滬科版八年級數(shù)學下學期核心考點精講精練 專題08 一元二次方程章末素養(yǎng)評估卷-【專題重點突破】(原卷版+解析)

專題08一元二次方程章末素養(yǎng)評估卷一、單選題(共40分)1．(本題4分)(2023·廣西柳州·九年級期末）下列方程中，不是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．(本題4分)(2023·廣東陽江·二模）若方程x2-4x+c=0的一個實數(shù)根是3，則c的值是（

）A．c=﹣3 B．c=3 C．c=5 D．c=03．(本題4分)(2023·四川綿陽·九年級期末）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程，配方正確的是（

）A． B． C． D．4．(本題4分)(2023·山東濱州·一模）關(guān)于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定5．(本題4分)(2023·河南三門峽·九年級期末）一元二次方程的一個根為2，則p的值以及另一個根為（

）A．1，－1 B．1，1 C．－1，－1 D．－1，16．(本題4分)(2023·山東棗莊·一模）若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且7．(本題4分)(2023·江蘇江蘇·九年級期末）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程，可列表如下：則方程的正數(shù)解滿足（

）x0.511.11.21.31.4x2＋px＋q－2.75－1－0.59－0.160.290.76A．解的整數(shù)部分是1，十分位是1 B．解的整數(shù)部分是1，十分位是2C．解的整數(shù)部分是1，十分位是3 D．解的整數(shù)部分是1，十分位是48．(本題4分)(2023·廣東茂名·九年級階段練習）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c=0和a﹣b+c=0，則方程的根是（

）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無法確定9．(本題4分)(2023·廣東廣州·九年級期末）定義新運算“a?b”：對于任意實數(shù)a，b，都有a?b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運算，如3?2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x?k＝0（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，且x＝2是這個方程的一個根，則k的值是（）A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或410．(本題4分)(2023·浙江·寧波市海曙外國語學校八年級開學考試）將一個容積為的長方體包裝盒剪開、鋪平，紙樣如圖所示，根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為（

）B．C． D．二、填空題(共20分)11．(本題5分)(2023·福建省福州屏東中學九年級期中）一元二次方程的一個根是4，則a的值是___．12．(本題5分)(2023·福建莆田·九年級期末）等腰的底和腰分別是一元二次方程的兩根，則這個等腰三角形的周長為______．13．(本題5分)(2023·上海市民辦揚波中學八年級期中）已知a是實數(shù)，且，那么的值為______．14．(本題5分)(2023·山東省青島第二十六中學九年級期末）某市2008年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2007年增長了12%，由于受到國際金融危機的影響，預計今年比2008年增長7%，若這兩年GDP年平均增長率為x%，則x%滿足的方程是_____．三、解答題(共90分)15．(本題8分)(2023·湖北湖北·九年級期末）解一元二次方程：(1)；(2)．(本題8分)(2023·北京·九年級專題練習）已知是方程的一個根，求代數(shù)式的值．17．(本題8分)(2023·湖北湖北·九年級期末）己知：關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程的一根是另一根的2倍，求k的值．18．(本題8分)(2023·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學九年級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：不論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；(2)若方程的兩實數(shù)根分別為，，且滿足，求k的值．19．(本題10分)(2023·海南?？凇ぞ拍昙壠谀┠成虉鼋衲?月份的營業(yè)額為1250萬元，2月份的營業(yè)額比1月份增加20%，4月份的營業(yè)額達到1815萬元．求：(1)該商場2月份的營業(yè)額；(2)該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率．20．(本題10分)(2023·江蘇揚州·九年級期末）定義一種新的運算方式：（其中，n為正整數(shù)），例如，．(1)若，求的值；(2)記，當時，求的取值范圍．21．(本題12分)(2023·天津·九年級期中）如圖，有長為30m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10m），圍成中間隔有一道籬笆（平行于AB）的矩形花圃，設花圃一邊AB的長為xm，如要圍成面積為63m2的花圃，那么AB的長是多少？22．(本題12分)(2023·重慶巴南·九年級期末）“創(chuàng)文工作人人參與，環(huán)境衛(wèi)生人人受益”，我區(qū)創(chuàng)建全國文明城區(qū)工作已進入關(guān)鍵階段.我區(qū)某校擬整修學校食堂，現(xiàn)需在某地磚供應商處購買大小相同，材質(zhì)不同的A、B兩種型號的防滑地磚共600塊，且計劃采購地磚的費用不超過32000元，已知A型號地磚的售價是每塊80元，B型號地磚的售價是每塊40元．(1)最多能購買A型號地磚多少塊？(2)為了支持我區(qū)創(chuàng)文工作，該地磚供應商將A型號地磚的售價降低，B型號地磚的售價降低10%．由于該地磚供應商降低了售價，該校實際購買時，A型號地磚的購買量在（1）中A型號地磚的最大購買量的基礎(chǔ)上增加了，B型號地磚的購買量相應減少，這樣，該校購買的600塊A、B兩種型號的防滑地磚的總費用比原計劃的最高費用還節(jié)省了10%，求的值．23．(本題14分)(2023·江西·新余四中九年級期末）定義：關(guān)于x的一元二次方程（其中a，b，c是常數(shù)，且）是關(guān)于x的一元二次方程（其中a，b，c是常數(shù)，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．(1)【概念感知】的“友好”方程是____________；(2)【問題探究】若關(guān)于x的一元二次方程（其中a，b，c是常數(shù)，且）的一個解為3，請判斷是否為該方程的“友好”方程的一個解？若是，請證明；若不是，請說明理由．(3)【拓展提升】若關(guān)于x的一元二次方程（其中a，b，c是常數(shù)，且）的解為，且也是其“友好”方程的解，求a，c之向的數(shù)量關(guān)系．專題08一元二次方程章末素養(yǎng)評估卷一、單選題(共40分)1．(本題4分)(2023·廣西柳州·九年級期末）下列方程中，不是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：根據(jù)形如的方程為一元二次方程，進而可進行求解．【詳解】解：A、不是一元二次方程，故符合題意；B、C、D都為一元二次方程，故不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2．(本題4分)(2023·廣東陽江·二模）若方程x2-4x+c=0的一個實數(shù)根是3，則c的值是（

）A．c=﹣3 B．c=3 C．c=5 D．c=0答案:B解析：分析：根據(jù)題意將x=3代入原方程，求出c的值即可．【詳解】當x=3時，32-4×3+c=0，解得c=3．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，直接代入是解決此類問題的常用方法．3．(本題4分)(2023·四川綿陽·九年級期末）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程，配方正確的是（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：常數(shù)項移到方程的左邊，兩邊都加上1配成完全平方式即可得出答案．【詳解】解：∵x2-2x-1=0，∴x2-2x=1，則x2-2x+1=1+1，即（x-1）2=2，故選：C．【點睛】本題主要考查配方法解一元二次方程的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟．4．(本題4分)(2023·山東濱州·一模）關(guān)于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定答案:A解析：分析：先計算判別式，再配方得到=（k﹣4）2+4，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到＞0，再根據(jù)判別式的意義即可得到方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【詳解】解：∵=（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）=k2﹣4k+4+16﹣4k=k2﹣8k+20=k2﹣8k+16+4=（k﹣4）2+4＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，判斷出（k﹣4）2+4＞0是解題的關(guān)鍵．5．(本題4分)(2023·河南三門峽·九年級期末）一元二次方程的一個根為2，則p的值以及另一個根為（

）A．1，－1 B．1，1 C．－1，－1 D．－1，1答案:C解析：分析：先設方程的另一個根為，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于、p的方程組，求解即可得到答案．【詳解】設方程的另一個根為，由題意得

解得p的值以及另一個根分別為－1，1．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即設一元二次方程的兩個實數(shù)根為，則，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．6．(本題4分)(2023·山東棗莊·一模）若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且答案:B解析：分析：本題分兩種情形討論：當k=0時，判斷此時方程是否有根；當k≠0時，根據(jù)判斷判別式列出不等式求解即可.【詳解】解：當k=0時，方程為-6x+9=0，此時方程的解為，符合題意；當k≠0時，∵關(guān)于的方程有實數(shù)根，∴，∴，又k≠0，∴且k≠0，綜上所述，當時，關(guān)于的方程有實數(shù)根.故選：B.【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用，以及分類討論數(shù)學思想，進行分類討論是解題的關(guān)鍵.7．(本題4分)(2023·江蘇江蘇·九年級期末）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程，可列表如下：則方程的正數(shù)解滿足（

）x0.511.11.21.31.4x2＋px＋q－2.75－1－0.59－0.160.290.76A．解的整數(shù)部分是1，十分位是1 B．解的整數(shù)部分是1，十分位是2C．解的整數(shù)部分是1，十分位是3 D．解的整數(shù)部分是1，十分位是4答案:B解析：分析：仔細看表，可知x2+px+q的值-0.16和0.29最接近于0，再看對應的x的值即可得．【詳解】解：根據(jù)表中函數(shù)的增減性，可以確定函數(shù)值是0時，x應該是大于1.2而小于1.3．所以解的整數(shù)部分是1，十分位是2．故選：B．【點睛】本題的考查的是二次函數(shù)與一元二次方程，在解題過程中，根據(jù)表格，來判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性來解答問題．8．(本題4分)(2023·廣東茂名·九年級階段練習）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c=0和a﹣b+c=0，則方程的根是（

）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無法確定答案:C解析：分析：根據(jù)一元二次方程的根的定義，將未知數(shù)的值代入方程，計算后即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，把代入得：，即方程的一個解是，把代入得：，即方程的一個解是；故選：C．【點睛】本題考查了方程的解的定義，掌握方程的解的定義并能準確利用定義進行判斷是解題的關(guān)鍵．9．(本題4分)(2023·廣東廣州·九年級期末）定義新運算“a?b”：對于任意實數(shù)a，b，都有a?b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運算，如3?2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x?k＝0（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，且x＝2是這個方程的一個根，則k的值是（）A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或4答案:D解析：分析：利用新運算把方程x?k＝0（k為實數(shù)）化為，把x＝2代入求解即可．【詳解】解：∵a?b＝（a﹣b）2﹣b，∴關(guān)于x的方程x?k＝0（k為實數(shù)）化為，∵x＝2是這個方程的一個根，∴4-4k+k2-k=0，解得：，故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義運算法則得到關(guān)于k的方程．10．(本題4分)(2023·浙江·寧波市海曙外國語學校八年級開學考試）將一個容積為的長方體包裝盒剪開、鋪平，紙樣如圖所示，根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為（

）A． B．C． D．答案:C解析：分析：根據(jù)題意表示出長方體的長與寬，進而表示出長方體的體積即可．【詳解】解：由題意可得：長方體的長為：15，寬為：(30-2x)÷2=15-x，則根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為：15(15-x)x=600故選：C．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出長方體的棱長是解題關(guān)鍵．二、填空題(共20分)11．(本題5分)(2023·福建省福州屏東中學九年級期中）一元二次方程的一個根是4，則a的值是___．答案:16解析：分析：方程的根滿足方程，代入求解．【詳解】解：把代入方程得：，解得．故答案為：16【點睛】本題考查一元二次方程的解，理解根滿足方程的等式關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．(本題5分)(2023·福建莆田·九年級期末）等腰的底和腰分別是一元二次方程的兩根，則這個等腰三角形的周長為______．答案:9解析：分析：先利用因式分解法解方程，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出底和腰，進而求周長；【詳解】解：，（x－4）（x－1）=0，x1=4，x2=1，∵1＋1=2＜4，不符合三角形的三邊關(guān)系，∴等腰三角形的底為1，腰是4，周長=1＋4＋4=9，故答案為：9【點睛】本題考查了一元二次方程的解法：因式分解法即利用因式分解求方程的解，這種方法簡便易用是解一元二次方程最常用的方法；也考查了三角形的三邊關(guān)系．13．(本題5分)(2023·上海市民辦揚波中學八年級期中）已知a是實數(shù)，且，那么的值為______．答案:2解析：分析：設，即原方程為，解之得：，．分類討論當時和當時，利用根的判別式舍去不合題意的x的值即可．【詳解】解：設，則可變形為，解方程：，得：，．經(jīng)檢驗或2是原方程的根．∵a為實數(shù)，當時，，即，∵，∴方程無解，舍去；當時，，即∵，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意．∴的值為2．故答案為：2．【點睛】本題考查解分式方程，一元二次方程根的判別式．利用換元法是解題的關(guān)鍵．14．(本題5分)(2023·山東省青島第二十六中學九年級期末）某市2008年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2007年增長了12%，由于受到國際金融危機的影響，預計今年比2008年增長7%，若這兩年GDP年平均增長率為x%，則x%滿足的方程是_____．答案:解析：分析：設2007年的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為1，根據(jù)2009年的國內(nèi)生產(chǎn)總值的兩種不同的表述方式列出方程即可．【詳解】解：設2007年的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為1，∵2008年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2007年增長了12%，∴2008年的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為1×（1+12%），∵今年比2008年增長7%，∴2009年國內(nèi)生產(chǎn)總值為1×（1+12%）×（1+7%），若這兩年GDP年平均增長率為x%，則2009年國內(nèi)生產(chǎn)總值為1×（1+x%）2，∴可列方程為，故答案為．【點睛】本題考查了平均增長率問題，正確理解增長率是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共90分)15．(本題8分)(2023·湖北湖北·九年級期末）解一元二次方程：(1)；(2)．答案:(1)，(2)，解析：分析：（1）運用配方法求解即可；（2）先移項，再利用因式分解法求解即可．(1)解：（1），，∴，．(2)解：（2），或，∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵，解一元二次方程的一般方法有：直接開方法，因式分解法，配方法，公式法，結(jié)合題目特點選擇合適的方法即可．16．(本題8分)(2023·北京·九年級專題練習）已知是方程的一個根，求代數(shù)式的值．答案:7解析：分析：由題意易得，然后把代數(shù)式進行化簡，最后整體代入求解即可．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程的解、乘法公式及代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．17．(本題8分)(2023·湖北湖北·九年級期末）己知：關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程的一根是另一根的2倍，求k的值．答案:(1)見解析(2)k的值0或3解析：分析：（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出，由偶次方的非負性可得出，進而可證出方程總有兩個實數(shù)根；（2）根據(jù)求根公式表示方程的兩個根，再根據(jù)2倍關(guān)系，分類討論列方程解之即可．(1)證明：在方程中，∵∴程總有兩個實數(shù)根(2)解：∵，∴，．∵方程的一根是另一根的2倍，∴或．解得或．∴k的值0或3．【點睛】本題考查根的判別式以及求根公式，解題的關(guān)鍵是：（1）熟知“當時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）牢記求根公式：．18．(本題8分)(2023·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學九年級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：不論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；(2)若方程的兩實數(shù)根分別為，，且滿足，求k的值．答案:(1)見解析(2)解析：分析：（1）列出一元二次方程根的判別式，通過配方，可得，進而即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，，結(jié)合，可得關(guān)于k的方程，進而解方程即可求解．(1)∵，∵，∴，∴無論取何值，該方程總有實數(shù)根；(2)根據(jù)題意得：，，，即即解得【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握的根滿足，，是解題的關(guān)鍵．19．(本題10分)(2023·海南?？凇ぞ拍昙壠谀┠成虉鼋衲?月份的營業(yè)額為1250萬元，2月份的營業(yè)額比1月份增加20%，4月份的營業(yè)額達到1815萬元．求：(1)該商場2月份的營業(yè)額；(2)該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率．答案:(1)1500元(2)解析：分析：（1）根據(jù)題意列出算式即可求解；（2）根據(jù)題意，設出未知數(shù)，再列出方程求解即可．(1)解：（元）答：該商場2月份的營業(yè)額為1500元．(2)解：設該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率為．，（舍去）答：該商場2月份到4月份營業(yè)額的月平均增長率為．【點睛】本題主要考查了增長率問題，熟練掌握列方程解應用題是解答此題的關(guān)鍵．20．(本題10分)(2023·江蘇揚州·九年級期末）定義一種新的運算方式：（其中，n為正整數(shù)），例如，．(1)若，求的值；(2)記，當時，求的取值范圍．答案:(1)n=10；(2)n≥18且n是正整數(shù)．解析：分析：（1）根據(jù)新定義式結(jié)合，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出n值，再根據(jù)n≥2且n是正整數(shù)，即可確定n值；（2）根據(jù)新定義式結(jié)合≥153，即可得出關(guān)于n的不等式組，解之即可得出n的取值范圍，再根據(jù)n≥2且n是正整數(shù)，即可確定n的取值范圍．(1)解：∵=45；，∴n2-n-90=（n+9）（n-10）=0，解得：n=10或n=-9，∵n≥2，且n是正整數(shù)，∴n=10．(2)解：∵=y，y≥153，∴n2-n-306=（n+17）（n-18）≥0，或，解得：n≥18或n≤-17∵n≥2，且n是正整數(shù)，∴n≥18且n是正整數(shù)．【點睛】本題考查新定義組合計算，解一元二次方程，解不等式組，掌握新定義組合計算，解一元二次方程，解一元二次不等式是解題關(guān)鍵．21．(本題12分)(2023·天津·九年級期中）如圖，有長為30m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10m），圍成中間隔有一道籬笆（平行于AB）的矩形花圃，設花圃一邊AB的長為xm，如要圍成面積為63m2的花圃，那么AB的長是多少？答案:解析：分析：設的長為m，則平行于墻的一邊長為：m，該花圃的面積為：，令該面積等于63，求出符合題意的的值，即是所求的長．【詳解】解：設該花圃的一邊的長為m，則與相鄰的邊的長為m，由題意得：，即：，解得：，當m時，平行于墻的一邊長為：，不合題意舍去；當m時，平行于墻的一邊長為：，符合題意，所以，的長是．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系列出方程求解．22．(本題12分)(2023·重慶巴南·九年級期末）“創(chuàng)文工作人人參與，環(huán)境衛(wèi)生人人受益”，我區(qū)創(chuàng)建全國文明城區(qū)工作已進入關(guān)鍵階段.我區(qū)某校擬整修學校食堂，現(xiàn)需在某地磚供應商處購買大小相同，材質(zhì)不同的A、B兩種型號的防滑地磚共600塊，且計劃采購地磚的費用不超過32000元，已知A型號地磚的售價是每塊80元，B型號地磚的售價是每塊40元．(1)最多能購買A型號地磚多少塊？(2)為