6.4.3.3正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用

6.4.3.3正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用掌握正弦定理、余弦定理及其變形.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的解三角形問題．靈活運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊、角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.知識(shí)點(diǎn)一正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)知識(shí)點(diǎn)二三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．知識(shí)點(diǎn)三三角形中常用結(jié)論在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形例1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則該三角形外接圓的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】先應(yīng)用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求出角A,再根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑即可.【詳解】.,設(shè)該三角形外接圓的半徑為由正弦定理得故選：A.【對(duì)點(diǎn)演練1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知的外接圓半徑為2，且內(nèi)角滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】相加即可求出，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系可求的，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由，，得，即，則，由，解得，由正弦定理知.故選：D【對(duì)點(diǎn)演練2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)可得，由此可求角.【詳解】因?yàn)?，所以，又所以，所以．因?yàn)椋裕裕?，所以，從而．又，所以．故選：A.考點(diǎn)二利用正、余弦定理判斷三角形形狀例2（2023年山東濱州期中）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理把題中條件化為邊的關(guān)系式，即可判定.【詳解】根據(jù)余弦定理知，，所以，則,故三角形為直角三角形，故選：判定三角形形狀的兩種常用途徑【對(duì)點(diǎn)演練1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（

）A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由利用正弦定理邊角互換可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，，故為等腰直角三角?故選：D【對(duì)點(diǎn)演練2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由給定邊的關(guān)系式結(jié)合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化邊，結(jié)合邊的關(guān)系式可得c=b即可推理作答.【詳解】由，得，化簡(jiǎn)得，所以，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由正余弦定理角化邊得，化?jiǎn)得，所以，即為等邊三角形．故選：B考點(diǎn)三三角形的周長(zhǎng)與面積問題例3（2023年高考全國甲卷）記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．【解析】【小問1詳解】因?yàn)?，所以，解得：．【小?詳解】由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對(duì)于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．【對(duì)點(diǎn)演練1】(2022高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知4a＝eq\r(5)c，cosC＝eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面積．【解析】(1)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinA＝eq\f(a·sinC,c).因?yàn)閏osC＝eq\f(3,5)，所以sinC＝eq\f(4,5)，又eq\f(a,c)＝eq\f(\r(5),4)，所以sinA＝eq\f(\r(5)sinC,4)＝eq\f(\r(5),5).(2)由(1)知sinA＝eq\f(\r(5),5)，因?yàn)閍＝eq\f(\r(5)c,4)<c，所以0<A<eq\f(π,2)，所以cosA＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(11\r(5),25).因?yàn)閑q\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(11,\f(11\r(5),25))＝eq\f(c,\f(4,5))，所以c＝4eq\r(5)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×11×4eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝22.【對(duì)點(diǎn)演練2】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．【解析】(1)由題意，得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA).由正弦定理，得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA)，故sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由題意及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2)，所以B＋C＝eq\f(2π,3)，故A＝eq\f(π,3).由題意，得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，則bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，則b＋c＝eq\r(33)，故△ABC的周長(zhǎng)為3＋eq\r(33).考點(diǎn)四三角形中的最值、范圍問題例4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且的外接圓的半徑為，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，由正弦定理邊角關(guān)系得，由余弦定理求出角，由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，進(jìn)而可求出三角形面積的最大值.【詳解】在中，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，則，所以，因?yàn)榈耐饨訄A的半徑為，由正弦定理得：，所以，由余弦定理得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的面積，所以面積的最大值為.故選：B.【對(duì)點(diǎn)演練】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求邊長(zhǎng)和角A；(2)求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，從而得到，由求出；（2）根據(jù)余弦定理和基本不等式求出，結(jié)合三角形三邊關(guān)系得到周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，，，可得，因?yàn)?，所以，由得，得，故或，故?(舍去).（2）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，即，所以，又，即，解得，根?jù)三角形三邊關(guān)系得到，故，的周長(zhǎng)的取值范圍是.例5中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，，交AC于點(diǎn)D，且，的最小值為（

）A． B． C．8 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意由面積關(guān)系可得，再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，因?yàn)?，即，整理得，則．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為．故選：B.【對(duì)點(diǎn)演練】在中，角所對(duì)的邊分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求的最大值.【詳解】（1）由得，，或，所以或或；（2）由為銳角三角形，，根據(jù)正弦定理,所以,其中為銳角，.所以當(dāng)即時(shí)，有最大值1.所以的最大值為.例6（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而可得，進(jìn)而求得，再把化為，結(jié)合即可求解.【詳解】，,即，，，，，，.故選：A.【對(duì)點(diǎn)演練】（2024上內(nèi)蒙古赤峰統(tǒng)考開學(xué)）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，若，，則a的取值范圍是.【答案】【分析】利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算得，結(jié)合的范圍求余弦值范圍即可.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為R，則，即.因?yàn)?，所以，由正弦定理得，由二倍角公式得，則.由和差化積公式得，即.又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以或（舍去），即，，由正弦定理得，即.由題意得，解得，，解得，又，所以，所以，則a的取值范圍是.故答案為：.一、單選題1．中，，則b等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)正弦定理可知，，則.故選：A2．（2024·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，若，則的形狀為（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角轉(zhuǎn)邊即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得到，又由正弦定理，得到，所以，得到，又，所以，得到，又，所以，故選：B.3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中角A、B、C所對(duì)邊a、b、c滿足，，，則（

）.A．4 B．5 C．6 D．6或【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合條件即可求得答案.【詳解】由得，即，又，，故，（舍），故選：C4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在中，，，D是BC的中點(diǎn)，E是線段AC上的點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】解法一：設(shè)出，由余弦定理得到，得到方程，求出，作出輔助線，由余弦定理表達(dá)出，得到方程，求出，從而得到方程，求出，得到答案；解法二：作出輔助線，由題目條件得到，，設(shè)，由勾股定理表達(dá)出，得到方程，求出答案.【詳解】解法一：設(shè)，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，則，得．如圖，過點(diǎn)A作交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則，又，，所以，，則，．在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，則，整理得，所以，得，即；解法二：如圖，過點(diǎn)A作交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易得，又，，所以，，則，，所以，，設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，得，所以，故選：A5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，，則（

）A．為直角 B．為鈍角 C．為直角 D．為鈍角【答案】C【分析】由正弦定理邊化角得，結(jié)合余弦定理和化解，可求出.【詳解】由，即，，又，所以，化簡(jiǎn)得，則，故在中，，故選：C6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知鈍角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．若邊上中線長(zhǎng)為，，求的面積（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】先結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)求出，進(jìn)而求出角,再結(jié)合向量的實(shí)數(shù)化求出，則三角形的面積可求.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，因?yàn)樵谌切沃校?，又因?yàn)?，所以，所以或，因?yàn)檫吷现芯€長(zhǎng)為，，設(shè)中點(diǎn)為，則可得，所以，又因?yàn)檫吷现芯€長(zhǎng)為，，所以，當(dāng)時(shí)，代入可得，解之可得，則所以，即為直角三角形，與題意矛盾，故舍去.當(dāng)時(shí)，代入可得，解之可得，則的面積.故選：B.7．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，為的面積，，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用面積公式和余弦定理可得，然后根據(jù)正弦定理及三角變換可得，再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到的范圍，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域的問題.【詳解】，，∴，即，為銳角，∴，又，由正弦定理可得，所以，其中，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則，即：，所以，又，∴，即，故的周長(zhǎng)的取值范圍是.故選：C.8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】對(duì)于，利用正弦定理角化邊可得，繼而化簡(jiǎn)可得，代入“三斜求積”公式即得答案.【詳解】由得，由得，故，故選：A多選題9.（2024上·河北·高三張北縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且，，則以下四個(gè)命題中正確的是（

）A．滿足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓的半徑為D．若為銳角三角形，則【答案】BC【分析】確定，舉反例得到A錯(cuò)誤，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理結(jié)合面積公式計(jì)算，B正確，確定，根據(jù)等面積法計(jì)算得到C正確，計(jì)算得到，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】，則，對(duì)選項(xiàng)A：取，則，，故，是直角三角形，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，最大為，正確；對(duì)選項(xiàng)C：時(shí)，，，，，故，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，正確；對(duì)選項(xiàng)D：為銳角三角形，則，即，解得，且，即，解得，故，錯(cuò)誤；故選：BC10．（2024上·云南·高三云南省下關(guān)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列說法中正確的是（

）A．若，則B．若，且，則的最大值為C．若，，，則符合條件的有兩個(gè)D．若，則是銳角三角形【答案】ABD【分析】通過正弦定理判斷A，利用余弦定理及基本不等式求解最值判斷B，根據(jù)正弦定理及邊角關(guān)系判斷C，根據(jù)兩角和正切公式及三角形性質(zhì)得，分析角的范圍即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，根據(jù)正弦定理得（為外接圓半徑），即，則，正確；對(duì)于B，由余弦定理知，，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，正確；對(duì)于C，由正弦定理得，則，又，則，知滿足條件的三角形只有一個(gè)，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，所以，所以，，三個(gè)數(shù)有0個(gè)或2個(gè)為負(fù)數(shù)，又因，，最多一個(gè)鈍角，所以，，，即，，都是銳角，所以一定為銳角三角形，正確.故選：ABD.11．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則滿足條件的三角形只有1個(gè)B．面積的最大值為C．周長(zhǎng)的最大值為D．若為銳角三角形，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】根據(jù)即可判斷A；根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式即可判斷BC；利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以滿足條件的三角形有2個(gè)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以面積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的周長(zhǎng)，所以周長(zhǎng)的最大值為，故C正確；對(duì)于D，由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，即，，所以，故D正確．故選：BCD.12．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為．若，且，是外一點(diǎn)，，則下列說法．正確的是（

）A．是等邊三角形B．若，則四點(diǎn)共圓C．四邊形面積最小值為D．四邊形面積最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)正弦定理及三角恒等變換化簡(jiǎn)條件式可判定A，由余弦定理可判定B，設(shè)，由正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判定C、D【詳解】由正弦定理，得，，是等腰的底角，，是等邊三角形，A正確；對(duì)于B，若四點(diǎn)共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，由A正確知，但由于時(shí)，，∴B正確.對(duì)于C、D，設(shè)，則，，所以四邊形ABCD的面積，，，，四邊形ABCD的面積，∴C不正確，D正確；故選：ABD填空題13．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，的面積為，，，則.【答案】或【分析】利用三角形的面積公式求出角的值，再利用余弦定理可求得的值.【詳解】由三角形的面積公式可得，則，因?yàn)?，則或.當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得；當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得.綜上所述，或.故答案為：或.14．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則．【答案】2【分析】由已知可求得，再由正弦定理即可求出【詳解】由，得，即，所以，因?yàn)椋?，．由正弦定理，得．故答案為?.15．（2024·全國·高二競(jìng)賽）在銳角三角形中，邊，，則邊的取值范圍是．【答案】【分析】利用二倍角的正弦公式和正弦定理可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，故，所以，而三角形為銳角三角形，故，故，故即，故答案為：.16．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，則的面積S的取值范圍為