非線性控制系統(tǒng)的分析樣本

第八章非線性控制系統(tǒng)分析一、教學(xué)目與規(guī)定：通過對(duì)本章內(nèi)容講授，讓學(xué)生結(jié)識(shí)到實(shí)際系統(tǒng)當(dāng)中抱負(fù)線性系統(tǒng)并不存在，構(gòu)成系統(tǒng)各元件，或多或少都存在著不同限度非線性，研究分析非線性系統(tǒng)辦法十分必要，也很重要。通過學(xué)習(xí)分析非線性系統(tǒng)相平面法和描述函數(shù)法，掌握分析非線性系統(tǒng)基本要領(lǐng)，規(guī)定學(xué)生能對(duì)某些常用非線性特性求描述函數(shù)，用描述函數(shù)辦法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，極限環(huán)存在與消除；純熟掌握二階線性系統(tǒng)相軌跡各種形狀，掌握非線性系統(tǒng)相平面分析辦法。二、授課重要內(nèi)容：1．非線性控制系統(tǒng)概述1）非線性控制系統(tǒng)特點(diǎn)2）非線性控制系統(tǒng)分析辦法2．常用非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)影響相平面法1）相平面基本概念2）相軌跡繪制等傾線法線性系統(tǒng)相平面分析非線性系統(tǒng)相平面分析描述函數(shù)法描述函數(shù)基本概念典型非線性特性描述函數(shù)3）非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析描述函數(shù)法（詳細(xì)內(nèi)容見講稿）三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及對(duì)學(xué)生規(guī)定（掌握、熟悉、理解、自學(xué)）掌握什么是非線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)特點(diǎn)、一階線性近似化辦法。理解描述函數(shù)概念及計(jì)算辦法，掌握非線性系統(tǒng)描述函數(shù)分析法。掌握相軌跡繪制辦法、線性二階系統(tǒng)相軌跡及奇點(diǎn)分析以及非線性系統(tǒng)相平面分析辦法。理解李亞普諾夫各類穩(wěn)定性定義及鑒定辦法。四、重要外語詞匯非線性控制系統(tǒng)nonlinearcontrolsystem相平面法phase-planemethod描述函數(shù)法descriptionfunctionmethod逆系統(tǒng)法inversesystemmethod等效增益equivalentgain繼電特性relaycharacteristic死區(qū)特性deadbandcharacteristic飽和特性saturationcharacteristic間隙特性clearancecharacteristic根軌跡rootlocus相軌跡phaselocus奇點(diǎn)oddnod奇線oddline偽線性系統(tǒng)fakelinearsystem五、輔助教學(xué)狀況（見課件）六、復(fù)習(xí)思考題什么是非線性系統(tǒng)？它有什么特點(diǎn)？常用非線性特性有哪些？非線性系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)辦法有哪些？描述函數(shù)分析法實(shí)質(zhì)是什么？試述描述函數(shù)概念及其求取辦法。如何運(yùn)用描述函數(shù)法來分析具備非線性環(huán)節(jié)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和極限環(huán)振蕩問題？試述相平面分析法實(shí)質(zhì)，為什么它是分析二階系統(tǒng)有效辦法？試?yán)L制二階線性系統(tǒng)相軌跡大體形狀，并從中找出相軌跡某些規(guī)律是什么？相軌跡繪制辦法有哪些？如何獲得e和e信號(hào)?如何可獲得e-e平面上相軌跡?試比較非線性系統(tǒng)中極限環(huán)和線性系統(tǒng)中無阻尼等幅振蕩異同。消除極限環(huán)有哪些辦法?七、參照教材（資料）1．《當(dāng)代控制工程》緒方勝彥著（盧伯英佟明安羅維銘譯）科學(xué)出版社參照該書第八章關(guān)于內(nèi)容。2．《自動(dòng)控制原理》天津大學(xué)李光泉主編機(jī)械工業(yè)出版社參照該書第八章關(guān)于內(nèi)容。八、講稿第八章非線性系統(tǒng)理論8.1.非線性系統(tǒng)特點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性控制系統(tǒng)相比，具備一系列新特點(diǎn)線性系統(tǒng)滿足疊加原理，而非線性控制系統(tǒng)不滿足疊加原理。圖8－1帶濾波器非線性系統(tǒng)2.非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性不但取決于控制系統(tǒng)固有構(gòu)造和參數(shù)，并且與系統(tǒng)初始條件以及外加輸入關(guān)于系。例：對(duì)于一由非線性微分方程X=-x(1–x)(8-1)描述非線性系統(tǒng)，顯然有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即x1=0和x2=1。將上式改寫為3.非線性系統(tǒng)也許存在自激振蕩現(xiàn)象4.非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，其輸出存在極其復(fù)雜狀況：跳躍諧振和多值響應(yīng)如圖8－3所示非線性彈簧輸出幅頻特性。圖8－3跳躍諧振與多值響應(yīng)(2)分頻振蕩和倍頻振蕩非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，其穩(wěn)態(tài)分量除產(chǎn)生同頻率振蕩外，還也許產(chǎn)生倍頻振蕩和分頻振蕩。如圖8－4所示波形。8.1.2研究非線性系統(tǒng)意義與辦法1.研究非線性系統(tǒng)意義1）實(shí)際控制系統(tǒng)，存在著大量非線性因素。這些非線性因素存在，使得咱們用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析時(shí)所得出結(jié)論，與實(shí)際系統(tǒng)控制效果不一致。線性系統(tǒng)理論無法解釋非線性因素所產(chǎn)生影響。2）非線性特性存在，并不總是對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響。2.研究非線性系統(tǒng)辦法1）相平面法是用圖解辦法分析一階，二階非線性系統(tǒng)辦法。通過繪制控制系統(tǒng)相軌跡，達(dá)到分析非線性系統(tǒng)特性辦法。2）描述函數(shù)法是受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)，而發(fā)展出一種分析非線性系統(tǒng)辦法。它是一種諧波線性化分析辦法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中推廣。3）計(jì)算機(jī)求解法是運(yùn)用計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力和高速度對(duì)非線性微分方程一種數(shù)值解法。8.2典型非線性特性數(shù)學(xué)描述及其對(duì)系統(tǒng)性能影響8.2.1飽和特性在電子放大器中常用一種非線性，如圖8－5所示，飽和裝置輸入特性數(shù)學(xué)描述如下：8.2.2死區(qū)特性死區(qū)特性也稱為不敏捷區(qū)，如圖8-6所示。其數(shù)學(xué)描述如下：8.2.3間隙

如圖8-7所示，它數(shù)學(xué)描述如下：8.2.4繼電特性在使用繼電特性時(shí)，有四種可供選取形態(tài)，如圖8－8所示具死區(qū)繼電特性具磁滯回環(huán)繼電特性具磁滯回環(huán)和死區(qū)繼電特性8.3描述函數(shù)法8.3.1描述函數(shù)概念

描述函數(shù)合用于具備如下特點(diǎn)非線性系統(tǒng)。1.系統(tǒng)線性某些和非線性環(huán)節(jié)可以分離。如圖8－9所示，圖中NL為非線性環(huán)節(jié)，G為線性某些傳遞函數(shù)。2.非線性特性具奇對(duì)稱特性，且輸入輸出關(guān)系為靜特性。3.線性某些應(yīng)具良好低通濾波特性。若滿足以上條件，描述函數(shù)可定義為非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量與輸入正弦量復(fù)數(shù)比。假定，給非線性環(huán)節(jié)輸入為正弦量(8-9)普通狀況下，其輸出為周期函數(shù)，可展開成傅立葉級(jí)數(shù)式中，由于非線性為奇對(duì)稱特性，因此A0＝0。而(8-10)由式（8－14）可知，描述函數(shù)是輸入振幅A函數(shù)，是一種可變?cè)鲆娣糯笙禂?shù)8.3.2典型非線性描述函數(shù)2.死區(qū)特性具死區(qū)和磁滯回環(huán)繼電特性描述函數(shù)N（A）為當(dāng)a＝0時(shí)，可求如圖8－14所示繼電特性描述函數(shù)為當(dāng)m＝1，a≠0時(shí)，可求如圖8－15所示具死區(qū)繼電特性描述函數(shù)為當(dāng)m＝－1時(shí)，可求得如圖8－16所示具滯環(huán)繼電特性描述函數(shù)為8.3.3多重非線性描述函數(shù)1.串聯(lián)非線性如圖8－17所示串聯(lián)非線性。串聯(lián)非線性特性描述函數(shù)絕不等于兩個(gè)非線性描述函數(shù)乘積。假定圖8－17中NL1為死區(qū)非線性，NL2為飽和非線性，它們串聯(lián)后復(fù)合非線性如圖8－18所示N(A)=N1(A)+N2(A)8.3.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)

一非線性系統(tǒng)構(gòu)造如圖8－21所示，假定輸入為零，圖中N（A）為非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)圖8－21非線性系統(tǒng)綜合公式（8－35）（8－36）可得出系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩條件為由公式（8－37），將乃魁斯特判據(jù)推廣應(yīng)用于非線性系統(tǒng)，可判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性：線性某些為最小相位系統(tǒng)，例:一繼電控制系統(tǒng)構(gòu)造如圖8－23所示。繼電器參數(shù)a＝1，b＝3，試分析系統(tǒng)與否產(chǎn)生自激振蕩，若產(chǎn)生自激振蕩，求出振幅和振蕩頻率。若要使系統(tǒng)不產(chǎn)生自激振蕩，應(yīng)如何調(diào)節(jié)繼電器參數(shù)。8.4相平面法8.4.1相軌跡及其繪制辦法對(duì)于一任意二階非線性微分方程x+f(x,x)=0令x1=x,x2=x1=x則x1=x2,x2=-f(x1,x2)寫成普通形式有x1=P(x1，x2)x2=Q(x1,x1)于是有軸，x2為縱坐標(biāo)平面上繪制一條x2與x1關(guān)系曲線，咱們把這樣一條軌線稱為相軌跡，由一族相軌跡構(gòu)成圖像稱為相平面圖。而式（8－41）是相軌跡上某點(diǎn)處切線斜率。相軌跡上除平衡點(diǎn)外任意一點(diǎn)只有一根相軌跡通過?？芍?，相軌跡在平衡點(diǎn)附近切線斜率不定，意味著有無窮多根相軌跡到達(dá)或離開平衡點(diǎn)。依照上式可在相平面上繪制一條線，相軌跡通過這條線上各點(diǎn)時(shí)，其切線斜率都相同，咱們稱之為等傾線。如果取不同值，可在相平面上繪制一系列等傾線。如圖8－27所示。3）重根此時(shí)若a+d<0，此時(shí)稱奇點(diǎn)為退化穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，若a+d>0，奇點(diǎn)稱為退化不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，相應(yīng)相軌跡如圖8－30所示。2.極限環(huán)相平面圖上一根孤立封閉相軌跡稱為極限環(huán)。它相應(yīng)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生自激振蕩。如圖8－33所示。極限環(huán)有穩(wěn)定，不穩(wěn)定和半穩(wěn)定。如圖8-34（a）,(b),（c）所示。8.4.3用相平面法分析非線性系統(tǒng)

用相平面法分析非線性系統(tǒng)環(huán)節(jié)如下：1.依照非線性特性將相平面劃分為若干區(qū)域，建立每個(gè)區(qū)域線性微分方程來描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性；2依照分析問題需要，恰當(dāng)選取相平面坐標(biāo)軸，普通為，或作為相平面坐標(biāo)軸；3.依照非線性特性建立相平面上切換線方程，必要注意是，切換線方程變量應(yīng)與坐標(biāo)軸所選坐標(biāo)變量一致；4.求解每個(gè)區(qū)域微分方程，繪制相軌跡;；5.平滑地將各個(gè)區(qū)域相軌跡連起來，得到整個(gè)系統(tǒng)相軌跡。據(jù)此可用來分析非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性。例：如圖8-36