2022-2023學年湖南省衡陽市祁東縣高一年級下冊期中數(shù)學模擬卷（含解析）

2022-2023學年湖南省衡陽市祁東縣高一下冊期中數(shù)學模擬卷

(含解析)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.己知〃?，〃為實數(shù)，l-i(i為虛數(shù)單位)是關于X的方程-一機x+〃=°的一個根，則

m+n=()

A.0B.1C.2D.4

【正確答案】D

【分析】由l—i是關于X的方程/一加x+〃=o的一個根，則1+i是關于X的方程

X2_M+〃=0的一個根，結合根與系數(shù)的關系求解即可.

【詳解】莊11—i是關于X的方程f-mx+n=O的一個根，

則1+i是關于χ的方程χ2—mx+n=O的一個根，

則機=1一i+1+i=2,〃=(1-i)X(1+i)=2,

即加=2,n=2,則〃？+〃=4,

故選：D.

2.如圖所示，四邊形OABC是上底為1,下底為3,底角為45"的等腰梯形，由斜二測畫法,

畫出這個梯形的直觀圖。‘48'。'，在直觀圖中的梯形的高為

I

A.—B.—C.—D.√2

432

【正確答案】A

【詳解】試題分析：：四邊形OABC是上底為1,下底為3,底角為45。的等腰梯形，

故ABCD的高為1,面積S=LX(I+3)xl=2,故其直觀圖的面積S'=2x也=也，設

242

直觀圖的高為h,則l?χ（i+3）x0=也，解得：h=立,故選A.

224

考點：平面圖形的直觀圖.

3.已知在正四面體4一6CZ）中，M為/8的中點，則直線CM與ND所成角的余弦值為

（）

A.yB.—C.也D.-

2263

【正確答案】C

【分析】設正四面體N-BCD的棱長為2,取6。的中點N,連接"N,CN則MN//Z。,

所以NC朋N是直線CW與ZD所成的角（或其補角），設MN的中點為E,則CELMN,

在E中，解三角形即可得答案.

【詳解】解：如圖，設正四面體C。的棱長為2,取8。的中點N,連接MN,CN,

?.?M是ZB的中點,

.?MN∕∕AD,

NCMN是直線CM與Zo所成的角（或其補角）,

設JW的中點為E,則CE_LMN,

在ACME中,ME=-,CM=B

2

1

ME_3_也,

cos/CME=

^CM~^∕3~~6

√3

直線CM與AD所成角的余弦值為

6

故選：C.

4.在aZBC中，（元+瓦=則C的形狀一定是（）

A直角三角形B.等腰三角形

C等邊三角形D.等腰直角三角形

【正確答案】A

I.,iI2'2

【分析】注意到卜q=AC,根據(jù)已知等式，利用向量的數(shù)量積的運算法則和線性運算法

則可得到瓦屋X=O，進而得到結論.

【詳解】（就+畫）-X—

={JC+BA-ACyAC

={JC+BA+CAYAC

^2BAAC

=O

.,.BA±ΛC,

4ZBC為直角三角形，

故選：A

5.《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉席.若三棱錐P-48C為

鱉席，P4_L平面∕8C,PN=ZB=2,NC=4,三棱錐P-ZBC的四個頂點都在球。的球

面上，則球。的表面積為（）

A.8πB.12πC.20πD.24π

【正確答案】C

【分析】先分析出三棱錐尸-NBC的外接球是一個長方體的外接球，尸C是其外接球的直

徑，求出長方體的外接球的半徑R,再由球的表面積公式求解即可.

【詳解】將三棱錐尸-ZBC放在一個長方體中，如圖所示，

則PC是長方體外接球的直徑，

TT

因為一BC是直角三角形，且NZ8C=一,

2

所以BC=y∣AC2-AB2=2√3，

所以球。的直徑PC=yjPA2+AB2+BC2=√4+4+12=2√5，

所以半徑R為6，球。的表面積為4兀朋=4兀（指『=2071.

6.已知向量Z=(l,2x),加=(0,2),則孚的最大值為()

a

A.2√2B.2C.√2D.I

【正確答案】D

∩.A4?Y

【分析】根據(jù)題意可得F=分x≤0和x>0兩種情況討論，結合基本不等式即

a4/+1

可得出答案.

【詳解】解:由向量Z=(l,2x),3=(0,2),

,aa?l)4x

得”二E

當l≤O時，≤O,

a

a?b4x4/41

1

當X>。時，√4√÷14x÷^2O'

XV'X

當且僅當4%=一，即X=L時，取等號，

X2

綜上”的最大值為L

a

故選：D.

7.已知菱形/8C。的邊長為2,菱形的對角線NC與80交于點。，互i麗=T，點E是

線段6。上靠近。的三等分點，則近在刀上的投影向量的模長為()

84

A.-B.-C.1D.2

33

【正確答案】B

【分析】先根據(jù)數(shù)量積定義和題干條件互■的=1算出菱形的四個內角，然后直接利用投

影向量的模長公式計算.

【詳解】菱形對角線相互垂直，即/403=9。，根據(jù)數(shù)量積的定義，

故BO=1,即COSN48。=工，又NABo

BABo=II而卜。而∣?cosN∕3θ)=甌1,

2

JT

為銳角，則430=1,根據(jù)投影向量的模長公式，荏在刀上的投影向量的模長為：

AEABAE-AB

羽=-2—，依題意，BE=2ED'即8Z+ZE=2E4+240,故

—■1―-2―?―-―-1--22―■—■4218

AE^-AB+-AD,于是AE?AB=-AB+-ABAD=-+-2-2-,即投影向

33333323

4

量的模長為一.

故選：B

8.如圖，在棱長為α的正方體力BCD-4/C。中，P,Q分別為3。，8片上的動點,

A.B.√4+2√2αɑ-q4+容aD.

2√13

-------a

3

【正確答案】B

【分析】AGP。的三邊都在三棱錐GR的三個側面上，將三棱錐3—4G2的側面

展開成平面圖形，根據(jù)共線時最短求解.

連接8。,4。，

由圖易得，AGPQ的三邊都在三棱錐3一片CA的三個側面上,

將三棱錐8-4G2的側面展開成平面圖形，如圖，

可得四邊形BC}D}C；為直角梯形,

當GlP,Qc四點共線時，AC/。的周長最小，

最小值為《C；D；+DC=√4+2√2^，

故選:B.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.已知復數(shù)z=—l+6i（i為虛數(shù)單位），I為Z的共聊復數(shù)，若復數(shù)W=Z,則下列結論

z

正確的有（）

A.W在復平面內對應的點位于第二象限B.?w?=↑

C.W的實部為-LD.W的虛部為避√

22

【正確答案】ABC

【分析】對選項4求出語_2+巫，，再判斷得解；對選項B,求出Hl=I再判斷得解;

22

對選項C復數(shù)卬的實部為-L，判斷得解；對選項卬的虛部為也,判斷得解.

22

【詳解】對選項4由題得I=-I一Gi,

-l-√3z(-l-√3z)2-2+2√3z1√3.

?W=_______=_________________=________=___+___J

-l+√3z(-l+√3z)(-l-√3z)422?

所以復數(shù)W對應的點為等)，在第二象限，所以選項A正確；

'--=↑,所以選項8正確;

對選項8,因為唧=+

44

對選項C復數(shù)卬的實部為-一，所以選項C正確;

2

對選項。,w的虛部為所以選項。錯誤.

2

故選：ABC

本題主要考查復數(shù)的運算和共軌復數(shù)，考查復數(shù)的模的計算，考查復數(shù)的幾何意義，考查復

數(shù)的實部和虛部的概念，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

10.設向量α=(2,0),6=(1,1),則()

B.［與書的夾角是一

a-b?1bD.與B同向的單位向量是

【正確答案】BC

【分析】對于A,直接求出兩向量的模判斷即可，對于B,利用兩向量的夾角公式計算判斷,

【詳解】對于A,因為1=(2,0),?=(1,1),所以同=2,問=血，所以同咽，所以A

錯誤，

對于B,因為Z=(2,0),?=(1,1),所以CoS

因為同，所以，,*工，即[與B的夾角是生，所以B正確，

對于C,因為￡=(2,0),B=(l,l),所以Z—B=

所以伍―B"=i—ι=o,所以所以C正確，

-/、-bf√2√2"∣

對于D,因為6=(1,1),所以與b同向的單位向量是M=I所以D錯誤,

故選：BC

11.設平面向量同=1,W=2,B在Z方向上的投影向量為工，則()

一一一一?111

?-a`c—c`bB?a`b-a*c

C,p?c∣≤2D.a?c=p∣?p∣

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和投影向量的定義逐個分析判斷即可.

【詳解】設B與[的夾角為6，

對于A,當6為銳角時，7閆麗=RU=HWCoS8=F『，不一定相等，所以A錯

誤，

對于B,當6為銳角時，“去=:帆8Se=WeoSg=H，a，。=同c∣=H，所以D=H

當e為鈍角時，α?B=,帆COSe=WCoSe=-H,Ge=-曰*[=[],所以;

?LLL

當。為直角時，α?b=α?c=0,綜上B正確，

對于c,κq=B∣?∣q=H<w=2,所以C正確，

對于D,若(α,c)=7,則a-c=-,Hd，所以D錯誤，

故選：BC

12.已知棱長為2的正方體力38-的中心為。，用過點。的平面去截正方體，

則()

A.所得的截面可以是五邊形B.所得的截面可以是六邊形

C.該截面的面積可以為3gD.所得的截面可以是非正方形的菱

形

【正確答案】BCD

【分析】利用正方體的對稱性逐一判斷即可.

【詳解】過正方體中心的平面截正方體所得的截面至少與四個交，所以可能是四邊形、五邊

形、六邊形，

又根據(jù)正方體的對稱性，截面不會是五邊形，但可以是正六邊形和非正方形的菱形（如圖）

故A錯誤，BD正確；

因為四邊形44ClA的面積為4，當截面過中心。且平行與底面NBCo時，截面為矩形（此

時也是正方形），且面積為4<3百，若這個截面繞著中心。旋轉，轉到與四邊形4片CD重

合，此時面積為4√Σ>3百，所以在轉動過程一定存在截面面積為36，C正確.

故選：BCD.

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知向量"，B滿足W=2,W=1,［與B的夾角為60°,α，則4=.

【正確答案】4

【分析】利用向量垂直以及數(shù)量積的運算法則，可得同2=∕l7B,在結合題目所給的模，

代入即可求得.

【詳解】vɑ?（/l?-o）,.?.α?（26-α）=0即向2=花.石，又?.?∣q=2,W=l

a?6=p∕∣∣?∣cos60°=2×1×?=1.「=H=Zl

2a?b

故4

14.在正方體/8C。—48∣G5中，M,N,。分別是棱。∣G,A↑Dl,8C的中點，點尸在

2

BDx上且8尸=；直九則以下四個說法：

①MN〃平面APC-,

②G0〃平面/PC；

③N,P,歷三點共線；

④平面Λ∕N0〃平面APC.

其中說法正確的是（填序號）.

【正確答案】②③

【分析】連接MN,AC,則MN〃/C,連接/A/,CN,易得/M,CN交于點P,從而可知

MNU平面/PC,所以①錯誤；由M,N在平面ZPC上，由題易知ZN〃G°,從而可得CI0〃

平面/PC,所以②正確；由于前的證明可知/,P,M三點共線是正確的，從而可知③正確;

由于MVU平面ZPC,MNU平面MN°,從而可判斷④

①連接Λ∕N,AC,貝!∣Λ∕N〃/C,連接4Λ∕,CN,

易得AM,CN交于點P,即MNU平面”尸C,所以MN〃平面NPC是錯誤的；

②由①知M,N在平面APCl.,因為在正方體ABCD-AiB↑C↑Di中，M,N,Q分別是棱D1Cu

4G，8C的中點，所以A44∣N絲AGC0,所以4AM∣=NG0C,因為NA,〃QC,所

以AN〃CQ因為/NU平面力尸C,所以CiQ〃平面/PC是正確的；

③由①知4,P,M三點共線是正確的；

④由①知MNU平面APC,

又MVU平面MV。，

所以平面MNQ〃平面/PC是錯誤的.

故②③

此題考查線面平行、面面平行的判斷，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎題

15.異面直線八6所成角為(，直線C與a、b垂直且分別交于小B,點C、。分別在直

線a、人上，若/C=I,AB=2,BD=3,則CO=.

【正確答案】JrT或J萬

【分析】過8作8E//NC且過。作Z)Ej于E,連接BE、CE,要注意從C在48的同

Tt

側或異側兩種情況，結合已知有NDBE=—,再過C作CFLBE于F,求出DE、EC的長

3

度，在放AOEC中應用勾股定理求CD.

【詳解】由題意，過8作8E//ZC且過。作。EE于E,連接8E、CE,如下示意圖，

IT

.?.由題設知：面/8EC為直角梯形且ND3E=—,

3

Tln3

過C作CFlBE于F,則CF=AB=2,BD=3,可得OE=?-,BE=-,

22

.?.如圖1,易得EF=；,則EC=@7,

22

在RtADEC中,CD=y∣DE+EC=√ΓT?

如圖2,易得EF=),貝IJEC=叵，

22

22

在RtADEC中,CD=y∣DE+EC=√17.

故Jn或JI7

16.如圖，在平面四邊形ZBCD中，4BA.BC,ADLCD,NBAD=120。,AB=4D=1.若

點E為邊CD上的動點，則a.麗的最小值為.

Ct

A

【正確答案】—

【分析】設瓦=X比（0≤4≤l）,根據(jù)條件找出OC=JgC=6，I方同=G4,且詼

與方的夾角為一，房與方的夾角為f，從而根據(jù)向量的加法法則和減法的定義寫出

63

初?麗=（方-瓦）?（而+方+方），然后表示為關于義的二次函數(shù)，通過求二次函

數(shù)的最小值即可解決問題.

【詳解】延長。。,氏4交于點”，因為〃8,8。,4。，8,/氏4。=120。，所以

NBCD=60°，N0H4=3O°,

在RtAZ0”中，NDHA=30°，AD=I,所以AH=2,DH=也,

在RtABC”中，NCHB=36，BH=3,所以CH=25BC=5

所以DC=BC=百,不妨設麗=4反（0≤4≤l）,則I瓦I=Gzl,且詼與刀的夾

角為巳，方彳與彳豆的夾角為￡，

63

則成.9=胸-聞?（而+刀+畫

?^+DA^+DA-AB-DEED-DE-DA-DEAB

=0+］研+］研畫COSI→322-0-∣網(wǎng)網(wǎng)CoSV

=1+,+342-0一G；IX苴=3%2-L+a,

2222

所以∕t=?^?時，成?麗取最小值3x(L1--×-+-=-.

4⑷24216

故答案為.—

16

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.己知平面向量［滿足同=1,W=2,(a+2h)-(2a-b)=-3.

rr

(1)求ɑ-b；

(2)若向量B與Xl+B的夾角為銳角，求實數(shù)/1的取值范圍.

【正確答案】⑴√3:(2)(-4,0)U(0,+∞).

【分析】(1)由給定條件求出7B，再根據(jù)向量模的計算公式即可得解；

(2)根據(jù)向量夾角為銳角借助數(shù)量積列出不等關系即可作答.

【詳解】(1)依題意，(α+23)?Qα—q=2α-a?b+4a?b-2b'=3a?b-6=-3,得

Q?坂=1，

,1=J(IB)丁田+3―2H√Γ77≡i=√L

所以,_可=Ji；

(2)由向量石與A,a+1)的夾角為銳角，可得"(％α+彼)>0,即有2+4>0,解得2>—4,

而當向量B與％Z+B同向時，可知;I=0,

綜上所述/1的取值范圍為(-4,θ)u(0,+∞).

18.銳角ΔJ8C中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足：αsinB=6CoS(C=I.

(1)求z；

(2)求A∕8C面積取值范圍.

TT

【正確答案】(1)—

3

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊化角，利用兩角和差關系得SinZ=VicosZ,即tan力=6,

結合角度范圍即可得角/；

(2)根據(jù)正弦定理及三角形面積公式轉化為關于角C的正切函數(shù)，根據(jù)銳角得角。的范圍,

即可求得A∕8C面積取值范圍.

【小問1詳解】

解：因為QSinB=bcos[4-￡卜由正弦定理得：sinsin5=sin5cos[-?πj,

6

因為B∈(0,^),sin5≠0,

=/z+"

所以Sin力=COSA--

I622

化簡得SinZ=J5cos力，所以tan∕=JJ,

因為∕w(0,兀)，所以/=

【小問2詳解】

解：由正弦定理上_^=—,得6=當^

sm6smCsιnCSinC

加sin(π-∕-C)6sin[--Cj

又=LCSinZ=旦=?/?SinBr

ABC24VSinC4sinC4sinC

√3-1.「

∕τ——cosC÷-SinC

7322

4sinC

o<c<-?

因為銳角AN3C,所以〈；解得Ce則tanC∈

0<8衛(wèi)-73

[32

所以SW

19.已知圓錐S。的底面半徑7?=5,曷H=I2.

(1)求圓錐SO的母線長；

(2)圓錐SO的內接圓柱。。，的高為爪當人為何值時，內接圓柱。。'的軸截面面積最大,

并求出最大值.

【正確答案】(1)13(2)h=6;最大值為30

【小問1詳解】

Y圓錐SO的底面半徑7?=5,高"=12,

.?.圓錐SO的母線長L=H2+R2=13；

【小問2詳解】

作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，

其中SO=I2,OA=OB=5,OK="(0<4<12).

Vhh)

設圓柱底面半徑為r,則一=-1-2-—--，即尸=—5(.1.2.—...L.

51212

SSr^-I

設圓柱的軸截面面積為S'=2r?∕z=-(12Λ-∕z2)=-[-(/?-6)2+36*0<〃<12).

當力=6時，S'有最大值為30.

20.&46C的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,-8。的面積S=tan〃，BC邊上的

中線長為3.

(1)求〃；

(2)求/BC外接圓面積的最小值.

【正確答案】(1)2√7

【分析】(1)根據(jù)已知，利用三角形的面積公式向量的線性運算以及模長公式，再利用余弦

定理求解.

（2）根據(jù)第（1）問的結論，利用基本不等式、正弦定理以及sin2∕+cos2∕=l進行計算

求解.

【小問1詳解】

1Sjn√4

因為“BC的面積S=tan/,所以一bcsinA=tanA=-----,

2COSZ

因為Ze（O,兀），所以SinNN0,所以bccosN=2,

因為BC邊上的中線長為3,不妨設BC邊中點為。，

所以2而=萬+就，兩邊平方有：4而'=方?+就2+2而?太，

BP36=?2+c2+2∕>ccos.^b2+c2=32?

由余弦定理有：α2=b2+c2-2bccosA<即/=32—2x2=28，

解得a=2-V^7.

【小問2詳解】

由（1）有：b2+c2=32'所以6?+c?=32NIbc>即be≤16,

當且僅當力=C時取等號，

2I

由（1）有：bccosA=2,所以be=-------≤16,解得一≤cos∕<l,

CosA8

X√4∈（0,π）,sin2A+cos2A=I>所以0<sin4≤,

設AZ8C外接圓的半徑為K,由正弦定理有：2R=，一，

sin/

d√7√78

所以SinZ-3J73，所以—8C外接圓面積的最小值為等.

?

21.如圖，四棱錐PdBC。的底面488為平行四邊形，E,F分別為。，尸8的中點.

（1）求證：EF〃平面以D

（2）在線段PC上是否存在一點。使得4E,Q,F四點共面？若存在，求出崇的值;

若不存在，請說明理由.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）存在點。符合題意，且此時尸。：。C=2:1

【分析】（1）取PN的中點“，連接MaM/，可證得四邊形。EFM為平行四邊形，可得

EF//MD,再由線面平行的判定理可證得結論；

（2）取/8的中點“，連接PH交4F于G,在PC上取點0,使P0:0C=2:1,連

接GQ,HC,則4瓦。,尸四點共面，然后證明即可.

【小問1詳解】

證明：取R4的中點用，連接用。,忖尸，

因為RM分別為PB,PZ的中點，

所以月FM=LAB,

2

因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以Z6〃C0，AB=CD,

因為E為CO的中點，

所以。E=LC。，

2

所以月0〃DE,FM=DE,

所以四邊形DEFM為平行四邊形，

所以EF//MD,

因為ET7N平面PNO,MDU平面P/。，

所以EE〃平面PND,

【小問2詳解】

存在點。符合題意，且此時尸。：。。=2:1,

取Z6的中點"，連接?！苯恍挠贕,在PC上取點0,使PQ：QC=2:1,連接

GQ,HC,則4E,。,廠四點共面，

證明如下：

因為在平行四邊形/8C。中，分別為C。,48的中點，

所以4H〃CE,AH=CE,

所以四邊形AHCE為平行四邊形，

所以CH//AE，

因為R為尸8的中點，所以點G為APZ8的重心，且PG:G〃=2:1,

因為尸。：。。=2:1,

所以G。〃〃。，

因為C7/〃/E，

所以G0〃ZE,

所以G0和/E確定一個平面α,

因為尸在直線NG上，

所以F∈a,

所以4E,2,P四點共面，

所以在線段PC上存在一點。使得/,E,Q,尸四點共面.

22.后疫情時代，很多地方嘗試開放夜市地攤經濟，多個城市也放寬了對擺攤的限制.某商

場經營者也順應潮流準備在商場門前擺地攤.已知該商場門前是一塊扇形區(qū)域，擬對這塊扇

形空地ZOB進行改造.如圖所示，平行四邊形OMPN區(qū)域為顧客的休息區(qū)域，陰影區(qū)域為

“擺地攤”區(qū)域，點尸在弧N8上，點"和點N分別在線段OA和線段08上，且CM=90cm,

（1）請寫出顧客的休息區(qū)域OMW的面積S關于。的函數(shù)關系式，并求當。為何值時，S

取得最大值；

（2）記麗=Xa+y歷，若，=%+〃^（"〉0）存在最大值，求〃的取值范圍.

【正確答案】⑴5=2700√3sin26?+?J-1350√3,（0<6<三），θ=

【分析】（1）在APMO中，正弦定理可得OM=60JiSin6，PΛ∕=60√3sin^-6>J,通

過三角恒等變換可得S=2S"=2700Gsin（2e+S，13506（0<6<三］，從而

可求其最大值；

（2）根據(jù)向量的運算，由麗=xE+y方得χ=2叵sin。，y=^sm（--θ?,從而

33?3