數(shù)學(xué)7-掌門資料一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法知識(shí)精要：1．二次函數(shù)的圖象及性質(zhì):二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．2．二次函數(shù)的解析式的三種形式：〔一般式〕；〔零點(diǎn)式或兩根式〕；〔頂點(diǎn)式〕．3．一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，，那么不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)〔〕的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根R4．解一元二次不等式的步驟：(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+”：A=>0(或<0)(a>0)；(2)計(jì)算判別式，分析不等式的解的情況；(3)寫出解集．熱身練習(xí)：例1．解不等式解：作出函數(shù)的圖像因?yàn)?所以，原不等式的解集是.例2．解不等式.解：整理得因?yàn)?所以，原不等式的解集是.例3．解不等式.解：因?yàn)?所以，原不等式的解集是.例4．解不等式.解：整理，得.因?yàn)闊o實(shí)數(shù)解，所以不等式的解集是.從而，原不等式的解集是.相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的歸納：題型1：考查一元二次函數(shù)的性質(zhì)例1二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，截軸上的弦長(zhǎng)為，且過點(diǎn)，求函數(shù)的解析．解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，可設(shè)所求函數(shù)為，∵截軸上的弦長(zhǎng)為，∴過點(diǎn)和，又過點(diǎn)，∴，解之得，∴．歸納小結(jié)：求二次函數(shù)的解析式一般采用待定系數(shù)法，但要注意根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)慕馕鍪叫问剑阂话闶?、零點(diǎn)式和頂點(diǎn)式，正確的選擇會(huì)使解題過程得到簡(jiǎn)化．題型2：簡(jiǎn)單不等式的求解問題例2不等式的解集為，求與的值．解法一：設(shè)的兩根為、，由韋達(dá)定理得：由題意得∴，，此時(shí)滿足，．解法二：構(gòu)造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應(yīng)為同解不等式，故，．歸納小結(jié)：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，，的兩根為，．在解題時(shí)要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系．題型3：含參不等式的求解問題例3解關(guān)于的不等式．證：分以下情況討論(1)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋?，∴即不等式的解集?2)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋孩佗佼?dāng)時(shí)，①式變?yōu)?，∴不等式的解為或．即不等式的解集為；②?dāng)時(shí)，①式變?yōu)椋凇?，∴?dāng)時(shí)，，此時(shí)②的解為．即不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)②的解為．當(dāng)時(shí)，，即不等式的解集為．歸納小結(jié)：解此題要注意分類討論思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，就此題來說有三級(jí)分類：分類應(yīng)做到使所給參數(shù)的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏．另外，解此題還要注意在討論時(shí)，解一元二次不等式應(yīng)首選做到將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解．練習(xí)：(-1)-(a-1)x-1<0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：假設(shè)-1=0，即a=1或a=-1時(shí)，原不等式的解集為R和{x|x<}；假設(shè)-10，即a1時(shí)，要使原不等式的解集為R，必須.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,1)∪{1}=(-,1).題型4：一元二次不等式的應(yīng)用例5函數(shù)，那么不等式的解集是〔〕A．B．C．D．解：依題意得所以，選C．歸納小結(jié)：解一元二次不等式往往與分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合進(jìn)行綜合考查，一般是借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相應(yīng)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，表達(dá)“三個(gè)二次”之間的緊密聯(lián)系，這也是一元二次不等式的重要考點(diǎn)之一．例6設(shè)不等式的解集為，如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍？分析：該題實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗．解：有兩種情況：其一是=，此時(shí)＜0；其二是M≠，此時(shí)=0或＞0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍．設(shè)，有==，當(dāng)＜0時(shí)，－1＜＜2，=；當(dāng)=0時(shí)，=－1或2；當(dāng)=－1時(shí)=；當(dāng)=2時(shí)，=當(dāng)＞0時(shí)，a＜－1或a＞2．設(shè)方程的兩根，，且＜，那么M=［，］，M1≤x1＜x2≤4，即解得2＜＜，∴M［1，4］時(shí)，的取值范圍是(－1，)．歸納小結(jié)：此題考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系．此題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．是符合題設(shè)條件的情況之一，出發(fā)點(diǎn)是集合之間的關(guān)系考慮是否全面，易遺漏；構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理，易出錯(cuò)．備選例題例1、解關(guān)于x的不等式分析此不等式為含參數(shù)k的不等式，當(dāng)k值不同時(shí)相應(yīng)的二次方程的判別式的值也不同，故應(yīng)先從討論判別式入手.解(1)當(dāng)有兩個(gè)不相等的實(shí)根.所以不等式：(2)當(dāng)有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以不等式，即；(3)當(dāng)無實(shí)根所以不等式解集為.說明一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)有著密切的聯(lián)系，要注意數(shù)形結(jié)合研究問題.例2關(guān)于x的二次不等式：a+(a-1)x+a-1<0的解集為R，求a的取值范圍.分析：原不等式的解集為R，即對(duì)一切實(shí)數(shù)x不等式都成立，故必然y=a+(a-1)x+a-1的圖象開口向下，且與x軸無交點(diǎn)，反映在數(shù)量關(guān)系上那么有a<0且<0.解：由題意知，要使原不等式的解集為R，必須，即a<-.∴a的取值范圍是a∈(-,-).說明：此題假設(shè)無“二次不等式”的條件，還應(yīng)考慮a=0的情況，但對(duì)此題講a=0時(shí)式子不恒成立.〔想想為什么？〕自我測(cè)試1．一元二次不等式x2－7x＋12<0,－2x2＋x－5>0,x2＋2>－2x的解集分別是M、N、P，那么M、N、P之間的包含關(guān)系是〔A〕A.N

MPB.MNPC.

N

PMD.MPN2．拋物線y=ax2＋bx＋c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(－,0),(,0)，那么ax2＋bx＋c>0的解集是〔D〕A.－<x<B.x>或x<－C.x≠±

D.不確定，與a的符號(hào)有關(guān)3．一元二次方程x2＋(a－1)x＋1－a2=0的兩根都大于0，那么a的取值范圍是(C)A.－1＜a＜1B.C.D.4.假設(shè)不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是〔C〕A.1B.2C5．假設(shè)不等式的解集為R，那么a的取值范圍是〔B〕A.B.C.D.6．M＝那么a的取值范圍是(B)A.B.C.D.a<－17．假設(shè)不等式的解集為，那么a－b＝〔A〕A．－10B.－14C.10D.148．不等式ax2+bx+c>0的解是0<α<x<β，那么不等式cx2－bx+a>0的解為 〔C〕A．<x<B．－<x<－C．－<x<－D．<x<9．假設(shè)x=a是不等式組的解，那么P(a＋2,a－2)在〔C〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限10．函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－1,3)和(1,1)兩點(diǎn),假設(shè)0＜c＜1，那么a的取值范圍是(B)A.(1,3)B.(1,2)C.[2,3]D.[1,3]11.不等式的解集是.12.假設(shè)a<－1，那么不等式的解集是.13.假設(shè)直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)P(2a－1,a2－1)在第四象限，那么a的取值范圍是<a<1.14.不等式－4≤x2－3x＜18的整數(shù)解為｛－2，－1，0，1，2，3，4，5｝.15.假設(shè)方程組有實(shí)數(shù)解，那么b的取值范圍是[－5,5].16.設(shè)集合A＝；B={x|－1<x<1}；假設(shè)，試求a的取值范圍.答案：[－1,1]17.要使關(guān)于x的二次方程x2－2mx＋m2－1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根介于－2與4之間,求m的取值范圍答案：(-1,3)18.某種牌號(hào)的汽車在水泥路面上的剎車Sm和汽車車速km/h有如下關(guān)系：，