Cauchy化為Lagrange中值定理。三個中值定理的關(guān)系

如果在某極限過程下,函數(shù)f(x)與g(x)同時趨于零或者同時趨于無窮大，通常把的極限稱為未定式的極限，洛必達(dá)法則就是解決這類極限的工具。一般分為三種類型討論：3.2

洛必達(dá)法則1．型不定式2．型不定式．3．其它型不定式定理1設(shè)函數(shù)與在的某空心鄰域內(nèi)有定義，且滿足如下條件：存在或?yàn)?．型未定式．（為任意實(shí)數(shù)）例1求解例2求解例3

求

解

此定理的結(jié)論對于時型未定式同樣適用。例4求解

2．型不定式．的某空心鄰域內(nèi)有定義，且滿足如下條件與在該鄰域內(nèi)都存在，且則定理2設(shè)函數(shù)與在點(diǎn)例5求解:

定理2的結(jié)論對于時的型未定式的極限問題同樣適用。例6求解則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。即有能滿足定理中與應(yīng)滿足的條件，與還是型未定式，且如果如果反復(fù)使用洛必達(dá)法則也無法確定則洛必達(dá)法則失效.

此時需用別的辦法判斷未定式的極限。或能斷定的極限，無極限，例7求解這個問題是屬于型未定式，但分子分母分別求導(dǎo)后得此式振蕩無極限，故洛必達(dá)法則失效，不能使用。但原極限是存在的，可用下法求得3．其它型不定式未定式除和型外，還有

型、

型、等五種類型。

型、

型、

型、型或者型型：變?yōu)槔?求解型:通分相減變?yōu)樾屠?求（型）解型未定式:由于它們是來源于冪指函數(shù)的極限因此通?？捎萌?shù)的方法或利用即可化為型未定式，再化為型或型求解。例10求

解所以例11求解設(shè)所以（型）例12求（型）所以解3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值定理1設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則：1.若在(a,b)內(nèi),則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加2.若在(a,b)內(nèi),則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少。abab3.3.1

函數(shù)的單調(diào)性及判別法例2

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.可導(dǎo)，且等號只在x=0成立.解因?yàn)樗o函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)例1判定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加.解所以當(dāng)

x=-1,x=1時

x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)

x(-∞,0)(0,+∞)f′(x)

-

+f(x)

單增

單減解函數(shù)的定義域且在定義域內(nèi)連續(xù)例3確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。其導(dǎo)數(shù)為當(dāng)時不存在，且不存在使的點(diǎn)用把定義域分成兩個區(qū)間，見下表：

反之，如果對此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，恒有則稱為函數(shù)的一個極小值，稱為極小值點(diǎn)。

3.3.2函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若對此鄰域內(nèi)每一點(diǎn)，恒有，則稱是函數(shù)的一個極大值，稱為函數(shù)的一個極大值點(diǎn)；

函數(shù)的極大值極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。

ABCDE極值是局部的，只是與鄰近點(diǎn)相比較而言。并非在整個區(qū)間上的最大最小。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)也不是唯一的。如下圖中A、B、C、D、E都是極值點(diǎn)。從圖中可看出,極小值不一定小于極大值，如圖中D點(diǎn)是極小值，A點(diǎn)是極大值。定理3（極值第一判別法）：

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在此鄰域內(nèi)（可除外）可導(dǎo)（1）如果當(dāng)時，而當(dāng)時，則在取得極大值。（）如圖所示：在，在，在取得極大值。

（2）如果當(dāng)時，而當(dāng)時，則在取得極小值。（）如圖所示：在，在，在取得極小值。（3）如果在兩側(cè)的符號不變，則不是的極值點(diǎn)，如圖示（）(4)利用定理3,判斷(2)中的點(diǎn)是否為極值點(diǎn),如果是

求極值點(diǎn)的步驟：(1)求函數(shù)的定義域(有時是給定的區(qū)間);(3)用(2)中的點(diǎn)將定義域(或區(qū)間)分成若干個子區(qū)間,進(jìn)一步判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).(2)求出,求出使的點(diǎn)及不存在的點(diǎn);討論在每個區(qū)間的符號;(5)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值,得函數(shù)的全部極值.

例4求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解函數(shù)的定義域?yàn)榱?得駐點(diǎn)這三個點(diǎn)將定義域分成四個部分區(qū)間，列表如下極大值極小值

令得由于定理4(極值的第二判別法)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有

二階導(dǎo)數(shù)，且，；（1）若，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)；（2）若，則是函數(shù)的極大值點(diǎn)；例5求函數(shù)的極值.解函數(shù)的定義域?yàn)樗詾闃O大值,為極小值.

3.3.3函數(shù)的最大值與最小值是函數(shù)在所考察的區(qū)間上全部函數(shù)值中最大者和最小者最小的就是函數(shù)在區(qū)間上的最小值。連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值可通過比較端點(diǎn)處的函數(shù)值和;1.區(qū)間2.區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)處的函數(shù)值；內(nèi)使不存在的點(diǎn)處的函數(shù)值。3.區(qū)間這些值中最大的就是函數(shù)在上的最大值,上的最大值與最小值是全局性的概念,函數(shù)在區(qū)間如下幾類點(diǎn)的函數(shù)值得到：

上的最大值和最小值。在駐點(diǎn)處函數(shù)值分別為在端點(diǎn)的函數(shù)值為最大值為最小值為解令，得駐點(diǎn)例6求函數(shù)

在區(qū)間比較上述5個點(diǎn)的函數(shù)值，即可得在區(qū)間上的M1xyoM2M1xyoM23.4.1曲線的凹凸與拐點(diǎn)定義1：如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧總是位于其切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間上是凹的。如圖所示3.4函數(shù)圖形的描繪

如果曲線弧總是位于其切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間上是凸的。如下圖：

當(dāng)曲線為凹時，曲線的切線斜率隨著的增加而增加，即是增函數(shù)；反之，當(dāng)曲線為凸時，曲線的切線斜率隨著的增加而減少，即是減函數(shù)。

M1xM2yoM1xyoM2定理1

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)（1）如果∈時，恒有，則曲線在內(nèi)為凹的；（2）如果∈時，恒有，則曲線在內(nèi)為凸的。定義2曲線上凹與凸的部分的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)既然是凹與凸的分界點(diǎn)，所以在拐點(diǎn)的某鄰域內(nèi)必然異號，因而在拐點(diǎn)處或不存在。例1求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。解令，得，

列表如下有拐點(diǎn)有拐點(diǎn)

可見,曲線在區(qū)間內(nèi)為凹的，在區(qū)間內(nèi)為凸的，曲線的拐點(diǎn)是和.

如果函數(shù)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，當(dāng)在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)不存在時，如果在點(diǎn)某空心鄰域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在且在的兩側(cè)符號相反，則點(diǎn)是拐點(diǎn)；如果兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號相同，則點(diǎn)不是拐點(diǎn).綜上所述，判定曲線的凹凸與拐點(diǎn)的步驟可歸納如下：（1）求一階及二階導(dǎo)數(shù)，；（2）求出及不存在的點(diǎn)；（3）以（2）中找出的全部點(diǎn)，把函數(shù)的定義域分成若干部分區(qū)間，列表考察在各區(qū)間的符號，從而可判定曲線在各部分區(qū)間的凹凸與拐點(diǎn)。

例2求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。

解函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時，，故以將定義域分成三個區(qū)間，列表如下：

+0

－0+有拐點(diǎn)有拐點(diǎn)

在處，曲線上對應(yīng)的點(diǎn)與為拐點(diǎn)。

3.4.2曲線的漸近線有些函數(shù)的定義域或值域是無窮區(qū)間，此時函數(shù)的圖形向無限遠(yuǎn)處延伸，如雙曲線、拋物線等。有些向無窮遠(yuǎn)延伸的曲線，越來越接近某一直線的趨勢，這種直線就是曲線的漸近線。定義3如果曲線上一點(diǎn)沿著曲線趨于無窮遠(yuǎn)時，該點(diǎn)與某直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線。1．水平漸近線如果曲線的定義域是無窮區(qū)間，且有或,則直線為曲線的漸近線，稱為水平漸近線.如下圖xyoxyo例3求曲線的水平漸近線。

解因?yàn)樗允乔€的一條水平漸近線，如圖示2、鉛直漸近線如果曲線滿足或

則稱直線為曲線的鉛直漸近線（或垂直漸近線），如圖例４求曲線的鉛直漸近線。解因?yàn)樗允乔€的一條鉛直漸近線。如前頁圖所示3.4.3函數(shù)圖形的作法函數(shù)的圖形有助于直觀了解函數(shù)的性質(zhì)，所以研究函數(shù)圖形的描繪方法很有必要，現(xiàn)在綜合上面對函數(shù)性態(tài)的研究，可以得出描繪函數(shù)圖形的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）確定函數(shù)的奇偶性（曲線的對稱性）和周期性；（3）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;（4）確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)；（5）考察曲線的漸近線；（6）算出一些點(diǎn)，特別是曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。（7）用平滑的曲線連接各點(diǎn)。例5作函數(shù)的圖形。解（1）定義域?yàn)?（2）求函數(shù)的增減區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；因?yàn)?，令得；令得列表如?－3－20

－

－0+

－

－0+

+

+

（3）漸近線：因?yàn)樗詾樗綕u近線；

又因?yàn)?，所以為鉛直漸近線。

（4）描出幾個點(diǎn)：xyo如圖所示作出函數(shù)圖形

例6在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，會經(jīng)常遇到函數(shù)試作出函數(shù)的圖形。

解（1）定義域：（－∞，+∞）；

（2）奇偶性：由于，故為偶函數(shù)，其圖形關(guān)于軸對稱；

（3）增減、極值、凹凸及拐點(diǎn)：

因?yàn)榱睿?；令，得，，?）漸近線所以是水平漸近線。

先作出函數(shù)在內(nèi)的圖形，然后利用對稱性作出區(qū)間內(nèi)的圖形，如圖

o

0(0，1)1（1，+∞）0－

－

0+列表討論如下其中，；

3.5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用3.5.1函數(shù)的變化率——邊際函數(shù)定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，邊際函數(shù)值。其含義為:當(dāng)時,x改變一個單位，相在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱為在點(diǎn)處的相應(yīng)地y約改變個單位．為的邊際函數(shù)。稱導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時,實(shí)際上，

解,所以,在時的邊際函數(shù)值。,試求例1設(shè)函數(shù)

邊際成本是總成本的變化率。設(shè)C為總成本，下面介紹幾個常見的邊際函數(shù):1．邊際成本為固定成本，則有為可變成本，為平均成本，為邊際成本，為產(chǎn)量，總成本函數(shù)平均成本函數(shù)邊際成本函數(shù)

例2已知某商品的成本函數(shù)為,求當(dāng)時的總成本，平均成本及邊際成本。解由令得邊際成本于是當(dāng)時總成本平均成本

Q

為多少時，平均成本最小?例3在例1中，當(dāng)產(chǎn)量解

所以,當(dāng)Q

=20時平均成本最小。2．收益

平均收益是生產(chǎn)者平均每售出一個單位產(chǎn)品所得到的收入，即單位商品的售價。邊際收益為總收益