高中數(shù)學(xué)北師大版必修2第一章6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)作業(yè)

,[學(xué)生用書單獨(dú)成冊])[A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：選B.若l∥α，l∥β，則α，β可能相交，故A錯；若l∥α，則平面α內(nèi)必存在一直線m與l平行，又l⊥β，則m⊥β，又mα，故α⊥β，故B對；若α⊥β，l⊥α，則l∥β或lβ，故C錯；若α⊥β，l∥α，則l與β關(guān)系不確定，故D錯．2．直線l垂直于梯形ABCD的兩腰AB和CD，直線m垂直于AD和BC，則l與m的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．不確定解析：選D.因為梯形的兩腰AB和CD一定相交且l⊥AB，l⊥CD，所以l垂直于梯形ABCD.又因為直線m垂直于AD和BC，且AD∥BC.所以m與平面ABCD的位置關(guān)系不確定，因此l與m的位置關(guān)系就不確定，故選D.3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析：選D.如圖所示．AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，故選D.4．三棱錐P-ABC的所有棱長都相等，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下面四個結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：選C.由BC∥DF得BC∥平面PDF，故A正確；由BC⊥AE，BC⊥PE得BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，平面PAE⊥平面ABC，故B、D都正確．排除A，B，D，故選C.5．以等腰直角三角形ABC斜邊AB上的中線CD為棱，將△ABC折疊，使平面ACD⊥平面BCD，則AC與BC的夾角為()A．30° B．60°C．90° D．不確定解析：選B.如圖，令CD＝AD＝BD＝1，則AC＝BC＝eq\r(2).因為平面ACD⊥平面BCD，AD⊥CD，且平面ACD∩平面BCD＝CD，所以AD⊥BD，所以AB＝eq\r(2)，所以∠ACB＝60°.6．如圖，空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角的大小是________．解析：過A作AO⊥BD于O點(diǎn)，因為平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．因為∠BAD＝90°，AB＝AD，所以∠ADO＝45°.答案：45°7.如圖，已知?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，若AF＝2，CD＝3，則CE＝________．解析：因為AF⊥平面ABCD，AF∥DE，所以DE⊥平面ABCD，CD平面ABCD.所以DE⊥CD.因為DE＝AF＝2，CD＝3，所以CE＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13).答案：eq\r(13)8．α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：________．解析：利用面面垂直的判定，可知①③④?②為真；利用面面垂直的性質(zhì)，可知②③④?①為真，所以應(yīng)填“若①③④，則②”，或“若②③④，則①”．答案：若①③④，則②(或若②③④，則①)9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.證明：(1)如圖，在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF∥平面PCD.(2)連接BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因為BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.10.如圖，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時，有A1C⊥B1D1？(注：寫出一個你認(rèn)為正確的條件即可，不必考慮所有可能的情形．)解：連接BD，AC，因為BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，需A1C⊥BD.因為A1A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1A⊥BD，又因為A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因為AC平面A1AC，所以AC⊥BD.由以上分析知，要使A1C⊥B1D1，需使AC⊥BD，或任何能推導(dǎo)出AC⊥BD的條件，如四邊形ABCD是正方形、菱形等．[B.能力提升]1．下列命題中錯誤的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β解析：選D.兩個平面α，β垂直時，設(shè)交線為l，則在平面α內(nèi)與l平行的直線都平行于平面β，故A正確；如果平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正確；兩個平面都與第三個平面垂直時，易證交線與第三個平面垂直，故C正確；兩個平面α，β垂直時，平面α內(nèi)與交線平行的直線與β平行，故D錯誤．2．下列命題：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,bα))?a⊥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))?b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))?a⊥b；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,bα))?a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))?b∥α.其中正確命題的個數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．6解析：選A.因為a⊥α，則a與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，所以①正確；兩條平行線中的一條與一個平面垂直，則另一條也垂直于這個平面，所以②正確；又若b∥α，a⊥α，由線面平行的性質(zhì)及空間兩直線所成角的定義知，a⊥b成立，所以③正確；由線面垂直的判定定理知④錯；a∥α，a⊥b時，b與α可以平行、相交(垂直)，也可以bα，所以⑤錯；當(dāng)a⊥α，b⊥a時，有b∥α或bα，所以⑥錯．3．平面α的斜線AB交α于點(diǎn)B，過定點(diǎn)A的動直線l與AB垂直，且交α于點(diǎn)C，則動點(diǎn)C的軌跡為________(填“直線”、“圓”或“其他曲線”)．解析：過點(diǎn)A與AB垂直的所有直線都在同一個平面β內(nèi)，因為AB是α的斜線，所以β與α不平行．從而β與α的所有公共點(diǎn)都在同一條直線上，即β與α的交線上．從而β內(nèi)所有過點(diǎn)A與α相交的直線，其交點(diǎn)都在此交線上．答案：直線4．已知平面α⊥平面β，在α，β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和β內(nèi)，它們都垂直于AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，則CD的長為________cm.解析：如圖，連接AD，CD.在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，所以AD＝eq\r(122＋42)＝4eq\r(10)(cm)．又因為α⊥β，CA⊥AB，CAα，所以CA⊥β，CA⊥AD.所以△CAD為直角三角形．所以CD＝eq\r(CA2＋AD2)＝eq\r(32＋42×10)＝eq\r(169)＝13(cm)．答案：135．如圖，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，SD＝2，BC⊥BD，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC⊥平面SBC.求證：(1)DE⊥平面SBC；(2)SE＝2EB.證明：(1)因為SD⊥平面ABCD，所以BC⊥SD.又因為BC⊥BD，BD∩SD＝D，所以BC⊥平面BDS.所以BC⊥DE.作BK⊥EC，K為垂足，因為平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.又因為BK平面SBC，BC平面SBC，BK∩BC＝B，所以DE⊥平面SBC.(2)由(1)知DE⊥SB，DB＝eq\r(2)AD＝eq\r(2)，所以SB＝eq\r(SD2＋DB2)＝eq\r(6)，DE＝eq\f(SD·DB,SB)＝eq\f(2\r(3),3)，EB＝eq\r(DB2－DE2)＝eq\f(\r(6),3)，SE＝SB－EB＝eq\f(2\r(6),3)，所以SE＝2EB.6．(選做題)如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn)．(1)求證：B1D1∥平面A1BD；(2)求證：MD⊥AC；(3)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解：(1)證明：由ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形．所以B1D1∥BD.而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.(2)證明：因為BM⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BM⊥AC.又因為BD⊥AC，且BD∩BM＝B，所以AC⊥平面BMD.而MD平面BMD，所以MD⊥AC.(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時，平面DMC1⊥平面CC1D