2023年中考數(shù)學(xué)考前第25講：數(shù)學(xué)文化性問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第25講：數(shù)學(xué)文化性問題

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展。數(shù)學(xué)作為

一種文化現(xiàn)象，早已是人們的常識。在近幾年的中考中，以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)題越來越

多，只要我們平時注意積累和了解這方面的常識，解題時注意審題，實現(xiàn)載體與考點的有效

轉(zhuǎn)化，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，問題便可迎刃而解.

此類問題涉及到古代數(shù)學(xué)名著中關(guān)于數(shù)學(xué)計算的典例事例分析，或者典型問題展示，也

會涉及到古代著名數(shù)學(xué)家提出的相關(guān)問題，首先理解問題內(nèi)容，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言進行解答

即可，難度一般不大。

主要類型有以科技或數(shù)學(xué)時事為題材、以數(shù)學(xué)名著為題材、以數(shù)學(xué)名人為題材.

【例題1】《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它

的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負術(shù)和方程術(shù).其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成

就.《九2x=-6章算術(shù)》中記載：“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問

人數(shù)、雞價各幾何？"

譯文："假設(shè)有幾個人共同出錢買雞，如果每人出九錢，那么多了十一錢；

如果每人出六錢，那么少了十六錢.問：有幾個人共同出錢買雞？雞的價錢是多少？”

設(shè)有X個人共同買雞，根據(jù)題意列一元一次方程，正確的是（）

A.9x+ll=6x-16B.9x-ll=6x+16

「X-Ilx+16Cx+11χ-16

C.---------z:---------D.---=----

9696

【例題2】《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，《九章算術(shù)》方程篇中有這樣一道題："今

有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及

之？”這是一道行程問題，意思是說：走路快的人走100步的時候，走路慢的才走了60步；

走路慢的人先走IOO步，然后走路快的人去追趕，問走路快的人要走多少步才能追上走路慢

的人？如果走路慢的人先走100步，設(shè)走路快的人要走X步才能追上走路慢的人，那么,

第1頁共19頁

下面所列方程正確的是（）

λX_XTOo_X_X-IOo_X_x+100CX_x+100

-6O^IOO100-6060^100-100-60

一、選擇題：

1.秦九韶算法是中國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項式簡化算法，對于求一個〃

次多項式函數(shù)工（X）=即/+?！耙槐籸+…+α∣x+ao的具體函數(shù)值,運用常規(guī)方法計算出結(jié)果最

多需要〃次加法和“?L-次乘法，而運用秦九韶算法由內(nèi)而外逐層計算一次多項式的值

2

的算法至多需要”次加法和〃次乘法.對于計算機來說，做一次乘法運算所用的時間比做一

次加法運算要長得多，所以此算法極大地縮短了CPU運算時間，因此即使在今天該算法仍

具有重要意義.運用秦九韶算法計算7（x）=0.5∕+4χ5-χ4+3χ3-5χ當(dāng)X=3時的值時，最先

計算的是（）

A.-5×3=-15

B.0.5×3+4=5.5

C.3x33-5x3=66

D.0.5×36+4×35=l336.6

2.“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸.問井深幾何？”

這是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由圖獲得，則井深

為（）

ESD

A.1.25尺B.57.5尺C.6.25尺D.56.5尺

3.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題："今有黃金九枚，白銀一十

一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃

金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚黃金重量相同），稱重兩袋相等,

兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13輛（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重

多少兩？設(shè)每枚黃金重X輛，每枚白銀重y輛，根據(jù)題意得（）

PIX=即OQy+x=8τ+y

hθy+jr）-（Sr÷y）=13?+13=Ily

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fftχ?=1Iy網(wǎng)=IlP

C.?D.

H8,x+>,)-(10j,+j)=13KlQy+x)-(8x+y)=13

4.我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢，甜果苦

果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設(shè)買

甜果X個，買苦果N個，則下列關(guān)于X,y的二元一次方程組中符合題意的是(D)

f+y=999,(fc+y=1000,

?-lgx+*l000

BI1+4=999

4+尸1000,

fv+y=1000,I

CInJx+3=999

b9x+28y=999DJ

5.如圖示，若aABC內(nèi)一點P滿足NPAC=NPBA=NPCB,則點P為AABC的布洛卡點.三角

形的布洛卡點(BroCardPoint)是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾(A.L.Crelle1780-

1855)于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意，1875年，布洛卡點被一

個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡(BrOCard1845-1922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.問

題：已知在等腰直角三角形DEF中，∕EDF=9tr,若點Q為ADEF的布洛卡點，DQ=I,則EQ+FQ=

A.5B.4C.3+√2D-2+72

二、填空題：

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦,

已知3匹小馬能拉1片瓦，1匹大馬能拉3片瓦，求小馬、大馬各有多少匹.若設(shè)小馬有X

匹，大馬有y匹，依題意，可列方程組為.

7.《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問牛、羊

各直金幾何？"

譯文："假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩：2頭牛、5只羊，值金8兩.問每頭牛、只羊

各值金多少兩？"

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5x+2y=10

設(shè)每頭牛值金X兩，每只羊值金y兩，可列方程組為「

2x+5y=8

8.閱讀理解：如圖ZIl①，。。與直線”,b都相切.不論。。如何轉(zhuǎn)動，直線0,6之間的

距離始終保持不變（等于。。的直徑）.我們把具有這一特性的圖形稱為“等寬曲線圖②是

利用圓的這一特性的例子.將等直徑的圓棍放在物體下面，通過圓棍滾動，用較小的力就可

以推動物體前進.據(jù)說，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)?

3:

圖ZIl

拓展應(yīng)用：如圖8①所示的弧三角形（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”，如圖②，夾在平

行線c,"間的萊洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變.若直線c,d之間的距

離等于2cm,則萊洛三角形的周長為cm.

9.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計

的.弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖Zl1—5）.如

果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為仇那么COSe的

值等于.

10.我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題："枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏

繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？"題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，

因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五

周后其末端恰好到達點B處，則問題中葛藤的最短長度是一尺.

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三、解答題：

II.閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)α,b,C稱為勾股數(shù).世界上第一

次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為：

a=%12-吟，

2

<b=mn,

22

c=l(m+n).

2

其中m>n>O,m,n是互質(zhì)的奇數(shù).

應(yīng)用：當(dāng)〃=1時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長.

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13.【閱讀教材】

寬與長的比是U(約為0.618)的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感,

2

世界各國許多著名的建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計，下面我們用寬

為2的矩形紙片折疊黃金矩形.(提示：≡=2)

第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平.

第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平.

第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線NB,并把N8折到圖③中所示的4。處.

第四步，展平紙片，按照所得的點。折出。區(qū)使DELND,則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形.

【問題解決】

⑴圖③中/8=_3_(保留根號)；

(2)如圖③，判斷四邊形8/1。。的形狀，并說明理由；

(3)請寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個說明理由.

【實際操作】

(4)結(jié)合圖④.請在矩形BCQE中添加一條線段，設(shè)計一個新的黃金矩形，用字母表示出來，

并寫出它的長和寬.

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14.閱讀以下材料：

對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(jNa加er,1550—1617年)，納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)

書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(EHer,1707—1783年)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間

的聯(lián)系.

對數(shù)的定義：一般地，若a'=N(a>0,a≠l),那么X叫做以a為底N的對數(shù)，記作：x=ZogaN.

比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為4=∕og216,對數(shù)式2=∕ogs25可以轉(zhuǎn)化為52≈25.

我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

Zoga(M-N)=∕ogaM+∕ogaN(a>0,a≠l,M>0,N>0)i理由如下：

設(shè)∕ogaM=m,∕ogaN=n,則M=anι,N=an,

ΛM?N=am?an=am+n,

由對數(shù)的定義得m+n=∕oga(M?N).

又:m+n=IogaM+IogaN,

?*?∕θga(MN)=∕θgaM+∕θgaN.

解決以下問題：

⑴將指數(shù)43=64轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；

(2)證明：IogP-=log,M-togaN(a>O,a≠l,M>0,N>0)；

N

(3)拓展運用：計算∕og32+log36—∕og34=.

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15.閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

斐波那契（約1170-1250）是意大利數(shù)學(xué)家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙，被稱為

斐波那契數(shù)列（按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）.后來人們在研究它的過程中，發(fā)

現(xiàn)了許多意想不到的結(jié)果，在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)

恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù).斐波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì)，在實際生活中也有廣泛的應(yīng)

用.

斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)可以用」［（JY、尸-（＞、'力表示（其中，n”）.這是用

√522

無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例.

任務(wù)：請根據(jù)以上材料，通過計算求出斐波那契數(shù)列中的第1個數(shù)和第2個數(shù).

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2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第25講：數(shù)學(xué)文化性問題答案解

析

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展。數(shù)學(xué)作為

一種文化現(xiàn)象，早已是人們的常識。在近幾年的中考中，以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)題越來越

多，只要我們平時注意積累和了解這方面的常識，解題時注意審題，實現(xiàn)載體與考點的有效

轉(zhuǎn)化，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，問題便可迎刃而解.

此類問題涉及到古代數(shù)學(xué)名著中關(guān)于數(shù)學(xué)計算的典例事例分析，或者典型問題展示，也

會涉及到古代著名數(shù)學(xué)家提出的相關(guān)問題，首先理解問題內(nèi)容，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言進行解答

即可，難度一般不大。

主要類型有以科技或數(shù)學(xué)時事為題材、以數(shù)學(xué)名著為題材、以數(shù)學(xué)名人為題材.

【例題1】《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它

的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負術(shù)和方程術(shù).其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成

就.《九2x=-6章算術(shù)》中記載：“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問

人數(shù)、雞價各幾何？"

譯文："假設(shè)有幾個人共同出錢買雞，如果每人出九錢，那么多了十一錢；

如果每人出六錢，那么少了十六錢.問：有幾個人共同出錢買雞？雞的價錢是多少？”

設(shè)有X個人共同買雞，根據(jù)題意列一元一次方程，正確的是（）

C.-X-----I--l--=-x--+--1--6--DC.-x--+-1--1---=-x---T--6---

9696

【分析】可設(shè)有X個人共同買雞，等量關(guān)系為：9χ買雞人數(shù)-ll=6χ買雞人數(shù)+16,即可解

答.

【解答】解：設(shè)有X個人共同買雞，可得：9χ-ll=6x+16,

故選：B.

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【點評】此題考查考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)雞價得到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

【例題2】《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，《九章算術(shù)》方程篇中有這樣一道題："今

有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及

之？”這是一道行程問題，意思是說：走路快的人走IOO步的時候，走路慢的才走了60步；

走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追趕，問走路快的人要走多少步才能追上走路慢

的人？如果走路慢的人先走100步，設(shè)走路快的人要走X步才能追上走路慢的人，那么,

下面所列方程正確的是()

λXXTOodXXTOoXHlOO??+100

'60?100100二6060^100-100^60

【分析】設(shè)走路快的人要走X步才能追上走路慢的人，根據(jù)走路快的人走100步的時候，走

路慢的才走了60步可得走路快的人與走路慢的人速度比為IOO：60,利用走路快的人追上

走路慢的人時，兩人所走的步數(shù)相等列出方程，然后根據(jù)等式的性質(zhì)變形即可求解.

【解答】解：設(shè)走路快的人要走X步才能追上走路慢的人，而此時走路慢的人走了衛(wèi)工步,

100

根據(jù)題意，得X=2興+100,

100

整理，得/=上要

10060

故選：B.

一、選擇題：

1,秦九韶算法是中國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項式簡化算法，對于求一個〃

次多項式函數(shù)A(X)=αwx"+""一出r+…+mx+αo的具體函數(shù)值,運用常規(guī)方法計算出結(jié)果最

多需要〃次加法和次乘法，而運用秦九韶算法由內(nèi)而外逐層計算一次多項式的值

2

的算法至多需要〃次加法和〃次乘法.對于計算機來說，做一次乘法運算所用的時間比做一

次加法運算要長得多，所以此算法極大地縮短了CPU運算時間，因此即使在今天該算法仍

具有重要意義.運用秦九韶算法計算/(x)=0.5χ6+4χ5-K+3χ3-5X當(dāng)χ=3時的值時，最先

計算的是()

A.-5×3=-15

B.0.5x3+4=5.5

C.3x33-5x3=66

D.0.5x36+4x35=1336.6

解析：y(x)=0.5x6÷4x5-x4÷3x3-5x=(((((0.5x÷4)χ-l)x÷3)x÷0)χ-5)x,

然后由內(nèi)向外計算，最先計算的是0.5x3+4=5.5.答案B

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2.“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸.問井深幾何？”

這是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何'’問題，它的題意可以由圖獲得，則井深

為（）

4D

A.1.25尺B.57.5尺C.6.25尺D.56.5尺

【解析】如圖，由題意，BC//DE,從而BFSAADE,因此西=坐，即空=_^―,

DEAD55+BD

解得80=57.5,所以井深為57.5尺.

3.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題："今有黃金九枚，白銀一十

一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃

金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚黃金重量相同），稱重兩袋相等,

兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13輛（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重

多少兩？設(shè)每枚黃金重X輛，每枚白銀重y輛，根據(jù)題意得（）

ph=9rilO>?+x=8Λ+}'

klO>,+x）-（8Lr÷>>）=13Iftr+13=1Iv

rthr=1Iy產(chǎn)=[1），

k&x+y,）-（10>,+x）=13H10y+x）-（8lv+y）=13

【分析】根據(jù)甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚黃金

重量相同），稱重兩袋相等，由此得9x=11y;兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13輛

（袋子重量忽略不計）,由此得（IOy+x）-（8×+y）=13,從而得出答案.

/=1Iy

【解析】【解答】解：依題可得:

Hl0y+.x)-(8,v+))=13

故答案為：D

第11頁共19頁

4.我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢，甜果苦

果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設(shè)買

甜果X個，買苦果y個，則下列關(guān)于X,y的二元一次方程組中符合題意的是(D)

x+y=999,'x+y=?000,

卜+為=999

1OOO

k+y=IOo0,

x+y=?000,J

c'[99x+28y≈999?,曲+》=999

分析：先設(shè)甜果、苦果的個數(shù)分別是X個和y個，根據(jù)共買了Iooo個和花去999文錢，列

出代數(shù)式，求出X,y的值即可.

解答：設(shè)甜果、苦果的個數(shù)分別是X個和y個，根據(jù)題意得：

∫z+ι∕=IOOO

I??+:y=999

fz=657

解得:I?,-313.

則甜果、苦果的個數(shù)分別是657和343.

故選C.

5.如圖示，若AABC內(nèi)一點P滿足NPAC=/PBA=NPCB,則點P為AABC的布洛卡點.三角

形的布洛卡點(Brocardpoint)是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾(A.L.Crelle1780-

1855)于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意，1875年，布洛卡點被一

個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡(BroCard1845-1922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.問

題：已知在等腰直角三角形DEF中，NEDF=9(Γ,若點Q為aDEF的布洛卡點，DQ=I,則EQ+FQ=

()

A.5B.4C.3+√2D?2+√2

【分析】由ADQFS∕?FQE,推出坐=坐="=下=,由此求出EQ、FQ即可解決問題.

FQQEEF√2

【解答】解：如圖，在等腰直角三角形ADEF中，ZEDF=90°,DE=DF,/1=/2=/3,

第12頁共19頁

i

VZl+ZQEF=Z3+ZDFQ=45o,

ΛZQEF=ZDFQ,VZ2=Z3,

???△DQFs△FQE,

,DQ_FQ_DF_X

β,FQ"QE'EF"√2,

VDQ=I,

?*?FQ=√2>EQ=2,

/.EQ+FQ=2+√2>

故選D

二、填空題：

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：IOO匹馬恰好拉了IOO片瓦,

已知3匹小馬能拉1片瓦，1匹大馬能拉3片瓦，求小馬、大馬各有多少匹.若設(shè)小馬有X

匹，大馬有y匹，依題意，可列方程組為.

【分析】設(shè)小馬有X匹，大馬有y匹，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①大馬數(shù)+小馬數(shù)=IO0；②

大馬拉瓦數(shù)+小馬拉瓦數(shù)=IOo,根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可.

fx+y=100

【解答】解：設(shè)小馬有X匹，大馬有y匹，依題意，可列方程組為IX

∣y+3y=100

x+y=100

故答案是：

?3y=100

?

7.《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問牛、羊

各直金幾何？"

譯文："假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩.問每頭牛、只羊

各值金多少兩？"

設(shè)每頭牛值金X兩，每只羊值金y兩，可列方程組為儼+2-10.

2x+5v=8

【分析】根據(jù)"假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩"，得到等量

關(guān)系，即可列出方程組.

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【解答】解：根據(jù)題意得：!5x+1尸］:

I2x+5y=8

故4.答_案.λ為,：《f5x+2'y=10.

I2x+5y=8

8.閱讀理解：如圖ZIl①，。。與直線”，b都相切.不論。。如何轉(zhuǎn)動，直線”，b之間的

距離始終保持不變（等于。。的直徑）.我們把具有這一特性的圖形稱為“等寬曲線圖②是

利用圓的這一特性的例子.將等直徑的圓棍放在物體下面，通過圓棍滾動，用較小的力就可

以推動物體前進.據(jù)說，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)?

Φ②

圖ZIl

拓展應(yīng)用：如圖8①所示的弧三角形（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”，如圖②，夾在平

行線。，"間的萊洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變.若直線c,d之間的距

離等于2cm,則萊洛三角形的周長為cm.

【解析】由題意知，萊洛三角形周長是半徑為2,圓心角是60。的三段弧長的和，他出χ3

180

=2π.

9.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計

的.弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖Z11-5）.如

果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為仇那么cos0的

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∣Z)

3

ΛC

?；大正方形的面積為25,小正方形的面積為1,

二大正方形邊長/0=5,小正方形的邊長EF=I.設(shè)DE=AF=x,

2

在如E中，由勾股定理，得∕E+DE2=J4D2,

Λ（x+l）2+x2=52,解得Xi=-4（舍去），X2=3,

AF4

即￡>E=3,AE—3+1—4,.'.cosθ-cosZDAE-----=-.

AD5

10.我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題："枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏

繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？"題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，

因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五

周后其末端恰好到達點B處，則問題中葛藤的最短長度是25尺.

【分析】這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下

圖，所以是個直角三角形求斜邊的問題，根據(jù)勾股定理可求出.

【解答】解：如圖，一條直角邊（即枯木的高）長20尺，

另一條直角邊長5x3=15（尺），

因此葛藤長為面耳"亨=25（尺）.

三、解答題:

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11.閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)。，h9Cf稱為勾股數(shù).世界上第一

次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為：

a=1(m2-吟，

2

?b=mn,

22

c=l(m+n).

2

其中m>">0,m,〃是互質(zhì)的奇數(shù).

應(yīng)用：當(dāng)〃=1時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長.

解：當(dāng)〃=1時，a=—?—D①,b=m②,C=；(加2+1)③，

因為直角三角形有一邊長為5,分情況如下：

情況1：當(dāng)〃=5時，即:(〃於一1)=5,解得〃7=±∕Π(舍去)；

情況2：當(dāng)6=5時，即加=5,再將它分別代入①③得〃=；X(52—1)=12,c=∣×(52+1)=13；

情況3：當(dāng)c=5時，即;(〃/+1)=5,m=±39因〃?>0,所以M=3,把加=3分別代入①②

得α=^x(32-1)=4,b=3.

綜上所述，直角三角形的另兩邊長為12,13或3,4.

12..我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五

頭，下有九十四足.問雞兔各幾何.”其大意是：“有若干只雞和兔關(guān)在同一籠子里，它們一

共有35個頭，94條腿.問籠中的雞和兔各有多少只？”試用列方程(組)解應(yīng)用題的方法求出

問題的解.

解：設(shè)雞有X只，兔有歹只.

依題意，得卜+'=35，解得『=23,

2x+4y=94,Iy=I2.

答：雞有23只，兔有12只.

13.【閱讀教材】

寬與長的比是嚀與約為0.618)的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，

世界各國許多著名的建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計，下面我們用寬

為2的矩形紙片折疊黃金矩形.(提示：腦V=2)

第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平.

第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平.

第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線/18,并把/8折到圖③中所示的/。處.

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第四步，展平紙片，按照所得的點。折出OE,使。NZ),則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形.

【問題解決】

(1)圖③中/8=_遭_(保留根號)；

(2)如圖③，判斷四邊形從的形狀，并說明理由；

(3)請寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個說明理由.

【實際操作】

(4)結(jié)合圖④.請在矩形8。E中添加一條線段，設(shè)計一個新的黃金矩形，用字母表示出來,

并寫出它的長和寬.

解：(2)四邊形氏4。0是菱形.

理由如下：；四邊形/C8/是矩形，.?.8Q/∕1O,...NE°∕=∕0∕D,由折疊得：/BAQ=

404,∕8=4O,.?.4=.?.8Q=48,.?.80=NO,?.?80∕^%O,四邊形

是平行四邊形????∕5=∕Z),.?.四邊形8/0。是菱形；

MFTBE_______]

NACD

⑶圖④中的黃金矩形有矩形8C0E、矩形"NOE,以黃金矩形BCDE為例，理由如下：YZO

=√5,AN=AC=?,.,.CD=AD-AC=?[5-?,又Y8C=2,故矩形BCOE

BC2

是黃金矩形；

(4)如圖，在矩形8COE上添加線段GH,使四邊形GCD，為正方形，此時四邊形8G//E為

所要作的黃金矩形長GH=4—1,寬BG=3一石,成=Ai=或二1

GH√5-