四川省綿陽某中學(xué)2022-2023學(xué)年高一年級下冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

四川省綿陽南山中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

2iiZ

設(shè)復(fù)數(shù)z=---（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

1+/

）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)。=$出20。/=3580（）1=3,則"也。大小關(guān)系（）

A.,B.,

b<a<ca<b<c

C.D.

c<b<aa<c<b

3.在v/8c中，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，則（）

A.CD^-AB+ACB.CD=--AB+AC

22

—1——

C.CD=--AB-ACD.CD=—AB-AC

22

4.在V"8C中，B=三，BC=4,且pc邊上的高等于2（7,則8s"=（）

44

A/B.立C._更_D.2后

55"T丁

5.已知函數(shù)〃x）=sin（ox+⑼[o>0,0<夕的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正

試卷第11頁，共33頁

確的是（）

A.〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)鳥,0）對稱

B.〃x）的圖象向右平移色個(gè)單位后得到，=sm2x的圖象

6

C.〃x）在區(qū)間［0,』的最小值為-立

_2J2

D./口+.］為偶函數(shù)

6.中國歷史文化名樓之一的越王樓，位于四川省綿陽市游仙區(qū)涪江畔，更因歷代詩人

登樓作詩而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測量越王樓的高度加7，在越王樓的正東方向找

到一座建筑物高約為49m,在地面上點(diǎn)o處（8,C,N三點(diǎn)共線）測得建筑物

頂部4越王樓頂部〃的仰角分別為30。和45。，在/處測得樓頂部”的仰角為15。，

A.69mB.95mC.98mD.99m

7.若把函數(shù)y=s嗚+；）的圖象向左平移"（"°）個(gè)單位長度后，得到八cos］

的圖象，則機(jī)的最小值為（）

試卷第21頁，共33頁

兀兀小兀兀

AA.—BID.—C.-CD.一2

12633

8.在直角AJ8C中，/8=3,ZC=4,8C=5，點(diǎn)M是A/48C外接圓上任意一點(diǎn)，則

而.赤的最大值為（）

A.6B.8C.10D.12

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則下列說法正確的是（）

A.z的共聊復(fù)數(shù)是J］B.z的虛部是i

C.￡=iD.m=播

z

io.已知兩個(gè)單位向量心圖的夾角為若三E+vN,則把有序數(shù)對

（X,力叫做向量工的斜坐標(biāo)，若￡=（不必），b=（x2,y2）'則（）

A.°-至=（占一%，必一為）B,同=Jx；+y；

CXa=（AX,,A^|）D.a'b=x}x2+^^2

11.己知函數(shù)〃切-211（8+3）（0#0,|同＜9，點(diǎn)］。,0）和（1,0］是其相鄰的兩個(gè)

對稱中心，且在區(qū)間仁，用）內(nèi)單調(diào)遞減，貝/一（）

A.-B.-C.--D.--

3636

12.已知M48c的內(nèi)角4B，C所對邊的長分別為。，b,c,。為⑦8c的外心，

試卷第31頁，共33頁

6=4,c=5,V45C的面積S滿足伍+42_/=4舟.若而=%前+從就，則下列結(jié)

論正確的是()

A.A=—BS=10x/J---------9

C.AOBC=——D.A+^=—

3220

三、填空題

13.已知向量Z=（x，2）,1=（2,l）,"=（3,x）,若￡/也則B+4=—.

14.在A48C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/=〃+%c+c2，則/=-

15.已知cos（工+a）=3,—<cz<Z^,則sin2a+2sin2a的值為__

451241-tana

16.《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)正

方形拼成一個(gè)大的正方形.若圖中直角三角形的兩個(gè)銳角分別為a,p,且小正方形與

大正方形的面積之比為9:16,則cos（a-p）=—■

四、解答題

17.已知：_2cos2a-sin2a

2(cosa-sina)

⑴化筒/（a）；

⑵若。是第二象限角，且sina=：,求,（a+總

試卷第41頁，共33頁

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x°J'中，|刀I=21而1=2,40AB號,元=(T,后).

(1)求點(diǎn)8,C的坐標(biāo)；

(2)求向量前在向量方上的投影向量坐標(biāo)及四邊形048c周長?

19.在V力8c中，角A,B,。的對邊分別為"，七二且“=5，。=6

(1)若c=14,求sin4的值;

⑵若V/8C的面積為3后，求。的值.

20.己知向量萬與B不共線，且厲=2,-力OB=a+2h'OC=ma+nb-

(1)若2次-麗=反，求加，〃的值；

(2)若4B,C三點(diǎn)共線，求加〃的最大值.

21.已知函數(shù)f(X)=sin(—x)sin(——x)+JJsinxcosx.

44

⑴求/(前的值；

⑵在銳角V""中，角/,B,C所對邊的長分別為%b,c.若/(務(wù)1,a=2,求

b+c的取值范圍.

22.如圖，矩形/8CO中，/8=瓜8。=2，點(diǎn)%"分別在線段4民8(含端點(diǎn))

試卷第51頁，共33頁

上，P為4)的中點(diǎn)，PM1PN,設(shè)4PA/=

(1)求角a的取值范圍；

(2)求出丫麗的周長/關(guān)于角1的函數(shù)解析式/(a)，并求VPMN的周長/的最小值及

此時(shí)a的值.

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

1.A

【詳解】試題分析：‘一工二一西7m丁,對應(yīng)的點(diǎn)為

111,在第一象限，故答案為A.

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及幾何意義.

2.B

【分析】根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.

【詳解】因?yàn)榍遥?,山》在陷上單調(diào)遞增，

則sin200<sin30°=—>即a<』；

22

又因?yàn)?T磐7T80。=1<屋且y-COSX在（展行）、上單調(diào)遞減，

貝|J竺*os—<cos80°<cos—=，W—</><>

234222

且c=3>交，所以""J

42

故選：B.

3.D

【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。是45的中點(diǎn)，

所以而=，刀

2

所以無=亂+而="+!刀」刀-衣

22

答案第11頁，共22頁

故選：D.

4.C

【分析】根據(jù)面積公式可求得邊8/的長，由余弦定理可得邊4c的長，于是由余弦定理可

得cos4的值.

【詳解】若=8c邊上的高等于18c

4

則與"梟"/1叱=2=72

-BABC-smB=-BA^4x

222

所以84=正，由余弦定理得

AC2=BA2+BC2-2BABCcosB=2+\6-2xy[2x4x—=\0

2

所以4c=所，

則8S人型生H=斗斗=亞

2BAAC2xV2xV105

故選：C.

5.D

【分析】先由圖象求出/(x)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像變換逐一判斷.

【詳解】由圖可知，/(O)=sin^=1,又0＜。苦，所以3=￡,

再由圖象知芝|=-1，且等7＜彳，

故等、=彳，解得0=2,即〃x)=sin(2x+J

答案第21頁，共22頁

由/（一霏

對于A,sin(——x2+—)=sin(——)=-B所以A錯誤;

362

對于B,/（x）的圖象向右平移e個(gè)單位后得到的函數(shù)為/1-蓼二疝盤》-%），

故B錯誤；

對于C由T。斗得2代%，樸當(dāng)士+答冒即送時(shí),

/（X）在區(qū)間0卷的最小值為-故C錯誤;

對于D,/（x+E）=sin（2（x+E）+W=sin（2x+5）=cos2x是偶函數(shù),故D正確.

故選：D.

6.C

【分析】求出“C,AMAC=^a,￡AMC=30°，在△，CM中，由正弦定理求出吹=98正

m,從而得到MV的長度.

Rt△力8cAB=49

【詳解】在中，sinZJC5-T-5（m）,

2

在AM4c中，可知

ZMCA=180°-(30°+45°)=105°,ZMAC=45°,ZAMC=180°-(105°+45°)=30°，

ACMC

98x—

,十廿…esinZAMCsinZMACACsin/.MAC

由正弦定理：,可得MC=sinN/MC—產(chǎn)-=98后(m),

2

片RtAMNC.l亞，、

在中，MN=MCsinZMCN=9Sy/2x—=9S，

2

答案第31頁，共22頁

所以越王樓的高度約為98m.

故選：C.

7.C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移得sin+與+—1=cos土，從而可得m=2+4左，左口，即可

(223)23

得結(jié)論.

【詳解】函數(shù)y=sin(5+$的圖象向左平移沉個(gè)單位長度后為函數(shù)

17E17t(XAX

y=sin—&+〃?)+—=sin二+—〃?+—=cos—,

|_2'，3」U23)2

所以—+—=—+2左，42,則，*=殳+4左，k包

2323

又加＞°,所以機(jī)的最小值為土

3

故選：C.

8.D

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解下,方？最大

值，得到答案.

【詳解】由題意，設(shè)△/BC的外心即8c中點(diǎn)為。，

由平面向量的線性運(yùn)算，知旃=而+而，

所以次,而=羽?(而+兩)=布.而+方.麗,

由圖可知：-AO=^AB\\AC^COSZ.BAO=^AB\\AC^sinZ.C=t

答案第41頁，共22頁

當(dāng)時(shí)，(荏.麗)m=3xg=『,

—?——?915

(AB-AM)max=-+-=\2,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答

中熟記向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考

查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

9.AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念與運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A：z的共軌復(fù)數(shù)是-,故A正確；

Z=1-1

對于選項(xiàng)B：z的虛部是1，故B錯誤：

對于選項(xiàng)C：z_l-i_(1-i)2_-2i_故C錯誤；

z1+i(1+i)(l-i)2

對于選項(xiàng)D：|z|=J『+12=6,故D正確；

故選：AD.

10.AC

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算、向量模的定義、數(shù)量積的定義判斷.

【詳解】由已知￡=芭1+乂鼻，b=

因此=6+Q_%后,所以［J的斜坐標(biāo)為(西-%.”為)，人正確;

答案第51頁，共22頁

/=4謫+力回，因此花的斜坐標(biāo)是(辦,孫)，C正確;

卜卜J(x,q+乂4y=&+y：+2x,yte,-e2,

a-b=x,x2+yty2+(x,^+x2yt)et-e2,在弓與e,不垂直時(shí)，BD錯；

故選：AC.

11.AD

【分析】由正切函數(shù)的圖象性質(zhì)，得出相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離為半個(gè)周期，可求出

■TTCD(P

T,然后由T=2求出然后再代點(diǎn)討論滿足題意的即可得出答案.

I?!

【詳解】由正切函數(shù)圖象的性質(zhì)可知相鄰兩個(gè)對稱中心的距離為工，得

2

貝D由7=占=1得同=】，即得@=±i

由例＜會且存在單調(diào)減區(qū)間(q,等)則可得

??f(x)=tan(-x+g)=-tan(x-Q)?

由工一3=細(xì)，上eZ得0=三一也，發(fā)eZ,因網(wǎng)〈工，可得夕=工或-生,

3232236

當(dāng)/=?時(shí)，/(x)=-tanfx71

3

答案第61頁，共22頁

由k九---<x---<k冗4—,kGZ,得k兀---<x<knH---,kwZ，

23266

則函數(shù)/（X）的單調(diào)減區(qū)間為（k冗——,k冗H—^―｝攵GZ?

令”二°,由?卜卜夕曾，得函數(shù)/（X）在停引上單調(diào)遞減,

所以0=2滿足題意;

當(dāng)3=一看時(shí)，/（》）=-tanx+—?

I6J

由攵TT一巴＜X+工＜%乃+工，女￡Z，得％7F—紅＜X＜左7T+工，女WZ，

26233

則函數(shù)/（力的單調(diào)減區(qū)間為（kn-,kn+^^,keZ＞

令”=1,由（g,與）u（q,得函數(shù)〃x）在（2,年）上單調(diào)遞減,

所以勿=一￡滿足題意;

6

綜上可得：w=工或-工滿足題意.

36

故選：AD.

【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)圖象性質(zhì)的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用，屬于一般難度的題.

12.ACD

【分析】結(jié)合題意和余弦定理得出4=三，判斷選項(xiàng)A；利用三角形面積公式判斷選項(xiàng)B；

利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷選項(xiàng)C；利用平面向量的基本定理即可求解D

答案第71頁，共22頁

【詳解】由優(yōu)+'2_/=4后，得/+c2-a2+2bc=2后besinA

2bccosA+2bc=2y/3bcsinAf即cos力+1=Visin4

得sin]/-四[=-,又觥"<,故_娛》一_<—,

\6/2666

四一，即/=工所以A正確；

663

S=—/>csiih4=573,所以B錯誤；

2

^OSC=^O（JC-JB）=1|T4C|2-^|/4S|2=-|,所以C正確；

AO=AAB+/JAC\'Ad-AB=AAB2+jjAC-AB

由，可知_______________________,

AO-AC=A.ABAC+]uAC

[25_1,_2.13

得萬=252+10〃解得：〃=/=1，故”+〃=茄，所以D正確.

8=102+16〃

故選：ACD.

13-5"

【分析】先利用向量平行求出”=4,進(jìn)而求出B+4.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?（x,2）,g=（2,l”且Z//B，所以工-4=0,解得：x=4.

所以B+C=（5,5）,所以R+工卜疹，=50.

故答案為：5y

答案第81頁，共22頁

14

i,120。

【分析】根據(jù)已知可化為余弦定理的形式，從而求出A的余弦，進(jìn)而求出A.

【詳解】由題意可知，cos4=色=」，所以"=120°.

2hc2bc2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用余弦定理公式求三角形的角，屬于中檔題.

15.3

75

【分析】首先化簡目標(biāo)式為sin2a?tan(二+a),根據(jù)已知條件求出tan(a+&)、加2。，即

44

可求值

【詳解】

sin2a+2sin2a2sinacosa+2sin2a2sinacosa(cosa+sina)._1+tana._/乃、

=：==sin2a=sin2a-tan(—+a)

1-tana------------】sina---------------------cosa-sina----------------------1-tana-------------------4

cosa

由^<必知：—<a+—<2^,Xcos(a+—)=-

1243445

sin(a+—)=——，tan(a+—)=——

4543

cosa=cos[(a+-)--]=-'sina，故sin2a=寶

44101025

sin2a+2sin2a7,4、28

-----------------------=——x(—)=-------

1-tana25375

故答案為：-空

75

【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角恒等變換求函數(shù)值，注意正弦二倍角公式、和角公式化簡目

標(biāo)式的應(yīng)用，根據(jù)象限角判斷相關(guān)角的函數(shù)值，進(jìn)而求目標(biāo)三角函數(shù)的值

答案第91頁，共22頁

7

16.

16

【解析】設(shè)大正方形的邊長為1,則根據(jù)兩個(gè)正方形的面積比可求得小正方形的邊長.表示出

直角三角形兩條直角邊的關(guān)系,再由余弦的差角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可得解.

【詳解】設(shè)大正方形的邊長為1,則大正方形的面積為1

因?yàn)樾≌叫闻c大正方形的面積之比為9：16

所以小正方形的面積為二Q，則小正方形的邊長為士3

164

由圖可知sina=cossin°=cosa

3.3

且cosa-sina=—sin/?-cos^3=—

4?4

9

兩式相乘可得cosasinP-cosacos/?-sinasinQ+sinacos。=—

化簡可得sin2夕+cos2夕一(cosacos夕+sinasin夕)='

9

l-cos(a-y?)=—

7

解得cos(a-j8)=—

故答案為：L

16

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，余弦的和差公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，關(guān)鍵在

與理清邊長與角的關(guān)系,屬于中檔題.

17.=cosa

答案第101頁，共22頁

(2)48+3

10

【分析】(1)利用倍角公式化簡即可；

(2)利用同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角和的余弦公式可得.

r/1\ri\2cos2a-2sinacosacos2a-sintzcosa

【評解】(1)j(a)=------------------------；—=--------------------------=cosa-

2(cosa-sina)cosa-sina

ajr3

(2)因?yàn)槭堑诙笙藿牵砸?2E加kke，且sina=—,

25

4

所以cosa=——

5

(兀加71(\

^a+-J-cos^+-j=cosacos——sinasin—

66

4V331473+3

x----------x—=

525210

瓜⑴c("，哈朗

⑵(TO),8

【分析】(1)根據(jù)八點(diǎn)坐標(biāo)及NO48=生，結(jié)合三角函數(shù)定義即可得的'的坐標(biāo)，再根

3

據(jù)元=卜1,6)可求c的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)投影向量的定義及向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得投影向量坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求模長即可得四

邊形O/8C周長，

答案第111頁，共22頁

【詳解】⑴在平面直角坐標(biāo)系X。'中，由網(wǎng)=2,知”2,0),

畫

又NOAB=——=1

3

設(shè)BL，%)，則/=2+cos{—卦］，九="罔=今"點(diǎn)彳*'

（2）由⑴可得，3述[，-YA0C=3AB.

62J[2'2）

.-.OC//AB因=3畫=3,y|5C|=VF+3=2,網(wǎng)=2,

向量正在向量方上的投影向量：

園cos。.雪=|網(wǎng)離碧舀一26詢。。)式2,0)0)

11\OA\11網(wǎng)網(wǎng)網(wǎng)-22x2*2(⑼

?.?阿=2,|祠=1,網(wǎng)=2,國=3

???四邊形O48C的周長為8.

19.⑴邁

14

⑵2萬

【分析】(1)利用正弦定理求解即可；

(2)利用三角形面積公式和余弦定理求解即可.

答案第121頁，共22頁

.、*1x±tmE*VABCf2na-6c=14

【詳解】(1)由題意在中，ZC=一，,

3

A出

由正弦定理sirvTsinC可得sE人迎6"2s.

C14-17"

(2)由NC=g,"=6,Sv.c=；absinC,即;x6xbsing=3百，

解得6=2,

由余弦定叫=+八2"8SC，

可得c-yja2+b2-2abcosC==2713"

20.(I),1，n=-4

25

⑵石

【分析】（1）由已知求得2方-痂=3々_“，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算可求得答案；

（2）由4B,C三點(diǎn)共線得，存在不為零的數(shù);I,使得就=4萬，繼而有〃=5-3”，

再得加〃=機(jī)（5-3〃,），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值?

【詳解】⑴因?yàn)榱?23-心OB=a+2b,所以2況-歷=31-4人

又因?yàn)榛?加5+〃5，所以〃?=3,"=-4.

（2）7B=OB-OA=-a+3b'AC=OC-OA=（m-2）a+（n+\）b'

答案第131頁，共22頁

由4B,C三點(diǎn)共線，存在不為零的數(shù)義，使得％=;t方，

艮++=4(—萬+3不),

則加_2=_4，/?+l=3A,

所以〃+1=3(2-〃2)，"=5-3〃7，

所以用〃=加(5—3〃。=一3(加一'1|+臣'

5mn7S

所以當(dāng)”=?時(shí)，取得最大值差.

612

2L⑴徐

⑵(2后4]

【分析】(1)運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換，可得〃x)=sin(2x+色)，即可求解了(目的值；

66

(2)由/(')=1,可推得/=1，再結(jié)合正弦定理與三角函數(shù)圖象性質(zhì)，即可求解的

取值范圍.

【詳解】(1)f(x)=si^-^+x)sin(——x)+VJsinxcosx=sin(—+x)cos(—+x)+道sinxcosx

4444

=E?n(—+2x)+—sin2xcos2x+sin2x=sin(2x+—)?

222226

所以fsin^2x—4--j=sin-=1

答案第141頁，共22頁

（2）/《卜巾+胃=1，在銳角三角形中0<4<1,

所以矛鞏<丁,故4+念5,Y

??F=2b_c_a_2_4有

，由正弦正■理sin8sinCsinJG3

T

sinB+sinC)=^pin5+sin

b+c=

迪伍同在osj

—cosfi+—sinfi=4sinB+一

223”2JI6

又B+C吟,及B，C4O,J.?.研彩）小+詈f§,可

則b+c=4sin[8+￡卜(2?4]

22.(1)7171

653

c\\1+sina+COS7WT當(dāng)a弋時(shí),W的周長/取得最小值為2員2

⑷/(a)=-------------------,aG_,一