2023版高考數(shù)學一輪總復習8-1空間幾何體的三視圖表面積和體積習題

8.1空間幾何體的三視圖、表面積和體積

基礎(chǔ)篇固本夯基

考點一空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.（2018北京,5,5分）某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)

為（）

?.1B.2C.3D.4

答案C

2.（2021江西宜春一中第七次月考,6）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線條畫出的是

一個三棱錐的三視圖，則該三棱錐中最長棱的長度為（）

Λ.2B.√5C.2√2D.3

答案D

3.（2021云南統(tǒng)考一,6）一個正三棱柱的三視圖如圖所示（正視圖由兩個全等的矩形組成,側(cè)

視圖是一邊長為4我的矩形,俯視圖是正三角形），若這個正三棱柱的表面積為136百,則它

的側(cè)視圖的面積為（）

43

A.52B.53C.

答案A

4.（2021全國甲，6,5分）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體

截去三棱錐A-EFG后,所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示,則相應的側(cè)視圖是（）

正視圖

□O□O

答案D

5.（2018課標I,7,5分）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M

在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側(cè)面上，

從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

A_____,,_____,

I1—11—I.

O

?.2√17B.2√5C.3D.2

答案B

6.（2020江西重點中學聯(lián)考（一），5）現(xiàn)有編號為①、②、③的三個三棱錐（底面水平放置），俯

視圖分別為圖1、圖2、圖3,則至少存在一個側(cè)面與此底面互相垂直的三棱錐的編號是（）

A.①②

答案A

2

7.（2022屆“超級全能生”全國月考,9）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是

某正方體被一平面所截后,剩余部分幾何體的三視圖,其中C是正方體的一個頂點，則從點M

沿該幾何體表面到達C的最短路徑長為（）

Λ.2√5B.2√∏C.2√13D.6

答案C

8.（2022屆陜西西北工業(yè)大學附中月考，14）碳60（C（J是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個碳原

子構(gòu)成的分子,形似足球,又稱為足球烯,其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊

形面）組成的封閉的凸多面體,共32個面,且滿足:頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2.則其六元環(huán)的個數(shù)

為.

答案20

9.（2020浙江，14,4分）已知圓錐的側(cè)面積（單位:cm?）為2π,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，

則這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是.

答案1

10.（2021全國乙，16,5分）以圖①為正視圖,在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視

圖,組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求

的一組答案即可）.

3

T

l

l

i

圖

圖

①②圖③

τ

^//

l

2

.

圖④圖⑤

答案②⑤或③④（選一組即可）

考點二空間幾何體的表面積與體積

1.（2020北京,4,4分）某三棱柱的底面為正三角形,其三視圖如圖所示,該三棱柱的表面積為

()

側(cè)（左）視圖

Λ.6+√3B.6+2√3D.12+2√3

答案D

2.（2020課標m,8,5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4√2B.4+4√2

C.6+2√3D.4+2√3

答案C

3.（2021浙江,4,4分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位:em）,則該幾何體的體積（單位:cm：'）

是（）

4

K-1-÷-1-*∣

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

.3P3√2

A?ΞB.3c?vD.3√2

答案A

4.（2020浙江,5,4分）某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位:cm'）

是（）

俯視圖

714

Λ?B，vC.3D.6

33

答案A

5.（2017課標11,4,5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三

視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為（）

>IIIFIIIFli

-V-U-U-LX-L._J_l._L.-J-

III

3tr-U-U-

-L'

二

二

?.90πB.63πC.42πD.36π

答案B

5

6.（2022屆河南孟津一中月考,7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何

體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

.64-Ji

比丁B-V

答案D

7.（2022屆云南大理模擬,7）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是（）

側(cè)視圖

C?，

A?ΞB?IL6D

答案C

8.（2022屆四川月考,8）如圖,點M是棱長為2的正方體ABCD-ABCD中的側(cè)面ADD1A1內(nèi)（包括

邊界）的一個動點，則三棱錐B-C1MD的體積的最大值是（）

Bq

A?IJC-3

答案D

6

9.（2022屆云南玉溪月考,9）在四棱錐P-ABCD中，平面PAD，平面ABCD,且APAD是邊長為2

的正三角形，四邊形ABCD是正方形，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為（）

答案D

10.（2021河南新鄉(xiāng)二模，14）一個棱長為4的正方體被挖去一個高為4的正四棱柱后得到如

圖所示的幾何體,若該幾何體的體積為60,則該幾何體的表面積為.

綜合篇知能轉(zhuǎn)換

考法一空間幾何體的表面積和體積

1.（2021全國重點中學5月押題卷（二），7）一個正方體被平面分別截去兩部分后剩余部分的

三視圖如圖所示,則該多面體的體積為（）

答案B

2.（2022屆安徽宣城開學考試，11）《九章算術(shù)》中將上、下底面平行且均為矩形的六面體稱

為芻童.

7

如圖為一個芻童的三視圖,其中正視圖及側(cè)視圖均為等腰梯形,兩底邊的長分別為2和4,高

為2,則該芻童的表面積為（）

?口

A.12√5B.40C.16+12√3D.16+12√5

答案D

3.（2022屆河南月考，11）已知三棱錐S-ABC的外接球的表面積為8π,SA=2,SA_L平面

ΛBC,ΔΛBC是以AC為斜邊的直角三角形,點P在球的表面上運動，則三棱錐P-ABC體積的最

大值為（）

1÷√2D14√21÷√21÷√2

AλFB?丁rCFdn--

答案A

4.（2022屆全國9月聯(lián)考，15）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學名著,其中對幾

種典型的幾何體進行了命名，書中對“芻薨”的定義是“芻薨者,下有袤有廣,而上有袤無廣.

芻，草也，薨,屋蓋也.”如圖是一種芻薨，四邊形ABCD為矩形,EF〃平面ABCD,EA=EB,平面

ABE_L平面ABCD.若AD=2AB=2EF=4,且該芻費的體積為10,則棱長FC=.

答案√M

5.（2017課標I,16,5分）如圖，圓形紙片的圓心為0,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC

的中心為0.D,E,F為圓0上的點，ΔDBC,ΔECA,ΔFAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角

形.沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起ADBC,ΔECA,Z?FAB,使得D,E,F重合,得到三

棱錐.當AABC的邊長變化時,所得三棱錐體積（單位:ene的最大值為.

I)

8

答案4√15

6.（2018課標II,16,5分）已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為］SA與圓錐底

O

面所成角為45°.若aSAB的面積為5√15,則該圓錐的側(cè)面積為.

答案40√2π

考法二與球有關(guān)的切、接問題

1.（2020天津,5,5分）若棱長為2力的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為

（）

A.12πB.24πC.36πD.144π

答案C

2.（2020課標II,10,5分）已知AABC是面積為竽的等邊三角形,且其頂點都在球0的球面上.

若球0的表面積為16貝，則0到平面ABC的距離為（）

Λ.√3B.fC.1D.V

答案C

3.（2021全國甲，∏,5分）已知A,B,C是半徑為1的球0的球面上的三個點，且

AC±BC,AC=BC=I,則三棱錐O-ABC的體積為（）

AwBXCED.^

121244

答案A

4.（2018課標山，10,5分）設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點，?ABC為等邊三

角形且其面積為9√5,則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）

A.12√3B.18√3C.24√3D.54√3

答案B

5.（2022屆四川德陽中學11月月考,9）已知四棱錐P-ABCD的側(cè)棱均相等,其各個頂點都在球

O的球面上,AB=BC,NABC=90°,AD=2√3,CD=2,三棱錐P-ABC的體積為爭則球0的表面積為

（）

A.25πB,-C.32πD.?

63

答案A

9

6.（2022屆湘豫名校聯(lián)盟11月聯(lián)考，11）在三棱錐S-ABC中，NSBA=∕SCA^?,底面ABC是邊長

為2的等邊三角形,若二面角S-BC-A的大小為擠,則三棱錐S-ABC的外接球的表面積為

（）

.16?17e19n20

Λ.-πB.--πC.-?πD.-π

3333

答案C

7.（2022屆河南駐馬店月考，12）三棱錐S-ABC的各個頂點都在球O的表面上,且AABC是等邊

三角形,SAL底面ABC,SA=4,AB=6.若點D在線段SA上,且AD=3SD,則過點D的平面截球0所

得截面的最小面積為（）

A.3πB.4∏C.8πD.13π

答案A

8.（2022屆河南檢測提分卷，12）已知在三棱錐P-ABC中，ΔABC與aPBC均為邊長為2的等邊

三角形,PA=√6,以P為球心,2為半徑的球與底面ABC的交線長為（）

Λ.—B.—C.—∏D.2∏

433

答案B

9.（2021鄭州二模，11）已知三棱錐P-ABC的各個頂點都在球0的表面上,PAL底面

ABC,AB±AC,AB=6,AC=8,D是線段AB上一點，且AD=5DB.過點D作球0的截面,若所得截面圓

面積的最大值與最小值之差為28”，則球0的表面積為（）

A.128πB.132π

C.144πD.156π

答案B

10.（2019課標I,12,5分）已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球0的球面上，PA=PB=PC,ΔΛBC

是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點，NCEF=90°,則球0的體積為（）

A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6π

答案D

11.（2021江西吉安重點中學聯(lián)考，16）已知在直三棱柱ABC-AIBC中，AB"LBC,cosNBAC且

□

此三棱柱有內(nèi)切球,則此三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積的比為.

答案4:29

10

12.（2022屆貴陽五校聯(lián)考,16）學生到工廠參加勞動實踐,用薄鐵皮制作一個圓柱體,圓柱體

的表面積為8π,則該圓柱體的外接球的表面積的最小值是.

答案8（√5-l）π

創(chuàng)新篇守正出奇

創(chuàng)新一數(shù)學文化下的立體幾何問題

1.（2020吉林梅河口五中4月模擬,7I數(shù)學文化）陽馬和鱉腌（bi?*。）是《九章算術(shù)?商功》

里對兩種錐體的稱謂.如圖所示,取一個長方體,按下圖斜割一分為二,得兩個一模一樣的三

棱柱,稱為塹堵（如圖）.再沿其中一個塹堵的一個頂點與相對的棱剖開,得四棱錐和三棱錐各

一個,有一棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬（四棱錐S-ABCD）,余下三棱錐稱為鱉腌（三棱錐

S-ECD）,若將某長方體沿上述切割方法得到一個陽馬和一個鱉席,且該陽馬的正視圖和鱉席

的側(cè)視圖如圖所示,則該陽馬和鱉膈的表面積之和為（）

正視圖（陽馬）側(cè)視圖（鱉嚅）

A.12+√13+3√5B.ll+√13+3√5

C.12+3√13+√5D.ll+3√13+√5

答案B

2.（2019課標II,16,5分|數(shù)學文化）中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.

印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正

多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體

現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的

表面上,且此正方體的棱長為L則該半正多面體共有個面,其棱長為.（本

題第一空2分,第二空3分）

圖1圖2

11

答案26;北-1

創(chuàng)新二圓錐曲線與立體幾何的綜合

1.（2021山東德州二模,7I數(shù)學成就）我國南北朝時期的著名數(shù)學家祖眶提出了祖曬原

理：“基勢既同，則積不容異.”意思是夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩

個平面的任意一個平面所截,若截面面積都相等,則這兩個幾何體的體積相等.運用祖曬原理

計算球的體積時,構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱,與半球（如圖①）放置在

同一平面上,然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后

得到一新幾何體（如圖②），用任何一個平行于底面的平面去截它們時,可證得所截得的兩個

截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等,即:V虜=πR2?R-IπR2?R爭Ri現(xiàn)將橢

El?l繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖球形狀的幾何體（如圖③），類比上述方法,運用祖地原

4y

理可求得其體積等于（）

圖①圖②圖③

?.8πB.16πC.24πD.32π

答案B

2.（2022屆安徽懷寧中學模擬一，16）如圖所示,在三棱錐A-BCD

中，ZBAC=ZBCA,ZDCA=ZDAC,AB+AD?D=5AC=10√2,則三棱錐A-BCD體積的最大值

4

為.

答案y

創(chuàng)新三生活中的立體幾何問題

12

1.（2022屆河南重點中學月考,5I實際生活）1938年出土的四羊方尊是商代晚期青銅禮器，

祭祀酒器用品,若把該方尊的容器部分近似看作一個正四棱臺，上底面邊長約為52cm,下底