單片機(jī)原理與應(yīng)用第一章第二章

第一章線性代數(shù)方程組（消元法）歷史上，線性代數(shù)的第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于解線性代數(shù)方程組（1-1）的問(wèn)題（1-1）我們就從消元法解最簡(jiǎn)單的二元線性代數(shù)方程開(kāi)始討論這一應(yīng)用非常廣泛的課題，從而看出研究矩陣的必然性第一節(jié)解線性代數(shù)方程組的消元法二元線性代數(shù)方程組高斯–若爾當(dāng)消元法一、二元線性代數(shù)方程組在平面直角坐標(biāo)中，二元線性方程的圖像（坐標(biāo)能滿足方程的點(diǎn)集）是條直線。例如方程在將他的兩個(gè)解及在坐標(biāo)平面上用點(diǎn)表圖1-1示后，連線既得此方程的圖像（圖1-1）。事實(shí)上，此直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)正是該方程的一個(gè)解，反之，以方程的任意一個(gè)解作為坐標(biāo)，也正是這直線上的一個(gè)點(diǎn)。這樣從幾何上也看出一個(gè)二元線性方程有無(wú)限多解的事實(shí)。在實(shí)際問(wèn)題中常要對(duì)同時(shí)出現(xiàn)的若干個(gè)線性方程作為一個(gè)整體來(lái)考慮，需求出滿足所有方程的未知數(shù)，這就是解線性代數(shù)方程組。例如將（1-2）（1-3）這兩個(gè)方程作為整體來(lái)討論，就成一線性方程組（systemoflinearequation）,（1-2）是方程組的第一個(gè)方程，而（1-3）是第2個(gè)方程，對(duì)于線性方程組，其重要的求解方法是消元法，即通過(guò)對(duì)方程組做同解變形（或稱等價(jià)運(yùn)算或變形），使各個(gè)方程變成分別各含一個(gè)未知數(shù)（也稱變量），并能求出其值，從而得到整個(gè)方程“組”的解，這個(gè)解當(dāng)然地應(yīng)該也是由數(shù)組表示的。方程組的等價(jià)變形有一下三類：1.交換組內(nèi)任意兩個(gè)方程的次序（編號(hào)）；(交換)2.任意一方程乘一非零常數(shù)；（數(shù)乘）3.任意一方程經(jīng)數(shù)量倍（即在兩端乘同一常數(shù)）后加到另一方程去。（倍加）例1

試用方程組等價(jià)變形法，解方程組（1-2）（1-3）線性代數(shù)方程組的解有三種可能的情形：具有確定的解；無(wú)解；或者有無(wú)限多個(gè)解。例2

試用方程組等價(jià)變形，解方程組（1-3）（1-4）例3

試用方程組等價(jià)變形，解方程組（1-3）（1-5）如圖1-2(a)、(b)、(c)分別顯示例1、2、3三個(gè)二元線性方程組解的三種狀況之幾何意義：2x-3y=-4yxox+y=3(a)一對(duì)相交直線有唯一公共點(diǎn)2x-3y=-4yxo-4x+6y=2(b)一對(duì)平行直線無(wú)公共點(diǎn)2x-3y=-4yxo-4x+6y=8(c)一對(duì)重合直線每一點(diǎn)都是公共點(diǎn)圖1-2二、高斯-若爾當(dāng)消元法將未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的多個(gè)線性方程看成一個(gè)整體，稱為線性方程組。若一個(gè)方程組含有m個(gè)方程、n個(gè)未知數(shù)，常簡(jiǎn)稱為m×n方程組。m×n方程組的解應(yīng)是n維數(shù)組，將解數(shù)組各個(gè)分量依序代未知數(shù)時(shí)能使m個(gè)方程全部成立?；仡櫳弦欢?，用三類等價(jià)運(yùn)算解2×2方程組的過(guò)程，這里是依照這樣的目標(biāo)進(jìn)行的：通過(guò)三類等價(jià)運(yùn)算，先用第1個(gè)方程，將方程組第1個(gè)未知數(shù)在各個(gè)方程中的系數(shù)變成只在第1個(gè)方程中成1，其他方程中全為0；再用第2個(gè)方程第2個(gè)未知數(shù)在各個(gè)方程中的系數(shù)變成只在第2個(gè)方程中成1，其他方程中全為0，如此等等。由于整個(gè)過(guò)程只是通過(guò)方程組等價(jià)運(yùn)算變各個(gè)方程的系數(shù)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可省寫未知數(shù)，用列表形式凸現(xiàn)其系數(shù)的變化過(guò)程?？蓪⒌挠?jì)算重現(xiàn)于下：表1給出的的原始方程組，（row）是方程的系數(shù)，方程的系數(shù)，方程右端的常數(shù)組成。r1是第1行r2是第2行是而常數(shù)列（column）由xy常數(shù)列r1113r22-3-4表1xy常數(shù)列r1113r2′0-5-10表2經(jīng)等價(jià)運(yùn)算r1×（-2）+r2，得經(jīng)運(yùn)算r2′×（-1/5）得r1113r2?012表3經(jīng)運(yùn)算r2?×（-1）+r1得r1′101r2?012表4第1個(gè)未知數(shù)x列的位置成第2個(gè)未知數(shù)y列的位置成因原方程組與表四代表的方程組同解，故這就是方程組的解，或者說(shuō)此時(shí)常數(shù)列位置成為方程組的解這樣求方程組解的方法稱為消元法(elimination)或一般稱為高斯-若爾當(dāng)(Gauss-Jordan)消元法。

通過(guò)以上各例可看出,與2×2方程組一樣，對(duì)一般的m×n線性方程組，其解的情況也有三種：有唯一確定的解，有無(wú)限多個(gè)解，或者無(wú)解

,三者必居其一。第二章矩陣定義1

m

n

個(gè)元，排成

m

行

n

列（橫稱行，縱稱列）的矩型陣列（表）稱為維是m

n的矩陣(matrix)簡(jiǎn)稱為m

n[型]矩陣.一、矩陣概念(2-1)常用大寫黑斜體字母如A、B、C，·····記之，必要時(shí)也可以以下標(biāo)來(lái)區(qū)別不同的矩陣，如A1，A2，·····在書寫矩陣時(shí)，也有將的m

n矩陣寫作３×４矩陣這個(gè)３×４矩陣，有a21=15，a33=14在敘述普遍規(guī)律或從前后文容易明確時(shí)，一般就不特別指所涉及矩陣的維，而在必要時(shí)常用表明A是m

n矩陣

二、一些特殊的矩陣m=n

的情形，此時(shí)稱之為n

階方陣或

n

階矩陣。從矩陣的形狀看，遇到最多的是在中另外，只有一列（即n=1）或一行（即m=1）的矩陣也常碰到.

(2)行矩陣和列矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣(也稱為行向量).如A=(a11a12…a1n).如

只有一列的矩陣稱為列矩陣(也稱為列向量).

(3)上三角陣與下三角陣對(duì)于方陣，若其非零元只出現(xiàn)在對(duì)角線及其上（或右）方，就稱為上三角[形矩]陣（uppertriangularmatrix）,有時(shí)用U或R(right)表示。如：是4階上三角陣。值得注意的是，對(duì)角線下（或左）方的元必為零，而其他元可以是零也可以不是零。相反，非零元只出現(xiàn)在對(duì)角線及其下（或左）方的方陣為下三角[形矩]陣(lowertriangularmatrix)記作L(left).如是個(gè)3階下三角陣一般而言，對(duì)n階矩陣A=[aij]，當(dāng)且僅當(dāng)i>j且aij=0時(shí)A為上三角陣；而當(dāng)且僅當(dāng)i<j且aij=0時(shí)A為下三角陣；[矩]陣（diagonalmatrix）,一個(gè)既是上三角又是下三角的矩陣稱為對(duì)角

(4)對(duì)角陣亦即對(duì)角陣是非零元只能在主對(duì)角線上出現(xiàn)的方陣.如是個(gè)3階的對(duì)角陣.顯然，由對(duì)角線元就足以確定對(duì)角陣本身，故常將這對(duì)角陣記作D=diag(12,3,4).而diag(δ1,δ2,·····,δn

)表示一組對(duì)角元分別為δ1,δ2,·····,δn的n階對(duì)角陣，詳細(xì)寫出就是當(dāng)然允許某些δ等于零。（2-4）ndiagdddL),,,(úúúú?ùêêêê?éndddLMMMLL0000002121def量δ時(shí)稱為標(biāo)量[矩]陣(scalarmatrix),當(dāng)一對(duì)角陣的對(duì)角線元全相等，等于某個(gè)常

(5)標(biāo)量陣特別稱δ=1的標(biāo)量矩陣為單位[矩]陣,或稱幺[矩]陣(identitymatrix),以I或E來(lái)記。必要時(shí)在其下角標(biāo)明階數(shù)，如（2-4′）在對(duì)許多實(shí)際問(wèn)題作數(shù)學(xué)描述時(shí)，都要用到矩陣的概念，三、矩陣問(wèn)題的例這里討論幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子。例1

（通路矩陣）a省兩個(gè)城市a1,a2和b

省三個(gè)城市b1,b2,b3的交通聯(lián)結(jié)情況如圖2-1所示，每條線上的數(shù)字表示聯(lián)結(jié)該兩城市的不同通路總數(shù)。由該圖提供的通路信息，可用矩陣形式表示（稱之為通路矩陣），以便存貯、計(jì)算與利用這些信息。a1a2b1b2b341322現(xiàn)有a1a2b1b2b3通路矩陣C的行表示a省的城市，列是b省的而cij表示ai與bj間的通路數(shù)。工廠中常用管道聯(lián)結(jié)各種設(shè)備，于是也可用一矩陣表明各設(shè)備間的連通情況.圖2-1城市，例2

（價(jià)格矩陣）四種食品（food）在三家商店（shop）中，單位量的售價(jià)可用以下矩陣給出：F1F2F3F4S1S2S3（2-5）這里的行表示商店，列為食品，分量就是第2種食品在3家商店中的3個(gè)售價(jià)。例如第2列3個(gè)基本運(yùn)算一定義在定義矩陣運(yùn)算之前，先規(guī)定矩陣相等的含義。定義相等

設(shè)A是m×n矩陣，B是s×t矩陣,A=[aij],B=[bij]

，則當(dāng)m=s,n=t且aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)時(shí)，稱矩陣A與B相等，記作A=B.這就是說(shuō)兩個(gè)行、列數(shù)分別相同且有同樣位置的元全都對(duì)應(yīng)相等的矩陣是相等的?？梢钥闯?，引進(jìn)矩陣記號(hào)可簡(jiǎn)化表達(dá)，用一個(gè)矩陣等式可表達(dá)很多個(gè)數(shù)量等式。定義2

數(shù)乘若A是m×n矩陣，α是個(gè)數(shù)，則αA（或Aα）是用數(shù)α乘A的每一個(gè)元而形成的m×n矩陣，即若

則例如若則定義加法若A=[aij]和B=[bij]是兩個(gè)m×n矩陣則將其每一對(duì)i-j元相加，矩陣稱為矩陣A與B的和，記作A+B形成一新的m×n即例如定義中蘊(yùn)含了只有同維矩陣才能相加的條件，故在認(rèn)為記號(hào)“A+B

”有意義時(shí)，即已承認(rèn)了A與B是同維的事實(shí).

把矩陣A與B之差A(yù)–B

定義成A+（-1）B

.式中當(dāng)然認(rèn)為是先進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算（-1）B

的.把元全為零的矩陣稱為零矩陣，記作O則對(duì)任意一矩陣A，有A=A+O=O+A以及A–A=A+(–1)A=O若用–A表示A的加法逆，則–A=(–1)A常將矩陣的數(shù)乘及加法統(tǒng)稱為線性運(yùn)算。的形式，這樣做將有利于理解解的“結(jié)構(gòu)”利用線性運(yùn)算可將上章的解表示成定義轉(zhuǎn)置把給定m×n矩陣A的各行作為相同序號(hào)的列，形成一個(gè)新的矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置（transpose）,記作AT或者A′。顯然AT是n×m矩陣，例如例2

（續(xù)）若欲購(gòu)買第i種食品xi個(gè)單位，(i=1，2，3，4),可表示成一個(gè)3維的總價(jià)向量x=[x1,x2,x3,x4]T

，則購(gòu)買的食品量可表成向量同的商店購(gòu)買而不同，所需的總價(jià)當(dāng)然隨著在不總價(jià)：故可算得3個(gè)不相同的由于總價(jià)應(yīng)該是單價(jià)與購(gòu)買量之積.這樣，與需購(gòu)向量的乘積.從矩陣運(yùn)算角度來(lái)看，這里是3×4矩陣與4×1矩陣做“乘法”，結(jié)果是個(gè)3×1矩陣。自然可把這總價(jià)向量看作是單價(jià)矩陣考察了這兩個(gè)例子后，現(xiàn)在正式定義矩陣乘法定義乘法設(shè)A=[aij]是m×n矩陣，B=[bij]是n×s矩陣，為元的m×s矩陣C=[cij]為A[自左]乘B的乘積，（2-7）以記作C=AB，亦即

AB

的i–j元是A的第i行與B的第j列對(duì)應(yīng)位置元的乘積之和（簡(jiǎn)稱為A第i行與B第j列之積），稱為確定矩陣乘積AB元的行乘列法則.借下式=（2-8）可幫助記憶怎樣確定乘積AB之維的關(guān)系。列數(shù)與B的行數(shù)相等時(shí)，乘積AB有定義，類似地，可規(guī)定A[自]右乘B的規(guī)則，從及（2-8）可見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)A的是A可[自]左乘B的可相乘條件。這就并得到A可[自]右乘B的條件，即記號(hào)BA

有意義的條件是B的列數(shù)與A的行數(shù)相等.例6

設(shè)這時(shí)A左乘B不可能，因?yàn)锳的列數(shù)是2而B(niǎo)的行數(shù)是3,兩者不相等.然而A右乘B(即B左乘A)卻是可以的,按,A右乘B得到的BA是個(gè)3×2矩陣2，因?yàn)锽的列數(shù)與A的行數(shù)均為例6

設(shè)則根據(jù)，AB與BA都是存在的，有這里可以看到矩陣乘法的一個(gè)必須注意的特點(diǎn)：一般不滿足交換律.亦即AB與BA可以不必相等，甚至這兩者可以不必皆有意義，或未必有相同的維.今后，特別稱使

AB=BA的矩陣A與B是可交換相乘的矩陣.AkAA

Ak個(gè)def自乘若干次的情形，使用冪指數(shù)的記號(hào)是即合理又可帶來(lái)便利的.若k是個(gè)正整數(shù)，定義（規(guī)定A0=I）從這個(gè)定義可看出成立指數(shù)律：AkAl=Ak+l但是對(duì)于兩個(gè)同階方陣A,B而言，(A+B)2與A2+2AB+B2

當(dāng)且僅當(dāng)A、B可交換相乘時(shí)才相等。在一個(gè)方陣由于矩陣乘法是滿足結(jié)合律的，例

（線性代數(shù)方程組）（2-12）系數(shù)構(gòu)成的m×n矩陣A=[aij],稱為系數(shù)矩陣,n維的未知數(shù)向量x=以及m維的自由項(xiàng)（或右端項(xiàng)）b=,利用矩陣乘法及矩陣相等的規(guī)定，線性代數(shù)方程組對(duì)此方程組，引進(jìn)由方程組的Ax=b(2-12′)可被表示成等價(jià)的矩陣形式：逆矩陣

在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，數(shù)b除以非零數(shù)a的運(yùn)算可用乘法表出為其中非零數(shù)的“倒數(shù)”（乘法逆）可用式定義。受此啟發(fā)，對(duì)方陣的情形，就從討論類似的等式出發(fā)，建立可逆矩陣的概念。一可逆矩陣定義3

對(duì)給定的矩陣A，如果存在矩陣B，使AB=BA=I則稱A為可逆[矩]陣，并稱適合（2-13）（2-13）的矩陣B稱為A的逆[矩]陣;可逆矩陣也稱為非退化[矩]陣，也常被稱為非奇異[矩]陣成立，的做法，姑且稱之為單位陣技巧，定理4

如果A

是

可逆陣，則其逆陣是唯一的.

在證明過(guò)程中巧用及陣等式中常用的一種技巧.這是在證明矩而稱不存在逆陣的方陣為退化[矩]陣或奇異[矩]陣.這樣，根據(jù)定義可容易地推知，單位陣必為可逆陣，且其逆陣即為自身

I-1=I.

由于可逆矩陣A

的逆矩陣是唯一確定的，故可用確定的符號(hào)記之為A-1

，有AA-1=A-1A=I.(2-13′)例13

試證對(duì)角陣是可逆矩陣，并求出A-1

利用逆矩陣概念，可方便表出線性代數(shù)方程組的解.事實(shí)上,對(duì)n×n（即n個(gè)n元）線性代數(shù)方程組Ax=b當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，可表出其解為

x=A-1b，這是因?yàn)橛葾為可逆陣，可知A-1存在，用A-1同時(shí)[左]乘方程的兩邊，A-1Ax=A-1b即x=A-1b可得可逆矩陣有以下兩定理表示的性質(zhì)定理5

若A為可逆矩陣，則A-1、kA（k

為任一非零常數(shù)）、AT皆為可逆陣，(A-1)-1=A(AT)-1=(A-1)T.且定理6

若A、B

為同階的可逆矩陣，則AB

也是可逆陣，(AB)-1=B-1A-1.（2-14）且成立矩陣的分塊一分塊運(yùn)算一個(gè)給定的矩陣A，可在行間做水平[虛]線，或（及）在列間作鉛垂[虛]線，把矩陣劃分成一些塊，稱為對(duì)矩陣A的分塊.

例如下面（2-17）中的3×5矩陣，被所示的虛線分成了四塊：

對(duì)一種特定的分塊方式，為指明其各元塊的維，可如上式右端那樣標(biāo)示，的矩陣等等.

將矩陣適當(dāng)?shù)胤謮K是種技術(shù)，這樣做，有時(shí)3221（2-17）得以看出A11

是2×3適當(dāng)分塊后，可被看成是個(gè)“對(duì)角陣”可利于凸現(xiàn)出蘊(yùn)含的某種簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，如對(duì)從而有可能利用已知的性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算與討論.其中稱形如（2-18）的分塊矩陣為分塊對(duì)角[矩]陣或擬對(duì)角[矩]陣.（2-18）二矩陣的按列分塊對(duì)矩陣按列分塊，是一種技術(shù)也是一種看法,有了這種技術(shù)使線性代數(shù)方程、矩陣、向量[空]間三者將交織在一起互動(dòng)地發(fā)展，這對(duì)理解或解釋線性代數(shù)的有關(guān)概念和問(wèn)題常是有幫助的.若在矩陣的列間引入虛線按列分塊，如其中aj

是

A

的第j列，.這樣

A

被看作是以向量為元的行向量，有時(shí)也要用到按列分塊.

其中帶上標(biāo)的小寫黑體字母表示行向量，ai

是A的第i行，.如三子矩陣

對(duì)給定的m

n矩陣A，取其r行(1≤r≤m)s列(1≤s≤n),則位于交叉位置的個(gè)rs個(gè)元可按照原來(lái)的相對(duì)位置構(gòu)成一個(gè)r

s

矩陣，稱這樣的矩陣為A的子矩陣.例如若取其第2、4行及第2、3、5列可得2

3

子矩陣

一個(gè)矩陣可以有很多子矩陣，得到的每個(gè)塊都可看作是所給矩陣的一個(gè)子矩陣.在分塊技術(shù)中而且每個(gè)矩陣也可看作是自身的一個(gè)特殊的子矩陣初等變換與初等矩陣定義與性質(zhì)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形分解再論可逆矩陣n×n線性代數(shù)方程組的唯一解

矩陣的初等變換起源于解線性方程組的3類同解變形.利用初等變換將矩陣A化成形狀“簡(jiǎn)單”的的矩陣B，以通過(guò)B探討或解決與A有關(guān)的問(wèn)題或某些性質(zhì)是討論矩陣問(wèn)題的常用方法.一定義與性質(zhì)定義5

分別稱以下3類變換為矩陣的第1、2、3

類行(row)或列(column)初等變換：1

.

對(duì)調(diào)矩陣中任意兩行（或列）的位置.用rij

（或cij

）表示對(duì)調(diào)一個(gè)矩陣的第i

行(列)與第j行（列）的第1類行(列)初等變換.2.

以一非零常數(shù)乘矩陣某一行（或列）.記為ri

rj

(ci

cj

)行(列)的第2類行(列)初等變換.記為ri→αri(ci→αci)用ri(α)(或ci(α))表示以α≠0乘矩陣第i

將矩陣某行（或列）的數(shù)量倍數(shù)加到另一行（或列）去.用rij(k)(或cij(k))表示以k乘矩陣第i行(列)后加到第i行(列)的第3類行（列）初等變換記為rj→rj+kri(cj→cj+kci)行初等變換與列初等變換統(tǒng)稱為初等變換定義6

對(duì)單位陣施以一次行(列)初等變換后所得到的矩陣稱為相應(yīng)的行(列)初等矩陣，1、2、3類行列初等矩陣為Rij,Ri(α),Rij(k)

或Cij,Ci(α),Cij(k),分別記第有第i

行第

j

行第i

行第

i行第

j

行行初等矩陣與列初等矩陣統(tǒng)稱為初等[矩]陣初等變換與初等矩陣有以下定理表出的一些性質(zhì)所得的矩陣B

，定理7

對(duì)m

n

矩陣A,列)初等矩陣左(右)乘A.做一次行(列)初等變換等于以一個(gè)相應(yīng)的m階行(n階定理8

初等矩陣都是可逆陣，且其逆陣亦為同類型的初等矩陣，類似地有(2-19)(2-19′)有定理9

非退化陣經(jīng)過(guò)初等變換后仍為非退化陣,

而退化陣經(jīng)過(guò)初等變換后仍為退化陣.二矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形分解利用初等變換可容易證得下面的定理定理10

對(duì)任一m

n

矩陣A,必可經(jīng)過(guò)有限次初等變換，化成如下形式的m

n矩陣：亦即，對(duì)任一m

n矩陣A必可找到初等陣R1,R2,…,Rs及C1,C2,…,Cl

，使其中r是個(gè)隨A