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文檔簡介
四川省綿陽市南山中學(xué)實驗學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)
期期中考試數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:姓名:班級:考號:
一、單選題
1.已知&=(cos57°,sin27),b=(cos27,sin57°),則()
A.°B.gC.BD,1
2
2.已知點(diǎn)H(-l,2),8(3,1),向量X=(2,l),則向量比=()
A.(-2,2)B.(-1,0)C.(3,-1)D,(4,-1)
3.設(shè)“BO的內(nèi)角8,C的對邊分別為a,b,c,若/+8=生,”=26,c=5,
3
則si"=()
A.1B.2C.2D.I
5543
y=cosx
4.為了得到函數(shù)/(x)=cos(2x-馬7r的圖象,只需要把函數(shù).圖象()
A.先將橫坐標(biāo)縮短到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移笠個單位
4
B.先將橫坐標(biāo)縮短到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移搟個單位
C.先向左平移工個單位,再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)
4
D.先向左平移g個單位,再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)
O
試卷第11頁,共33頁
5.在△Z8C中,。為8c中點(diǎn),M為中點(diǎn),_,一一,貝U()
BM=mAB+nACm+n=
11-1
A.--B.7C.1D.
22
6.已知\448C的角7,8,C的對邊分別為a,6,c,且滿足28cos/+a=2c,若a=2,
b=w貝"c=()
A.2B.3C.2sD.3石
7.在平行四邊形4BCD中,AC=(1,2)'麗=(-4,2),則
阿『+|明J函2+網(wǎng)2=()
A?石B.5C.3石D-25
x
8.如圖是函數(shù)/(x)=sin(球+ir巴在一個周期內(nèi)的圖象,該函數(shù)圖象分別與軸、y,軸
相交于A、B兩點(diǎn),與過點(diǎn)八的直線相交于另外兩點(diǎn),、口,則方.(於+而卜
2525
C.D.
Ti18
試卷第21頁,共33頁
二、多選題
9.關(guān)于非零向量£,B,下列命題中不正確的是()
A.若卜卜W,則。二行
B-(^b)-c=(bc)-a
C.若力,?=%,則D
ab(a'h\-b
D.向量在上的投影向量為
H
10.若函數(shù)/(x)=sinxcosx-6cos"+乎,則下列結(jié)論正確的是()
A.函數(shù)”幻的最小正周期為四
2
B.函數(shù)”X)在區(qū)間[-密J上單調(diào)遞增
C.函數(shù)"X)圖象關(guān)于對稱
12
D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(等,0)對稱
H.在V/8C中,角4BC的對邊分別為0,bc'則下列結(jié)論正確的是()
A.若。2+肝<d,則V/BC一定是鈍角三角形
B,若sin/>sin8'則B
C若^^:^^^則^^^^為等腰三角形
D.若v"C為銳角三角形,則sin/>cos8
試卷第31頁,共33頁
12.已知函數(shù)/,(/)=也sin|x|+|cosx|,則()
A.函數(shù)“x)關(guān)圖象于y軸對稱
B.函數(shù)/(X)的最小正周期為27t
C.函數(shù)/(x)的值域為[.6,2]
D.方程"2='"在[樂2河上恰好4個實數(shù)根,貝百]
三、填空題
13.已知向量)=(-1,石),〃是與“方向相反的單位向量,則B的坐標(biāo)為.
14,tan70+tan50-A/3tan70tan50=-----,
15.蕭縣的蕭窯、淮南的壽州窯和蕪湖的繁昌窯是安徽三大名窯.2015年,安徽省啟動
對蕭縣歐盤村窯址的考古發(fā)掘,大量瓷器的出土和窯爐遺跡的揭露,將蕭窯的歷史提
溯至隋代.為進(jìn)一步摸清蕭窯窯址的分布狀況、時空框架以及文化內(nèi)涵等,經(jīng)國家文物
局批準(zhǔn),2021年3月,正式對蕭縣白土寨窯址進(jìn)行主動性考古發(fā)掘.如圖,為該地出土
的一塊三角形瓷器片,其一角已破損.為了復(fù)原該三角形瓷器片,現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù):
"'=34.64cm,=10cmBE=14cmA=s=t則兩點(diǎn)間距離為—cm.(參考
數(shù)據(jù):取6=1.732)
16.已知函數(shù)"x)="smx+cosx滿足〃外)會,若函數(shù)/㈤在區(qū)間1再㈤上單調(diào),
試卷第41頁,共33頁
且/(占)+/(》2)=0,當(dāng)卜1-即取得最大值時,則acos(X]+丫2)=
四、解答題
17.已知兩個非零向量£與否不共線.
⑴若元+刃與/平行,求實數(shù)%的值;
⑵若£=(1,3),I=(x,l),"=£+25且同=50,求相
18.在⑦6c中,角4仇C的對邊分別為a,bc?-0.acosC=(2b-c)cosA-
(1)求角/AA的大?。?/p>
Q)若a=2不,c=4,求VZ8C面積.
=(JT,nrzx.x.xe(0,7t)
19.己知。i,=(cos—,sin—),.
22
⑴若://》求實數(shù)x的值;
(2)若〃x)=£,,且'@)=迪,求sin(a+*的值.
20.如圖,一個大風(fēng)車的半徑為4m,8min旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點(diǎn)兄離地面2m,它的
右側(cè)有一點(diǎn)勺且距離地面4m.風(fēng)車翼片的一個端點(diǎn)P從片開始計時,按逆時針方向旋
(D試寫出點(diǎn)尸距離地面的高度”m)關(guān)于時刻,(min)的函數(shù)關(guān)系式/?(";
(2)在點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)一周的時間內(nèi),有多長時間點(diǎn)尸距離地面不超過gm?
試卷第51頁,共33頁
21.記V/BC的內(nèi)角A,失。的對邊分別為",七',已知a"]_2sin《)=g
⑴求/R;
ND
(2)若6=6,求VN8C周長的取值范圍.
22.如圖,點(diǎn)8(_1立],點(diǎn)/是單位圓與“軸的正半軸的交點(diǎn).
2'2
(?)^iZ-AOB-a,求sin2a;
(2)設(shè)點(diǎn)尸為單位圓上的動點(diǎn),點(diǎn)。滿足麗=方+而,40P=2(注04]),
/(0)=麗?詼,求/(。)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)歷±而時,求四邊形。力QP的面積.
試卷第61頁,共33頁
參考答案:
1.c
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示并結(jié)合三角函數(shù)的和差角公式即可求解?
【詳解】因為a=(cos57",sin27)h=(cos270,sin570),
所以展另=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos30=—,
2
故選:C.
2.A
【分析】設(shè)C(x,y),由就=(2,1)求出C(L3),從而求出團(tuán)?
【詳解】設(shè)C(x,y),則/=(2)-(-1,2)=(2,1),
故卜+1=2,解得卜=1,
1尸2=1[y=3
所以C(l,3),
又因為8(3,1),所以沅=0,3)-(3,1)=(-2,2),
故選:A
3.B
【分析】先求出eg再由正弦定理進(jìn)行求解.
【詳解】因為"人爺'所以cj'
2百5
由正弦定理得sin"sinC,即sin4.兀,
sin—
3
3
所以sin4=g.
答案第11頁,共22頁
故選:B
4.B
【分析】利用三角函數(shù)的伸縮變換和平移變換求解.
y=cosx\
【詳解】解:先將函數(shù)’圖像橫坐標(biāo)縮短到原來的5倍(縱坐標(biāo)不變)得到
y=cos2x,
再向右平移5個單位得到"x)=cos(2xq)的圖像:
y=cosx?
或者將函數(shù)’圖像向右平移工7r個單位,再將橫坐標(biāo)縮短到原來的5倍(縱坐標(biāo)不
變)可得到/(x)=cos(2x-當(dāng)?shù)膱D像.
4
故選:B
5.A
【分析】根據(jù)圖象及其性質(zhì),即可得出而=1萬+■祝,JD=-AC--AB,進(jìn)而根據(jù)
因為。是8C的中點(diǎn),所以標(biāo)=1萬+'就,BD=-BC=-X(AC-AB}=-AC--AB.
2222、>22
答案第21頁,共22頁
又因為加是AD的中點(diǎn),
所以,BM=-BA+-BD=--AB+-(14C-AB]=--JB+-AC,
2224、>44
又BM=mAB+〃",所以機(jī)=一2,〃J,所以機(jī)+”=」.
442
故選:A.
6.B
【分析】利用正弦定理邊化角,結(jié)合兩角和差公式可化簡求得cos8,利用余弦定理可構(gòu)造
方程求得°的值.
【詳解】由正弦定理得:
2sin8cos力+sinJ=2sinC=2sin(J+=2sinAcosB+2cossinB'
sin4=2sin/cos8JG(0,7C)「.sin/wO1
,乂^'',,,COSD=—,
2
2222
由余弦定理得:h-a+c-2accos5=4+c-2c=7?解得:c=-l(舍)或c=3.
故選:B.
7.D
【分析】根據(jù)向量加減運(yùn)算法則得到方=在+而,而=前_灰,兩式平方相加求出
答案.
【詳解】因為k=次+而,BD=BC-DC'祝=0,2"麗=(-4,2),
所以4c=(力8+4。)=AB+2ABAD+AD=\AB\^2AB-AD^\AD\,
—一…|
又B—D—2=(/B—C—*-—D—C*)\2=B—C—*2-2—B—CDC+DC-2=\|BC■\■?|2-2BC-DC+\DC\*1-,
答案第31頁,共22頁
因為萬.瓦=灰灰,AC2=1+4=5,BD2=16+4=20'
兩式相加得,畫,+1網(wǎng),+|c5|2+網(wǎng)。=5+20=25.
故選:D
8.D
【分析】先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)對稱性求得8C+8O,進(jìn)而求得方.(元+而).
【詳解】因為函數(shù)/(x)=si*x+胃,由〃0)=sint=g,所以8(0,g),
令/(X)-。,即si*Jx+t)=,可得口,+22左ke
1k-155
即x=——+k,kwZ,當(dāng)時,x=—,所以”(z"),
因為函數(shù)/(M關(guān)于點(diǎn)4對稱,所以c關(guān)于/的對稱點(diǎn)為o,即co的中點(diǎn)為a
所以旅+麗=20=((一1)
又因為。4=(W,。]'所以O(shè)4.(5C+8Z))-
9.AB
答案第41頁,共22頁
【分析】A選項,£石方向不一定相同;B選項,可舉出反例;C選項,根據(jù)向量定義可得;
D選項,根據(jù)投影向量定義和公式可得.
【詳解】對于A,同=忖,但“力方向不定,“花不一定相等,A錯誤;
對于B,向量運(yùn)算不滿足結(jié)合律,可令公=(1,2),5=(2,3),"=(3,4),
則R/”=(24,32),但Qi=(18,36),故B錯誤;
對于C,向量相等可以傳遞,C正確:
%?dB2-bb(£旬石
對于D,,均為非零向量,在上的投影向量為詈?符=匚浸一,D正確.
\b\H14
故選:AB
10.BCD
【分析】化簡/(x)的解析式,然后根據(jù)三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性等知識對選項
進(jìn)行分析,從而確定正確答案.
【詳解】y(x)=sinxcosx->/3cos2x+
=—sin2x-3%>s2x=sin(2x——)
223
所以最小正周期為7=技=兀,A錯誤;
當(dāng)T-罌寸則小抖-5,在故/⑶在卜罌水遞增,B正確;
由/(—與Lsin(--------)=-1,故x=—2是/*)的一條對稱軸,C正確;
126312
答案第51頁,共22頁
由/(爭”sin(7-§)=0,故(當(dāng)可是的一個對稱點(diǎn),D正確.
故選:BCD
11.ABD
【分析】根據(jù)余弦定理、正弦定理、誘導(dǎo)公式等知識對選項進(jìn)行分析,從而確定正確答案.
【詳解】對于A選項,因為則cosc/+〃-/<0,
2ah
故角C為鈍角,A選項正確;
對于B選項,因為sinZ>sinB,由正弦定理可得所以4>B,B選項正確;
對于C選項,因為"cos'=Aos',即/+不一/),(/+c2^),
2bc2ac
整理可得一〃)(Q2+62—《2)=o,所以,。?;颉?+/=c,2,
故V48c為等腰三角形或直角三角形,C選項錯誤;
對于D選項,若V"。為銳角三角形,所以4+2>工,所以g/>—一8>0,
222
則sin/>sin-8)=cos8,D選項正確.
故選:ABD
12.AC
【分析】A選項,根據(jù)函數(shù)奇偶性定義得到函數(shù)為偶函數(shù),故A正確;B選項,求出
/(x+2?!懔?x,B錯誤;C選項,畫出xWO時,函數(shù)/(x)的圖象,數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)最
值和值域;D選項,數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)有4個實數(shù)根時,”的取值范圍.
【詳解】A選項,八幻=百sin|x|+|cosx|定義域為R,
答案第61頁,共22頁
因為/(r)=J5sin\-x\+|cos(-x)|=V3sin|x|+|cosx|=f(x)'
所以函數(shù)為偶函數(shù),故A正確;
B選項,若X=一巨,貝IJsin]-電徑sin—=-1,而sin|-史,2冗向-4=,止匕時
2|2|2I2|2
sin卜+2兀枷忖,
故/(x+2兀Jskx/-2|ac^s(|+?兀)x+3sin|=^7c|c|os+||X)xfx,
所以2兀不是函數(shù)周期,故B錯誤;
C選項,對/(x)=Gsi川x|+|cosx「當(dāng)"之。時,
_keZ
+
/'(x)=6sinx+|cosx\
作出函數(shù)圖象,
由圖象知,最大值為2,當(dāng)x當(dāng)時,可取最小值/啰巴百sin彳=-6故函數(shù)值域為
卜G,2],故C正確;
答案第71頁,共22頁
D選項,由圖象知,'="與,="幻在卜兀,2句恰好有4個交點(diǎn),則機(jī)D錯誤.
故選:AC
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:
函數(shù)零點(diǎn)問題:將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題,將代數(shù)問
題幾何化,借助圖象分析,大大簡化了思維難度,首先要熟悉常見的函數(shù)圖象,包括指數(shù)
函數(shù),對數(shù)函數(shù),基函數(shù),三角函數(shù)等,還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換,包括平移,伸縮,
對稱和翻折等,涉及零點(diǎn)之和問題,通常考慮圖象的對稱性進(jìn)行解決.
ECl
【分析】設(shè)3=花=卜九百4),根據(jù)W=i求出;i=-g,得到答案.
【詳解】因為3是與。反向的單位向量,設(shè)石=筋=4-1,石)=卜,,血),為<°
所以W=J(-4)2+3父=」,所以;1=-;,故B=
故答案為:§,_4)
14.
【分析】根據(jù)正切和角公式得到tan700+tan50'-右+gtan700tan50。,代入即可求解?
【詳解】因為9+5。。)=幅褰
所以tan70°+tan50°=-y/3+V3tan70tan50
所以tan70+tan50-V3tan70tan50°+>/3tan70tan50->/3tan70tan50=-V3
答案第81頁,共22頁
故答案為:-G
15.14
【分析】作出輔助線,由正弦定理得到/c=8C*20(cm),求出。,CE,在VCDE中,利
用余弦定理求出0E,得到答案.
【詳解】如圖,延長'"'8"交于點(diǎn)。,因為4=8=工,所以C=型,
63
ACBCAB
sinfisirt4sinC
34.64X—34643464
/.AC=BC=-----廠2=—?---=20(cm)
V3V31.732I7
T
由題意得CQ=20—10=10,CE=20—14=6,C=',
3
故QE=y]CD2+CE2-2CD-CEcosC=J136+60=V196=14(cm),
故Q,E兩點(diǎn)之間的距離為14cm.
故答案為:14
16._@/-16
66
【分析】利用輔助角公式得到/(幻:石彳飛g+⑴,tanej,由〃x)4嗎)得到方
答案第91頁,共22頁
程,求出。=1+2%兀,keZ,a=W,從而得到/(x)=¥sin(x+1)結(jié)合題目條件得到
國一切的最大值為半個周期,故%+%=一,+2大,丘Z,代入求出答案.
【詳解】因為/(x)=asinx+cosx=Ja:+1sin卜+。),其中tan0=2,
又因為/(x)“。),所以/(x)a=/(,=Ja)+人出卜+0卜J/+1,
所以駕W=_+2?,kA,即0=F+2E,AeZ,
623
所以tanp=1@11(事+243)=?=—?解得〃
所以f(x)=sin(x+,),
又因為f(x)在區(qū)間[再,3]上單調(diào),且/a)+f{x2)=0,
所以點(diǎn)(4必),(々,%)關(guān)于對稱中心對稱,且|再-4的最大值為半個周期,
易知,⑶的對稱中心為衽,才左Zke,所以西+迎=-,+2左,",'
所以acos(X1+X2)=^^cos(一1+2ATT)=一^',
故答案為:一走
6
⑴.
答案第101頁,共22頁
⑵x=2或一3
【分析】根據(jù)向量平行設(shè)出3+否=4(£+廟),從而得到方程組,求出“=
(2)表達(dá)出A根據(jù)模長得到方程,求出x的值.
【詳解】(1)因為兀+各與:+人)平行,且〉與B不共線
所以妨+B=2伍+/)=4彳+4匯
所以”=',解得"7
[\=Ak
(2)因為C=G+2B=(1,3)+2(X,1)=(1+2X,5)
所以同=J(l+2xy+25=50,解得*=2或一乙
經(jīng)檢驗,均滿足£與否不共線,故x=2或-3
18.⑴華
⑵2石
【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等變換的知識化簡已知條件,由此求得人?
(2)利用余弦定理求得b,根據(jù)三角形的面積公式求得三角形Z8C的面積.
【詳解】(1)依題意,acosC=(2A-c)cosA,
由正弦定理得sin/cosC=(2sin5-sinC)cosA1
答案第111頁,共22頁
2sin8cos4=sinAcosC+cosAsinC=sin+C)=sin5?
-T-sinB>0/1八
由于,所以cosA=—>Of
2
ATT
則為銳角,所以
(2)由余弦定理.得〃2=〃+c?—2bccos4,
即12=從+16-2xbx4x;,b2-46+4=(6-2『=0,解得”?
所以Sv/獷=—/?csinA=—x2x4x^-=2\/3,
v"c222
19.(l)x=1
(2)sin(a+^)=--
【分析】(1)根據(jù)向量平行列方程,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得x的值?
(2)化簡/(X)的解析式,根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得sing+勺.
【詳解】(1)因為力行,所以cos2-Gsin±=0,tan2=且,
2223
因為X£(0,7U),—G(0,—),所以土二—X=—
22263
(2)因為==V5cos^+sin^=2sin(]+]),
答案第121頁,共22頁
所以f(a)-2sin(y+=^-y—nsin(y+§)=,
所以sin(a+已于野品已仁+?一萬]=-cos2(y+y)=2sin2(y+y)-l
(2)3分鐘.
3
【分析】(1)以圓環(huán)的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),過圓心且平行于地面的直線為x軸,建立平面直
角坐標(biāo)系先求出℃為終邊的角為一2,接著利用三角函數(shù)的定義求出尸點(diǎn)縱坐標(biāo),
即可求解;
(2)解法一:用三角函數(shù)的性質(zhì)求解Mf)=4sin]苧-力+6>8,可得到,距離地面超過
8m持續(xù)時間,即可求解;解法二:用三角函數(shù)的性質(zhì)求解砌=4sin伊-3+6W8,即
可得到P距離地面不超過8m持續(xù)時間.
【詳解】(1)以圓環(huán)的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),過圓心且平行于地面的直線為x軸,過圓心且垂
直于地面的直線為夕軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.
答案第131頁,共22頁
X
以軸非負(fù)半軸為始邊設(shè)。6為終邊的角為,貝Ijsin6="^~,故0=_四
46
點(diǎn)P時刻所t轉(zhuǎn)過的圓心-角為:/2冗冗三,
若f時刻時螞蟻爬到圓環(huán)p點(diǎn)處,那么以X軸非負(fù)半軸為始邊,
°°為終邊的角為與-一,則P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4sin7171
-t—一
4646
兀兀
所以%(z)=4sin+6
46
71711
(2)解法1:+6>8?即sin—t一一>2,
46
所以駕舞<_t一一<_-24左z,解得±+81</<4+弘,后eZ,
64663
PQAO
所以在一周時間范圍內(nèi),距離地面超過m持續(xù)時間為:(4+8衣)-§+w)=:分鐘,
所以不超過8m的時間是8-g=3分鐘一
33
解法二:A(Z)=4sin^-^7-—j+6<8BPsin^-^7-—^j<—,
所以空我熱-t—<一2瞰k&,解得4+8%<f(生+8%,%eZ
64663
答案第141頁,共22頁
在一周內(nèi),P距離地面不超過8m持續(xù)時間為:(g+8,-(4+8%)=與分鐘,
所以不超過8m時間是塵分鐘.
3
21.(l)S=j
⑵(12,18]
【分析】(1)已知等式結(jié)合倍角公式和余弦定理,化簡得COS8=L,可求
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