彈性力學(xué)3教材

Chap.3

應(yīng)變分析

Analysisofstraines§3.1幾何方程一、概念幾何方程應(yīng)變分量與位移分量間的關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)變分量，位移分量，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)二、幾何方程因?yàn)樽冃魏蛷椥泽w的應(yīng)力有著直接的關(guān)系，故彈性力學(xué)主要是研究變形位移小變形問題，為簡(jiǎn)化分析，將微分單元體分別向坐標(biāo)面投影來討論。由于變形后棱邊相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來的影響很小，不會(huì)導(dǎo)致微分單元體的變形有明顯的變化。為此，圍繞物內(nèi)M點(diǎn)//坐標(biāo)面分割出一微分六面體，邊長(zhǎng)dx,dy,dz。討論微分單元體的變形分兩部分：一是棱邊的伸長(zhǎng)和縮短即正應(yīng)變；二是棱邊間夾角的變化即切應(yīng)變。設(shè)微分單元變形前棱邊MA，MB，MC，變形后分別變?yōu)镸‘A’，M‘B’，M‘C’首先討論Oxy面上投影的變形M點(diǎn)的坐標(biāo)以及x，y

方向的位移分量分別為（x,y,z），u（x，y，z），v(x,y,z)則A點(diǎn)的位移為u(x+dx,y,z),v(x+dx,y,z）,B點(diǎn)的位移為u(x,y+dy,z),v(x,y+dy,z)按泰勒級(jí)數(shù)將A，B兩點(diǎn)的位移展開，并且略去二階以上的小量，則A，B點(diǎn)的位移分別為

由此可以得到彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)微分線段的相對(duì)伸長(zhǎng)度，即同理可得

正應(yīng)變

切應(yīng)變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大。切應(yīng)變?cè)O(shè)byx為x軸向微分線段ma向y軸轉(zhuǎn)過的角度，bxy為y軸向的mb向x軸轉(zhuǎn)過的角度，則切應(yīng)變

因?yàn)槲灰频膶?dǎo)數(shù)是高階小量略去同理可得則

同理可得綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系，又稱為幾何方程，又稱Guachy方程若知位移，可求得應(yīng)變；反之，求不出位移，原因是剛體位移的存在

張量符號(hào)表達(dá)的幾何方程應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為

表明應(yīng)變分量eij

將滿足二階張量的坐標(biāo)變換關(guān)系剛體位移的存在應(yīng)變分析僅討論了棱邊伸長(zhǎng)和夾角變化，沒考慮單元體位置改變，即單元體剛體轉(zhuǎn)動(dòng)通過分析物內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移間關(guān)系設(shè)P點(diǎn)無限鄰近O點(diǎn)，P點(diǎn)及其附近區(qū)域繞O作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過微小角度。

設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)矢量為ω，OP之間的距離矢量為r

，則引入拉普拉斯算符矢量(微商或梯度)wx,wy,wz為轉(zhuǎn)動(dòng)分量，是坐標(biāo)的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。

設(shè)P點(diǎn)的位移矢量為U，有

S=ui

+vj

+wk

=ω×r

參考轉(zhuǎn)動(dòng)速度矢量表示所以即其中設(shè)P坐標(biāo)為(x,y,z),

位移(u,v,w);

O點(diǎn)坐標(biāo)為(x+dx,y+dy,z+dz),

位移為(u+du,v+dv,w+dw)

則PO兩點(diǎn)相對(duì)位移為(du,dv,dw)因?yàn)槲灰茷樽鴺?biāo)的函數(shù)，所以同理可得純變形位移鄰近區(qū)域的材料繞該點(diǎn)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移注意，這里黑體為矢量PO剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義為若剛體內(nèi)某點(diǎn)無限鄰近點(diǎn)的位移，據(jù)理論力學(xué)知由隨這點(diǎn)的平動(dòng)位移和繞這點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)位移兩部分組成剛體位移。而彈性體內(nèi)某點(diǎn)一般有變形，位移中還包括變形位移，顯然，位移的增量是由兩部分組成的。

1．隨同P點(diǎn)作平動(dòng)位移。2．繞P點(diǎn)作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的位移3．P點(diǎn)及其鄰近區(qū)域的變形引起的位移

即與P點(diǎn)無限鄰近的O點(diǎn)的位移包括三部分組成：位移增量矩陣表示，可得三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量和六個(gè)應(yīng)變分量合在一起，不僅確定了單元體的變形，而且確定了方位變化。即只有知道了轉(zhuǎn)動(dòng)分量，才能完全確定位移，這就是應(yīng)變不能確定位移的原因轉(zhuǎn)動(dòng)分量ωx,ωy,ωz對(duì)單元體是剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移，但對(duì)彈性體是變形的一部分轉(zhuǎn)動(dòng)分量引起的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移增量應(yīng)變分量引起的變形位移增量設(shè)已知坐標(biāo)系Oxyz中彈性體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為

應(yīng)變狀態(tài)分析中，往往知一坐標(biāo)系下應(yīng)變分量，另一坐標(biāo)系下應(yīng)變狀態(tài)表達(dá)更簡(jiǎn)單或意義更明確或討論更方便，這時(shí)就需要坐標(biāo)變換。一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)與坐標(biāo)選取沒關(guān)系，只是應(yīng)變分量表達(dá)不同而已。求新坐標(biāo)系Ox‘y’z‘下該點(diǎn)的應(yīng)力分量

設(shè)兩坐標(biāo)系間關(guān)系:則同點(diǎn)兩系坐標(biāo)關(guān)系可寫為（1）同理應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換公式§3.2應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換1.應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換位移分量u,v,wu′,v′,w′或（2）代入(1)(2)展開得代入(1)(2)展開得同理同理解：2.應(yīng)力、應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換式間對(duì)應(yīng)替換關(guān)系比較兩式可知，有對(duì)應(yīng)替換關(guān)系。可知一式對(duì)應(yīng)替換成另一式，不必兩式都知道(i，j=x,y,z）3.應(yīng)變張量e.g.3-1已知物內(nèi)某點(diǎn)45°應(yīng)變花測(cè)得應(yīng)變?yōu)榍髴?yīng)變分量xy由于n=0,任意方向0°(l,m)=(1,0),45°(l,m)=(0.707,0.707),90°(l,m)=(0,1)

則解得有三個(gè)實(shí)數(shù)根

1≥

2≥

3

即某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力§3.3主應(yīng)變1.概念與應(yīng)力分量類似地，物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變分量隨坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)而改變的，可找到一個(gè)該點(diǎn)無切應(yīng)變分量的坐標(biāo)系。任何應(yīng)變狀態(tài)至少有三個(gè)相互垂直軸向的切應(yīng)變?yōu)榱?。?yīng)變主方向切應(yīng)變?yōu)榱愕姆较蚍Q為主應(yīng)變應(yīng)變主方向上的正應(yīng)變稱為。2.主應(yīng)變的確定由對(duì)應(yīng)替換關(guān)系和應(yīng)力狀態(tài)方程?？蓪?duì)應(yīng)替換得應(yīng)變張量的第一不變量

第二不變量第三不變量主應(yīng)變特征方程并與關(guān)系式解特征方程主應(yīng)變3.應(yīng)變主方向的確定將計(jì)算所得的

1，

2，

3

分別代入齊次方程組的任意兩式聯(lián)立求解li,mi,ni，即求得對(duì)應(yīng)應(yīng)力主方向方向余弦。具有與應(yīng)力不變量同樣的性質(zhì)4.最大切應(yīng)變一點(diǎn)處最大切應(yīng)變由對(duì)應(yīng)替換關(guān)系和最大切應(yīng)力公式?？蓪?duì)應(yīng)替換得§3.4體積應(yīng)變?cè)O(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),則A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x+dx,y,z),(x,y+dy,z),(x,y,z+dz)

體積應(yīng)變物體變形后的單位體積變化微分平行六面體單元。變形前單元體棱邊分別為MA，MB，MC，

長(zhǎng)dx，dy，dz體積為：V=dxdydz變形后棱邊分別變?yōu)镸'A'，M'B'，M'C'。其中

θ>0單元體膨脹，<0受壓縮。若彈性體內(nèi)q

處處=0，則物體變形后體積不變變形后單元體體積展開并忽略二階以上的高階小量則體積應(yīng)變公式顯然體積應(yīng)變q

就是應(yīng)變張量的第一不變量J1，與切應(yīng)變無關(guān)。因此q

常寫作§3.5變形協(xié)調(diào)方程要使這一方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件。由幾何方程,應(yīng)變分量是位移分量表示的,各分量間必然存在某種聯(lián)系這對(duì)彈性力學(xué)分析非常重要。因?yàn)橛晌灰品至靠赏ㄟ^幾何方程求導(dǎo)過程獲得應(yīng)變分量；但反之，則六個(gè)方程求三個(gè)未知的位移，方程數(shù)顯然超過未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，方程組將可能是矛盾的。例1

設(shè)應(yīng)變分量為：求其位移解：顯然該應(yīng)變分量沒有對(duì)應(yīng)的位移1.變形協(xié)調(diào)條件變形后物內(nèi)連續(xù)，邊界上要協(xié)調(diào)即變形后不能產(chǎn)生縫隙、錯(cuò)動(dòng)、打折或嵌入現(xiàn)象efe1f1例ef=e1f11234保持∠1+∠2+∠3+∠4=360°2.變形協(xié)調(diào)方程首先從幾何方程中消去位移分量(1)(2)(3)(4)(5)(6)并利用第四式,得則分別輪換x,y,z，則可得如下六個(gè)關(guān)系式稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)方程又稱SaintVenant方程或者變形協(xié)調(diào)方程其意義：1)使位移分量為未知函數(shù)的幾何方程不相矛盾；2)變形后各單元體能重新組合成連續(xù)體，無縫隙或嵌入現(xiàn)象；3)單連通域彈性體,可以通過幾何方程求得單值連續(xù)的位移分量；等應(yīng)變分量必須滿足的關(guān)系。

3.位移邊界條件u=u,v=v,w=w若邊界處已知位移值u,v,w則可寫出Chap.3

小結(jié)

sum1.概念2.幾何方程§3.1幾何方程應(yīng)變分量，位移分量，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，幾何方程剛體位移的存在1.坐標(biāo)變換§3.2應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換2.應(yīng)力、應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換式間對(duì)應(yīng)替換關(guān)系(i，j=x,y,z）§2.2主應(yīng)力1.概念1)確定應(yīng)變分量最大切應(yīng)變2.主應(yīng)變的確定2)確定應(yīng)變不變量3)建立并求解應(yīng)變狀態(tài)特征方程得主應(yīng)變

1≥

2≥

3

3.應(yīng)變主方向的確定聯(lián)立求解l,m,n，即求得對(duì)應(yīng)應(yīng)力主方向方向余弦。并與關(guān)系式§3.3主應(yīng)變應(yīng)變主方向主應(yīng)變應(yīng)變不變量將求得的

1，

2，

3

分別代入齊次方程組的任意兩式4.最大切應(yīng)變§3.4體積應(yīng)變就是應(yīng)變張量的第一不變量J1，與切應(yīng)變無關(guān)3.位移邊界條件§3.5變形協(xié)調(diào)方程1.變形協(xié)調(diào)條件2.變形協(xié)調(diào)方程SaintVenant方程其意義：1)使幾何方程相容；2)變形連續(xù)；3)單連通域體,可由幾何方程求得單值連續(xù)的位移分量；等應(yīng)變分量必須滿足的關(guān)系。