八年級數(shù)學上冊講義（人教版）：與三角形有關(guān)的角（教師版）

專題11.2與三角形有關(guān)的角目標導航目標導航1、會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.2、會運用三角形內(nèi)角和定理進行計算.3、理解并掌握三角形的外角的概念．4、會利用三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)解決問題.知識精講知識精講知識點01三角形的內(nèi)角和定理1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．3）三角形內(nèi)角和定理的證明：證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．【微點撥】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．【知識拓展1】運用三角形的內(nèi)角和定理解決角度問題例1．（2022·河南濮陽·八年級期末）有一塊直角三角板放置在上，三角板的兩條直角邊，恰好分別經(jīng)過點B、C，在中，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先在△DBC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到∠DBC與∠DCB的和，再在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理計算的度數(shù)即可．【詳解】在△DBC中，∵，∴，∵，∴在△ABC中，【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°，熟記三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．【即學即練】1．（2022春?順德區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BO，CO是△ABC的內(nèi)角平分線且BO，CO相交于點O．（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度數(shù)；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度數(shù)；（3）請你直接寫出∠A與∠BOC滿足的數(shù)量關(guān)系式，不需要說明理由．【分析】（1）由角平分線的定義可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）由三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分線的定義得∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，從而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度數(shù)；（3）仿照（2）的過程進行求解即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，∴∠CBO∠ABC＝20°，∠BCO∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°；（2）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，∴∠CBO+∠BCO（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°；（3）由題意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，∴∠CBO+∠BCO（∠ABC+∠ACB）＝90°∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝90°∠A，即∠BOC＝90°∠A．【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．【知識拓展2】三角形的內(nèi)角和定理的證明例2．（2022·浙江杭州·八年級期末）在探索并證明三角形的內(nèi)角和定理“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”時，圓圓同學添加的輔助線為“過點作直線DEBC”．請寫出“已知”、“求證”，并補全證明．已知：DEBC．求證：三角形三個內(nèi)角的和等于180°．證明：過點作直線DEBC．【答案】見解析【分析】過點A作DEBC，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到，，再根據(jù)平角的定義，即可得到三角形的內(nèi)角和為180°．【詳解】解：已知：，，是的三個內(nèi)角，求證：．證明：如圖，過點作直線．∴，，∵點D，A，E在同一條直線上，∴∠BAC+∠DAB+∠EAC＝180°，∴，即三角形的內(nèi)角和為180°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學即練】1.（2021·吉林·舒蘭市教師進修學校七年級期末）如圖，在小學我們通過觀察、實驗的方法得到了“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。小明通過這學期的學習知道：由觀察、實驗、歸納、類比、猜想得到的結(jié)論還需要通過證明來確認它的正確性．受到實驗方法1的啟發(fā)，小明形成了證明該結(jié)論的想法：實驗1的拼接方法直觀上看，是把和移動到的右側(cè)，且使這三個角的頂點重合，如果把這種拼接方法抽象為幾何圖形，那么利用平行線的性質(zhì)就可以解決問題了．小明的證明過程如下：已知：如圖，．求證：．證明：延長，過點作．∴______（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（_______________）．∵（平角定義），∴．（1）請你補充完善小明方法1的證明過程；（2）請你參考小明解決問題的方法1的思路，自行畫圖標注好頂點字母，寫出方法2證明該結(jié)論的過程．【答案】（1）；兩直線平行，同位角相等；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯角以及平行線的性質(zhì)回答即可；（2）過點作，利用平行線的性質(zhì)得到，，進而利用平角的定義得到結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，（兩直線平行，同位角相等），故答案為：；兩直線平行，同位角相等；（2）證明：過點作，∴，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵（平角定義）∴．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的證明以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等．知識點02三角形的外角性質(zhì)1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．【微點撥】1）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．2）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．【知識拓展1】三角形的外角性質(zhì)的相關(guān)計算例1．（2022?灞橋區(qū)校級二模）三角形的一個外角是100°，則與它不相鄰的兩內(nèi)角平分線夾角（鈍角）是．【分析】由三角形的外角性質(zhì)可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分線的定義得∠1∠BAC，∠3∠ABC，從而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1∠BAC，∠3∠ABC，∴∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案為：130°．【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．【即學即練1】1．（2021?黃石港區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC于點D，E在CA的延長線上，∠BAE＝120°，∠C＝40°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，由∠BAE＝120°，∠C＝40°，得∠ABC＝∠BAE﹣∠C＝80°．根據(jù)角平分線的定義，由BD平分∠ABC，得∠CBD．，從而推斷出∠BDE＝∠C+∠CBD＝80°．【解答】解：∵∠BAE＝120°，∠C＝40°，∴∠ABC＝∠BAE﹣∠C＝120°﹣40°＝80°．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD．∴∠BDE＝∠C+∠CBD＝40°+40°＝80°．【點評】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．【知識拓展2】外角的性質(zhì)定理的相關(guān)證明例2．（2021·河北中考真題）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．已知：如圖，是的外角．求證：．下列說法正確的是（）A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整B．證法1用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理C．證法2用特殊到一般法證明了該定理D．證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，就能證明該定理【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與平角的定義可判斷A與B，利用理論與實踐相結(jié)合可判斷C與D．【詳解】解：A.證法1給出的證明過程是完整正確的，不需要分情況討論，故A不符合題意；B.證法1給出的證明過程是完整正確的，不需要分情況討論，故選項B符合題意；C.證法2用量角器度量兩個內(nèi)角和外角，只能驗證該定理的正確性，用特殊到一般法證明了該定理缺少理論證明過程，故選項C不符合題意；D.證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，驗證的正確性更高，就能證明該定理還需用理論證明，故選項D不符合題意．故選擇：【點睛】本題考查三角形外角的證明問題，命題的正確性需要嚴密推理證明，三角形外角分三種情形，銳角、直角、和鈍角，證明中應(yīng)分類才嚴謹．【即學即練2】1．（2021·江蘇南京·七年級期末）用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”如圖，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三個外角．求證∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360(1)第一種思路可以用下面的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭瘢?2)根據(jù)第二種思路，完成證明．【答案】(1)①；②；③；④三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)填寫即可；（2）過B作BM∥AC，即可利用平行線把三個外角集中到一點，最后利用周角360°證明．【解析】(1)①根據(jù)后面推論是根據(jù)三角形內(nèi)角和，故答案為：；根據(jù)左右兩邊的等式可以推測是根據(jù)外角的性質(zhì)填寫，+，故答案為：②；③，④三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2)過B作BM∥AC，∴,∵∴∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360°【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．知識點03直角三角形的性質(zhì)1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．【知識拓展1】直角三角形的性質(zhì)例1．（2021秋?江油市期末）△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，則∠C為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)三角形的面積和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，故選：D．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【即學即練1】1．（2022?阜寧縣期中）直角三角形中，兩個銳角度數(shù)之比為1：5，則較小的銳角度數(shù)為．【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)較小的一個銳角為x，則另一個銳角為5x，則x+5x＝90°，解得：x＝15°，則較小的一個銳角為15°，故答案為：15°．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．2．（2022?古田縣校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D在BC上，過D作DF⊥BC交BA的延長線于F，連接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，則∠B＝．【分析】取CF的中點T，連接DT，AT，證明AT⊥CF，AC＝AF，得到∠AFC＝45°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計算即可．【解答】解：取CF的中點T，連接DT，AT，∵∠BAC＝90°，F(xiàn)D⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∴AT＝DTCF，∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°，∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF，∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，故答案為：77°．【點評】本題考查的是直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是正確添加常用輔助線．能力拓展能力拓展考法01內(nèi)角和與外角性質(zhì)的綜合問題（翻折、旋轉(zhuǎn)問題）【典例1】【典例1】（2021·浙江杭州市·八年級期中）如圖1，含角的直角三角板與含角的直角三角板的斜邊在同一直線上，D為的中點，將直角三角板繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中：（1）如圖2，當________時，；當______時，；（2）如圖③，當直角三角板的邊、分別交、的延長線于點M、N時；①與度數(shù)的和是否變化？若不變，求出與度數(shù)的和；若變化，請說明理由；②若使得，求出、的度數(shù)，并直接寫出此時的度數(shù)；③若使得，求的度數(shù)范圍．【答案】（1）15°，105°；（2）①不變，60°；②∠1＝40°，∠2＝20°，∠α=85°；③69°≤α＜90°【分析】（1）當時，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，解得；當時，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，解得；（2）①連接，如圖3，在中，由三角形內(nèi)角和定理得，則，再在中，利用三角形內(nèi)角和定理得到，所以；②根據(jù)與的關(guān)系列方程組，然后解方程組即可；再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等得到，即，解得；③由，可解得，由于，即，則，所以，解得，利用直角三角板的邊、分別交、的延長線于點、得到，于是得到．【詳解】解：（1），當時，，而，，解得；當時，，此時，，解得；故答案為，；（2）①與度數(shù)的和不變．連接，如圖3，在中，，，在中，，即，；②根據(jù)題意得，解得；，即，；③，，，，，即，，，解得，的度數(shù)范圍為．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了解二元一次方程組．合理選擇三角形后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，同時運用不等式的性質(zhì)解決∠α的度數(shù)范圍．變式1．（2022?大豐區(qū)校級月考）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A′的位置，（1）如圖1，如果∠A＝50°，求∠1+∠2的度數(shù)；（2）如圖1，探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖2，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，線段AB落在四邊形CDEF內(nèi)線段A′B′的位置，猜想∠1、∠2、∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)果．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可；（3）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理進行探討．【解答】（1）解：∵∠A＝50°，∴∠AED+∠ADE＝180°﹣50°＝130°，∵∠AED＝∠A'ED，∠ADE＝∠A'DE，∵∠1＝180°﹣∠AED﹣∠A′ED，∠2＝180°﹣∠ADE﹣∠A'DE，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠AED+（180°﹣2∠ADE）＝360°﹣2（∠AED+∠ADE）＝360°﹣2×130°＝100°；（2）解：∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，設(shè)∠AED＝x，∠ADE＝y(tǒng)，∠1+∠2＝180°﹣2x+（180°﹣2y）＝360°﹣2（x+y）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；（3）由圖形折疊的性質(zhì)可知，∠1＝180°﹣2∠AEF，∠2＝180°﹣2∠BFE，兩式相加得，∠1+∠2＝360°﹣2（∠AEF+∠BFE）即∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B），所以，∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．故答案為：∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．【點評】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟記三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵變式2．（2022春?秦淮區(qū)期中）如圖，△ABC中∠A＝40°，E是AC邊上的點，先將△ABE沿著BE翻折，翻折后△ABE的AB邊交AC于點D，又將△BCD沿著BD翻折，點C恰好落在BE上，此時∠CDB＝82°，則原三角形的∠B的度數(shù)為（）A．57° B．60° C．63° D．70°【分析】由折疊可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG，依據(jù)∠BDG是△BDF是外角，即可得到∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，進而得到原三角形的∠B為63°．【解答】解：如圖，由折疊可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG，∵∠BDG是△BDA是外角，∴∠DBA＝∠BDG﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，∴∠ABE＝∠ABE＝21°，∴∠ABG＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B為63°，故選：C．【點評】此題主要考查的是圖形的折疊變換及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能夠根據(jù)折疊的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)∠FBE＝∠ABE＝∠ABG是解答此題的關(guān)鍵．考法02內(nèi)角和與外角性質(zhì)的綜合問題（雙角平分線問題）【典例2】（2022·山西陽泉初二期中）佳琪同學在學習了三角形內(nèi)角和及角平分線定義后經(jīng)大量的測試實驗發(fā)現(xiàn)，在一個三角形中，兩個內(nèi)角的角平分線所夾的角只與第三個角的大小有關(guān).測量數(shù)據(jù)如下表：測量和度數(shù)測量工具量角器示意圖與的平分線交于點測量數(shù)據(jù)第一次第二次第三次第四次……（1）通過以上測量數(shù)據(jù)，請你寫出與的數(shù)量關(guān)系：______.（2）如圖，在中，若與的平分線交于點，則與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，設(shè)，利用待定系數(shù)法進行計算，即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，，然后利用外角性質(zhì)，以及角的和差關(guān)系，即可得到結(jié)論成立.【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)，∴，解得：，∴.（2）.理由：∵與的平分線交于點，∴，.∵，∴.∵是的外角，∴，∴.【點睛】本題考查了角平分線定理，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握所學性質(zhì)進行解題.變式1.（2022?南海區(qū)八年級期末）閱讀下面的材料，并解決問題．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，圖1﹣3的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點O，請直接求出下列角度的度數(shù)．如圖1，∠O＝；如圖2，∠O＝；如圖3，∠O＝；如圖4，∠ABC，∠ACB的三等分線交于點O1，O2，連接O1O2，則∠BO2O1＝．（2）如圖5，點O是△ABC兩條內(nèi)角平分線的交點，求證：∠O＝90°∠A．（3）如圖6，△ABC中，∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）由∠A的度數(shù)，在△ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是內(nèi)角平分線或外角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)進而可求得答案；（2）由∠A的度數(shù)，在△ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理可證得結(jié)論；（3）先分別求出∠ABC與∠ACB的度數(shù)，即可求得∠A的度數(shù)．【解答】解；（1）如圖1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠BAC）（180°﹣60°）＝60°∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；如圖2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD∵∠ACD＝∠ABC+∠A∴∠OCD（∠ABC+∠A）∵∠OCD＝∠OBC+∠O∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC∠ABC∠A∠ABC∠A＝30°如圖3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC∠EBC，∠OCB∠BCD∴∠OBC+∠OCB（∠EBC+∠BCD）（∠A+∠ACB+∠BCD）（∠A+180°）（60°+180°）＝120°∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°如圖4，∵∠ABC，∠ACB的三等分線交于點O1，O2∴∠O2BC∠ABC，∠O2CB∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C∴∠O2BC+∠O2CB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠BAC）（180°﹣60°）＝80°∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°∴∠BO2O1∠BO2C＝50°故答案為：120°，30°，60°，50°；（2）證明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A．（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°或由題意，設(shè)∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25°∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°．【點評】本題考查了利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)進行角的計算或證明，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理及其應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·鎮(zhèn)江市外國語學校八年級月考）如圖1，已知，A、B兩點同時從點O出發(fā)，點A沿射線運動，點B沿射線運動．（1）如圖2，點C為三條內(nèi)角平分線交點，連接、，在點A、B的運動過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求其值；若發(fā)生變化，請說明理由；（2）如圖3，在（1）的條件下，連接并延長，與的角平分線交于點P，與交于點Q．①與的數(shù)量關(guān)系為__．②在中，如果有一個角是另一個角的2倍，求的度數(shù)．【答案】（1）不變，120°；（2）①；②或【分析】（1）由的和不變可知度數(shù)不變；（2）①利用三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義，分別用∠BAO和∠P表示出∠MBP，據(jù)此可得結(jié)果；②設(shè)為度，可用表示三個內(nèi)角，分類討論可得答案．【詳解】解：（1）的度數(shù)不變，理由如下：點為三條內(nèi)角平分線交點，，，，，，，，即的度數(shù)不變；（2）①點為三條內(nèi)角平分線交點，，，∴，為的角平分線，，∴，，，整理得：；②設(shè)，則，，為的角平分線，，，點為三條內(nèi)角平分線交點，，，，，中有一個角是另一個角的2倍，分四種情況：（1），則，解得，此時，（2），則，解得，此時，（3），則，解得，此時，（4），則，解得，故舍去，中有一個角是另一個角的2倍，為或．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線，一元一次方程等知識點，是一道較綜合的題目，難點是表示三個內(nèi)角分類討論．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022?丹東期末）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α等于（）A．105° B．115° C．120° D．135°【分析】根據(jù)三角板上角的度數(shù)的特點及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系解答．【解答】解：如圖，由題意得：∠ABG＝90°，∵∠G＝30°，∴∠BFG＝180°﹣∠ABG﹣∠G＝60°，∴∠AFH＝∠BFG＝60°，∵∠α是△AFH的外角，∠A＝45°，∴∠α＝∠A+∠AFH＝105°，故選：A．【點評】主要考查了三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和．2．（2021·河南焦作市·八年級期末）如圖，為的一個外角，點E為邊上一點，延長到點F，連接，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形外角性質(zhì)結(jié)合圖形，逐項判斷即可．【詳解】∵，∴，故A選項正確，不符合題意；由三角形外角性質(zhì)即可直接得出，故B選項正確，不符合題意；沒有條件可以證明出和的關(guān)系，故C選項錯誤，符合題意；∵，，∴，∴，故D選項正確，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查三角形外角性質(zhì)，掌握“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022春?長沙期中）如圖，∠ABD為△ABC的外角，BE平分∠ABD，EB∥AC，∠A＝65°，則∠EBD的度數(shù)為（）A．50° B．65° C．115° D．130°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠A＝∠EBA＝65°，再根據(jù)BE平分∠ABD，即可得到∠EBD的度數(shù)．【解答】解：∵EB∥AC，∠A＝65°，∴∠EBA＝65°，又∵BE平分∠ABD，∴∠EBD＝∠EBA＝65°，故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．4．（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，點F、A、D、C共線，AB、EF相交于點M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（）個．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】利用平行線的性質(zhì)與判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根據(jù)同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，∴∠E＝∠BME＝∠AMF，∵EF⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∴∠E＝∠C，故與∠E相等的角有3個，故選：C．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·山西呂梁市·九年級二模）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時，綜合實踐小組的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”是由三角形內(nèi)角和定理推導的判斷即可．【詳解】解：∵“直角三角形兩銳角互余”是由三角形內(nèi)角和定理推導的即，作后，利用直角三角形兩銳角互余得到三角形內(nèi)角和是180°的證明方法不正確，故選：C．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，要證明三角形的內(nèi)角和等于180°即三角形三個內(nèi)角的和是平角，就要作輔助線，使得三角形的三個內(nèi)角的和轉(zhuǎn)化成組成平角的三個角之和．6.（2022·河南平頂山·八年級期末）已知，在中，，點在線段的延長線上，過點作，垂足為，若，則的度數(shù)為（

）A．76° B．65° C．56° D．54°【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和是，即可求解．【詳解】，，在中，，，在中，，，故選：D．【點睛】本題考查了垂直的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）在△ABC中，如果∠A+∠B＝135°，且∠B＝2∠C，那么△ABC是三角形．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理，求得∠B＝90°即可．【解答】解：∵∠A+∠B＝135°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝45°，∵∠B＝2∠C，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形．故答案為：直角．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是要掌握內(nèi)角和定理8．（2021秋?澄城縣期末）如圖，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠BAN，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：∵∠B＝50°，∠ANC＝80°，∴∠BAN＝∠ANC﹣∠B＝80°﹣50°＝30°，∵AN平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAN＝60°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°．【點評】本題考查的是是三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．9．（2021春?長春期末）對于下列問題，在解答過程的空白處填上適當?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學式）．如圖，在直角△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠BCD＝35°．（1）求∠EBC的度數(shù)；（2）求∠A的度數(shù)．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝90°．∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和）．∴∠EBC＝90°+35°＝125°（等量代換）．（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和），∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性質(zhì)）．∵∠ACB＝90°（已知），∴∠A＝125°﹣90°＝35°（等量代換）．【分析】（1）由垂直的定義可得∠CDB＝90°，利用三角形外角的性質(zhì)可得可求解∠EBC的度數(shù)；（2）由三角形外角的性質(zhì)可得∠A＝∠EBC﹣∠ACB，結(jié)合∠ACB＝90°可求解∠A的度數(shù)．【解答】解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝90°．∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和）．∴∠EBC＝90°+35°＝125°（等量代換）．（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和），∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性質(zhì)）．∵∠ACB＝90°（已知），∴∠A＝125°﹣90°＝35°（等量代換）．故答案為（1）90；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；90；125；（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；125°；35．【點評】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，垂直的定義，靈活運用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.（2021·江蘇·蘇州市吳江區(qū)八年級階段練習）用兩種方法證明“三角形的一個外角等于其不相鄰的兩個內(nèi)角之和”．如圖，是的一個外角．求證：．證法1：（____）（平角的定義）（_____）（等式的基本性質(zhì)1）請把證法1依據(jù)填充完整，并用不同的方法完成證法2【答案】見解析【分析】證法1：根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到結(jié)論；證法2：根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：已知，∠DAB是△ABC的一個外角．求證：∠DAB=∠B+∠C證法1：∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和定理）∠BAC+∠DAB=180°（平角的定義）∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB（等量代換）∴∠DAB=∠B+∠C（等式基本性質(zhì)1）故答案為：三角形內(nèi)角和定理，等量代換；證法2：如圖，過點A作AE∥BC，∴∠DAE=∠C，∠EAB=∠B，∵∠DAB=∠DAE+∠EAB，∴∠DAB=∠B+∠C；【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022?青山區(qū)期末）如圖，AD，AE分別為△ABC的高線和角平分線，DF⊥AE于點F，當∠ADF＝69°，∠C＝65°時，∠B的度數(shù)為（）A．21° B．23° C．25° D．30°【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到∠DAF和∠CAD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，即可得到∠BAC的度數(shù)，最后依據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到∠B的度數(shù)．【解答】解：∵DF⊥AE，∠ADF＝69°∴∠DAF＝21°，∵AD⊥BC，∠C＝65°，∴∠CAD＝25°，∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAE＝92°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣92°﹣65°＝23°，故選：B．【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解決問題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．2．（2022春?秦淮區(qū)期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，則∠1+∠2＝．【分析】連接AA′．首先求出∠BAC，再證明∠1+∠2＝2∠BAC即可解決問題．【解答】解：連接AA′．∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，故答案為80°．【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識，屬于中考?？碱}型．3．（2021·浙江杭州市·八年級期中）如圖1，赤道式日晷是中國古代最經(jīng)典和傳統(tǒng)的計時儀器，由底座，晷面、晷針三部分組成，其中底坐面與日晷所處地球半徑垂直；（1）晷針與晷面夾角為___________；（2）如圖2，日晷所處緯度為，若太陽光（平行光）與日晷底座面夾角為，則太陽光與該晷面所夾銳角度為___________．【答案】【分析】①由垂直于兩平行線之一的直線，必垂直于另一條平行線，即可判斷出晷針與晷面垂直，即晷針與晷面夾角為．②由平行線的性質(zhì)即可求出，根據(jù)題意可求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出，最后由對頂角相等即可求出，即太陽光與該晷面所夾銳角度為．【詳解】①根據(jù)題意晷面與赤道平行，地軸與赤道垂直，∴地軸與晷面垂直，又∵晷針與地軸平行，∴晷針與晷面垂直．即晷針與晷面夾角為．②可將題干中圖簡化為如下圖：根據(jù)題意結(jié)合圖形可知：，，，．∵，∴，即，∴，即．∵，．∴．∴．∴．即太陽光與該晷面所夾銳角度為．故答案為，．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．理解題意，能看懂赤道式日晷的二維圖形是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABE的角平分線，過點B作BC⊥AB交AD的延長線于點C，點F在AB上，連接EF交AD于點G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求證：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)垂直等于得到∠ABC＝90°，則∠C+∠BAC＝90°，再證明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，則∠1＝∠C，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出計算出∠BAC＝18°，則∠EAD＝18°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，從而可求出∠CBE的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵AD是△ABE的角平分線，∴∠BAC∠EAB，∴∠C∠EAB＝90°，即2∠C+∠EAB＝180°，∵2∠1+∠EAB＝180°，∴∠1＝∠C，∴EF∥BC；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，∴∠BAC＝18°，∴∠EAD＝∠BAC＝18°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，∴∠CBE＝24°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：運用三角形內(nèi)角和定理可根據(jù)兩已知角求第三個角．也考查了平行線的性質(zhì)．5．（2022·重慶合川·八年級期末）如圖，的角平分線、相交于點．(1)若，，求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）先利用三角形內(nèi)角和定理得到，再結(jié)合角平分線的定義可求解的度數(shù)，進而可求解的度數(shù)；（2）利用角平分線的定義可求解，再結(jié)合角平分線的定義可得進而可證明結(jié)論.(1)解：,，，的角平分線相交于點，,，，(2)證明:的角平分線相交于點，，即【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°本題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和把與聯(lián)系起來．6.（2021?定興縣月考）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過B、C．（1）若∠A＝40°，則∠ABC+∠ACB＝°，∠DBC+∠DCB＝°∠ABD+∠ACD＝°．（2）若∠A＝55°，則∠ABD+∠ACD＝°．（3）請你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，進而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，進而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定義有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，則∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；故答案為：140；90；50．（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，故答案為：35；（3）∠ABD+∠ACD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．證明如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，故答案為：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解答的關(guān)鍵．7．（2021·上海市川沙中學南校八年級期中）如圖1，、的角平分線、相交于點，（1）如果，那么的度數(shù)是多少，試說明理由并完成填空；（2）如圖2，，如果、的角平分線、相交于點，請直接寫出度數(shù)；（3）如圖2，重復上述過程，、的角平分線、相交于點得到，設(shè)，請用表示的度數(shù)（直接寫出答案）解：（1）結(jié)論：______度．說理如下：因為、平分和（已知），所以，（角平分線的意義）．因為，（）（完成以下說理過程）【答案】（1）32；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；過程見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)（1）的解法進行求解即可；（3）利用（1）的結(jié)論求解即可．【詳解】（1）結(jié)論：；理由如下：∵、的角平分線、相交于點∴，（角平分線的意義）∵，（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴，（等式性質(zhì)）∴（等量代換）∴；（2）∵、的角平分線、相交于點∴，（角平分線的意義）∵，（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴，（等式性質(zhì)）∴（等量代換）∴；（3）∵當，、∴當，=．【點睛】本題主要考查了角的平分線的定義以及三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和成為解答本題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022春?宜興市校級月考）如圖，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB與∠AFD的角平分線交于點P，下列結(jié)論：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正確的有（）個．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】延長EP交AB于G，根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠AEP∠AEB，∠2＝∠PFD∠AFD，再根據(jù)鄰補角的定義求出∠BCF＝45°，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和分別用∠1和∠2表示出∠EGB和∠EBG，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠1+∠2，然后表示出∠EPF即可判斷出①②正確，再求出∠PEB+∠PFD＝45°，判斷出③正確．【解答】解：如圖，延長EP交AB于G，∵∠AEB與∠AFD的角平分線交于點P，∴∠1＝∠AEP∠AEB，∠2＝∠PFD∠AFD，∵∠BCD＝135°，∴∠BCF＝180°﹣135°＝45°，在△AEG中，∠EGB＝∠A+∠AEP＝45°+∠1，在△BCF中，∠EBG＝∠AFD+∠BCF＝2∠2+45°，在△BEG中，∠1+∠EGB+∠EBG＝180°，即∠1+45°+∠1+2∠2+45°＝180°，解得∠1+∠2＝45°，在△GFP中，∠EPF＝∠EGB+∠2＝45°+∠1+∠2＝45°+45°＝90°，∴EP⊥FP，故①正確；∠AEB+∠AFD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝90°＝∠P，故②正確；∵∠PEB+∠PFD＝∠1+∠2＝45°，∴∠A＝∠PEB+∠PFD＝45°，故③正確．綜上所述，正確的結(jié)論有①②③共3個．故選：D．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出三角形并求出∠1+∠2＝45°是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?西安期末）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長線于點E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正確的是．（把所有正確的結(jié)論的序號寫在橫線上）【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°∠1，∠BOC＝90°+∠2．【解答】解：∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，（∠ACD﹣∠ABC）∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠1）＝90°∠1，故②、③錯誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO∠ACB，∠ACEACD，∴∠OCE（∠ACB+∠ACD）180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正確；故答案為：①④．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及角平分線的定義．3.（2021·蘇州外國語學校八年級期中）如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．【答案】52°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可求出∠E，利用三角形內(nèi)角和求出，得到，從而求出，再次利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和得到∠A．【詳解】解：、分別平分、，，，，，即，，，、分別平分、，，，，，∴，∴，、分別平分、，，，∴，，故答案為：52°．用所學知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．4.（2021·河南駐馬店市·八年級期末）閱讀下列材料并解答問題：在一個三角形中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱為“夢想三角形”例如：一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是，，，這個三角形就是一個“夢想三角形”．反之，若一個三角形是“夢想三角形”，那么這個三角形的三個內(nèi)角中一定有一個內(nèi)角的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍．（1）如果一個“夢想三角形”有一個角為，那么這個“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為．（2）如圖，已知，在射線上取一點，過點作交于點，以為端點作射線，交線段于點（點不與、重合），若，判定、是否是“夢想三角形”，為什么？【答案】（1）或；（2），都是“夢想三角形”，理由見解析【分析】（1）分兩種情形：當108°是三角形的一個內(nèi)角的3倍，當另外兩個內(nèi)角是3倍關(guān)系，分別求解即可．（2）根據(jù)“夢想三角形”的定義可以判斷：△AOB、△AOC都是“夢想三角形”．【詳解】解：（1）當108°是三角形的一個內(nèi)角的3倍，則有這個內(nèi)角為36°，第三個內(nèi)角也是36°，故最小的內(nèi)角是36°，當另外兩個內(nèi)角是3倍關(guān)系，則有另外兩個內(nèi)角分別為：54°，18°，最小的內(nèi)角是18°故答案為：36°或18°．（2）結(jié)論：，都是“夢想三角形”理由：，，，，為“夢想三角形”，，，，，，“夢想三角形”．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，“夢想三角形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．5．（2021·山西晉城市