計數(shù)原理與統(tǒng)計概率 真題訓(xùn)練（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)考前提分復(fù)習(xí)（上海地區(qū)）

2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海地區(qū)專用））

專題Lll計數(shù)原理與統(tǒng)計概率四大考點(diǎn)與真題訓(xùn)練

考點(diǎn)一：統(tǒng)計

一、單選題

1.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知兩組數(shù)據(jù)內(nèi),々，七，七，七和）1，%，%，%，％的中位數(shù)、

方差均相同，則兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后，（）

A.中位數(shù)一定不變，方差可能變大

B.中位數(shù)一定不變，方差可能變小

C.中位數(shù)可能改變，方差可能變大

D.中位數(shù)可能改變，方差可能變小

【答案】A

【分析】根據(jù)中位數(shù)、方差的概念分析運(yùn)算.

【詳解】對于中位數(shù)：不妨設(shè)玉≤X2<?≤Λ4≤X5,y∣≤%≤?≤X,≤%

則兩組數(shù)據(jù)國,％，與，了4，%和%，%，%，%，%的中位數(shù)分別為W，％，則W=%，

兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后，則中位數(shù)為號i=??=%,故中位數(shù)一定不變；

對于方差：設(shè)％≤X2≤X3<X4KX5的平均數(shù)為"方差為S：,?照M4%4n4%的平均數(shù)

為亍，方差為S：,

貝IJX=WSWE(XLX)=-∑x,2-5?x,>,=7∑X^.2=Z∑(x?->j=7Sy'5y,

?I=I?/=I31i=lJ?Z=I31/=1)

可得Z%=5x,?年=5(s：+x=,Ey==5卜:+『),

則兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)W=Ui>+￡>[=白價+5?=中，

IUli=Iz=ιJIUZ

方差

?=?[∑(x?-?)2+z(??-?)2=^Σ-r<2+Σ><2-10^]=?[5(5l2+j2)+5(?yι+^)-1°22]

當(dāng)且僅當(dāng)X=），時等號成立，

故方差可能變大，一定不會變??；

故選：A.

2.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，下面是出口，上面是進(jìn)口，下列選項敘述錯

B.從2018年開始，進(jìn)出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進(jìn)出口總額增長率最小

【答案】C

【分析】根據(jù)進(jìn)出口總額統(tǒng)計圖，逐一分析選項即可；

【詳解】從2018年開始，進(jìn)出口總額依次是30.5,31.57,32.22,39.10,

進(jìn)出口總增長率依次是2019年??X0035,2020年■。0.02,2021年

30.531.57

當(dāng)尹≈O?2I3,選項ABD正確;

2019年進(jìn)口總額比2020年進(jìn)口總額小，選項C錯誤;

故選：C

3.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況,

采用分層抽樣的方法從高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人進(jìn)行問卷調(diào)查，則

高一、高二、高三抽取的人數(shù)分別是（）

A.15,16,19B.15,17,18C.14,17,19D.14,16,20

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件首先求出三個年級的總?cè)藬?shù)，然后利用樣本容量分別乘以各個年級

的抽樣比即可求解.

【詳解】由題意可知，三個年級共有600+680+720=2000（人），

則高一抽取的人數(shù)為50χ黑=15,

高二抽取的人數(shù)為50χ黑=17,

720

高三抽取的人數(shù)為50x麗=18.

故選：B.

二、填空題

4.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）某個品種的小麥麥穗長度（單位：cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：

10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第

80百分位數(shù)為一

【答案】10.8

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運(yùn)用百分位數(shù)的運(yùn)算公式即可.

【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序為：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、

11.2、11.7,共有12個，

所以12χ80%=9.6,

所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個數(shù)即：10.8.

故答案為：10.8

5.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）16-17歲未成年人的體重的主要百分位數(shù)表（單位：kg）.

Pl丙PlO25?O/75用0P95內(nèi)9

男40.145.147.951.556.763.772.480.495.5

女38.341.243.146.550.555.361.165.475.6

表中數(shù)據(jù)來源：《中國未成年人人體尺寸》（標(biāo)準(zhǔn)號：GB/T26158-2010）

小王同學(xué)今年17歲，她的體重50kg,她所在城市女性同齡人約有4.2萬人.估計小王同學(xué)所

在的城市有________萬女性同齡人的體重一定高于她的體重.（單位：萬人，結(jié)果保留一

位小數(shù)）

【答案】2.1

【分析】根據(jù)題意，由圖表可知，該城市女性同齡人高于小王的50百分位數(shù)，由百分位數(shù)

的定義計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，小王同學(xué)今年17歲，她的體重50kg,

由圖表可知，小王體重的百分位數(shù)是50,

所以體重一定高于她的體重的人數(shù)有4.2x^=2.1（萬）

故答案為：2.1

6.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）某單位為了解該單位黨員開展學(xué)習(xí)

黨史知識活動情況，隨機(jī)抽取了部分黨員，對他們一周的黨史學(xué)習(xí)時間進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計

數(shù)據(jù)如下表所示:則該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時間的第40百分位數(shù)分別是.

黨史學(xué)習(xí)時間（小時）7891011

黨員人數(shù)610987

【答案】

8.5

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】因為（6+10+9+8+7）χ40%=16,

所以第40百分位數(shù)為第16個數(shù)和第17個數(shù)的平均數(shù)，即m8+9=8.5,

故答案為：8.5.

7.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某校抽取100名學(xué)生測身高，其中身高最大值為186cm,

最小值為154cm,根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5,且第一組下限為153.5,

則組數(shù)為.

【答案】7

【分析】求得各組的范圍，從而確定組數(shù).

【詳解】第一組［153.5,158.5）；第二組［158.5,163.5）；

第三組［163.5,168.5）;第四組［168.5,173.5）；

第五組［173.5,178.5）；第六組［178.5,183.5）；

第七組［183.5,188.5］.

所以組數(shù)為7.

故答案為：7

三、解答題

8.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了解某地區(qū)高中生的每天日間戶外活動現(xiàn)狀，分別在

兩所學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，得到甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間（單位：h）的

統(tǒng)計表和乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間（單位：h）的頻率分布直方圖如下.

4頻率

↑≡

0.48卜----

22

0s.17

13

0.

1234時間/h

乙校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間頻率分布直方圖

每天日間戶外活

組別人數(shù)

動時間（單位：h）

110,1)120

2[1,2)250

312,3)60

4[3,4]70

甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間統(tǒng)計表

（1）根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，估計甲校學(xué)生每天日間戶外活動時間的25%分位數(shù)在第幾組；

（2）已知每天日間戶外活動時間不低于2h可以對保護(hù)視力起到積極作用.現(xiàn)從乙校全體學(xué)生

中隨機(jī)選抽取2人，記其中每天日間戶外活動時間不低于2h的人數(shù)為X,求川的分布列和數(shù)學(xué)

期望；

(3)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，能否推斷甲校抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間的平均值一定低于乙校

抽取的學(xué)生每天日間戶外活動時間的平均值？說明理由.

【答案】(1)第2組

(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：0.6

(3)不能，理由見解析

【分析】(1)利用圖表中的數(shù)據(jù)結(jié)合25%分位計算判斷；

(2)根據(jù)題意可得X8(3,0.3),根據(jù)二項分布求分布列和期望；

(3)用每組區(qū)間的中點(diǎn)值進(jìn)行估計求平均數(shù)的估計值，用每組區(qū)間的左端點(diǎn)值進(jìn)行估計求

平均數(shù)最小值，計算判斷.

【詳解】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計甲校學(xué)生每天日間戶外活動時間25%分位數(shù)在第2組.

(2)由頻率分布直方圖可知，乙校參與調(diào)查的學(xué)生每天日間戶外活動時間不低于2h的頻率

為().17+0.13=().3.

由此估計乙校全體學(xué)生每天日間戶外活動時間不低于2h的概率約為0.3.

瞰所有可能取值為0,1,2.

P(X=O)=(I-0.3)2=0.49,

P(X=I)=C；X0.3X(1-0.3)=0.42,

p(X=2)=0.32=0.09,

所以撤分布列為

才012

P0.490.420.09

E(X)=Ox0.49+1×0.42+2×0.09=0.6.

(3)不能.

若甲校參與調(diào)查的學(xué)生每組中的數(shù)據(jù)恰好都取區(qū)間中點(diǎn)值，則甲校參與調(diào)查的學(xué)生每天的

日間戶外活動時間的平均值

Z1=(0.5×120+1.5×250+2.5×60+3.5×70)÷5∞=1.66h.

若乙校參與調(diào)查的學(xué)生每組中的數(shù)據(jù)恰好都取相應(yīng)區(qū)間的左端點(diǎn)值，則乙校參與調(diào)查的學(xué)

生每天的日間戶外活動時間的平均值

Z2=0×0.22+l×0.48+2×0.17+3×0.13=1.21h.

此時，h>t2.

考點(diǎn)二：計數(shù)原理

一、填空題

1.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知有4名男生6名女生，現(xiàn)從10人中任選3人，則恰有1

名男生2名女生的概率為一

【答案】I#?0.5

【分析】利用組合數(shù)和古典概型的概率公式求解即可.

C1C24×151

【詳解】由題意所選的3人中恰有1名男生2名女生的概率P=P=需=[,

L∕]01NU乙

故答案為：y

2.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）2022年11月27日上午7點(diǎn)，時隔兩年再度回歸的上海馬

拉松賽在外灘金牛廣場鳴槍開跑，途徑黃浦、靜安和徐匯三區(qū).數(shù)千名志愿者為1.8萬名跑

者提供了良好的志愿服務(wù).現(xiàn)將5名志愿者分配到防疫組、檢錄組、起點(diǎn)管理組、路線垃圾

回收組4個組，每組至少分配1名志愿者，則不同的分配方法共有種.（結(jié)果用數(shù)

值表示）

【答案】240

【分析】先將5名志愿者分成四組，然后再分配到四個地方即可.

【詳解】將5名志愿者分成四組，且每組至少1名志愿者有C；種情況，所以不同的分配方法

有C；A：=240.

故答案為：240.

3.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡

湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同.從中任意舀取4個湯圓，則每

種湯圓都至少取到1個的概率為.（用分?jǐn)?shù)作答）

【答案】q48

【分析】直接分2個芝麻餡，1個花生餡，1個豆沙餡；1個芝麻餡，2個花生餡，1個豆沙餡

以及1個芝麻餡，1個花生餡，2個豆沙餡依次計算即可.

【詳解】每種湯圓都至少取到1個的包括2個芝麻餡，1個花生餡，1個豆沙餡；1個芝麻餡,

2個花生餡，1個豆沙餡

以及1個芝麻餡，1個花生餡，2個豆沙餡，故每種湯圓都至少取到1個的概率為

++CCC：_48

391'

48

故答案為：—.

4.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)(x--?的二項展開式中，常數(shù)項為.

X

【答案】15

【解析】利用二項式的通項公式即可得出結(jié)果.

【詳解】二項式(x-g)6的展開式的通項公式為2=c;尸m=(T)'C"6e,

令6—3r=O,解得r=2,

所以(X--V)Ii的二項展開式中，常數(shù)項為C：=15,

X

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項式的通項公式、常數(shù)項的求法，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)在(2x+l)5的二項展開式中，V的系數(shù)是—

【答案】80

【分析】寫出展開式的通項公式，利用公式即可得答案.

【詳解】由題意得:&=瑪(2x廣,

當(dāng)r=2時，η=C^(2x)3=8O√

.?.X,的系數(shù)是80.

故答案為：80

6.(2022?上海?上海中學(xué)?？寄M預(yù)測)某校舉行數(shù)學(xué)文化知識競賽，現(xiàn)在要從進(jìn)入決

賽的5名選手中隨機(jī)選出2名代表學(xué)校參加市級比賽.某班有甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)入決賽，則在

這次競賽中該班有同學(xué)參加市級比賽的概率為.

7

【答案】-##0.7

【分析】得出這次競賽中該班沒有同學(xué)參加市級比賽的概率，即只從除甲、乙兩名同學(xué)外

的三名同學(xué)中選兩個的概率，在根據(jù)互斥事件的概率計算即可得出答案.

C27

【詳解】在這次競賽中該班有同學(xué)參加市級比賽的概率為I-言=而.

故答案為:0.7

7.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模）從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平

面的概率是.（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.

【答案喘

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】從正方體的8個頂點(diǎn)中任取4個，有〃=C；=70個結(jié)果，

這4個點(diǎn)在同一個平面的有m=6+6=12個，

故所求概率尸=生=*已

n7035

故答案為：?.

8.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模）在二項式（x+l）”的展開式中，系數(shù)最大的項的系數(shù)為

（結(jié)果用數(shù)值表示）.

【答案】462

【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】二項式（x+l）”的展開式的通項公式為&

所以當(dāng)r=5或r=6時，其系數(shù)最大，

則最大系數(shù)為C*=C'=462,

故答案為:462.

9.（2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模）在［x-jj的二項展開式中，爐項的系數(shù)是.

【答案】-672

【分析】由二項式的通項公式即可求解.

【詳解】二項式的通項為&=C，-'（V）'=（-2）匕產(chǎn)”，

令9-2r=3,得r=3,

所以V項的系數(shù)是（-2）V=-672.

故答案為：-672.

10.（2022?上海長寧?統(tǒng)考一模）有甲、乙、丙三項任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各

需1人承擔(dān)；現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān)這三項任務(wù)，則共有種不同的選法

【答案】180

【分析】根據(jù)分組分配辦法結(jié)合分步乘法原理求解即可.

【詳解】第一步，先從6人中任選2人承擔(dān)任務(wù)甲，有《種選法，

第二步，再從剩余4人中任選1人承擔(dān)任務(wù)乙，有C；種選法，

第三步，再從3人中任選1人承擔(dān)任務(wù)丙，有C；種選法，

所以共有C：C；Ct=I80種選法.

故答案為：180.

11.（2022?上海青浦?統(tǒng)考二模）受疫情防控需求，現(xiàn)有四位志愿者可自主選擇到三個

不同的核酸檢測點(diǎn)進(jìn)行服務(wù)，則三個核酸檢測點(diǎn)都有志愿者到位的概率是.（結(jié)

果用最簡分?jǐn)?shù)表示）

4

【答案】-

【分析】先計算總共的選擇數(shù)，再計算三個核酸檢測點(diǎn)都有志愿者到位的數(shù)量，即可得答

案.

【詳解】解：四個志愿者總的選擇共N=3χ3χ3χ3=81種，

要滿足三個核酸檢測點(diǎn)都有志愿者到位，則必有2個人到同一核酸檢測點(diǎn)，故從4人中選擇2

人出來，共有C：=6種，再將這2人看成整體1人和其他2人共3人，選擇三個核酸檢測點(diǎn)，

共&=6種,

以/1=6×6=36f

所以P=K=生=±

N819

4

故答案為：—.

12.（2022?上海閔行?統(tǒng)考二模）核酸檢測是疫情防控的一項重要舉措.某相鄰兩個居民

小區(qū)均計劃在下月的1日至7日這七天時間內(nèi)，隨機(jī)選擇其中的連續(xù)三天做核酸檢測，則這

兩個居民小區(qū)至少有一天同時做核酸檢測的概率為;

19

【答案】—##0.76

【分析】先求出在下月的1日至7日這七天時間內(nèi)，隨機(jī)選擇其中的連續(xù)三天做核酸檢測，

兩個居民小區(qū)總的選擇情況，再計算出兩個小區(qū)沒有一天同時做核酸的情況，相減后得到

兩個居民小區(qū)至少有一天同時做核酸的情況，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率.

【詳解】在下月的1日至7日這七天時間內(nèi)，隨機(jī)選擇其中的連續(xù)三天做核酸檢測，兩個居

民小區(qū)均有5種選擇，分別為1日至3日，2日至4日，3日至5日，4日至6日，5日至7日，故總

的情況有52=25種，

其中兩個小區(qū)沒有一天同時做核酸的情況有一個小區(qū)選擇1日至3日，另一個小區(qū)選擇4日至

6日或5日至7日，一個小區(qū)選擇2日至4日，另一個小區(qū)選擇5日至7日，共有3種情況，再進(jìn)

行排列，所以共有3A；=6種情況，

則兩個居民小區(qū)至少有一天同時做核酸的情況個數(shù)為25-6=19,

所以兩個居民小區(qū)至少有一天同時做核酸的概率為三

19

故答案為：—

13.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知有1、2、3、4四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字，則比2134

大的四位數(shù)的個數(shù)為

【答案】17

【分析】先分類再分步，按千位為3,4,2分為三類，再逐次安排百位和十位，即可計算出滿

足條件的四位數(shù)個數(shù).

【詳解】千位為3和4時，組成的四位數(shù)都比2134大，有2A；=12個，

千位為2時，百位為3或4的四位數(shù)都比2134大，有28=4個，

千位為2時,百位為1,只有2143比2134大,有1個，

則組成的四位數(shù)比2134大的一共有17個.

故答案為：17.

14.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個單位方格的四條邊中，若存在三條邊染了三種不

同的顏色，則稱該單位方格是“多彩”的.如圖，一個1義3的方格表的表格線共含10條單

位長線段，現(xiàn)要對這10條線段染色，每條線段染為紅黃藍(lán)三色之一，使得三個單位方格都

是多彩的，這樣的染色方式種數(shù)為（答案用數(shù)值表示）.

【答案】5184

【分析】固定四邊形一條邊的顏色時，求出一個四邊形的染色方式種數(shù)，進(jìn)而可以計算3個

這樣的四邊形的染色方式種數(shù).

【詳解】任選一個四邊形的一條邊，當(dāng)這條邊的顏色確定時，這個四邊形的染色方法有

6C；=12種，同時每種方法都會確認(rèn)與其相鄰的四邊形的一條邊的顏色，12隈3=5184.

故答案為:5184

考點(diǎn)三：概率

一、單選題

1.(2022?上海徐匯?上海中學(xué)校考模擬預(yù)測)兩人擲一枚硬幣，擲出正面多者為勝，但

這枚硬幣質(zhì)地不均勻，以致出現(xiàn)正面的概率<與出現(xiàn)反面的概率6不相等，已知出現(xiàn)正面

與出現(xiàn)反而是對立事件，設(shè)兩人各擲一次成平局的概率為P,則P與0?5的大小關(guān)系是

()

A.P<0.5B.P=0.5C.P>0.5D.不確定

【答案】C

【分析】由已知得P=2[2-24+l,利用作差法能比較P與0.5的大小關(guān)系.

【詳解】這枚硬幣質(zhì)地不均勻，以致出現(xiàn)正面的概率耳與出現(xiàn)反面的概率心不相等，

出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面是對立事件，設(shè)兩人各擲一次成平局的概率為P,

所以2=k+8=尸+(1_[)2=2[2_2[+],

因為04[4]且[Xθ.5,所以P-0.5=2邛一26+]_0.5=2([_g)2>0,

所以P>O.5.

故選：C.

2.(2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模)下列結(jié)論不正確的是()

A.若事件A與B互斥，則P(AUB)=P(A)P(B)

B.若事件A與B相互獨(dú)立，則P(ACB)=P⑷P(B)

c.如果x、y分別是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么o[x+r]=o[x]+n[y]

I).若隨機(jī)變量丫的方差。卜]=3,則r)[2y+ι]=12

【答案】A

【分析】由已知，選項A,根據(jù)事件A與5互斥，可知P(AB)=P(A)+P(B);選項B,根

據(jù)事件A與3相互獨(dú)立，可知尸(ACB)=P(A)P(B)；選項C,根據(jù)X、V分別是兩個獨(dú)立的

隨機(jī)變量，可得。[X+y]=θ[X]+D[y]；選項D,由玩機(jī)=3,可得￡>[2卜+1]=2~￡>兇=12,

即可作出判斷.

【詳解】由已知，

選項A,若事件A與B互斥，則P(AB)=P(A)+P(8),故該選項錯誤；

選項B,若事件A與B相互獨(dú)立，則P(AC3)=P(A)P(B),故該選項正確;

選項c,若x、y分別是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么Mx+y]=∕x]+o[y],故該選項正確；

選項D,若隨機(jī)變量y的方差Om=3,則。[2>+1]=2限叩]=4x3=12,故該選項正確:

故選:A.

3.(2022?上海長寧?統(tǒng)考一模)擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)；設(shè)事件力為：至少一個

點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；事件6為：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)；事件4的概率為P(A),事件砒概率為P(B);則

I-P(AC8)是下列哪個事件的概率()

A.兩個點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)B.至多有一個點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)

C.兩個點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)D.至多有一個點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)

【答案】D

【分析】由題意，根據(jù)交事件的運(yùn)算，結(jié)合概率與事件的關(guān)系，可得答案.

【詳解】由題意，事件ACB為：兩個點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)，

由概率1-P(ACB)指的是事件AcB的對立事件的概率，

則事件ACB的對立事件為：至少有一個點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，或者至多有一個點(diǎn)數(shù)為奇數(shù).

故選：D.

二、填空題

4.(2023?上海靜安?統(tǒng)考一模)X、B分別是事件A、B的對立事件，如果A、B兩個

事件獨(dú)立，那么以下四個概率等式一定成立的是.(填寫所有成立的等式序

號)

①P(AB)=P(A)+P(8)

②P(ZCB)=P(Z)P(B)

③P(ZC國=Q-P(A)Jl-P⑻]

@P(AuB)=P(A)+P(B)

【答案】②③

【分析】根據(jù)事件的獨(dú)立性定義判斷即可.

【詳解】①P(48)=P(A)+P(B)-P(AB),故①不一定成立；

②③由事件的獨(dú)立性定義可得.與B,文與不相互獨(dú)立，所以尸.β)=P(λ)p(β),

尸GB)=P(A)P(B)=[I-P(A)][I-P(B)],故②③正確;

④叩B)=P(A)+P(S)-P(AB),故④不一定成立.

故答案為：②③.

5.(2023?上海靜安?統(tǒng)考一模)現(xiàn)有5根細(xì)木棍，長度分別為1、3、5、7、9(單位:Cm),

從中任取3根，能搭成一個三角形的概率是.

3

【答案】0.3##—

【分析】根據(jù)古典概型，先求出樣本空間，再求出條件空間即可.

[詳解】從5根木棍中任取3個共有C=G=IO種，符合條件有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)3種,

???能搭成一個三角形的概率P=6；

3

故答案為：—.

6.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知事件力發(fā)生的概率為P(A)=O.5,則它的對立事件X

發(fā)生的概率P(A)=.

【答案】/##0.5

【分析】根據(jù)對立事件的知識求得正確答案.

【詳解】依題意,P(Z)=I-P(A)=I-0.5=0.5.

故答案為：；

7.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)現(xiàn)有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票(其中

3張為中獎票)的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結(jié)束，則

活動恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為.

【答案】—

10

【詳解】試題分析：由題活動恰好在第4人抽完后結(jié)束，包含的情況有；(不中)中中中，

中(不中)中中，中中(不中)中.則概率為;

?23213221322111I3

r=-X-X-X—+-X-X-X—+-X-X-X—=-------1----------F——=—

54325432543210101010

考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件及互斥事件概率算法.

8.(2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)的定義域為{Y,0,4},

值域為{2,3},則函數(shù)/(x)是偶函數(shù)的概率為

【答案】?

【分析】列舉出/(X)的所有解析式，再找出其中的偶函數(shù)，即可得答案.

【詳解】解：因為/(X)的定義域為{-4,0,4},關(guān)于原點(diǎn)對稱，值域為{2,3},

2,x=02,X=4或O

所以有=或/(X)=或f(χ)=

[3,X=O3,%=±43,X=-4

3,X=4或O2,X=Y或O3,X=-4或O

或/W=或f(x)=或f(尤)=

2,X=-43,x=42,x=4

共6種情況;

2,X=±4-C2,x=0

而當(dāng)/(X)=3,X=O和AM時，滿足f(r)=/(x)是偶函數(shù),有2種情況,

3,X=±4

所以/(X)是偶函數(shù)的概率尸=；.

故答案為：?

9.(2022?上海青浦?統(tǒng)考一模)若函數(shù)y=∕(x)的定義域和值域分別為A={l,2,3}和

8={1,2},則滿足/(?)≠/(3)的函數(shù)概率是.

【答案】I

【分析】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)y=∕(χ)的個數(shù)，再求出滿足/⑴≠/(3)的函數(shù)個數(shù)即可

計算作答.

【詳解】因函數(shù)y=/(X)的定義域和值域分別為A={1,2,3}和8={1,2},則函數(shù)y=/(x)有6

個，它們是：

/(l)=∕(2)=l,∕(3)=2i/(1)=/(2)=2,/(3)=1;/(1)=1,/(2)=/(3)=2;

/(1)=2,/(2)=/(3)=1;/(1)=/(3)=1,/(2)=2541)=/(3)=2J⑵=1,

滿足/(?)=/(3)的函數(shù)有2個數(shù)，它們是/⑴=/(3)=l,f(2)=2或/(1)=/(3)=2,f(2)=1,

42

因此滿足/⑴吟”3)的函數(shù)有4個，所以滿足/⑴K/(3)的函數(shù)概率是?=

63

故答案為：?∣

10.(2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模)某中學(xué)從甲、乙兩個班中各選出15名學(xué)生參加知識競

賽，將他們的成績(滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計分析，繪制成如圖所示的莖葉圖.設(shè)成績在88分

以上(含88分)的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生，現(xiàn)從甲、乙兩班的優(yōu)秀學(xué)生中各取1人，記甲班選取的

學(xué)生成績不低于乙班選取得學(xué)生成績記為事件A,則事件A發(fā)生的概率P(A)=

甲乙

58

80669

98570566688

87641866

862219588

【答案】I

【分析】根據(jù)莖葉圖利用古典概型的計算公式求解即可.

【詳解】從甲、乙兩班的優(yōu)秀學(xué)生中各取1人所有的可能為:

(88,95),(88,98),(88,98),(91,95),(91,98),(91,98),(92,95),(92,98),(92,98),

(92,95),(92,98),(92,98),(96,95),(96,98),(96,98),(98,95),(98,98),(98,98),

共18種情況，其中甲班選取的學(xué)生成績不低于乙班選取得學(xué)生成績的情況有4種，

所以P(A)=R=不

故答案為：B

11.(2022?上海普陀?統(tǒng)考一模)“青山”飲料廠推出一款新產(chǎn)品一一“綠水”，該廠

開展促銷活動，將6罐“綠水”裝成一箱，且每箱均有2罐可以中獎.若從一箱中隨機(jī)抽取

2罐，則能中獎的概率為.

3

【答案】-?#0.6

【分析】記一箱中能中獎的“綠水”灌裝飲料分別記為A、B,不能中獎的“綠水”灌裝

飲料分別記為〃、b、c、,，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，

利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率?

【詳解】記一箱中能中獎的“綠水”灌裝飲料分別記為A、B,不能中獎的“綠水”灌裝

飲料分別記為b、C、d,

從一箱中隨機(jī)抽取2罐，所有基本事件有：AB,Aa,Ab,Ac、AdyBa、Bb、Be、及/、

ab、ac、ad,be、bd、cd,共15種，

其中，事件“隨機(jī)抽取的2罐能中獎”所包含的基本事件有：A3、A.、Ab.Ac.Ad、Ba、

Bb、Be、Bd,共9種，

故所求概率為P=E9=:3

3

故答案為：

12.(2022?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測)高三某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、

政治科目的等級考，已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A+的概率分別為《7、43、

84

?,這三門科目考試成績的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得2個A-的概率是

【答案】τ?

【分析】設(shè)這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)4+的事件分別為A,B,C,則P(A)

735

-P(B)=-,P(C)=Tr這位考生至少得2個A+的概率:

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC).

【詳解】解：設(shè)這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)川的事件分別為A,B,C,

這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A*的概率分別為(7、:3、?5,

o412

735

:.P(A)=-,P(B)=-,P(C)

8412

這三門科目考試成績的結(jié)果互不影響,

則這位考生至少得2個4,的概率：P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

Z×1×1Z×1×A1×2×AZ×1×A=1≡1

8412+8412+8412+8412192

151

故答案為:

192

【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式

等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)四：隨機(jī)變量及其分布

一、單選題

1.(2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模)甲、乙兩人弈棋，根據(jù)以往總共20次的對弈記錄，甲取

勝10次，乙取勝10次.兩人進(jìn)行一場五局三勝的比賽，最終勝者贏得200元獎金.第一局、

第二局比賽都是甲勝，現(xiàn)在比賽因意外中止.鑒于公平，獎金應(yīng)該分給甲()

A.IoO元B.150元C.175元D.200元

【答案】C

【分析】我們需要計算出繼續(xù)比賽甲獲勝的概率按照比例給甲分得獎金.

【詳解】依題意知：甲乙勝負(fù)的概率都是;,假設(shè)比賽繼續(xù)，甲只需三場中贏得一場即獲得

全額獎金，

77

甲獲勝的概率尸=1-200×-=175（元）

88

故選：C

二、填空題

2.(2022?上海寶山?統(tǒng)考一模)兩個籃球運(yùn)動員罰球時的命中概率分別是0.6和0.5,兩

人各投一次，則他們同時命中的概率是______.

【答案】0.3

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法公式，即可求得結(jié)果.

【詳解】記"第一個籃球運(yùn)動員罰球一次，命中”為事件A,“第二個籃球運(yùn)動員罰球一

次，命中”為事件5，

則尸(A)=O.6,P(fi)=0.5,事件A和8相互獨(dú)立.

則“兩人各投一次，則他們同時命中”可用事件AB來表示，

P(AB)=P(A)?P(8)=0.6/0.5=0.3.

故答案為：0.3.

3.(2022?上海長寧?統(tǒng)考二模)已知隨機(jī)事件4、B互相獨(dú)立,且P(A)=O.7,P(B)=O.4,

則尸(痛)=.

7∣

【答案】0.42##—

【分析】根據(jù)對立事件的概率公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得.

【詳解】因為P(B)=O.4,所以咽=0.6,所以P(A可=P(A)P(初=0.7X0.6=0.42.

故答案為：0.42

4.(2022?上海浦東新?統(tǒng)考二模)設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)

的概率分別為0.8,0.9,則在一次射擊中，目標(biāo)被擊中的概率為

【答案】0.98

【分析】利用對立事件和獨(dú)立事件的概率公式計算.

【詳解】由題意目標(biāo)未被擊中的概率是(l-0?8)χ(l-0.9)=0.02,

所以目標(biāo)被擊中的概率為1-0.02=0.98.

故答案為：0.98.

5.(2022?上海寶山?統(tǒng)考二模)某居民小區(qū)有兩個相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))

A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為、和P,若在任意時刻至少有

一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為簫49，則P=

【答案】15##0.2

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式列方程即可求解.

【詳解】由題意可得：A(I-P)+(1-IyP+11-5)(1-。)=小

整理可得：1-歷/7=石，解得：p=g

故答案為：—.

三、解答題

6.(2022?上海楊浦?復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測)已知某同學(xué)在任何一次拓展考試中獲得滿

分的概率都為且各次考試的成績相互獨(dú)立.以B表示他參加〃(”≥2,"∈ND次考試

后從未連續(xù)取得2次滿分的概率.

(1)求？，8的值，并證明當(dāng)時，R=∕τ+?-;

(2)證明：對任意”≥2,"∈N*,*<S

【答案】(1)6=33，6=5,證明見解析

4o

(2)證明見解析

【分析】⑴利用列舉法能求出巴凡要證明當(dāng)心4時，B=*-+/?,分(i)第〃次

考試未取得滿分，那么前"次從未連續(xù)2次滿分和前n-1次從未連續(xù)2次滿分是相同的；(ii)

第"次取得滿分，第n-1次未取得滿分，那么前"次從未連續(xù)2次滿分和前"-2次從未連續(xù)

取得2次滿分是相同的.

(2)當(dāng)〃≥3時，加=；P"+"i，所以'-∕=∕ι>0,即可證明2%>?，

《廣。,=。,-第2,所以之「《=-乩2<0,即可證明如<匕，所以當(dāng)〃23時，

ZZoo

心<e<2%,再證明當(dāng)〃=2時，即可得出結(jié)論.

(1)

當(dāng)〃=2時，6=1-(∣)

設(shè)某同學(xué)在任何一次拓展考試中獲得滿分用α表示，不是滿分用〃表示,

當(dāng)”=3時，表示某同學(xué)參加3次考試后從未連續(xù)取得2次滿分的情況有以下5種:

1I1X5=2

abb,aba,bba,hab,bbb,所以［二-X-X-

2228,

當(dāng)〃24時，要求P“，即某同學(xué)參加〃次考試后從未連續(xù)取得2次滿分概率，分類進(jìn)行討論;

如果第八次考試未取得滿分，

那么前〃次從未連續(xù)2次滿分和前n-l次從未連續(xù)2次滿分是相同的，

???這個時候從未連續(xù)2次滿分的概率是gχ%；

如果第”次取得滿分，第n-l次未取得滿分，

那么前八次從未連續(xù)2次滿分和前〃-2次從未連續(xù)取得2次滿分是相同的，

這個時候從未連續(xù)2次滿分的概率是:“匕2；

所以當(dāng)“≥4時,月=箱+衿

⑵

當(dāng)“≥4時,TRT+*,當(dāng)∕ι≥3時，”共+，…

所以因為％>0,所以a∣W*>0,所以小/，

則222.

當(dāng)“≥3時，6*1-?∣K=；4+???-l~^2^p?'-'+；［")=；《，+；月I-；4-1-(2-2,

ySfτ,所以6“=B-宗-2,所以&Y=Y%<O,所以

ZZooo

53

<P,,,所以當(dāng)“≥3時，*<C<2%.當(dāng)〃=2,P,=-,P=-,

o24

535

-<-<2×-,所以當(dāng)〃=2時，P^<P<2P,.

848lltl

所以，對任意”≥2,"∈N',P,^<Pl,<2Pt,tl

【真題訓(xùn)練】

一.選擇題（共1小題）

1.（2023?上海）如圖為2017-2021年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進(jìn)出

B.從2018年開始，進(jìn)出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進(jìn)出口總額增長率最小

【分析】結(jié)合統(tǒng)計圖中條形圖的高度、增量的變化，以及增長率的計算方法，逐項判斷即可.

【解答】解：顯然2021年相對于2020年進(jìn)出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長率最

大，加寸；

統(tǒng)計圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故加寸；

2020年相對于2019的進(jìn)M總額是減少的，故戊昔；

顯然進(jìn)出口總額2021年的增長率最大，而2020年相對于2019年的增量比2019年相對于2018年

的增量小，

且計算增長率時前者的分母還大，故2020年的增長率一定最小，。正確.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查統(tǒng)計圖的識圖問題，以及增長率的計算，屬于中檔題.

二.填空題（共15小題）

2.（2022?上海）在（9+工）’2的展開式中，則含」一項的系數(shù)為66.

Y4

λX

【分析】求出展開式的通項公式，令刀的次數(shù)為-4,求出確值即可.

【解答】解：展開式的通項公式為窯產(chǎn)。k（√）'2-*（1）k=ckZ-4?由36-44=-4,

12X12

得44=40,

得左=I0,

即7u=C10∕4=堂一，即含LJ頁的系數(shù)為66,

1244

XX

故答案為：66.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出通項公式，利用X的次數(shù)建立方程

是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

3.（2021?上海）已知花博會有四個不同的場館兒B,C,D,甲、乙兩人每人選2個去參觀，則

他們的選擇中，恰有一個館相同的概率為2.

-3一

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計算即可.

【解答】解：甲選2個去參觀，有cj=6種，乙選2個去參觀，有cj=6種，共有6X6=36種，

若甲乙恰有一個館相同，則選確定相同的館有C：=4種，然后從剩余3個館種選2個進(jìn)行排列,

有禺=6種，共有4X6=24種，

則對應(yīng)概率α=22=2,

363

故答案為：2.

3

【點(diǎn)評】本題主要考查概率的計算，利用古典概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

4.（2020?上海）已知有四個數(shù)1,2,a,b,這四個數(shù)的中位數(shù)是3,平均數(shù)是4,則ab=36.

【分析】分別由題意結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)計算方法得A3=13,9=3,解得a,b,再算出

2

答案即可.

【解答】解：因為四個數(shù)的平均數(shù)為4,所以a+b=4X4-1-2=13,

因為中位數(shù)是3,所以2^=3,解得a=4,代入上式得6=13-4=9,

2

所以助=36,

故答案為：36.

【點(diǎn)評】本題考查樣本的數(shù)字特征，中位數(shù)，平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2020?上海）已知∕={-3,-2,-1,0,1,2,3）,a、b≡A,則IalCI引的情況有18

種.

【分析】先討論a的取值，得到對應(yīng)6的值，再整體求和即可.

【解答】解：當(dāng)a=-3,0種，

當(dāng)a=-2,2種，

當(dāng)a=-1,4種；

當(dāng)a=0,6種，

當(dāng)a=l,4種；

當(dāng)a=2,2種，

當(dāng)a=3,0種，

故共有：2+4+6+4+2=18.

故答案為：18.

【點(diǎn)評】本題主要考查分類討論思想在概率中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目.

6.（2020?上海）已知二項式（2廣*則展開式中￡的系數(shù)為10.

【分析】由C黃2x）l（√7）4=10χ3,可得到答案.

【解答】解：Ce（2x）l（√^）4=10χ3-所以展開式中f的系數(shù)為10.

故答案為：10.

【點(diǎn)評】本題考查利用二項式定理求特定項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2022?上海）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的

數(shù)字個數(shù)為17.（用數(shù)字作答）

【分析】根據(jù)題意，按四位數(shù)的千位數(shù)字分2種情況討論，由加法原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，

當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時，有24；=12種情況，即有12個符合題意的四位數(shù)，

當(dāng)其千位數(shù)字為2時，有一6種情況，其中最小的為2134,則有6-1=5個比2134大的四位數(shù)，

故有12+5=17個比2134大的四位數(shù)，

故答案為：17.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2023?上海）已知事件力的對立事件為仄，若P（∕）=0.