2022-2023學(xué)年河北省保定市重點學(xué)校高三（上）期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年河北省保定市重點學(xué)校高三（上）期中考試數(shù)學(xué)

試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若集合4={x|--2x40},集合B={%|14x<3},則4UB=（）

A.{x\x<3}B,{x|l<x<2}C.{x|0<x<3}D.{x\2<x<3}

2.若（l+i）-z=4i,則z的共朝復(fù)數(shù)為（）

A.2+2iB.2-2iC.-2+2iD.-2-2i

3.2020年9月22日，在第75屆聯(lián)合國大會期間，中國提出將提高國家自主貢獻力度，采取

更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳

中和.要實現(xiàn)這個承諾，我國要牢固樹立創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享等新發(fā)展理念，抓住

新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的歷史性機遇，匯聚各方力量推動經(jīng)濟社會發(fā)展轉(zhuǎn)型.2023年2月

2811,國家統(tǒng)計局發(fā)布的《中華人民共和國2022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，

2022年全年我國新能源汽車產(chǎn)量達到700.3萬輛，如果從2023年起，今后3年我國新能源汽車

產(chǎn)量年均增長率為20%,則2025年全年，我國新能源汽車產(chǎn)量預(yù)計能達到約萬輛.（）

A.1210.12B.1008.43C.1452.14D.1451.52

4.已知雙曲線C：會與=l（a>0,b>0）的右焦點為F,B為虛軸上端點，M是B尸中點，。

為坐標原點，OM交雙曲線右支于N,若FN垂直于x軸，則雙曲線C的離心率為（）

A.y/~2B.2C.V-3D.亨

5.已知函數(shù)f（X）=COS（3X+）則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.3=1時，/'（久）關(guān)于X=爭寸稱

B.3=1時，/（%）的一個周期為—27T

C.3=2時,/（%）在［0,爭上單調(diào)遞增

D.3=2時，f（x）=；的兩個零點為X1，x2，則氏1一切1?1譏=g

6.三位同學(xué)參加某項體育測試，每人要從100m跑、引體向上、跳遠、鉛球四個項目中選出

兩個項目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是（）

7.如圖，在長方體4BCD中，AB=BC=1,AAr=2,

對角線BiD與平面48cl交于E點廁aE與面441D1D所成角的余弦值

為()

C.2

3

D.￡5

8.已知函數(shù)/(x)=a/nx(a>0),過點M(0,；)且平行于x軸的直線與曲線C：y=/(x)的交點

為N,曲線C過點N的切線交y軸于點P,則△MNP面積的最小值為()

A.1B.9C.及D.二

242

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知直線，：kx-y-k=0,圓M：爐+y2+。％+Ey+i=。的圓心坐標為(2,1),則下

列說法正確的是()

A.直線I恒過點(1,0)

B.D=-4,E=-2

C.直線/被圓M截得的最短弦長為2C

D.當k=l時，圓M上存在無數(shù)對點關(guān)于直線，對稱

10.已知函數(shù)/"(x)=ax3—3x+1,貝！1()

A.f(x)在［-1,1］單調(diào)遞減，則a>1

B.若a>0,則函數(shù)/(x)存在2個極值點

C.若a=1,則f(x)有三個零點

D.若/。0在［-1,1］恒成立,則a=4

11.已知拋物線C：y2=4x的焦點為尸，點K為拋物線C的準線與％軸的交點，過點K的直線I與

拋物線C交于不同的兩點M、N,貝4()

A.kpM+kpN~0

B.存在一點Q為MN中點，使得|FQ|=2

C.存在這樣的直線，使NMKF=45。成立

D.\FM\+\FN\>4

12.如圖，正方形4BC。的邊長為1,P、Q分別為邊4B、DA上的動pC

點，若A4PQ的周長為定值2,則（）/

A."CQ的大小為30°/

B.APCQ面積的最小值為，9一1/

C.PQ長度的最小值為2n-2A---------W---B

D.點C到PQ的距離可以是?

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知定義在R上的函數(shù)/*（%）滿足:對于V%1，%2〉4且％1中％2,①f（%1+%2）=/（%1）?

/（孫），②弋）*）＞0,試寫出滿足以上兩個條件的一個函數(shù).

X1x2

14.在△ABC中，點。在邊48上，CD平分乙4CB,若|E71=1，|而|=2，乙4cB=60。，

則而?AB=-

15.我們知道地球和火星差不多在同一軌道平面上運動，火星軌道在地球軌道之外.當?shù)厍蚝?/p>

火星與太陽在同一條直線上，這一天文現(xiàn)象稱為“沖日”，簡稱“沖”.假設(shè)地球和火星都做

近似勻速圓周運動，火星繞太陽一周約需687天，地球繞太陽一周約需365.25天，則相鄰兩

次“沖日”之間間隔約為天.（結(jié)果精確到個位）

16.如圖，在四面體4BC。中，4O1BC,BC=2,AO=4,4B+BD=4C+

CD=6,則四面體ABCD體積的最大值為.7c

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

如圖，四棱臺4BCD-EFGH的底面是菱形,且/BAD=DH1平面力BCD,EH=2,DH=3,

AD=4.

（1）求證：4E〃平面BOG；

（2）求三棱錐尸-BDG的體積.

18.（本小題12.0分）

如圖，BD是平面四邊形4BCD的一條對角線，已知在AABD中滿足4DCOS4WB=（，78。一

AB）cos^.ABD.

⑴求乙4BD；

（2）若2B=4D,BC=4,CD=2,求四邊形ABCD面積的最大值.

19.（本小題12.0分）

2

己知數(shù)列｛斯｝的前n項和為Sn,%=1,若對任意的正整數(shù)n都有2S”=2nan-n+n.

（1）求數(shù)列｛aj的通項公式；

（2）記數(shù)列｛（一；產(chǎn)｝的前n項和為7；,若sW7；一焉Wt恒成立，求t-s的最小值.

20.（本小題12。分）

某學(xué)校為了提高學(xué)生的運動興趣，增強學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進行各年級之間的球類

大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年

級之間進行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學(xué)），

比賽時一個年級領(lǐng)先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個

年級之間打成2：2,則第5場比賽定勝負.已知高三每位隊員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對手的可能性均為今

高三每位隊員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為|,高二每位隊員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均

為右且隊員、年級之間的勝負相互獨立.

（1）求高二年級與高一年級比賽時，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高

一年級的概率.(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期

望.

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓C經(jīng)過點P(2,2).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若4、B是橢圓上不同于點P的兩個動點，直線P4、PB與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角

形，證明：直線4B的斜率為定值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=/(e*+m),mER.

⑴當m=一1時，求f(x)在點Z(l,e—1)處的切線方程.

(2)若g(x)=^-lnx-1的圖象恒在x軸上方，求實數(shù)tn的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：才集合4=[x\x2—2x<0}={x|0<%<2},

集合8={x|l<x<3},

??AUB={x[0<x<3}.

故選：C.

求出集合4利用并集定義能求出4UB.

本題考查集合的運算，考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：（1+i）?z=4i,

入Jz-而一（i+i）（i-f）-2+21,

則3=2-2i.

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及共挽復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：2025年全年，我國新能源汽車產(chǎn)量預(yù)計能達到約700.3x（1+20%）3?1210.12萬

輛.

故選：A.

根據(jù)“年均增長率”的含義，結(jié)合指數(shù)的運算法則，得解.

本題考查實際應(yīng)用問題，理解“年均增長率”的含義是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】4

【解析】解：雙曲線C：盤一營=19>0/>0）的右焦點為凡B為虛軸上端點，

M是BF中點，。為坐標原點，OM交雙曲線右支于N,FN垂直于x軸,

可知BNF。是矩形，所以B、N的縱坐標相同，x=c時，會，=1,yN=+^'

故選：A.

利用已知條件說明B、N的縱坐標相同，即可求解離心率.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題.

5.【答案】C

【解析】解：當3=1時，/(X)=COS(%+1),

此時7=午=2zr,即一2兀是/(工)的一個周期，故5正確，

當％=爭寸，/(%)=COS(y+1)=^osn=-1,即/(%)關(guān)于第二:對稱，故A正確,

當儂=2時，/(%)=cos(2x+^),

當04工4，0<2%<y,2X+^<7T,此時/⑺為減函數(shù)，故。錯誤，

由/(%)=2得cos(2第+1)=P

則2%i+,=2k]7i+1或2&+^=2k2式一號,k],fc26Z,

即2與=2k逐或2%2=2k2〃一胃，

即％=七?；?2=k2n—

則X]—x2—(fci—12)兀+

則％—外1=1&-七)兀+即,

則當心一卜2=。時，％-Xzlmin=卷，故。正確，

故選：C.

分別求出函數(shù)f(X)的解析式，利用函數(shù)的對稱性，單調(diào)性以及周期性進行判斷即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用函數(shù)的對稱性，周期性以及單調(diào)性進行判斷是解決本

題的關(guān)鍵，是中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：設(shè)100小跑、引體向上、跳遠、鉛球四個項目分別為a,b,c,d,

則每位同學(xué)都有六種選擇：ab,ac,ad,be,bd,cd,

故三位同學(xué)共有6x6x6=216種選法，

其中，有且僅有兩人選擇的項目完全相同的選法有第x盤x盤=90種選法，

或表示3個同學(xué)中選2個同學(xué)，使他們所選項目相同，/表示6種組合中選一個，

日表示剩下1個同學(xué)還有5種選擇，

則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是黑=

Z1612

故選：C.

先求出三個同學(xué)選擇的所有選法，然后分步求出有且僅有兩人選擇的項目完全相同的選法，最后

利用古典概型的概率公式計算即可.

本題考查古典概型及其概率計算公式，解題的關(guān)鍵是求出有且僅有兩人選擇的項目完全相同的選

法，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：如圖，建立空間直角坐標系:

砧=(0,1,-2)，=(-1,1,0)，

設(shè)平面的法向量為訪=(x,y,z),

則(希,方=y-2z=°,

L41cl?沆=—%+y=0

令z=1,則y=2,%=2,

所以布=(221),

西=(1,1,2)，

因為點E在當0上，

設(shè)屁=4西=(尢尢24)，

所以E(尢42Q,

所以福=(Z-1,A,22-2).

因為&Eu面4/6，

所以砧?記=0,

所以(4-1,4,2,-2)?(2,2,1)=0,

所以2(2-l)+2A+(22-2)=0,

解得A=I，

所以砧=(v，i，—|),

平面AaDiD的法向量為元=(0,1,0),

設(shè)&E與平面所成角為a,

~,砧?元.,(-熬，-分(O，1Q),2

所以鬲麗1R不而茄亭1一，

所以cosa=V1-siMa=J1一(|產(chǎn)=?,

故選：D.

建立空間直角坐標系，解得平面4BG的法向量為沅=(x,y,z),西=(1,1,2)，設(shè)施=2兩,

則E。,4,24),砧.沅=0,解得;I,可得涯坐標，平面的法向量為元=(0,1,0),設(shè)&E與

平面所成角為a,則sina=|滯看進而可得答案.

本題考查直線與平面所成角，解題關(guān)鍵是空間向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：/(x)=alnx{a>0),把丫=，代入，可得;=a/nx,即久=盛，

則N(e益

1

由/(%)=cclnx,得/'(%)=p則((。。2)=今，

x~7

[1

曲線C過點N的切線方程為y-￡=WeZ),取x=o,得p(o,：-a).

ga2

?*,S^MNP=2a,?莉?

111112_7

令g(a)='1Q?e混，則g'(Q)=51?茄+(一滔1)?C滔=?混(51—混1)=e劉.?！?

.??當a=C時，g(a)mm=9(。)=9.

故選：D.

由己知求得N點坐標，利用導(dǎo)數(shù)求出過N點的切線方程，再求出P點坐標，寫出三角形MNP的面積,

再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：直線八kx-y-k=O,恒過點(1,0),所以A正確；

圓M：x2+y2+Qx+Ey+l=0的圓心坐標為(2,1),D=-4,E=-2,所以8正確；

圓M：/+丫2-4X一2y+1=0的圓心坐標為(2,1),圓的半徑為2.

直線八kx—y-k=0,恒過點(1,0)，圓的圓心到定點的距離為：<2,

直線1被圓M截得的最短弦長為=2，2大2/3，所以C不正確；

當k=1時，直線方程為：x-y-1=0,經(jīng)過圓的圓心，所以圓M上存在無數(shù)對點關(guān)于直線/對稱，

所以。正確.

故選：ABD.

求解直線系結(jié)果的定點判斷力；圓的圓心求解。、E判斷B；求解直線被圓截的弦長判斷C,利用圓

的圓心到直線的距離判斷D.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

10.【答案】BCD

【解析】解：已知/(x)=一3x+1,函數(shù)定義域為R,

可得'f(x)=3ax2—3=3(ax2—1),

若/(x)在［—1,1］單調(diào)遞減，

此時/'(x)<0在上恒成立，

即a<或在［-1,1］上怛成立,

不妨設(shè)g(x)=妥，函數(shù)定義域為［-1,0)U(0,1］,

可得g，(x)=-或，

當一14%<0時，g'。)>0,g(%)單調(diào)遞增；

當OvxWl時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以當％=-1或%=1時，函數(shù)g。)取得極小值，極小值g(l)=g(-l)=1,

則QW1,故選項A錯誤；

若a>0,此時((x)=3(a/-1),

當久<_J5時，/(X)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當—J=<x<。時，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當X>fl時，f(X)>o,f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)存在2個極值點，故選項8正確；

若a=1,函數(shù)/(x)=x3—3x+1,

可得/'Q)=3%2—3=3(x+l)(x—1),

當x<一1時，f'(x)>0,/'(X)單調(diào)遞增；

當一1<X<1時，/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當久>1時，/'(%)>0,f(x)單調(diào)遞增,

所以當x=-l時，函數(shù)/(x)取得極大值也是最大值，最大值/(-1)=3,

當x=l時，函數(shù)取得極小值也是最小值，最小值"1)=-1,

當XT—8時，/(x)T—00;當x7+8時,/(%)T+-CO,

所以在區(qū)間(—8,-1)上存在一點修，使得/"(Xi)=0,

在區(qū)間(1,+8)上存在一點小，使得/(》2)=0,

又/(0)=0,

所以函數(shù)/(x)在R上存在三個零點，故選項C正確；

若/(乃>0在恒成立，

當x=0時，無論a取何值，/(x)>0恒成立；

當x>0,即0cxW1■時，需滿足a2號一晝恒成立，

不妨設(shè)h(x)=W-&函數(shù)定義域為(0,1],

可得”(切=_,+卷=巴/，

當0cx時，h'(x)>0,/i(x)單調(diào)遞增；

當;時，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)<5(1)=4，

則a>4；

當％<0,即-14無<0時，需滿足a工攝—妥恒成立，

不妨設(shè)心)=1-妥，函數(shù)定義域為(0,1],

可得*(乃=++邕=等2

當一1<%<0時，％'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

所以/i(x)2/i(—1)=4,

則a=4,

綜上，若/(x)20在恒成立，則a=4,故選項。正確.

故選:BCD.

由題意，對函數(shù)f(x)進行求導(dǎo)，將“X)在單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化成aW或在[-L1J上恒成立，構(gòu)造

函數(shù)。。)=或，此時問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題，對g(x)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)g(x)的單調(diào)

性和最值，進而可判斷選項4對函數(shù)f(x)進行求導(dǎo)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義

即可判斷選項8；將a=1代入函數(shù)/(%)解析式中，對函數(shù)/Q)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以

及零點存在性定理即可判斷選項C；對％=0,%>0和％<。這三種情況進行討論，通過構(gòu)造函數(shù)，

將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題，進而即可判斷選項D.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了邏輯推理、分類討論、轉(zhuǎn)化思想和運算能力.

11.【答案】AD

【解析】解：因為拋物線C：'2=軌的焦點為F,點K為拋物線C的準線與x軸的交點，

所以F(l,0),K(—1,0),

又過點K的直線，與拋物線C交于不同的兩點M、N,

不妨設(shè)直線Z的方程為x=my—1,

聯(lián)立｛:二消去工并整理得于一4my+4=0,

此時4=16m2-16>0,

解得77?>1,

由韋達定理得yi+y2=4m,yxy2=4,

m2

所以+牝=Vi-1+niy2—2=4m—2,

不妨設(shè)MQiJi),/V(x2/y2),

對于選項A：⑥時+上W=懸+券=京三+就三

力(小及-2)+力(小力-2)_2肛/、2-2(%+、2)

2

(my1-2)(my2-2)-my1y2-2m(y1+y2)+4

8m-8m_八

=4m2-8源+4=U'故選項A正確;

對于選項以若點Q為MN中點,

即Q(2?n2_1,2m),

可得|FQ『=(2m2-27+(2m)2=4m4-4m2+4,

不妨令t=m2,t>1,

2

此時|FQ|2=4(t2-t+1)=4(t-1)+3>4x+3=4,

所以|FQ|>2,故選項8錯誤；

對于選項C：當/MKF=45。時，

可知m三=1,不符合題意，故選項C錯誤；

tan45

對于選項。：因為|尸M|+|FN|=%+1+&+1

=Xi+%2+2=462>%故選項。正確.

故選:AD.

由題意，設(shè)出直線/的方程，將直線1與拋物線聯(lián)立，利用根的判別式得到瓶2>1,設(shè)

/V(x2,y2),根據(jù)韋達定理得到%+丫2,%乃和％1+小的表達式，結(jié)合拋物線的性質(zhì)對選項進行逐

一分析，進而即可求解.

本題考查拋物線的性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力.

12.【答案】BC

【解析】解：設(shè)4Q=x,AP=y,則DQ=l-x,PB=l-y,(0<x<1,0<y<1),

在RtzkAPQ中，PQ2=AQ2+AP2=x2+y2,又PQ=2-(x+y),

???(2-x—y)2=x2+y2,HPxy=2(x+y)—2①，

對于A,tanzDCQ=l-x,tanzBCP=l-y,則tan(4DCQ+4BCP)=￡渭匿)=7^=^②，

把①代入②可得tan(4DCQ+乙BCP)=1,：.乙DCQ+乙BCP=45°,^PCQ=45°,故A不正確；

對于8,S“Q=l-|xy-^(l-x)-1(l-y)=|(x+y-xy)=|-二］：：?

S&PCQ=1(-x+=j［(2-x)+白］-1|-2V"^-1='Tl.-1，

.??2-％=￡時，即X=2-C時，SAPCQ取得最小值，最小值為。-1，故B正確；

對于C由，xy=2(x+y)-2可得2(x+y)-2=xy<(空￥，解得x+y>4+21之(舍)或x+

y<4-2\T2,：.PQ=2-(x+y)>2yJ~2-2.故C正確；

對于D,當PQ長度最小時，點C到PQ的距離d最小，最小值為(「-1)=1>/，故。錯.

故選：BC.

設(shè)4Q=x,AP=y,利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得tan/DCQ=1-x,tanzBCP=1-y,由

PQ2=AQ2+AP2=x2+y2,可得xy=2(x+y)-2,

對于A,再由兩角和的正切公式求得tan(NDCQ+4BCP)=1,可得Z_DCQ+/BCP=45。，從而求

得NPCQ=45°；

對于B,SAPQ=l-|xy-|(l-x)-1(l-y)=|(x+y-xy)=1-七：；+2=[(2-x)+

2]-1,利用均值不等式即可求解；

2-xJ

對于C,由，xy=2(x+y)-2可得2(x+y)—2=xyW(亨)2,解得x+y的范圍即可：

對于D,當PQ長度最小時，點C到PQ的距離d最小即可判定.

本題考查了三角函數(shù)、基本不等式的運用，考查了分析、解決問題的能力，屬于中檔題.

13.【答案】f(x)=2，(答案不唯一)

【解析】解：由題知：可設(shè)f(無)=2x,因為Vxi，打6R有/Qi)=24，/。2)=2處,

/(%1)-f(x2)=2血?2必=2'1+制，f(X1+x2)=2'1+0，

所以滿足對于v%l，X26R,有/'Ql+X2)=/(%1)?

因為對于X2&R,且X1KX2，都有f(X??(X2)>0,

X1x2

所以f(x)為R上增函數(shù)，所以/(x)=2了滿足題意.

故答案為：f(x)=2?答案不唯一).

根據(jù)f(%+小)=/(Xi)?/(冷)和在R上為增函數(shù)，即可得到函數(shù)解析式.

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：延長CA至點F,使CF=CB=2,連接BF,

延長CD交BF于點E,過點E作AB的平行線交CF于

???CD平分NACB,CF=CB,二E為BF的中點，得ZH=HF,

1?

VCB=2CA,AH=^CA,可得CD=^CE,

CD-AB=^CE(CB-^CF')=^CECB-jCE-CF.

■■CB=2,4BCD=30°,CE=G，

可得而?而=3?謂=2x<3x?=3，

CD-AB=|x3=1.

故答案為：1.

由題意畫出圖形，延長C4至點F,使CF=CB=2,連接BF,延長C。交BF于點E,可得CD=|cE,

再由向量的數(shù)乘與數(shù)量積運算求解.

本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，考查運算求解能力，是中檔

題.

15.【答案】780

【解析】解：由題意知，地球一天繞太陽轉(zhuǎn)小、rad,火星一天繞太陽轉(zhuǎn)得rad,

365.25687

設(shè)相鄰兩次“沖日”間隔t天，由于春〉照，

365.25687

則（急一第”2兀，

所以t=渭2,黑=779.88?780.

OO/—DO3.Z5

故答案為：780.

根據(jù)題意設(shè)相鄰兩次“沖日”間隔t天，則經(jīng)過t天，地球比火星多轉(zhuǎn)2仃ad,即（盛，-焉）t=2兀，

解出t即可.

本題考查數(shù)列的實際應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】?

【解析】解：作BE1力。于E,連接CE,因為4D1BC,AD1

BE,

則AD1平面8EC,又CEu平面BEC,ACEA.AD,

由題意，AB+BD=AC+CD=6,貝與C都在以為焦點

的橢球上，

且BE,CE都垂直于焦距4D,垂足為同一點E,

所以△力BZ）三△4CD,則BE=CE,

取BC的中點F,BC,EFLAD,

要四面體4BCD的體積最大，因為AD是定值，只需三角形EBC面積最大，

又因為BC是定值，所以只需EF最大即可，

故當△4BC是等腰直角三角形時，四面體4BCD的體積最大，

vAB+BD=AC+CD=6,AB=3,又AD=4,

EB=V32-22=V-5-EF=VEB2-BF2=<5-1=2,

所以幾何體的體積U=NABCE-^4￡>=|X|X2X2X4=5

3ADS323

故答案為：

作BE1AD于E,連接CE,說明B與C都在以AD為焦點的橢球上，且BE,CE都垂直于焦距AD,BE=

CE,取BC的中點F,推出當△ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，求解即可.

本題考查棱錐的體積，考查空間想象能力以及計算能力，屬中檔題.

17.【答案】解：（1）證明：如圖，連接4C交BD于點0,連接EG,GO,

由ABC?！狤FGH為四棱臺，可知ACGE四點共面，且EGu面EFGH,

ACu面力BCO,

EG//AC,

■：EFGH和ABCD均為菱形，B./.BAD=pEH=2,AD=4,

EG=^AC=A0=2V-3,

???四邊形40GE為平行四邊形，

.-.AE//GO,

又GOu面BOG,AE<t^BDG,

AE〃平面BCG；

(2)連接GE交FH于K,

vGE1FH,FD1GE,FHCDH=D,FHu面DHu面BDHF,

GE1面BOHF,

???四邊形ABC。為菱形且NB4DEF=2,

???GK=V-3.

^F-BDG=^G-BDF=］義萬*4*3*\/-3=2>/~3.

【解析】⑴連接4c交BD于點0,先證明四邊形20GE為平行四邊形，得至以E〃G。，再根據(jù)線面

平行的判定得證；

(2)連接GE交于K,可證得GE上面BDHF,再利用等體積法求解即可.

本題考查線面平行的判定以及三棱錐的體積計算，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔

題.

18.【答案】解：(1)已知在△力BD中滿足ADcos乙4DB=(CBD-4B)COSN4BD，

由正弦定理得sinZ71BDcosZ_ADB=(y/~2sinZ.BAD-sinZ.ADB)cosZ-ABD<

所以V~^sinNB4Ocosz71BO=s\nz.ABDcosz.ADB+cosz.ABDsinz.ADB.

整理得nsin/B4OcosN4BD=sin(^ABD+NADB)，

^y/~2smz.BADcosz.ABD=sinz_84D,

因為0<乙BAD<兀，

所以sin/BAD*0,

此時cos乙480=￥，

又0<乙ABD<n,

則4ABD=熱

(2)不妨令4BC0=a,

在小BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosa=20-16cosa,

由(1)知44BD為等腰直角三角形，

所以AB1AD,

11O1

22

貝=-/IF=-BD=5—4cosafSLBCD=-BC-CDsina=4sina,

此時s逆磔BCD=SMBD+SXBCD=5-4cosa+Asina

=5+4V-^sin(a-7)<5+4<7,

4

當。=票時，sin(a-；)=l,

故四邊形4BCD面積的最大值為5+4V-2.

【解析】(1)由題意，根據(jù)正弦定理以及三角形和角公式得到Csin/B/Wcos乙4BD=sin/B/W,

結(jié)合三角形內(nèi)角和即可求出NABD的值；

⑵令乙BCD=a,利用余弦定理得到BD2的表達式，結(jié)合(1)中448。為等腰直角三角形，推出481

AD,根據(jù)三角形面積公式以及三角函數(shù)再進行求解即可.

本題考查解三角形以及正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了邏輯推理和運算能力.

22

19.【答案】解：(1)由2S"=2nan-n+n可得當n>2有=2(n-l)an_1-(n-I)+(n-

1)，

二式相減并化簡得2(zi—l)Qn—2(n—l)an_]—2(n—1),

由于幾>2,所以n—1H0,

所以有an-0nt=1,

又%=1,所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

所以an=1+幾一1=九；

(2)結(jié)合(1)可知(一扔“=(一扔，

所以〃=_；+；_/+^+…+(一3%

顯然當n>3,7\=一^<〃<&=一；，

又7；一-隨著”的增大而增大，

所以〃-2的最大值為72_白=_1+4=印

Tn—J?的最小值為A=+

/n/1N乙

1

由于SWT；一2型恒成立，

1n

所以￡>學(xué),s<

42

所以t—S的最小值為學(xué)—1=p

424

22

【解析】(1)由2Sn=2nan-n+n可得當n>2有2S”_i=2(n--(n-I)+(n-1),

二式相減并化簡即可得到數(shù)列｛斯｝中前一項與后一項之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)7；--隨著7；的增大而增大，由此求出7；一白的最大值和最小值,兩數(shù)之差即為t-s的最小值.

1n1n

本題主要考查遞推法求數(shù)列通項公式，利用數(shù)列的增減性分析數(shù)列的范圍是解決本題的關(guān)鍵，屬

中檔題.

20.【答案】解：(1)高二年級與高一年級在前兩場打平，高二年級4局戰(zhàn)勝高一年級的概率為2x2x

1111

XX=

2-2-2-8-

高二年級5局戰(zhàn)勝高一年級的概率為2x|xix2x|xixi=i,

所以在高二年級與高一年級在前兩場打平的情況下，高二年級戰(zhàn)勝高一年級的概率為:+J=a

884

(2)高三年級獲得0分的概率為(1-1)x(l-|)=|,

高三年級獲得3分的概率為:x(l-|)+(l-1)x|=|,

高三年級獲得6分的概率為:x1=1,

高三年級獲得積分的分布列如下，

X036

P(X)111

623

【解析】(1)高二年級與高一年級在前兩場打平，則高二年級需要4場或5場取勝，四場取勝高二年

級則需要在第3、4場比賽連勝，5場取勝，則高二年級在第3、4場比賽一敗一勝，第5場勝；

(2)高三年級戰(zhàn)勝高二年級概率為今戰(zhàn)勝高一年級概率為|.

本題主要考查離散型隨機變量及其分布列，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因為桶圓C的中心在原點，焦點在x軸上,

不妨設(shè)橢圓C的方程為各l(a>b>0),

因為長軸長為短軸長的2倍,

所以a=2b,①

又橢圓C經(jīng)過點P(2,2),

44-

此時滔+岸=1，②

聯(lián)立①②，解得a?=20,b2=5,

則橢圓C的方程為梟［=1：

(2)證明：若4、B是橢圓上不同于點P的兩個動點，

不妨設(shè)直線的方程為y=々％+租，4(%21)，8(%2，、2)，

y=kx+m

聯(lián)立/