對數(shù)與對數(shù)函數(shù)-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

【命題方向目錄】

題型一：對數(shù)運(yùn)算

題型二：對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

題型三：對數(shù)方程、對數(shù)不等式

題型四：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（定義域、單調(diào)性、最值（值域））

題型五：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

題型六：對數(shù)函數(shù)的綜合問題

題型七：比較指數(shù)式、對數(shù)式大小

題型八：利用反函數(shù)性質(zhì)解方程、不等式

【2024年高考預(yù)測】

2024年高考仍將重點(diǎn)考查對數(shù)與對數(shù)函數(shù)這兩個考點(diǎn)，考查利用對數(shù)運(yùn)算、及利用指對數(shù)函數(shù)圖像與

性質(zhì)比較大小、處理單調(diào)性、解不等式等問題，難度為中檔題.

【知識點(diǎn)總結(jié)】

1、對數(shù)式的運(yùn)算

（1）對數(shù)的定義:一般地,如果/=N（a>0且4工1）,那么數(shù)x叫做以“為底N的對數(shù)，記作％=log“N,

讀作以“為底N的對數(shù)，其中〃叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

（2）常見對數(shù)：

①一般對數(shù)：以a（a>0且awl）為底，記為log；：,讀作以。為底N的對數(shù)；

②常用對數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對數(shù)：以e為底，記為InN；

（3）對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：

①log：=0；log：=l;其中a>0且

@a'og：!=N（其中a>o且awl,N>0）；

③對數(shù)換底公式：log,/=產(chǎn)；

log,。

④log,,（MN）=log?M+log?N；

M

⑤log"—=log"M-log?N；

⑥logh"=—logb（m,ne/?）；

mo

⑦小"=6和logj=b；

⑧]=;

log/

2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=log〃x(a>0且awl)叫做對數(shù)函數(shù).

對數(shù)函數(shù)的圖象

a>\0<?<1

?vi711T1

圖象o\/f(l,0)X\：(h0)

定義域：(0,+8)

值域：R

過定點(diǎn)(1，0),即x=l時，7=0

性質(zhì)

在(0,+8)上增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

當(dāng)Ovxvl時，y<0,當(dāng)xNi時，當(dāng)O<X<1時，y>0,當(dāng)xNl時，y<0

y>0

3、反函數(shù)的定義

設(shè)A,8分別為函數(shù)y=/(x)的定義域和值域，如果由函數(shù)y=f(x)所解得的x=^y)也是一個函數(shù)(即

對任意的一個ywB,都有唯一的xeA與之對應(yīng))，那么就稱函數(shù)x=9(y)是函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作

x=f-'(y),在x=_r'(y)中，y是自變量，X是y的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成y=/T(x)(xe8,yeA)的形式.函

數(shù)x=/T(y)(ye3,口④與函數(shù)y=/T(x)(xe8,ywA)為同一函數(shù)，因為自變量的取值范圍即定義域都

是5,對應(yīng)法則都為了1

由定義可以看出，函數(shù)y=f(x)的定義域A正好是它的反函數(shù))，=r]幻的值域；函數(shù)y=f(x)的值域B

正好是它的反函數(shù)y=fT(x)的定義域.

【方法技巧與總結(jié)】

h

1'10g?blog"a=l,logb"=—log(,b.

m

2、如圖給出4個對數(shù)函數(shù)的圖象

yt^>-logaX

■/^>y=logfcx

.....V^----y=i

o/Tv^ZZZ-7^

[.y=iogt.x

y=logdX

則Z?>a>l>d>c>0,即在第一象限，不同的對數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.

3、對數(shù)函數(shù)y=log“x（a〉0且a/1）的圖象恒過點(diǎn)（1,0）,（。,1）,（：,一1）

4、反函數(shù)的性質(zhì)

①互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線V=x對稱.

②若函數(shù)y=/（x）圖象上有一點(diǎn)（〃，力，則S，。）必在其反函數(shù)圖象上；反之，若3,。）在反函數(shù)圖象

上，貝15,加必在原函數(shù)圖象上.

【典例例題】

題型一：對數(shù)運(yùn)算

例1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若lgx=21gy,lg（x+y）=lgy—lgx,則；/+/=.

【答案】1

【解析】因為lgx=21gy,lg（x+y）=lgy-lgx,所以》=丁，x+y=-^（x>0,y>0）,

則）'+y=；,所以/+/=1.

故答案為：1

例2.（2023?四川涼山?三模）若Xlog34=l,則2，+4一=.

【答案】?+百/百+彳

33

j?.

【解析】由題意可得：尤=^~7=log43,故2'+4T=2啕3+4-崛3=2嘀6+4°叼=g+L

噫43

故答案為：g+6

3

例3.（2023?天津南開?統(tǒng)考二模）計算logQZJogQ-logW+logzG的值為.

【答案】8

5233

【解析】J^^；=log,2-log,,3-log,-+log,6=51og,2-log23-log2-+log,6

4

故答案為：8.

變式1.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)若l+lgx-lgy=lgy2,則^=

X

【答案】10

【解析】因為l+lgx-lgy=lgy2,

所以lglO+lgx=lg_/+lgy,

所以lg(10x)=lgy3(x>0,y>0),

則10x=V，

所以回=10.

X

故答案為：10.

4

變式2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若。＞匕＞1,且41嗚4+31限。=8,則〃+的最小值為

0"-1

【答案】5

【解析】因為4bg,4+3k）g“a=8,所以4k）g/+3嬴了=8,解得log*=］或義,

因為〃＞方＞1,所以0＜log“6＜l,則log*=；,即a；5，

4441—

因為。>1，所以1>0,ci+—=a-\-------=Q—1H---------F1>2\/4+1=5,

Zr—1a-\a-\

4

當(dāng)且僅當(dāng)”-1=即”=3時，等號成立.

故答案為：5.

變式3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若蜒再2=〃，1歲=5,用a,匕表示log“28=

1+a

【答案】

\+b-a

【解析】因為14〃=5,所以6=log“5,

10。2§_*28_10gMi4+log/_1+a

logl435logl414+logH5-logl42\+b-a

1+a

故答案為:

\+b-a

變式4.（2。23?全國?高三專題練習(xí)）若3、6,，=噫6,則%在

【答案】1

【解析】因為3。=6,所以a=log36

1111

所以公+另=國+屈=log63+log62=log66=l.

故答案為：1

【通性通解總結(jié)】

解決對數(shù)運(yùn)算問題的常用方法

（1）將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)基的形式進(jìn)行化簡.

（2）將同底對數(shù)的和、差、倍合并.

（3）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用.

題型二：對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

例4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）寫出一個具有性質(zhì)①②③的函數(shù)〃x）=.

①f（x）的定義域為（0,m）；

②〃中2）=〃尤1）+/（王）；

③當(dāng)x?0,+8）時，/'（x）＞0.

【答案】log3x（答案不唯一）

【解析】由①②知，對數(shù)函數(shù)形式的函數(shù)滿足要求，又由③知，在定義域上是增函數(shù)，故"X）=log3X

符合題意，

故答案為：Iog3X（答案不唯一）.

例5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)y=/（x）的反函數(shù)廣（力=噫.。＞0，"1）圖像經(jīng)過點(diǎn)卜，|），則

的值為.

【答案】|

【解析】本題首先可根據(jù)過點(diǎn)（&|卜出“=4,然后根據(jù)兩函數(shù)互為反函數(shù)得出/（司=4、，最后代入*=-；

即可得出結(jié)果.因為函數(shù)廣'（同=1。8/（〃＞°，4W1）圖像經(jīng)過點(diǎn)卜1），

所以］=log“8,解得a=4,f''（x）=log4x,

因為函數(shù)y=/（x）與函數(shù)廣'（，%）=1。8"》互為反函數(shù)，

所以y="x）=4',/（-1）=4^=p

故答案為：

例6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知叫2。+1嗎6=°（。＞0且。制，人＞0且bHl）,則函數(shù)

與g（x）=l0gzlx的圖像可能是（）

V

【答案】B

【解析】log2a+log2Z>=0,即為log2m=0,即有時=1；

當(dāng)”>1時，

函數(shù)）（力=（5*與g（x）=log〃x均為減函數(shù)，四個圖像均不滿足，

當(dāng)0Va<l時，b>\,

函數(shù)數(shù)f（x）=（9與g（尤）=log-x均為增函數(shù)，排除ACD,

在同坐標(biāo)系中的圖像只能是B,

故選：B.

變式5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)"x）=log”（x-3（a>0且awl）的圖像如圖所示，則以下

說法正確的是（）

C.0<〃"vlD.log“例>0

【解析】由圖象可知/(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以

令〃x)=loga(x—h)=0，即X=b+1,所以函數(shù)外”的零點(diǎn)為6+1,結(jié)合函數(shù)圖象可知0<b+lvl,所以

因此。+人>0,故A錯誤；

-a<ab<0,乂因為a>l,所以一。<一1,因此次?<一1不一定成立，故B錯誤；

因為a"<"'<4°,即J&0<-<1,所以0va”<1,故C正確；

aa

因為0<四<1,所以。gJ4<logJ即log』@<0,故D錯誤，

故選：C.

變式6.(2023?安徽安慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃月=1。4(依+3(。>0*>0)恒過定點(diǎn)(2,0),則

ab

的最小值為().

A.2>/2+1B.272C.3D.拒+2

【答案】A

【解析】由題意可知2a+b=l,

,b1b2a+hb2a.、Jb2。.r-,

則一+—=一+-----=—+—+122、-----+1=2V2+1,

ahahab\ah

當(dāng)且僅當(dāng)〃=互也，b=0-l時，

2

1的最小值為20+1，

ab

故選:A.

變式7.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=bg/-13>0且。。1),則該函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)()

A.(0,-1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(1,0)

【答案】B

【解析】因為函數(shù)y=logux經(jīng)過定點(diǎn)(1,0),

所以函數(shù)y=iog/-i(a>o且的圖象經(jīng)過定點(diǎn)(卜|).

故選：B

變式8.(2023-黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)/(幻=|111N].若0<4<0,

且f(q)=/S),則”+劭的取值范圍是()

A.(4,+oo)B.[4,+oo)C.(5,+00)D.[5,+a>)

【答案】C

【解析】由/(a)=/S)得|lna|=|lnb].根據(jù)函數(shù)y=|lnx|的圖象及

得一lna=ln/?,0<a<l<b,所以'=/?.

a

所以gS）>g（D=5.故a+4Z?>5,

故選：C.

變式9.（2023?湖南株洲?高三株洲二中校考階段練習(xí)汨知函數(shù)=|則，,f（a）=f（b）,a<b,則a+20236

的取值范圍是（）

A.[2>/2023,+a））B.（2023,珂C.（2024,^o）D.（0,+少）

【答案】C

【解析】由題知0<"汕ga|=|lg4,顯然Igarlgb,

則-lga=lgb,即1g（瑟）=0,

則必=1,則匕=,，a<b,B|Ja<—,解得

aa

“一，2023、幾2023

a+2023b=a+----,設(shè)y=a+----,0<?<l,

aa

令〃=嗎2023，解得a=而.__方__，

a

根據(jù)對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知函數(shù)），=。+等在（0,1）上單調(diào)遞減,

故其值域為（2024,內(nèi)）.

故選：C.

【通性通解總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)形結(jié)合.它

為研究函數(shù)問題提供了思維方向.

題型三：對數(shù)方程、對數(shù)不等式

例7.（2023?上海?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測）不等式log?x<3的解集是.

【答案】（0,8）

【解析】因為函數(shù)y=log?x在（0,+8）上為增函數(shù)，由log2X<3=log28可得0cx<8.

因此，不等式log2、<3的解集為（0,8）.

故答案為：（0,8）.

例8.（2023?上海徐匯?位育中學(xué)校考模擬預(yù)測）方程lg（-2x）=lg（3-d）的解集為

【答案】{x|x=-l}

【解析】因為lg（-2x）=lg（3-f）,

-2x=3-x2

則<一2]>。,解得％=-1,

3-X2>0

所以方程lg（-2x）=但（3-V）的解集為{x|x=-1}.

故答案為：卜1尢=一1}

例9.（2023?陜西咸陽?校考一模）已知函數(shù)/（*）=<則不等式〃x）<1的解集為

【答案】（RO）Re）

【解析】當(dāng)xMO時，/（%）=2'<1=2°,解得x<0,

當(dāng)x>0時，/（x）=|lnx|<1,即一Ivlnxvl,解得

綜上，不等式/（x）<l的解集為（爾⑼ge）.

故答案為：（-8,0?（g,e）

變式10.（2023?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）不等式lg（x-l）<l的解集為.

【答案】（LU）

【解析】lg（x-l）<l?lg（x-l）<lgl0=>0<x-l<10^1<x<ll,

所以原不等式的解集為（1,11）.

故答案為：（1,11）

變式11.（2023?上海楊浦?統(tǒng)考一模）方程1083卜2-4》-5）=1。83@+1）的解是'=.

【答案】6

V-4x-5>0

【解析】由噬3任-4彳-5）=噫（工+1）得：■x+l>0,

X2-4X-5=X+1

（x+l）（x-5）>0

即<x>T,解得：x=6.

x2-5x-6=（x+l）（x-6）=0

故答案為：6.

變式12.（2023?上海?高三專題練習(xí)）方程logs?'-11）-1=嘎5（2*-3）的解為》=

【答案】2

【解析】依題意1唱（4'T1）-1=1唱（2*-3）,

log5-7-=logs（2-3）,

、J

4v-11

-~~-=2v-3>0,

5

（2'）2-5-2A+4=0,

（2v-l）（2'-4）=0,

即2"=1或2V=4，

解得x=0或x=2,

當(dāng)x=0時，2v-3=-2<0.不符合題意，舍去.

所以x=2.

故答案為：2

31

變式13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）方程：=的實數(shù)解為_________.

3-13

【答案】x=log,4

311

【解析】令，=3、（r>0）,則上7+：=/，

Z—133

即（-1）2=9=>1=4"=-2舍去，BPx=log,4,

故答案為：x=log,4

【通性通解總結(jié)】

對數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為

同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注意對數(shù)的真數(shù)為正.

題型四：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（定義域、單調(diào)性、最值（值域））

例10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃"=愴/匚，則函數(shù)4力=/（%-1）+7^二1的定義域是（）

A.{中>2或x<0}B.卜

【答案】B

1—y1—X

【解析】要使有意義,則三>0,

BP(l-x)(l+x)>0,解得Tvxvl,所以函數(shù)的定義域為(Tl),

要使g(x)=〃x-l)+方斤有意義，貝葉2、_1>0'解得：4X<2,

所以函數(shù)g(x)的定義域為卜

故選：B

例U.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=Jog2(1-x)的定義域是()

A.(-oo,1)B.(0收)C.(0,1)D.(-8,0]

【答案】D

1—x>01-x>0

【解析】由得,解得x40,

log2(l-x)>01-X>1

所以函數(shù)的定義域為(-8,0].

故選：D.

例12.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)〃x)=x2e*-lnx的最小值為“，則函數(shù)g(x)=fd—Inx的最

小值為()

A.m-1B.em+lC.zn+1D.em-1

【答案】c

【解析】若xe(0,+oo),則exe(O,+?),

因為〃ex)=(ex)2e。*-In(ex)=x?-Inx-1,

所以g(x)=x?eC"2-Inx=/(ex)+1,

因為函數(shù)/(x)的最小值為m,所以函數(shù)/(ex)的最小值也為m,

所以屋比?"(=僵=加+1?

故選：C.

變式14.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)[1n(x+l)丫〉0'若"外的最小值為T，

A.-1B.2C.1D.-2

【答案】B

【解析】因為當(dāng)"NO時,y=ln(x+l)>0,/⑴的最小值為T,

所以函數(shù)y=f在(e,0)上取最小值-1,

所以解得a=2.

故選：B

變式母(2。23?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)T(y，：；；：的值域為R,則實數(shù)〃的取值范圍

是()

A.(fl)B.C._*1)

【答案】C

【解析】Vx>10,lgx>lgl0,乂函數(shù)尸仁一“b+14"，?的值域為R,

lgx,x>10

(1—a>0,9、

則\>\AC解得一了1.

故選：C.

變式16.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=lg(4-2㈤+11)的最小值是().

A.10B.1C.11D.Igll

【答案】B

【解析】設(shè)f=4)-2旬+11,則y=lgr,

因為gd'-ZA'+llud-ZO'+ljQx-iy+lONlO,

所以y=lgf*lglO=l,所以〃》)=也(4"-2加+11)的最小值為1,

故選：B

2tx+l

變式17.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=log2(x-l),g(x)=4-2+?,對于任意x,e[6+a>,

存在9目-1,2]有/(xJNg(%),則實數(shù)。的取值范圍是()

A.B.(-8,0)C.(-°0,-2]D.(-ao,-8)

【答案】A

【解析】對于任意X|e[&，+°°)，存在工2e[-l,2]有/CG'g(w)[/(%,)],nin..[g(x2)Lin>再€[夜,+8卜

X26[-1,2].

由xe[夜,+8),函數(shù)/(刈=唾2任一1),可得"(力]而?=0.

g(x)-4-2++a,xe[-l,2].

令剔4),

設(shè))=/—〃+*

則的溫=人1)=-1+。,

二.一1+〃40,「.④1,

故選：A.

變式18.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃力=1。82卜父+2忘)的值域為()

A.(口，$B.(-8,a

33

C.(萬,+oo)D.[―,+°o)

【答案】B

【解析】由于0<--+2&=2&,且y=log2%在(O,+?0上遞增,

33

log,2V2=log,22=；,

所以〃x)的值域為(79.

故選：B

變式19.(2023?全國高三專題練習(xí))已知〃x)=2+log3X,xe[l,9],則y=[”》)丁+/，)的值域為()

A.[6,23]B.[6,13]C.[4,11]D.[4,20]

【答案】B

【解析】因為/(x)=2+log3X,xe[l,9],

所以y=[f(叫*+fy)的定義域為慎。鄉(xiāng),

解得掇/3,所以該函數(shù)的定義域為[1,3]；

所以噫出Og3%1,

所以y=[/(x)丁+/(X2)=(2+log,Jf)2+(2+log,X2)=(log,x+3)2-3

r=log3x((^l)1),所以y=(f+3)J3(噴1)1),

當(dāng)f=0時，y=6,當(dāng)f=l時，y=13,

所以6邠13；

所以函數(shù)y的值域是[6,13].

故選：B.

變式20.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)f(x)=[f(：)產(chǎn)的值域為[-3,+8),則0的取值范

[-X+2%,0<x<3

圍是()

A.[―e。,。)B.一e\—)C.

-e3,--D.

【答案】C

【解析】當(dāng)()VxV3時，/(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1e[-3,1]

當(dāng)a4x<0時，/(x)=-ln(-x)w[-In(-a),+oo)

要使f(x)的值域為[-3,+8)

則一34—ln(—a)41,—e"4aV—

e

故選：C

變式21.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為Q,若函數(shù)f(x)滿足條件：存在[a，b]^D,

使〃x)在[。，句上的值域為j-1,則稱“X)為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)/(6=1叫(2*+。(其中此0)為“倍

縮函數(shù)”，則，的取值范圍是()

A.(0，；)B.(0,1)C.(0，；D.(；，+8)

【答案】A

【解析】由已知可得，

〃力在[。，)上是增函數(shù);

fl

log2(2+0=^

b'

A

log2(2+r)=-

a

2"+/=2彳

即b,

2h+t=22

■'a>匕是方程2*-2己+f=0的兩個根，

設(shè)加=2楙=6，則%>0,此時方程為1—m+/=0即方程有兩個不等的實根，且兩根都大于0；

(-1)2-4/>0

「?<9

r>0

解得：0<r<-,

.??滿足條件r的范圍是

故選：A

變式22.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)尸1°81（丁—x—2）的單調(diào)遞區(qū)間為（)

4

A.,8,；）B.（-00,-1）C.（g,TD.（2,+00）

【答案】B

【解析】函數(shù)卜=l°g［（公-x-2）的定義域為（…,_1）口⑵侄），

4

令公一一犬―2,又yfogj在定義域內(nèi)為減函數(shù)，

4

故只需求函數(shù)f=》2一x-2在定義域（—,-1）7（2,+8）上的單調(diào)遞減區(qū)間，

又因為函數(shù)f=d-X-2在（T,-l）上單調(diào)遞減，

???丫=1。8［（9一》一2）的單調(diào)遞區(qū)間為（_8,_1）

4

故選：B

f（3a-l）x+4a,x<1f（x,）-f（x.）八

變式23.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)f（x）={對任意工產(chǎn)多,都有^~~:~-<0,

［log?x,x>l9-王

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（011）B.（0，J

c.（;』］黑）

【答案】D

【解析】由幺里二3<。得，/（x）在R上是減函數(shù)，

工2-%

0<Q<1

則有,3a-l<0,解得興a<g.

3〃-1+4a>log”1

故選：D.

變式24.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)./'（幻=1嗚（-3/+46-1）有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）

B.(1,我

C.0,D.(A/3,+OO)

【答案】A

【解析】依題意ae(O,l)(l,4w)fl-3x2+4ar-l>0,所以△=16標(biāo)-12>0,解得“>曰或.<_年，綜

上可得ae/?(1,+8),

2

令-Bd+dar-lnO的根為X］、巧且不<毛，M（X）=-3X+4OT-1,y=logau,

若ae（l,+oo）,則）'=log"〃在定義域上單調(diào)遞增，”（力=-3%2+45一1在1,看）上單調(diào)遞增，在（5'，馬）上

單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，/（幻=3（-3/+4依-1）在?）上單調(diào)遞增，在停臼匕單調(diào)遞減，

函數(shù)不存在最小值，故舍去；

若<曰,1］,則y=log,在定義域上單調(diào)遞減，蟲）=一3/+4^-1在［,芝!」二單調(diào)遞增，在停，J

上單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，/（%）=1。8〃（-3/+4以-1）在1,等）上單調(diào)遞減，在（等“2）上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在x=g取得最小值，所以

故選:A

【通性通解總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)形結(jié)合.它

為研究函數(shù)問題提供了思維方向.

題型五：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

例13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式9'-log“xv|在尤上恒成立，則實數(shù)a的取值

范圍是.

【答案】曰,1）

4

【解析】由題意可知只需求出9工-log。x的最大值,再解不等式即可,當(dāng)時,xfO時，山指數(shù)，對數(shù)

函數(shù)圖像可

知，911.Tog?x->+8,所以9"-k）g“x-?+8,則9*-log“xw］在xe（0,J上恒成立不符，舍去；

當(dāng)0<“<1時，因為9、在xe（o，g單調(diào)遞增，-k>g"X在xe（o,；單調(diào)遞增，所以9*-log。尤在（0,g單調(diào)遞

r

增，即當(dāng)X=；時，(9-logox)nlax=3-log?p則3-log*wj,解得*”1,則實數(shù)a的取值范圍為七,1).

故答案為：C，l)

例14.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=log“(9-a'),g(x)=k)g.(x2—5),若對任意玉

存在多?［3,4］使得之g(xj恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(0,1)(1,3)

【解析】根據(jù)題意可得只需“xJmmWgGL即可，由題可知a為對數(shù)底數(shù)且9-02>0=0<4<1或l<a<3.

當(dāng)0<。<1時，此時f(x),g(x)在各自定義域內(nèi)都有意義，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/(x)在［1,2］匕單調(diào)遞減，g(x)

在［3,4］上單調(diào)遞減，所以/(xJmM=/(2)=log“(9-/),gdm=g(4)=log.(16-4a),所以

log?(9-a2)>log?(16-4a)9-a2<16-4a,B［Ja2-4a+7>0,可得0<。<1：當(dāng)1ca<3時,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

2

可知fM在口，2］上單調(diào)遞減，g(x)在［3,4］上單調(diào)遞增，所以/(x,)min=f(2)=log?(9-?),

S(x2),??=(3)=log..(9~3a)>所以k>g“(9-/)2log.(9-3a)=9-a249-3a,即。2-3。40,可得l<a<3.綜上：

as(0,l)o(l,3).

故答案為：(0,1)(1,3).

—X"—2x—2,x40[

例(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)”x)=

15.ln(x+l),x>0,若關(guān)于x的不等式“小以+在

R上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】e'^<a<-j2

【解析】畫出函數(shù)/(x)的圖像，如圖所示：

關(guān)于》的不等式/(x)4ar+a-g在R上恒成立，等價于函數(shù)y=/(x)的圖像恒在直線y=ax+a-；的圖像的

下方，

又直線>=以+。-；恒過定點(diǎn)(-L-；

當(dāng)直線與y=ln(x+l),x>0相切時，設(shè)切點(diǎn)2小,111(天+1)),

求導(dǎo)y=-^,可得1皿%+1)+1,

%+XQ+1XQ+1

111

解得：/=混_1，則直線斜率為e升，即用小

當(dāng)直線與y——x2—2x—2,x<0相切時，此時由cix-kci——=—x2—2x—2

整理得：X2+(6Z+2)X+—=0，

2

令A(yù)=(a+2)2-4。-6=0,解得。=0或。=一0(舍去)

所以由圖像可知，實數(shù)。的取值范圍是

故答案為：e^<a<yf2

變式25.(2023?全國?高三專題練習(xí))若不等式犬-108.》<0在(01)內(nèi)恒成立，則。的取值范圍是()

A.—B.—<a<]C.0<。4—D.0<a<—

16161616

【答案】A

【解析】當(dāng)a>l時，由xe(0,g),可得log“x<0,則-log“x>0,

又由》2>(),此時不等式V-log,,x<0不成立，不合題意；

當(dāng)0<a<l時，函數(shù)y=log”X在(0,g)上單調(diào)遞減，

此時函數(shù)y=-log”x在(0,；)上單調(diào)遞增,

又由y=V在(0,g)上單調(diào)遞增，

要使得不等式d-log.x<0在(0,1)內(nèi)恒成立，

可得(T)2-l°gT0,解得T2-a<^?

22u16

故選：A.

【通性通解總結(jié)】

(1)利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；

(2)分離自變量與參變量，利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(3)涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單

調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.

題型六：對數(shù)函數(shù)的綜合問題

例16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知/（BTog/i一如+”）的值域為R,且在（-3,-1）上是增函數(shù),

2

則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.2<a<0B.—-<a<0^a>4

2

C.-24a40或aN4D.04a44

【答案】B

【解析】因為函數(shù)八力=㈣（x2一6+幻的值域為R,

2

所以丁一公+4取得一切正數(shù)，

即方程/-依+〃=0有實數(shù)解，

得△=4-4a“，解得aWO或aN4；

又函數(shù)f（x）=log{x2-6+”）在（—3,-1）上是增函數(shù)，

2

所以函數(shù)丁=/一雙+。在（_3,—1）上是減函數(shù)，且/一公+4>0在（一3,—1）上恒成立，

x=->-l1

則,2,解得aN-5，

1+。+。20

綜上，實數(shù)”的取值范圍為-<0或a24.

故選：B

例17.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知實數(shù)。的取值能使函數(shù)=的值域為（。，+8）,實數(shù)6的

取值能使函數(shù)g（x）=log2（f-法+3）的值域為□,+?>）,則（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】依題意知：y=（a—l）f—x+1的值域為R,則a=L若函數(shù)g（x）=log2（x?—法+3）的值域為［l,+oo）,

則，—法+3的最小值為2,令"=2,解得:從=4

4

???/+從=5.

故選：B

例18.（2023?遼寧大連?大連二十四中?？寄M預(yù)測）若實數(shù)。力滿足4a+log3〃=8"+310g276，貝ij（）

3b3h

A.a<—B.a>—C.a>bD.a<b'

22

【答案】A

【解析】由題意知：a>0,b>0,

323b

4"=2?",8*=2\31og27b=log3b,2"+log3a=2+log3b,

22a+log,a+log,2=23"+log-"+log,2,即22a+log,2a=23h+log,2b,

y=logsX在(O,+8)上單調(diào)遞增，Iog32〃<log338,

2<,36

.?12+log,2a<2+log,36;

v

設(shè)=2+log3x,則〃2?)<〃3b),

y=2<與y=log)在(0,+e)上單調(diào)遞增，\f(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，

/.2。<3bi即a<—.

2

故選：A.

變式26.(2023?廣西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))己知函數(shù)"X)在上單調(diào)遞減，/(x+l)=-/(-力，

y=/(x—1)為偶函數(shù)，當(dāng)2,—1］時，〃x)=r—1,若b"(ln2),c=./(log,1458),

則a,h,c的大小關(guān)系是()

A.h<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】因為函數(shù)y=f(x-i)為偶函數(shù)，得y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=-i對稱，

K/(-x-l)=/(x-l),由f(x+l)=-/(-x)得f(x+2)=-f(—x—l),

所以f(x+2)=-/(x-l),即/(x+3)=-/(x),貝lj/(x+6)=-/(x+3)=/(x),

所以函數(shù)V=/(X)的一個周期為6,則c=/(log,1458)=/(6+log32)=/(log,2),

當(dāng)xe［—2,—1］時，f(x)=-x-l,又y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=—1對稱，

所以〃=/_曰/卜+￥)=_(_2+￥)7=］_￥>o,

由/(x+l)=—/(—x)得=y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)§,0)對稱，

又函數(shù)/(x)在01上單調(diào)遞減，所以函數(shù)“X)在［0,1］上單調(diào)遞減，

乂g=log,73<log32<ln2<l,

所以6=/(In2)</(log32)=/(log31458)=c<0,

所以b<c<a.

故選：A

變式27.(2023.陜西寶雞??？寄M預(yù)測)己知函數(shù)f(x)=Mg2|l-x||,若函數(shù)g(x)=r(x)+4(x)+?有6

個不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為X=-1,則為+6=().

A.6B.-2C.2D.-6

【答案】B

【解析】由函數(shù)y=iog2x的圖象，經(jīng)過翻折變換，可得函數(shù)y=iog2W的圖象,

再經(jīng)過向右平移1個單位，可得y=log21x—l|=log2|l-乂的圖象，

最終經(jīng)過翻折變換，可得y=|bg』i-x||的圖象，如F圖：

則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=i對稱,

令t=/(x)

因為函數(shù)g(x)=/2(x)+4(x)+%最小的零點(diǎn)為x=-l,且/(—1)=1,

故當(dāng)f(x)=l時，方程g(x)=o有4個零點(diǎn),

所以，要使函數(shù)g(x)=/2(x)+4(x)+力有6個不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為x=-l,則F(x)=O,或〃X)=1,

所以，關(guān)于f方程產(chǎn)+4+乃=0的兩個實數(shù)根為01

所以，由書達(dá)定理得〃=-1,匕=。，2a+b=-2

故選：B

16)+，,x<一

4

變式28.(2023?江西統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/。)=若，(X)存在最大值，則實數(shù)f的取值范

1

log]x,x>-

24

圍是()

A.3,-2]B.SO]c.y,o)D.。+8)

【答案】B

16"+/,x<一

4當(dāng)x<；時/(x)=16'+f函數(shù)單調(diào)遞增,

【解析】因為/(幻=

I(

log,X,X>-

24

當(dāng)X*時小)=”g；函數(shù)單調(diào)遞減,

要使函數(shù)/(X)存在最大值，則最大值一定是在％=:處取得,

即〃x)g=/(；|=log'=2,此時161+芯2,解得"°，

即實數(shù)，的取值范圍是(7,0].

故選：B

變式29.(2023?廣西南寧?南寧三中校考一模)若3"+log3a=27"+3log2*,則()

A.a<3bB.a>3b

C.a>b2D.a<b2

【答案】A

【解析】設(shè)/(X)=3、+log,x(x>0),則/(x)為增函數(shù)，

3

因為3"+log3a=27"+3log27b=3*+log,h,