2022-2023學(xué)年廣西壯族自治區(qū)南寧市金倫中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年廣西壯族自治區(qū)南寧市金倫中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中成等差數(shù)列，則等于(

)A．3或﹣1 B．9或1 C．1 D．9參考答案：D【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】通過(guò)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），利用a3=3a1+2a2計(jì)算可知q=3，通過(guò)=計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），依題意，a3=3a1+2a2，∴a1q2=3a1+2a1q，整理得：q2﹣2q﹣3=0，解得：q=3或q=﹣1（舍），∴==q2=9，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．2.橢圓的焦點(diǎn)為和，點(diǎn)在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在軸上，那么是的（

）．w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．7倍 B．5倍

C．4倍

D．3倍參考答案：A3.已知點(diǎn)為雙曲線的右支上一點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B由有，又，所以為直角三角形，且，由勾股定理求出，根據(jù)雙曲線的定義有，即，所以雙曲線的離心率，選B.4.已知一水平放置的三角形的平面直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形，那么原三角形的面積為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.如果點(diǎn)P在平面區(qū)域上，點(diǎn)Q在曲線x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最大值為()．A.5

B.

C．2+1

D.－1參考答案：A6.函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，變?dòng)時(shí)，方程表示的圖形可以是（

)A．

B． C．

D．參考答案：B7.直線與直線平行，則它們之間的距離為

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.已知等差數(shù)列中，，則的值為（

）A.30

B.64

C.31

D.15參考答案：D9.在△ABC中，已知a=4，b=6，B=60°，則sinA的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由B的度數(shù)求出sinB的值，再由a與b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．【解答】解：∵a=4，b=6，B=60°，∴由正弦定理=得：sinA===．故選A10.雙曲線﹣=1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出a，b，c即可．【解答】解：由﹣=1得a2=64，b2=36，則c2=a2+b2=64+36=100，則a=8，c=10，則雙曲線的離心率e===，故選：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

．參考答案：略12.當(dāng)x∈R時(shí)，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，則k的取值范圍是．參考答案：﹣2＜k＜2【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意可得k2﹣4＜0，解不等式可求k的范圍．【解答】解：∵x∈R時(shí)，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，∴k2﹣4＜0，∴﹣2＜k＜2，故答案為：﹣2＜k＜2．13.如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段垂直平分線上的一點(diǎn)，且.固定邊，在平面內(nèi)移動(dòng)頂點(diǎn)，使得的內(nèi)切圓始終與切于線段的中點(diǎn)，且在直線的同側(cè)，在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為

.參考答案：14.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離是

．參考答案：3【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由雙曲線得a2=16，b2=9，．可得取焦點(diǎn)F及其漸近線y=±．再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．【解答】解：由雙曲線得a2=16，b2=9，∴=5．取焦點(diǎn)F（5，0），其漸近線y=±．∴焦點(diǎn)F（5，0）到漸近線的距離d==3．故答案為3．15.如圖是某校高二年級(jí)舉辦的歌詠比賽上，七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為

．參考答案：3.2【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，確定所剩數(shù)據(jù)，從而可求數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．【解答】解：去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為83，84，84，86，88，平均數(shù)為（83+84+84+86+88）=85，方差為（4+1+1+1+9）=3.2，故答案為：3.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了莖葉圖的讀法，屬于基礎(chǔ)題．正確理解莖葉圖和準(zhǔn)確的計(jì)算，是解決本題的關(guān)鍵．16.已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為_(kāi)_________.參考答案：17.若函數(shù)在區(qū)間（）上既不是單調(diào)遞增函數(shù)，也不是單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.證明：.參考答案：證明：要證：，只要證：，只要證：只要證：，即證：，即證：也就是要證：，該式顯然成立，所以得證.

19.已知．（1）求函數(shù)的極值；（2）設(shè)，對(duì)于任意，，總有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)的極小值為：，極大值為：(2)試題分析:(1)先求函數(shù)的定義域,然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得極值.(2)由(1)得到函數(shù)的最大值為,則只需.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)分成兩類(lèi),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值,由此求得的取值范圍.試題解析:(1)所以的極小值為：，極大值為：；(2)由(1)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為對(duì)于任意，總有成立，等價(jià)于恒成立，①時(shí)，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意.

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，且，則存在，使得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以不恒成立，不合題意.綜合①②可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值,考查利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問(wèn)題.求極值的步驟：

①先求的根（定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去）；②分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則為極小值點(diǎn)；若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則為極大值點(diǎn).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn)，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過(guò)判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.20.已知點(diǎn)、,（）是曲線C上的兩點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線、分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，（Ⅰ）用、、、分別表示和;（Ⅱ）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)曲線C的方程為：時(shí)，是一個(gè)定值與點(diǎn)、、的位置無(wú)關(guān)；請(qǐng)你試探究當(dāng)曲線C的方程為：時(shí)，的值是否也與點(diǎn)M、N、P的位置無(wú)關(guān)；（Ⅲ）類(lèi)比（Ⅱ）的探究過(guò)程，當(dāng)曲線C的方程為時(shí)，探究與經(jīng)加、減、乘、除的某一種運(yùn)算后為定值的一個(gè)正確結(jié)論．（只要求寫(xiě)出你的探究結(jié)論，無(wú)須證明）．參考答案：解：（Ⅰ）依題意N（k,－l），且∵klmn≠0及MP、NP與軸有交點(diǎn)知：M、P、N為不同點(diǎn)，直線PM的方程為，……3分則，同理可得

…6分（Ⅱ）∵M(jìn),P在橢圓C：上,,（定值）．∴的值是與點(diǎn)M、N、P位置無(wú)關(guān)

．……………11分（Ⅲ）一個(gè)探究結(jié)論是：．

………14分提示：依題意,,．∵M(jìn),P在拋物線C：y2=2px（p>0）上,∴n2=2pm,l2=2pk．．∴為定值．21.（不等式選講,本題滿分12分）已知函數(shù).（1）解不等式；

（2）若，求證：參考答案：（Ⅰ）∵.

------1分因此只須解不等式.

----------2分當(dāng)時(shí)，原不式等價(jià)于，即.------3分當(dāng)時(shí)，原不式等價(jià)于，即.

-----4分當(dāng)時(shí)，原不式等價(jià)于，即.

-------5分綜上，原不等式的解集為.

…6分（Ⅱ）∵

---------8分又0時(shí)，∴0時(shí)，.

…12分以上各題的其他解法，限于篇幅從略，請(qǐng)相應(yīng)評(píng)分.22.如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=．（1）求證：AO⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【專(zhuān)題】證明題．【分析】（1）欲證AO⊥平面BCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內(nèi)兩相交直線垂直，連接OC，而AO⊥BD，AO⊥OC．∵BD∩OC=O，滿足定理?xiàng)l件；（2）過(guò)O作OE⊥BC于E，連接AE，根據(jù)二面角平面角的定義知∠AEO為二面角A﹣BC﹣D的平面角，在Rt△AEO中求出此角即可．【解答】解：（1）證明：連接OC，∵△ABD為等邊三角形，O為BD的中點(diǎn)，∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD為等邊三角形，O為BD的中點(diǎn)，AB=2，，∴．