中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：利用方程思想求解幾何計(jì)算問(wèn)題

利用方程思想求解幾何計(jì)算問(wèn)題近年各地中考中的幾何計(jì)算問(wèn)題，融幾何推理與代數(shù)運(yùn)算于一體，賦予了幾何圖形豐富的動(dòng)態(tài)背景（或點(diǎn)、線、面的運(yùn)動(dòng)元素，或圖形的變換），融進(jìn)了幾何核心知識(shí)（全等、相似、銳角三角函數(shù)、勾股定理等）．而相似圖形中邊與邊的比例關(guān)系式，銳角三角函數(shù)中邊與角的關(guān)系表達(dá)式，面積與邊的關(guān)系表達(dá)式，勾股定理中邊與邊之間的關(guān)系式，以及幾何量之間存在的等量關(guān)系式等，都具備了方程的特性，它們是運(yùn)用方程解決幾何計(jì)算問(wèn)題的基礎(chǔ)．試題如圖1，在矩形ABCD中，把∠B,∠D分別翻折，使點(diǎn)B,D恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)E.F處，折痕分別為CM,AN．(1)求證：△ADN≌△CBM；(2)請(qǐng)連結(jié)MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形；四邊形MFNE是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)P,Q是矩形的邊CD,AB上的兩點(diǎn)，連結(jié)PQ,CQ,MN，如圖2所示．若PQ＝CQ，PQ∥MN，且AB＝4cm，BC＝3cm，求PC的長(zhǎng)度．分析本題第(3)問(wèn)關(guān)于幾何量的計(jì)算問(wèn)題，包含兩個(gè)對(duì)稱翻折變換的模型，應(yīng)充分借助圖形翻折變換的背景挖掘翻折變換性質(zhì)，根據(jù)解題需要，利用幾何知識(shí)如全等、相似、銳角三角函數(shù)、勾股定理、面積的幾何意義等建立已知與未知之間的邊與邊、邊與角之間關(guān)系方程．要求PC，須先求出與之關(guān)聯(lián)密切AM與BM(或CN與DN)，再過(guò)渡到相關(guān)的圖形中求PC．因此，求解的思路應(yīng)分兩步，第一步：求AM與BM(或CN與DN)．評(píng)注本解法的關(guān)鍵是，找到兩個(gè)三角形相似的元素，和通過(guò)三角形相似轉(zhuǎn)化建立邊與邊之間的比例關(guān)系式方程．解法二由矩形性質(zhì)和翻折變換性質(zhì)可知，評(píng)注本解法的關(guān)鍵是，將兩個(gè)關(guān)聯(lián)的直角三角形的銳角三角函數(shù)（即邊與角的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形邊之間的比例關(guān)系．解法三如圖3，設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，EF＝x．評(píng)注本解法的關(guān)鍵是，并利用直線AC上相關(guān)線段間的和差關(guān)系建立方程，并求得AE(或CF)．這樣，為在Rt△AEM中運(yùn)用勾股定理建立方程求AM(或CN)創(chuàng)造了條件．解法四設(shè)BM＝x，則ME＝x，評(píng)注本解法關(guān)鍵是，利用兩個(gè)關(guān)聯(lián)三角形的面積之和是矩形面積一半的關(guān)系列方程．解法五由折疊可知，AN是∠DAC的角平分線，則．設(shè)DN＝x，則CN＝4－x，評(píng)注本解法運(yùn)用角平分線的性質(zhì)巧妙地將關(guān)聯(lián)的兩個(gè)三角形的邊聯(lián)系起來(lái)，構(gòu)造出線段之間的比例式方程．解法六如圖3，設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，EF＝x．評(píng)注本解法關(guān)鍵是，利用線段AC上存在的等量關(guān)系構(gòu)造方程求出CF，再將兩個(gè)有相等銳角的直角三角形邊與角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為比例式，由此求出DN和CN．第二步：求PC．解法一如圖4，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥CD于點(diǎn)G．評(píng)注本解法關(guān)鍵是通過(guò)作等腰△PCQ底邊上的高，利用等腰三角形和平行四邊形性質(zhì)，用代數(shù)式表示出幾個(gè)有關(guān)聯(lián)的線段，進(jìn)而利用關(guān)聯(lián)的等腰△PCQ的底PC和平行四邊形PNMQ的底PN與CN之間存在的等量關(guān)系列方程．解法二如圖4，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥CD于點(diǎn)G，設(shè)CG＝x，評(píng)注本解法關(guān)鍵是，通過(guò)幾何圖形的割補(bǔ)，并用未知量表示圖中各部分面積，并建立起相關(guān)圖形面積之間的等量關(guān)系，解法三如圖4，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥CD于點(diǎn)G．評(píng)注通過(guò)(1)和(2)的推理計(jì)算可知，S梯形BCNM＝S矩形ABCD，由此建立關(guān)于圖形中邊與邊之間的方程式．由上可見(jiàn)，方程在解決幾何計(jì)算問(wèn)題的過(guò)程中，起著牽線搭橋、溝通數(shù)量關(guān)系的作用，利用線段之間蘊(yùn)含的等量關(guān)系、圖形的性